Về cấu trúc của một số lớp môđun artin trên vành giao hoán
Bộ giáo dục và đào tạo Viện kHoa học&công nghệ Việt nam Viện toán học Nguyễn Thị Dung Về cấu trúc của một số lớp môđun Artin trên vành giao hoán Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 62.46.05.01 Tóm tắt luận án tiến sĩ toán học Hà Nội 2006 Công trình đ-ợc hoàn thành tại Viện Toán học thuộc Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam. Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: GS. TSKH. Nguyễn Tự C-ờng Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án sẽ đ-ợc bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án cấp Nhà n-ớc họp tại Viện Toán học, Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam. Vào hồi giờ ngày tháng năm 2006 Có thể tìm hiểu luận án tại: - Th- viện Quốc gia. - Th- viện Viên Toán học. Các công trình liên quan đến luận án 1. N. T. Dung and L. T. Nhan (2004), "On generalized co-Cohen-Macaulay and co- Buchsbaum modules over Commutative rings", Vietnam J. Math., 32(1), pp. 113- 118. 2. N. T. Cuong, N. T. Dung and L. T. Nhan (2005), "On generalized co-Cohen- Macaulay and co-Buchsbaum modules", accepted for publication in Algebra Colloquium. 3. N. T. Dung (2005), "On sequentially co-Cohen-Macaulay modules", accepted for publication in Algebra Colloquium. 4. N. T. Cuong, N. T. Dung and L. T. Nhan (2005), "Top local cohomology and the catenary of the unmixed support of a finitely generated module", accepted for publication in Communication in Algebra. Các kết quả trong luận án đã đ-ợc báo cáo và thảo luận tại: - Xemina Đại số và Lý thuyết số - Viện Toán học. - Viện Toán Fourier - Cộng hòa Pháp. - Hội nghị Toán học toàn quốc lần thứ 6, Huế 9/2002. - Hội nghị Đại số - Hình học - Tô pô, Đà Lạt, 11/2003. - Hội nghị Đại số - Hình học - Tô pô, TP. Hồ Chí Minh, 11/2005. - Hội nghị nghiên cứu sinh của Viện Toán học, 10/2003. - Hội nghị nghiên cứu sinh của Viện Toán học, 10/2005. - CIMPA School and International Conference on Commutative Algebra, 26/12- 6/1/2005, Hanoi, Vietnam. 1 Mở đầu Cho (R; m) là vành giao hoán, địa ph-ơng, Noether với iđêan cực đại duy nhất m; M là R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M = d: Trong phạm trù các môđun Noether, lớp môđun Cohen-Macaulay đóng vai trò trung tâm và cấu trúc của chúng đã đ-ợc biết đến một cách khá trọn vẹn thông qua nhiều lý thuyết quan trọng của Đại số giao hoán: Phân tích nguyên sơ, đối đồng điều địa ph-ơng, . Đặc biệt, chúng đ-ợc đặc tr-ng qua số bội nh- sau: M là môđun Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu tồn tại một hệ tham số x = (x 1 ; : : : ; x d ) của M sao cho I(x; M) = `(M=xM) Ă e(x; M) = 0, trong đó e(x; M) là số bội của M ứng với hệ tham số x: Chú ý rằng I(x; M) luôn là số không âm. Đã có nhiều h-ớng mở rộng lớp môđun Cohen-Macaulay để cho ta những lớp môđun mới, chứa thực sự và vẫn còn có nhiều tính chất t-ơng tự lớp môđun Cohen-Macaulay. Tr-ớc tiên phải kể đến lớp môđun Buchsbaum và lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng do các nhà toán học W. Vogel và J. Str ă uckrad, Nguyễn Tự C-ờng, P. Schenzel và Ngô Việt Trung phát hiện vào những năm 1970, liên quan tới giả thuyết của D. A. Buchsbaum đ-ợc phát biểu lại nh- sau: I(x; M) là hằng số với mọi hệ tham số x của M. Lý thuyết môđun Buchsbaum ra đời từ câu trả lời phủ định cho giả thuyết trên và lý thuyết môđun Cohen-Macaulay suy rộng xuất hiện từ việc nghiên cứu lớp môđun thoả mãn tính chất sup x I(x; M) < 1; trong đó cận trên lấy trên tập tất cả các hệ tham số x của M. Ngày nay, cấu trúc của ba lớp môđun Cohen-Macaulay, Buchsbaum, Cohen-Macaulay suy rộng đã trở thành quen biết nhờ hàng loạt các công trình nghiên cứu của các nhà toán học trên thế giới và Việt Nam. Một trong những h-ớng mở rộng khác của lớp môđun Cohen-Macaulay là lớp môđun Cohen-Macaulay dãy lần đầu tiên đ-ợc đ-a ra bởi R. P. Stanley 2 cho các môđun phân bậc hữu hạn sinh, sau đó đ-ợc P. Schenzel, Nguyễn Tự C-ờng và Lê Thanh Nhàn định nghĩa cho tr-ờng hợp vành địa ph-ơng. Lớp các môđun Cohen-Macaulay dãy cũng chứa thực sự lớp các môđun Cohen-Macaulay và cấu trúc của chúng đã đ-ợc nhiều nhà toán học nghiên cứu thông qua dãy, đầy đủ theo tô pô m-adic, địa ph-ơng hóa, đối đồng điều địa ph-ơng, bội, và hiện nay, lớp môđun này vẫn đang đ-ợc quan tâm nghiên cứu. Tóm lại, trong phạm trù các môđun Noether, cùng với lớp môđun Cohen-Macaulay, các lớp môđun Buchsbaum, Cohen-Macaulay suy rộng, Cohen-Macaulay dãy đã trở thành những lớp môđun quen biết, có nhiều ứng dụng trong Đại số giao hoán và Hình học Đại số. Trong phạm trù các môđun Artin, lớp môđun đóng vai trò quan trọng t-ơng tự nh- lớp môđun Cohen-Macaulay đã đ-ợc nhiều nhà toán học nghiên cứu và gọi là môđun đối Cohen-Macaulay. Cấu trúc của lớp môđun này đã đ-ợc biết đến thông qua dãy đối chính quy, bội, đồng điều địa ph-ơng. Vì vậy luận án có hai mục đích: Tr-ớc hết là nghiên cứu một số lớp môđun Artin mở rộng của lớp môđun đối Cohen-Macaulay (Ch-ơng 2, Ch-ơng 3). Tiếp theo, ứng dụng những kết quả tr-ớc đó về môđun Artin vào việc nghiên cứu một lớp môđun Artin đặc biệt quan trọng là môđun đối đồng điều địa ph-ơng cấp cao nhất H d m (M) của R-môđun hữu hạn sinh M (Ch-ơng 4). Cần chú ý ở đây rằng các tính chất của H d m (M) là những thông tin rất hữu ích cho phép ta biết đ-ợc rõ hơn cấu trúc của R-môđun M. Ta đã biết rằng, trên vành địa ph-ơng, đầy đủ, ph-ơng pháp đối ngẫu của E. Matlis cho ta một t-ơng đ-ơng phạm trù giữa các môđun Noether và các môđun Artin. Do đó, R. Y. Sharp đã đ-a ra ph-ơng pháp để nghiên cứu môđun Artin trên vành giao hoán bất kỳ bằng việc quy về tr-ờng hợp vành là địa ph-ơng đầy đủ để có thể dùng đối ngẫu Matlis. Đây là ph-ơng pháp đã đ-ợc nhiều tác giả sử dụng để nghiên cứu môđun Artin và ngay trong 3 luận án, chúng tôi cũng thu đ-ợc một số kết quả nhờ dùng ph-ơng pháp này (Định lý 3.4.3, Hệ quả 3.4.7). Tuy nhiên, không phải tất cả những tính chất của môđun Noether đều đ-ợc bảo toàn qua đối ngẫu Matlis. Vì vậy, một số kết quả đạt đ-ợc trong luận án theo một nghĩa nào đó đ-ợc xem là đối ngẫu với một số kết quả đã biết trong phạm trù các môđun Noether, nh-ng việc chứng minh chúng đòi hỏi phải có sự thận trọng nhất định và mang tính đặc thù của môđun Artin. Các công cụ chính đ-ợc sử dụng để nghiên cứu trong luận án, ngoài ph-ơng pháp nghiên cứu môđun Artin của R. Y. Sharp, còn có lý thuyết biểu diễn thứ cấp giới thiệu bởi I. G. Macdonald, chiều Noether nghiên cứu bởi R. N. Roberts, D. Kirby. Đặc biệt, các kết quả gần đây của Nguyễn Tự C-ờng, Lê Thanh Nhàn về hệ tham số, số bội cho môđun Artin, chiều Noether của môđun đối đồng điều địa ph-ơng và lý thuyết đồng điều địa ph-ơng của Nguyễn Tự C-ờng, Trần Tuấn Nam là những công cụ đ-ợc dùng nhiều trong luận án. Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận án đ-ợc chia làm 4 ch-ơng. Để tiện theo dõi, chúng tôi dành Ch-ơng 1 để tóm tắt lại những kết quả chung nhất về môđun Artin đ-ợc sử dụng trong các ch-ơng tiếp theo. Ch-ơng 2, đ-ợc viết dựa theo các công trình [1] và [2], dành để nghiên cứu hai lớp môđun Artin trên vành giao hoán, địa ph-ơng, Noether đ-ợc gọi là môđun đối Buchsbaum và môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng. Hai lớp môđun này chứa thực sự lớp môđun đối Cohen-Macaulay và cũng có nhiều tính chất t-ơng tự nh- những tính chất của môđun Buchsbaum và môđun Cohen-Macaulay suy rộng. Cụ thể, chúng tôi đ-a ra một số đặc tr-ng và tính chất của hai lớp môđun này qua đối dãy yếu, hệ tham số đối chuẩn tắc và đồng điều địa ph-ơng (Định lý 2.2.5 và Định lý 2.3.5). Ngoài ra, việc nghiên cứu hai lớp môđun đối Buchsbaum và đối Cohen-Macaulay suy rộng trong tr-ờng hợp vành không nhất thiết địa ph-ơng cũng đ-ợc xét đến trong 4 ch-ơng này. Ch-ơng 3 nghiên cứu một mở rộng khác của lớp môđun đối Cohen- Macaulay đ-ợc gọi là môđun đối Cohen-Macaulay dãy. Lớp môđun này chứa thực sự lớp môđun đối Cohen-Macaulay và cũng có nhiều tính chất đẹp đẽ. Nội dung ch-ơng này đ-ợc viết dựa theo [3], trong đó đ-a ra các khái niệm lọc chiều cho môđun Artin, môđun đối Cohen-Macaulay dãy và một số đặc tr-ng, tính chất của chúng. Hơn nữa, với cấu trúc đặc biệt của môđun Artin, ta có thể thấy rằng A là R-môđun đối Cohen-Macaulay dãy khi và chỉ khi A là b R-môđun đối Cohen-Macaulay dãy, trong khi đó lại không có tính chất t-ơng tự nh- vậy đối với môđun Cohen-Macaulay dãy (xem P. Schenzel). Một trong những kết quả chính của Ch-ơng 3 là đặc tr-ng đồng điều của môđun đối Cohen-Macaulay dãy (Định lý 3.4.3). Ta đã biết rằng nếu x là một phần tử chính quy của M thì M là môđun Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu M=xM cũng là môđun Cohen-Macaulay. Việc nghiên cứu một kết quả t-ơng tự nh- trên cho môđun đối Cohen- Macaulay dãy là cần thiết cho chứng minh nhiều tính chất của lớp môđun này bằng quy nạp. Kết quả chính tiếp theo của ch-ơng này là đ-a ra điều kiện cho một phần tử tham số x 2 m để đặc tr-ng đ-ợc tính đối Cohen- Macaulay dãy khi chia cho phần tử tham số (Định lý 3.4.5), qua đó chúng tôi thu lại đ-ợc một kết quả cho môđun Cohen-Macaulay dãy (Hệ quả 3.4.7). Hệ quả này là một sự sửa sai cho một định lý đ-ợc chứng minh tr-ớc đây bởi P. Schenzel. Ch-ơng 4-ch-ơng cuối cùng của luận án, đ-ợc viết từ [4], dành để nghiên cứu một lớp môđun Artin đặc biệt: môđun đối đồng điều địa ph-ơng cấp cao nhất H d m (M) của R-môđun hữu hạn sinh M. Ta đã biết rằng H d m (M) luôn khác không, luôn là R-môđun Artin và cho ta nhiều thông tin về cấu trúc của môđun M. Mặt khác, đối với mỗi R-môđun hữu hạn sinh M, ta luôn có tính chất Ann R M=pM = p; với mọi iđêan nguyên tố p chứa Ann R M. 5 Rõ ràng rằng, khi vành R là đầy đủ thì với mỗi R-môđun Artin A, theo đối ngẫu Matlis, ta có Ann(0 : A p) = p; 8p 2 V (Ann A): (Ô) Tuy nhiên tính chất trên nhìn chung lại không đúng cho mọi môđun Artin A trên vành giao hoán bất kỳ, và lớp môđun Artin thỏa mãn tính chất (*) lại liên quan tới một số câu hỏi về chiều Noether và đối địa ph-ơng hóa, chứng tỏ tính chất này là quan trọng đối với việc nghiên cứu môđun Artin. Mục đích của ch-ơng này là nghiên cứu điều kiện để môđun đối đồng điều địa ph-ơng cấp cao nhất H d m (M) thỏa mãn tính chất (*) và một số ứng dụng của nó. Chúng tôi sẽ chỉ ra rằng mặc dù N-dim H d m (M) = dim R= Ann R H d m (M) nh-ng nhìn chung H d m (M) không thoả mãn tính chất (*). Gọi giá không trộn lẫn Usupp R M của M là tập tất cả các iđêan nguyên tố trong Supp M chứa các iđêan nguyên tố liên kết có chiều cao nhất của M. Nội dung chính của ch-ơng này là các Định lý 4.2.4 và Định lý 4.3.3, cho ta kết quả về sự t-ơng đ-ơng giữa tính chất (*) cho môđun H d m (M) với một số tính chất quan trọng của M, mà một trong những tính chất đó là tính catenary của giá không trộn lẫn Usupp R M. 6 Ch-ơng 1. Kiến thức chuẩn bị Trong toàn bộ ch-ơng này, luôn ký hiệu R là vành giao hoán, Noether không nhất thiết địa ph-ơng (giả thiết địa ph-ơng khi cần sẽ đ-ợc nêu trong từng tr-ờng hợp cụ thể), A là R-môđun Artin. Ch-ơng này dành để nhắc lại các kết quả về môđun Artin dùng trong các ch-ơng tiếp theo, cụ thể là: Tiết đầu của ch-ơng trình bày ph-ơng pháp chuyển việc nghiên cứu môđun Artin trên vành giao hoán bất kỳ về việc nghiên cứu chúng trên vành địa ph-ơng đầy đủ thông qua đối ngẫu Matlis của R. Y. Sharp. Tiết tiếp theo nhắc lại lý thuyết biểu diễn thứ cấp theo thuật ngữ của I. G. Macdonald. Trong tiết 3, chúng tôi hệ thống lại các kết quả về chiều Noether, hệ tham số và số bội cho môđun Artin đ-ợc nghiên cứu bởi R. N. Roberts, D. Kirby, Nguyễn Tự C-ờng và Lê Thanh Nhàn. Tiết 4 dành để trình bày lại các kết quả về mô đun đồng điều địa ph-ơng đ-ợc nghiên cứu bởi Nguyễn Tự C-ờng, Trần Tuấn Nam. Cuối cùng, dãy đối chính quy, độ rộng và mô đun đối Cohen-Macaulay đ-ợc giới thiệu ở tiết 5, theo A. Ooshi, Z. Tang, H. Zakeri, Nguyễn Tự C-ờng, Lê Thanh Nhàn, Trần Tuấn Nam, I. H. Denizler, R. Y. Sharp. 7 Ch-ơng 2. Môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng và đối Buchsbaum Cho (R; m) là vành địa ph-ơng, Noether với iđêan cực đại duy nhất m và A là R-môđun Artin với chiều Noether N-dim A = d: Mục đích của ch-ơng này là nghiên cứu hai lớp môđun chứa thực sự lớp môđun đối Cohen- Macaulay đ-ợc gọi là môđun đối Buchsbaum và môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng và mở rộng nghiên cứu chúng trên vành giao hoán không nhất thiết địa ph-ơng. 2.1 Đồng điều địa ph-ơng và đối dãy yếu Tiết này dành để nghiên cứu một số tính chất của môđun Artin mà các môđun đồng điều địa ph-ơng của chúng có độ dài hữu hạn, sau đó đ-a ra khái niệm đối dãy yếu và nghiên cứu mối liên hệ của chúng với các môđun đồng điều địa ph-ơng. Mệnh đề 2.1.2. Giả sử ` R (H m i (A)) < 1 với mọi i < d. Cho (x 1 ; : : : ; x r ) là một phần hệ tham số của A và 0 : A (x 1 ; : : : ; x r )R = B 1 + : : : + B n là biểu diễn thứ cấp tối thiểu của 0 : A (x 1 ; : : : ; x r )R, trong đó B k là p k -thứ cấp. Khi đó N-dim B k = d Ă r, với mọi số nguyên k thoả mãn p k 6= m: Từ mệnh đề trên, ta thấy nếu các môđun đồng điều địa ph-ơng H m i (A) của một R-môđun Artin A có độ dài hữu hạn, với mọi i < d, thì A là không trộn lẫn tới thành phần m-thứ cấp, tức là tập Att R A chỉ bao gồm các iđêan nguyên tố gắn kết mà thành phần thứ cấp t-ơng ứng có chiều 0 hoặc chiều bằng d. Chúng tôi cũng chặn trên đ-ợc hiệu số giữa độ dài và số bội của A thông qua độ dài của các môđun đồng điều địa ph-ơng nh- sau. Bổ đề 2.1.5. Giả sử A là R-môđun Artin sao cho ` R (H m i (A)) < 1; với [...]... đối Buchsbaum của một môđun Artin A trên vành giao hoán, Noether (không nhất thiết địa ph-ơng) Tr-ớc hết, chúng tôi mở rộng các khái niệm môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng và đối Buchsbaum lên vành giao hoán tuỳ ý nh- sau Định nghĩa 2.4.1 Cho A 6= 0 là R -môđun Artin trên vành giao hoán, Noether R: Ta nói rằng A là môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng (t-ơng ứng đối Buchsbaum) nếu Am là Rm -môđun đối Cohen-Macaulay... dụng tính chất của số bội cho môđun Artin và tính chất tăng của hàm I(x; A) Bổ đề 2.2.4 Cho x = (x1 ; : : : ; xd ) là một hệ tham số đối chuẩn tắc của A: Khi đó I(xn ; : : : ; xn ; A) = I(x; A) với mọi n á 1: 1 d Nh- đã biết, một mở rộng quen thuộc của lớp môđun Cohen-Macaulay là lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng Lớp môđun này có những đặc tr-ng 10 qua đối đồng điều địa ph-ơng và qua một số dãy đặc biệt... :A p) = p; 8p 2 V (AnnR A): (Ô) Tuy nhiên trên vành giao hoán bất kỳ, mọi môđun Artin A không phải luôn thỏa mãn tính chất (*) Mục đích của ch-ơng này là nghiên cứu tính chất (*) cho một lớp môđun Artin đặc biệt: môđun đối đồng điều địa ph-ơng d cấp cao nhất Hm(M ) và một số ứng dụng của nó 4.1 Tính chất AnnR (0 :A p) = p Tiết đầu tiên của ch-ơng đ-a ra một số điều kiện để tính chất (*) đ-ợc thoả mãn,... R -môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng 2.3 Môđun đối Buchsbaum Mục đích của tiết này là nghiên cứu lớp môđun đối Buchsbaum chứa thực sự lớp môđun đối Cohen-Macaulay, nh-ng lại nằm thực sự trong lớp môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng và trình bày một số tính chất cơ bản của lớp môđun này Định nghĩa 2.3.1 A đ-ợc gọi là môđun đối Buchsbaum nếu I(x; A) là hằng số (không phụ thuộc vào x), với mọi hệ tham số. .. đối Cohen-Macaulay dãy Lớp môđun này chứa thực sự lớp môđun đối Cohen-Macaulay, không trùng với lớp môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng và cũng có nhiều tính chất t-ơng tự lớp môđun Cohen-Macaulay dãy 3.1 Môđun Cohen-Macaulay dãy Mục đích của tiết này là nhắc lại các khái niệm lọc chiều, lọc CohenMacaulay, môđun Cohen-Macaulay dãy và một số tính chất, đặc tr-ng đồng điều của lớp môđun này đã đ-ợc nghiên... tr-ớc, cho (R; m) là vành giao hoán, địa ph-ơng, Noether với iđêan cực đại m, A là R -môđun Artin và giả thiết thêm rằng 0 6= M là R -môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M = d Nh- đã biết, d môđun đối đồng điều địa ph-ơng cấp cao nhất Hm (M ) của M luôn khác 0, d luôn là R -môđun Artin và các tính chất của Hm (M) là những thông tin rất quan trọng cho phép ta biết đ-ợc rõ hơn cấu trúc của môđun M Chẳng hạn,... niệm môđun đồng điều địa ph-ơng đ-ợc nghiên cứu bởi Nguyễn Tự C-ờng và Trần Tuấn Nam để tính các môđun th-ơng A=Ai qua các môđun đồng điều địa ph-ơng Him(A) của A 16 3.3 Môđun đối Cohen-Macaulay dãy Mục đích của tiết này là giới thiệu khái niệm môđun đối Cohen-Macaulay dãy và một số ví dụ, tính chất cơ bản của lớp môđun này Định nghĩa 3.3.1 (i) Một lọc B : 0 = B0 ẵ B1 ẵ : : : ẵ BtĂ1 ẵ Bt = A các môđun. .. A là môđun đối Buchsbaum và N-dim Aj = d hoặc JA Aj = 0, với mọi j 6 r thì I(x; A) là hằng số (không phụ thuộc vào x) với mọi hệ tham số x của A Chú ý rằng điều ng-ợc lại của các khẳng định (i); (ii) trong mệnh đề trên là không đúng nếu ta bỏ qua điều kiện về chiều của các môđun con Aj : 14 Ch-ơng 3 Môđun đối Cohen-Macaulay dãy Trong ch-ơng này, chúng tôi sẽ nghiên cứu một lớp môđun mới gọi là môđun. .. cho môđun Artin ở các ch-ơng tr-ớc, chúng ta thấy rằng khái niệm chiều Noether đã đ-ợc dùng để nghiên cứu môđun Artin thông qua hệ tham số, số bội, đồng điều địa ph-ơng, Trong ch-ơng này, một cách tự nhiên, chúng tôi cũng dùng chiều Noether để xây dựng khái niệm lọc chiều cho môđun Artin nh- sau Định nghĩa 3.2.1 Lọc chiều của R -môđun Artin A là lọc 0 = A0 ẵ A1 ẵ : : : ẵ AtĂ1 ẵ At = A các môđun con của. .. 2.3.4 Cho k là một tr-ờng, S = k[x1 ; : : : ; xd ] là vành đa thức và R = k[[x1 ; : : : ; xd ]] là vành các chuỗi luỹ thừa hình thức d biến trên tr-ờng k Đặt B = k[xĂ1; : : : ; xĂ1] là S -môđun các đa thức ng-ợc Khi đó, theo 1 d D Kirby, B là S -môđun Artin, vì vậy B có cấu trúc tự nhiên là R -môđun Artin Cho n > 1 là số nguyên và đặt A = B â R=(xn ; x2; : : : ; xd )R: 1 Chú ý rằng B là môđun đối Cohen-Macaulay . học&công nghệ Việt nam Viện toán học Nguyễn Thị Dung Về cấu trúc của một số lớp môđun Artin trên vành giao hoán Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 62.46.05.01 Tóm tắt luận án tiến sĩ toán học Hà. niệm lọc chiều cho môđun Artin, môđun đối Cohen-Macaulay dãy và một số đặc tr-ng, tính chất của chúng. Hơn nữa, với cấu trúc đặc biệt của môđun Artin, ta có thể thấy rằng A là R -môđun đối Cohen-Macaulay. Cohen-Macaulay. Cấu trúc của lớp môđun này đã đ-ợc biết đến thông qua dãy đối chính quy, bội, đồng điều địa ph-ơng. Vì vậy luận án có hai mục đích: Tr-ớc hết là nghiên cứu một số lớp môđun Artin mở rộng của