định thức trên vành giao hoán và định thức dieudonne

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH An Thị Thúy Nga ĐỊNH THỨC TRÊN VÀNH GIAO HOÁN VÀ ĐỊNH THỨC DIEUDONNE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH An Thị Thúy Nga ĐỊNH THỨC TRÊN VÀNH GIAO HOÁN VÀ ĐỊNH THỨC DIEUDONNE Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS BÙI XUÂN HẢI Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS Bùi Xuân Hải - người thầy tận tình giúp đỡ hướng dẫn trình học tập, nghiên cứu hoàn thiện luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Quý thầy cô Trường, Phòng Sau đại học, Khoa Toán học, môn Đại số - Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh Trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy suốt khóa học tạo điều kiện thuận lợi cho thực luận văn Qua đây, xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến gia đình, người thân bạn bè giúp đỡ suốt thời gian học tập thực luận văn TP HCM, ngày 27 tháng năm 2013 An Thị Thúy Nga MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC BẢNG KÍ HIỆU MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: ĐỊNH THỨC TRÊN VÀNH GIAO HOÁN 1.1 Một số khái niệm .5 1.2 Định nghĩa định thức vành giao hoán 1.3 Một số tính chất định thức vành giao hoán 1.4 Một số định lý khai triển định thức vành giao hoán 1.5 Điều kiện để ma trận vành giao hoán khả nghịch 12 1.6 Một số phương pháp tính định thức vành giao hoán .13 1.6.1 Phương pháp dùng định nghĩa .13 1.6.2 Phương pháp khai triển 14 1.6.3 Phương pháp biến đổi định thức dạng tam giác .15 1.6.4 Phương pháp quy nạp 15 1.7 Hệ phương trình tuyến tính vành giao hoán 16 CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC DIEUDONNE 22 2.1 Một số khái niệm 22 2.2 Định nghĩa định thức Dieudonne .26 2.3 Một số tính chất định thức Dieudonne 26 2.4 Sự tồn định thức Dieudonne 29 2.5 Một số kết suy từ định nghĩa tính chất định thức Dieudonne 32 2.6 Một số phương pháp tính định thức Dieudonne .36 2.6.1 Phương pháp .36 2.6.2 Phương pháp .36 2.7 So sánh định thức vành giao hoán định thức Dieudonne 37 2.7.1 Một số tính chất giống hai định thức 37 2.7.2 Một số tính chất khác hai định thức .38 KẾT LUẬN 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 BẢNG KÍ HIỆU a, b = {a, a + 1, a + 2, , b} , a, b ∈  a < b R* - Nhóm nhân vành R AT - Ma trận chuyển vị ma trận A Mn ( R ) - Vành ma trận vuông cấp n vành R GLn ( R ) - Nhóm tuyến tính tổng quát bậc n vành R En ( R ) - Nhóm tuyến tính sơ cấp bậc n vành R [ a, b] = a−1b−1ab - Giao hoán tử phần tử [ H , K ] - Nhóm a b nhóm G G sinh tất giao hoán tử dạng [ a, b ] với a ∈ H , b ∈ K ( H , K tập khác rỗng G MỞ ĐẦU Đại số tuyến tính nói chung Lý thuyết định thức nói riêng xây dựng trường Trường cấu trúc trọn vẹn nên việc xây dựng định thức có nhiều kết đa dạng phong phú Tuy nhiên thay đổi trường cấu trúc đại số khác, mà cụ thể vành giao hoán có đơn vị vành chia kết biết đúng, hay thay đổi Mặt khác, định thức vành giao hoán nghiên cứu dựa tính giao hoán phép nhân phần tử Còn định thức Dieudonne nghiên cứu vành chia Sự khác biệt vành giao hoán vành chia dẫn đến khác biệt hai định thức Trên số lý chọn đề tài “Định thức vành giao hoán định thức Dieudonne” để nghiên cứu tìm hiểu Luận văn tổng hợp, trình bày Lý thuyết định thức vành giao hoán định thức Dieudonne, sau so sánh điểm giống khác hai định thức Bố cục luận văn chia làm chương: Chương - Định thức vành giao hoán Chương - Định thức Dieudonne Tuy có nhiều cố gắng thời gian khả có hạn nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót, mong nhận góp ý quý thầy cô bạn Xin chân thành cảm ơn CHƯƠNG 1: ĐỊNH THỨC TRÊN VÀNH GIAO HOÁN 1.1 Một số khái niệm Định nghĩa 1.1.1 Xét X = {1, 2, , n} với n số nguyên dương Đặt Sn tập hợp song ánh từ X vào X Ta định nghĩa 1) Mỗi phần tử s ∈ Sn gọi phép hoán vị bậc n hay phép bậc n biểu diễn ma trận loại × n  n  s= ,  s (1) s ( ) s ( n )    dòng thứ nhất, phần tử X xếp theo thứ tự (thường 1, 2,…, n), dòng thứ hai gồm ảnh dòng thứ qua song ánh s 2) Với số nguyên k ≥ 2, phép hoán vị s ∈ Sn gọi k - chu trình có chiều dài k tồn phần tử phân biệt i1 , i2 , , ik ∈ X cho = s ( i1 ) i2= s ( ik −1 ) ik= ; s ( i2 ) i3 ; ;= ; s ( ik ) i1 s ( j ) = j với j ∉ {ik , i2 , , ik } Khi ta viết s = ( i1 i2 i k ) Hai chu trình s = ( i1 i2 ik ) t = ( j1 j2 jl ) gọi rời ∅ {i , i , , i } ∩ { j , j , , j } = k l Mỗi - chu trình gọi chuyển vị Như vậy, chuyển vị có dạng s = ( i j ) với ≤ i ≠ j ≤ n Định lý 1.1.2 Mọi phép hoán vị phân tích thành tích chu trình rời Cách phân tích nhất, sai khác đổi chỗ chu trình Bổ đề 1.1.3 Mọi chu trình phân tích thành tích chuyển vị Cách phân tích không Định lý 1.1.4 Mọi phép hoán vị phân tích thành tích chuyển vị Cách phân tích không tính chẵn lẻ số chuyển vị Chú ý 1.1.5 Xét phép hoán vị s Gọi k số chuyển vị phân tích s thành tích chuyển vị Đặt sgn ( s ) = ( −1) k Theo Định lý 1.1.4, sgn ( s ) không phụ thuộc vào cách phân tích s - Nếu sgn ( s ) = s phân tích dạng tích số chẵn chuyển vị Ta nói s hoán vị chẵn - Nếu sgn ( s ) = −1 s phân tích dạng tích số lẻ chuyển vị Ta nói s hoán vị lẻ - Với phép hoán vị s t, ta có ( ) sgn s −1 = sgn ( s ) sgn= ( st ) sgn ( s ) ⋅ sgn ( t ) - Với s k - chu trình, ta có sgn ( s ) = ( −1) k −1 Ví dụ 1.1.6 Xét hoán vị s = (1 )( 10 ) Ta có s = (1 3)(1 )( )( 10 )( )( ) Vậy s phân tích dạng tích chuyển vị nên sgn ( s ) = 1, s hoán chẵn 1.2 Định nghĩa định thức vành giao hoán Xét R vành giao hoán, có đơn vị Định nghĩa 1.2.1 Cho R vành giao hoán, có đơn vị Cho A  aij  ma trận vuông cấp n R Định thức ma trận A R , kí hiệu detA hay A xác định detA   sgn s a1s1a2s2 ansn s Sn 1.3 Một số tính chất định thức vành giao hoán Tính chất 1.3.1 Cho A ma trận vuông cấp n R AT ma trận chuyển vị ma trận A Khi detAT  detA Chứng minh Giả sử A  aij  AT  bij  bij  a ji , i, j  1, n Khi ta có detAT   sgn s b1s1b2s2 bnsn s Sn   sgn s as11as22 asnn s Sn   s 1 Sn sgn s 1 a1s11a2s12 ans1n   sgn t a1t1a2 t2 antn t Sn  detA Tính chất 1.3.2 Trong định thức đổi chỗ hai dòng cho định thức đổi dấu Chứng minh Đặt A  aij  , giả sử ma trận A đổi dòng i dòng j 1  i, j  n   ta ma trận A  aij Khi detA   sgn s a1s1 aisi a js j ansn s Sn =  sgn s a s Sn 1s 1 .a jsi ais j ansn Với s  Sn , đặt t  Sn cho t i  s  j   t  j   s i  t k   s k  , k  i, j  Khi đó, sgn t   sgn s  a1s1 a jsi ais j ansn  a1t1 aiti a jt j antn Do detA    sgn t a1t1 aiti a jt j antn t Sn  -  sgn t a1t1 aiti a jt j antn t Sn  - detA Tính chất 1.3.3 Nếu ma trận vuông A có hai dòng detA  Tính chất 1.3.4 Cho ma trận vuông A  aij  cấp n R Nếu nhân vào dòng thứ i ma trận A với k  R định thức ma trận nhận định thức A nhân với k Chứng minh Giả sử ma trận A tất hệ số dòng i nhân lên k   lần, dòng khác giữ nguyên ta nhận ma trận A  aij Khi detA   sgn s a1s1 aisi ansn s Sn   sgn s a 1s 1 s Sn   kaisi ansn  k  sgn s a1s1 aisi ansn s Sn  kdetA Hệ 1.3.5 Nếu ma trận vuông A có dòng bội k  R dòng khác detA  Tính chất 1.3.6 Cho ma trận vuông A  aij  cấp n R giả sử dòng thứ i i  1, n A có tính chất aij  bij  cij với bij , cij  R Khi đó, ta có a11 a12 detA  bi1  ci1 bi  ci an1 an a11 a12 a1n a11 a12 a1n bin  cin  bi1 bi bin  ci1 ci cin a1n an1 an ann  ann detB an1 an ann  detC Chứng minh detA   sgn s a1s1 aisi ansn s Sn   sgn s a s Sn 1s 1   bisi  cisi ansn   sgn s a1s1 bisi ansn   sgn s a1s1 cisi ansn s Sn s Sn  detB  detC Tính chất 1.3.7 Nếu cộng vào dòng ma trận vuông A bội k  R dòng khác định thức không đổi Chứng minh Áp dụng tính chất 1.3.3 tính chất 1.3.4 1.4 Một số định lý khai triển định thức vành giao hoán Định nghĩa 1.4.1 Cho A  aij  ma trận vuông cấp n R Với i, j ta gọi i j Aij  1 detA i; j  Chứng minh Thật vậy, A suy biến dòng A phụ thuộc tuyến tính nên A có dòng tổ hợp tuyến tính trái dòng khác Lấy dòng trừ tổ hợp tuyến tính nói ta nhận ma trận có dòng Theo tính chất 2.3.1, định thức không thay đổi qua phép đổi Theo (I) suy detA  Tính chất 2.3.3 Nếu đổi chỗ hai dòng ma trận định thức nhân với 1 Chứng minh Xét A, A '  Mn  K  A ' ma trận nhận từ A cách đổi chỗ hai dòng i j cho Ta cần chứng minh detA '  -1 detA Thật vậy,   a11   a  i1 A     a j1   an1  a1n   a11       ain   a j1     , A '     a jn  a   i1       ann  an1 a1n     a jn     ain     a  nn Đối với A ' ta thực số phép biến đổi loại (E) sau: Thay dòng i dòng i cộng dòng j di  di  d j  , A ' thành:   a11   a j1  ai1  A ''     ai1    a n1    a jn  ain     ain     ann  a1n theo (II) ta có detA ''  detA ' Sau đó, thay dòng j dòng j trừ dòng i d j  d j  di  , ta ma trận  a11    a j1  ai1  A '''     a j1    a n1 27 a1n     a jn  ain     a jn      a nn theo (I) detA '''  detA '' Thực tiếp tục cách thay dòng i dòng i cộng dòng j di  di  d j  ta có ma trận  a11     ai1  A ''''    a j1    a n1 a1n     ain     a jn     a  nn Đưa -1 dấu định thức ta có detA '  detA ''  detA '''  detA ''''  1detA Tính chất 2.3.4 detd m   m Chứng minh Vì d ( m ) ma trận có cách nhân dòng cuối I n với m nên detd m   m  det  I n   m 1  m Tính chất 2.3.5 Nếu A ma trận không suy biến A  Bd m  phân tích A Định lý 2.1.8 detA  m Tính chất 2.3.6 detA  A ma trận suy biến Chứng minh Thật vậy, A suy biến theo tính chất 2.3.2 ta có detA  Ngược lại, A không suy biến theo tính chất 2.3.5 ta có detA  m  , điều mâu thuẫn với giả thiết detA  Tính chất 2.3.7 det  AB  detA.detB Chứng minh Nếu A suy biến AB suy biến theo tính chất 2.3.2 ta có detA.detB   det  AB Giả sử A không suy biến thì, A  Cd m  , C  En  K  suy AB  Cd m  B Ma trận d m  B nhận từ ma trận B cách nhân dòng cuối bên trái với m nên theo (I) ta có detd m  B  m detB Mặt khác, ma trận C tích phép co sơ cấp nên theo tính chất 2.3.1 ta có detCd m  B  detd m  B  m detB  detA.detB 28 Tính chất 2.3.8 Định thức không thay đổi ta áp dụng phép biến đổi loại  E ' ma trận Chứng minh Áp dụng phép biến đổi loại  E ' ma trận A tương đương với việc nhân ma trận A với phép co sơ cấp bên phải Ta có det tij a   suy theo tính chất 2.3.7 nhận det  Atij a   detAdet tij a   detA Tính chất 2.3.9 Nếu đổi chỗ hai cột ma trận định thức nhân với 1 Chứng minh Tương tự tính chất 2.3.3 Tính chất 2.3.10 Nếu nhân bên phải cột ma trận A với m định thức nhân với m Chứng minh Thật vậy, nhân cột cuối ma trận với m det  Ad m   detA.detd m   detA.m Do đó, tính chất 2.3.10 với cột cuối Nếu việc nhân với m xảy cột cột cuối sử dụng tính chất 2.3.9 suy điều cần chứng minh 2.4 Sự tồn định thức Dieudonne Trước tiên, ta chứng minh tồn định thức Dieudonne quy nạp theo cấp n ma trận Với n  giả sử A  a detA  a Khi đó, ta kiểm tra điều kiện: detl A  det la  la  l.a  l.detA nên điều kiện (I) thỏa mãn Điều kiện (II) (III) hiển nhiên Giả sử xây dựng định thức Dieudonne cấp n 1 , ta xây dựng định thức cấp n Thật vây, giả sử A ma trận vuông cấp n vành chia K Nếu ma trận A suy biến đặt detA  Do A suy biến nên dòng A phụ thuộc tuyến tính Khi đó, tiên đề (I) (II) thỏa mãn phép biến 29 đổi tiên đề không làm thay đổi phụ thuộc tuyến tính dòng ma trận Vậy tồn detA Nếu A không suy biến Khi đó, dòng A độc lập tuyến tính trái, không gian dòng A có số chiều n Véc tơ 1, 0, , 0  K n biểu diễn cách thành tổ hợp tuyến tính dòng ma trận A n  l A  1, 0, , 0 k 1 k (2.1) k với lk  K không đồng thời 0, Ak k  1, 2, , n dòng ma trận A Viết Ai  ai1 , Bi  , Bi véc tơ độ dài n 1 Thay vào (2.1) ta được: n n  lk ak1  1, l B k 1 k 1 k k 0 (2.2) Gọi F ma trận lập nên từ n dòng Bi độ dài n 1 Với  i  n , gọi Ci ma trận từ F cách xóa dòng thứ i Theo giả thiết quy nạp, tồn det Ci Sau số tính chất Ci : Thứ nhất, li  từ điều kiện n l B k 1 k k  kết hợp với lk không đồng thời , suy dòng Ci phụ thuộc tuyến tính, detCi  Thứ hai, giả sử li  0, j  i l j  Gọi D E ma trận nhận từ Ci cách thay B j tương ứng l j B j Bi Khi đó, ta có detCi  l j1detD (2.3) Nếu D thay dòng l j B j tổng với tất dòng lại (tức thay dòng l j B j l B k i k k ) Khi đó, từ (2.2) suy l B k i k k  li Bi Do đó, detD  -li detE Kết hợp với (2.3) ta detCi  lj -li  detE Thực i  j 1 phép biến đổi dòng kế ta đưa ma trận E thành ma trận C j Vậy 30 i j1 detCi  1 lj -li  detC j Từ suy i 1 j 1 1 li1detCi  1 lj 1detC j (2.4) i 1 Công thức (2.4) chứng tỏ biểu thức 1 li1detCi giống li  Ta gọi đại lượng định thức ma trận A Vậy, theo định nghĩa i 1 detA  1 li1detCi (2.5) Tiếp theo, ta chứng minh định nghĩa nói thỏa mãn tất tiên đề (I), (II) (III) Xét tiên đề (I): Gọi A ' ma trận nhận từ A cách thay dòng Ai m Ai Nếu m  A ' có dòng nên A ' suy biến, detA '   0.detA Vậy giả sử m  Nếu li  i 1 detA  1 li m 1  1 i 1  1 detCi  mli1 detCi i 1  m 1 li1detCi  m detA Nếu lk  với k  i k 1 detA  1 lk1detCk  , Ck  nhận từ Ck cách nhân dòng Bi bên trái với m Theo giả thiết quy nạp, detCk   m detCk Vậy k 1 detA  1 lk1 m detCk  m detA Xét tiên đề (II): Giả sử A nhận từ A cách thay dòng Ai Ai  A j Ta có 31 n  l A  1, 0, , 0 k 1 k k   lk Ak  li Ai  l j A j  1, 0, , 0 k i , j   lk Ak  li  Ai  A j   l j  li  A j  1, 0, , 0 k i , j   lk Ak  li Ai  l j  li  Aj  1, 0, , 0 k i , j Nếu tồn k  i, j cho lk  k 1 detA  1 lk1detCk  Trong đó, Ck  nhận từ Ck cách thay dòng tổng dòng dòng khác Mà detCk   detCk nên suy detA  detA Nếu li  Ci  Ci ta có i 1 detA  1 li1detCi   detA Nếu l j  0, lk  0, k  j Khi đó, ta có n l B k 1 k k  lj Bj   Bj   Bi  B j  Bi suy C j   C j Do đó, ta có detA  1 j 1 l j1detC j   1 j 1 l j1detC j  detA Vậy, (II) thỏa mãn trường hợp Xét tiên đề (III): Xét ma trận đơn vị I n Khi đó, phân tích (2.1) ta có l1  lk  0, k  Do đó, 11 detI n  1 11detC1  1detI n1  Vậy, ta chứng minh tồn định thức Dieudonne cấp n 2.5 Một số kết suy từ định nghĩa tính chất định thức Dieudonne Từ định nghĩa tính chất định thức Dieudonne ta có GLn  K    A  Mn  K  detA  0 32 Định nghĩa 2.5.1 Tập hợp SLn  K    A  GLn  K  detA  1 nhóm GLn  K  , gọi nhóm tuyến tính đặc biệt bậc n K Hiển nhiên En  K   SLn  K  Ta chứng minh bất đẳng thức ngược lại, nghĩa thực tế SLn  K   En  K  Bổ đề 2.5.2 Cho c   a, b : aba1b1 , với a, b  K * Khi đó, n  2, d c  En  K  Chứng minh Với n  , xét dãy phép biến đổi sau: 1  0 0 d2 a1d1      1 a 1  d2  a1d1    1 a 0 d1ad2     1 a 1 a  d1 abd2 aba1    1  a b1  a d2 b1a1d1     1 a   d2 ab1 d1 aba1     b1  aba1  d1aba1d2 0 c  d2 b1c1d1 0 d2 ab1a1 d1          1 b1  1  b1  0 c d d 1 0 d d 1 0 d2 d1 2   d c             1 c  1 c 0 c a    b1    b1  c   Kết cho thấy d c tích phép co sơ cấp Vậy d c  E2  K  Với n  : Dùng phép biến đổi áp dụng cho ô cấp phía ma trận đơn vị, ta suy d c  En  K  1      1                 0      d c    c  Định lý 2.5.3 Với n  , SLn  K   En  K  Ngoài ra, SLn  K  GLn  K  GLn  K  SLn  K   K * Chứng minh Với A  SLn  K  , theo Định lý 2.1.8 ta viết A  B.d m  , B  En  K  , m  K * Khi đó, detA  detB.detd m  , suy  1.m hay m  Do đó, m  c1 cm (các ci i  1, m giao hoán tử) Vì vậy, ta có d m   d c1  d cm  33 mà d ci   En  K i  1, m , suy d ( m ) ∈ En ( K ) , kéo theo A  En  K  Do đó, SLn  K   En  K  Mặt khác, ta có En  K   SLn  K  Vậy SLn  K   En  K  Xét ánh xạ: det : GLn  K   K * A  detA Do det  A.B  detA.detB với A, B  GLn  K  nên ánh xạ đồng cấu nhóm Mặt khác,  m  K * , ta có det d m   m Do đó, det toàn cấu Mặt khác, SLn  K   Ker det  GLn  K  Do đó, GLn  K  SLn  K   K * B Định lý 2.5.4 Cho A    C B   (hoặc A    D C   ), B D ma D trận vuông Khi đó, det A  detB.detD Chứng minh Nếu B ma trận suy biến dòng phụ thuộc tuyến tính, nên dòng A phụ thuộc tuyến tính Trong trường hợp này, detA  detB  , công thức thỏa mãn Giả sử B ma trận không suy biến Khi đó, áp dụng phép biến đổi loại (E) ma trận B (và ma trận A ) để đưa B dạng d m  , kéo theo detB  m Đưa m dấu định thức ta có I detA  m det  r C Ir C Đặt A     D   Dùng phép biến đổi loại (E) đưa A dạng D I A   r  0   D Nếu D suy biến A suy biến công thức thỏa mãn Nếu D không suy biến dùng phép biến đổi loại (E) để đưa D dạng d h Khi I detA  hdet  r  Từ suy detA  m h  detB.detD 34    h.1  h I s  Như biết, định thức vành giao hoán có tính tuyến tính dòng cột Còn định thức Dieudonne tính chất tuyến tính không thỏa mãn Tuy nhiên, ta chứng minh tính chất gần giống Gọi K ′ =  K * , K *  giao hoán tử nhóm nhân K * phần tử khác vành chia K Khi phần tử a ∈ K * viết dạng a = aK ′ Định nghĩa tổng phần tử a b a + b := aK ′ + bK ′= {ak + bk } k1 , k2 ∈ K ′ tập hợp tổng phần tử a b Khi đó, a + b ∈ a + b, kéo theo ( a + b ) c ⊆ ac + bc Lưu ý rằng, K trường a = a, ∀a ∈ K * , kéo theo a + b = a + b Nếu ta xét định thức hàm số dòng đó, chẳng hạn An , ta coi dòng lại không thay đổi Kí hiệu hàm D  An  Khi đó, ta có kết sau:     Định lý 2.5.5 D An  An  D  An   D An Chứng minh Vì véc tơ dòng A1 , , An , An phụ thuộc tuyến tính nên tồn tổ hợp tuyến tính không tầm thường r A1   r n1 An1  l An  m An  Nếu l  m  n 1 dòng định thức phụ thuộc tuyến tính nên định thức Do bao hàm thức hiển nhiên thỏa mãn Nếu, chẳng hạn l  không làm tính tổng quát, giả sử l  Thay dòng cuối ma trận A r1 A1   r n1 An1  An  m An , nhận       D  An   D m An  m D An  m D An Làm ma trận có dòng A1 , , An1 , An  An , nhận   r A1   r n1 An1  An  An  m An  An  1 m  An , 35           suy D An  An  D 1 m  An  1 m  D An Do đó, ta có       D An  An  1 m  D An  1.D An  m  D An  D  An   D An 2.6 Một số phương pháp tính định thức Dieudonne Dựa vào định nghĩa số tính chất định thức Dieudonne ta trình bày hai phương pháp tính định thức Dieudonne sau 2.6.1 Phương pháp Phương pháp dựa vào phép biến đổi loại (E) (E’), kết hợp với số tính chất để đưa định thức dạng tam giác, sau định thức Dieudonne tích phần tử đường chéo Ví dụ 2.6.1 Với , b i , g i  K * i  1, 3 , tính a1 b1 g1 a1 b Ta có g1 a1  0 a2 b2 g2 a3 a1 b3  g3 a2 b  b1a11a2 a2 b  b1a11a2 g  g1a11a2 a2 b2 g2 a3 b3 g3 a3 b  b1a11a3 g  g1a11a3 a3 b  b1a11a3 g  g1a11a3  g  g1a11a2 b  b1a11a2  1 b  b1a11a3  1    a1 b  b1a11a2   g  g1a11a3  g  g1a11a2 b  b1a11a2  b  b1a11a3    2.6.2 Phương pháp Phương pháp dựa phần chứng minh tồn định thức Dieudonne Cho A  GLn  K  , giả sử dòng A Ak Khi đó, tồn tổ hợp tuyến tính 36 n l A k 1 k i j k  0, ,1, , 0 (1 vị trí thứ j ) 1 Khi đó, detA  1 li  detCi Trong đó, Ci ma trận nhận từ A cách xóa dòng i, cột j a Ví dụ 2.6.2 Tính detA  c 0 c b a Ta có a1  a b   c 1  c 0  a1ba1 0 c a   0 0 Khi đó, ta tính detA sau: a  1 detA  1 l11detC1  1 detA  1 l21detC2  1 c  detA  1 l31detC3  1 a 1 1 1 c 0 a  a c Hoặc 2 2 1 1 a b a  a c Hoặc 3 3 1 ba1  1 a c b  a c 2.7 So sánh định thức vành giao hoán định thức Dieudonne 2.7.1 Một số tính chất giống hai định thức Nếu nhân dòng (cột) A với m định thức nhân lên với m Nếu ma trận A có dòng (cột) detA  Nếu đổi chỗ hai dòng (cột) ma trận định thức đổi dấu Nếu ma trận có hai dòng (cột) tỉ lệ với định thức Nếu ta cộng dòng (cột) ma trận A với tổ hợp tuyến tính trái (phải) dòng (cột) lại định thức không đổi 37 Nếu dòng (cột) ma trận A tổ hợp tuyến tính trái (phải) dòng lại detA  Nếu A ma trận tam giác det A tích phần tử đường chéo detI n  det  A.B  detA.detB 2.7.2 Một số tính chất khác hai định thức Bảng so sánh số tính chất khác định thức vành giao hoán định thức Dieudonne Định thức vành giao hoán Định thức Dieudonne detA  detAT detA  detAT Định thức ma trận A 1 a 1 a b   ab Ví dụ a: Cho A    b ab  định thức ma trận chuyển vị ma trận A suy AT   Khi đó, ta có detA  b detAT  a 1 a  Ví dụ b: Cho A   b ab 1 a b   ab suy AT   Khi đó, ta có a  ab  ab  ab b  ab  ab  ab detA  a  ab b a ab  ba  ab - ba det AT   a b ab b ab  ab  Có thể đưa thừa số bên Không thể đưa thừa số phải dòng dấu bên phải dòng định thức dấu định thức Ví dụ c: Ví dụ d: b a b ab a  a 38 Định thức vành giao hoán Định thức Dieudonne b a  ab a ab  ba  ab - ba Mà b a a  Có thể đưa thừa số bên trái Không thể đưa thừa số cột dấu định bên trái cột thức dấu định thức Ví dụ e: Ví dụ f: a b ab a 1 b b b  a  ab a ab  ba  ab - ba Mà a  b Có tính chất tuyến tính Không có tính chất tuyến dòng cột Khi det A  b tính dòng cột Các dòng A độc lập tuyến Các dòng A độc lập tính trái phải tuyến tính trái Các cột A độc lập tuyến Các cột A độc lập tính trái phải tuyến tính phải 39 KẾT LUẬN Trong luận văn này, trình bày nội dung sau: - Nhắc lại định nghĩa, tính chất, phương pháp tính định thức đại số tuyến tính với vành giao hoán có đơn vị, đặc biệt chứng minh số tính chất khác với trường điều kiện khả nghịch ma trận, điều kiện để hệ phương trình tuyến tính có nghiệm không tầm thường, điều kiện để ma trận ước không vành Mn ( R ) - Từ định nghĩa, tính chất, tồn định thức Dieudonne số phương pháp tính định thức Dieudonne - Đặc biệt số tính chất giống khác định thức vành giao hoán định thức Dieudonne 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Bùi Xuân Hải (2011), Nhóm tuyến tính, Nxb Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Bùi Xuân Hải (2009), Đại số tuyến tính ứng dụng, Nxb Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Tiếng Anh S Lang (2002), Algebra, GTM 211, Springer-Verlag, pp 511-522 N H McCoy (1962), Rings and Ideals, The Carus Mathematical Monographs, pp 155162 41 [...]... nghịch 1.6 Một số phương pháp tính định thức trên vành giao hoán 1.6.1 Phương pháp dùng định nghĩa Để tính định thức của ma trận vuông A = (aij ) cấp n ta dùng định nghĩa detA   sgn s a1s1a2s2 ansn s Sn 13 Tuy nhiên, phương pháp này chỉ nên áp dụng đối với định thức cấp 2, cấp 3 còn dùng để tính định thức cấp n, ( n ≥ 4 ) thì không đơn giản Ví dụ 1.6.1 Tính định thức của ma trận a a  a) A ... pháp quy nạp Áp dụng các tính chất của định thức, biến đổi, khai triển định thức theo dòng hoặc theo cột để biểu diễn định thức cần tính qua các định thức cấp bé hơn nhưng có cùng dạng Từ đó ta sẽ nhận được công thức truy hồi Sử dụng công thức truy hồi và tính trực tiếp các định thức cùng dạng cấp 1, cấp 2,…, để suy ra định thức cần tính Ví dụ 1.6.4 Tính định thức sau 5 3 0 2 Dn = 0 0 5 2 0 3 5 ... DIEUDONNE 2.1 Một số khái niệm cơ bản Định nghĩa 2.1.1 Cho K là một vành có đơn vị Vành K gọi là vành chia nếu mọi phần tử khác 0 của K đều khả nghịch Định nghĩa 2.1.2 Xét vành chia K , K * là nhóm nhân của K , Mn  K  là vành ma trận vuông cấp n trên K , GLn  K  là nhóm tuyến tính tổng quát bậc n trên K Kí hiệu: V : K n là không gian véc tơ các dòng độ dài n trên K I n là ma trận đơn vị (với 1... I n Khi đó, trong sự phân tích (2.1) ta có l1  1 và lk  0, k  1 Do đó, 11 detI n  1 11detC1  1detI n1  1 Vậy, ta chứng minh sự tồn tại của định thức Dieudonne cấp n 2.5 Một số kết quả suy từ định nghĩa và tính chất của định thức Dieudonne Từ định nghĩa và tính chất của định thức Dieudonne ta có GLn  K    A  Mn  K  detA  0 32 Định nghĩa 2.5.1 Tập hợp SLn  K    A  GLn  K... 1.3) = −6 14 1.6.3 Phương pháp biến đổi định thức về dạng tam giác Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng (cột) của ma trận và các tính chất của định thức biến đổi định thức về dạng tam giác Khi đó, định thức cuối cùng bằng tích các phần tử nằm trên đường chéo chính Ví dụ 1.6.3 Tính định thức 1 2 3 −1 0 0 D = −1 −2 0 −1 −2 −3 n 0 0 0 Cộng dòng 1 vào các dòng 2, 3,…, n ta được 1 0 = D 0... đó M là định thức con cấp k của A sinh bởi các dòng i1 , i 2 , , i k và các cột j1 , j2 , , jk và M′ là phần bù đại số của M Định lý 1.4.7 Cho A và B là hai ma trận vuông cùng cấp trên R Khi đó det ( AB = ) detA ⋅ detB 1.5 Điều kiện để ma trận trong vành giao hoán khả nghịch Định nghĩa 1.5.1 Cho A là ma trận vuông cấp n trên R Ma trận A được gọi là khả nghịch nếu tồn tại ma trận B vuông cấp n trên R... tồn tại của định thức Dieudonne bằng quy nạp theo cấp n của ma trận Với n  1 giả sử A  a thì detA  a Khi đó, ta kiểm tra các điều kiện: vì detl A  det la  la  l.a  l.detA nên điều kiện (I) thỏa mãn Điều kiện (II) và (III) hiển nhiên đúng Giả sử đã xây dựng được định thức Dieudonne cấp n 1 , ta sẽ xây dựng định thức cấp n Thật vây, giả sử A là ma trận vuông cấp n trên vành chia K Nếu ma... m   B.d m  , B  En  K  25 2.2 Định nghĩa định thức Dieudonne Xét nhóm thương K *  K * /  K * , K *  và đặt K  K *  0 Định nghĩa phép nhân trong K như sau: nếu a, b là những phần tử nằm trong K thì a.b là phép nhân bình thường trong K , tức là a.b  ab Ngoài ra, ta đặt a.0  0.a  0,  a  K * và 0.0  0 Khi đó, K là một nửa nhóm giao hoán Định nghĩa 2.2.1 Mỗi ma trận A  Mn  K... nên n detA   akj Akj k=1 Hệ quả 1.4.5 Cho A  aij  là ma trận tam giác trên (dưới) trong R Khi đó detA bằng tích các phần tử nằm trên đường chéo chính của A Định lý 1.4.6 (Định lý Laplace ) Cho A = ( a ij ) là ma trận vuông cấp n trên R Khi đó, với k dòng cho trước, định thức của A bằng tổng tất cả các tích của định thức con cấp k lấy ra từ k dòng đó với phần bù đại số của nó, nghĩa là i) với... 1.6.2 Phương pháp khai triển Để tính định thức của ma trận vuông A cấp n , ta dùng công thức khai triển theo dòng thứ i hay cột thứ j , thường chọn dòng hay cột có nhiều phần tử 0 Ví dụ 1.6.2 Tính định thức 1 2 D = 3 1 0 0 2 0 2 3 1 0 3 0 2 3 0 4+ 4 = 1 ( −1) 0 3 0 (Khai triển định thức theo dòng thứ 4) 4 2 1 4 0 0 2 1 1 3+ 3 2 = 0 3 = 0 2 ( −1) (Khai triển định thức theo cột thứ 1) 3 0 2 1 4 = 2 ( ... chất khác hai định thức Bảng so sánh số tính chất khác định thức vành giao hoán định thức Dieudonne Định thức vành giao hoán Định thức Dieudonne detA  detAT detA  detAT Định thức ma trận A... CHƯƠNG 1: ĐỊNH THỨC TRÊN VÀNH GIAO HOÁN 1.1 Một số khái niệm .5 1.2 Định nghĩa định thức vành giao hoán 1.3 Một số tính chất định thức vành giao hoán 1.4 Một số định. .. ) = 1, s hoán chẵn 1.2 Định nghĩa định thức vành giao hoán Xét R vành giao hoán, có đơn vị Định nghĩa 1.2.1 Cho R vành giao hoán, có đơn vị Cho A  aij  ma trận vuông cấp n R Định thức ma trận