Vành tự đồng cấu của một số lớp môđun

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯ ỜNG ĐẠI HỌC VINH 1 LÊ VĂN LINH VÀNH TỰ ĐỒNG CẤU CỦA MỘT SỐ LỚP MÔĐUN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC 2 NGHỆAN - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯ ỜNG ĐẠI HỌC VINH 2 LÊ VĂN LINH VÀNH TỰ ĐỒNG CẤU CỦA MỘT SỐ LỚP MÔĐUN CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ MÃ SỐ: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. NGÔ SỸ TÙNG NGHỆ AN - 2012 3 BẢNG KÝ HIỆU , , , ,¥ ¢ ¤ ¡£ : Tương ứng là tập hợp các số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ, số thực, số phức. ⊕M N : Tổng trực tiếp của hai môđun M và N ⊕ i I M : Tổng trực tiếp của môđun ( ) i i I M ∈ N M : N là môđun con của M ( , ) R Hom N M : Tập hợp đồng cấu từ N vào M ( )End M : Vành các tự đồng cấu của môđun M l(M) : Độ dài của môđun M. 4 MỤC LỤC Trang Bảng ký hiệu………………………………………………………………… 1 Mục lục……………………………………………………………………… 2 Mở đầu……………………………………………………………………… .3 Chương 1: Kiến thức cơ sở……… 5 1.1. Môđun Noether, môđun Artin……………………………………………5 1.2. Môđun nội xạ……………………………………………………………13 1.3. Bao nội xạ……………………………………………………………….16 1.4. Phần tử lũy linh, lũy đẳng, phần tử khả nghịch…………………………18 Chương 2: Vành tự đồng cấu của một số lớp môđun……………………… 20 2.1. Vành tự đồng cấu của môđun Noether, môđun Artin………………… 20 2.2. Vành tự đồng cấu địa phương………………………………………… 26 Kết luận…………………………………………………………………… .37 Tài liệu tham khảo………………………………………………………… .38 5 LỜI NÓI ĐẦU Cùng với sự phát triển của toán học hiện đại nói chung, lý thuyết môđun đã góp phần không nhỏ đến sự phát triển của chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số. Trong lý thuyết môđun, hai lớp môđun được các nhà khoa học quan tâm nghiên cứu là lớp môđun nội xạ và lớp môđun xạ ảnh. Trên cơ sở tương tự dựa trên yếu tố nội xạ, người ta đã mở rộng ra nhiều lớp môđun. Các lớp môđun như: môđun nội xạ, môđun giả nội xạ đã được nghiên cứu bởi S. K. Jain and S.Singh (1967), M. L. Teply (1975), H. Q. Dinh [3],…; Các lớp CS- môđun, môđun liên tục cũng được Đinh Văn Huỳnh, Nguyễn Việt Dũng, M. Okado, S. H. Mohamed and B. J. Muller,… phát triển, xây dựng các mối liên hệ giữa các lớp môđun mở rộng với nhau và đã đưa ra nhiều kết quả trong việc phát triển lý thuyết môđun. Dựa vào tài liệu chính là [6] và [7], chúng tôi tìm hiểu tự đồng cấu của môđun Noether, tự đồng cấu của môđun Artin, vành tự đồng cấu không phân tích được, vành tự đồng cấu địa phương,… Mục đích của luận văn là hệ thống lại một số tính chất về vành các tự đồng cấu, vành địa phương. Đặc biệt là tìm hiểu một số kết quả và tính chất của vành các tự đồng cấu của một số lớp môđun. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm hai chương. Chương 1. Kiến thức cơ sở. 1.1. Môđun Noether, môđun Artin. 1.2. Môđun nội xạ, bao nội xạ. 1.3. Một số phần tử đặc biệt của vành. Chương 2. Vành tự đồng cấu của một số lớp môđun. 2.1. Vành tự đồng cấu của môđun Noether, môđun Artin. 2.2. Vành tự đồng cấu địa phương. Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Ngô Sỹ Tùng. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu 6 sắc tới PGS.TS. Ngô Sỹ Tùng đã định hướng nghiên cứu, thường xuyên quan tâm, tạo mọi điều kiện thuận lợi, cùng với những lời động viên, khích lệ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Toán trường Đại học Vinh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo sau đại học trường Đại học Vinh và Phòng QLKH&SĐH trường Đại học Đồng Tháp đã động viên và giúp đở tác giả trong quá trình học tập cũng như quá trình hoàn thành luận văn. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Trường Đại học Đồng Tháp đã giúp đở, tạo điều kiện thuận lợi cho mỗi học viên chúng tôi trong học tập và nghiên cứu của chương trình đào tạo sau đại học. Xin cảm ơn BGH trường THPT Thanh Bình 1, gia đình, bạn hữu đã cộng tác, giúp đở và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Mặc dù có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót. Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp chân thành của quý Thầy Cô và đồng nghiệp. Nghệ An, tháng 10 năm 2012 Tác giả CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong suốt luận văn, vành được hiểu là vành có đơn vị ký hiệu 1, môđun là môđun phải unita. 7 1.1. Môđun Noether, môđun Artin 1.1.1. Định nghĩa. Cho môđun M=M R và A i ⊆ M ( 0 i≠ ∈ ¥ ) . 1 2 1 2 ( ) . . ( ) . . n n a A A A b A A A ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ⊃ ⊃ ⊃ ⊃ (a) được gọi là dãy tăng dừng nếu : ( 0) k k t k A A t + ∃ = ∀ ≥ . (b) được gọi là dãy giảm dừng nếu : ( 0) k k t k A A t + ∃ = ∀ ≥ . 1.1.2. Môđun đối sinh hữu hạn. 1.1.2.1. Định nghĩa. Môđun M được gọi là đối sinh hữu hạn (hay hữu hạn đối sinh) nếu với mọi họ các môđun con i A của M ( i I∈ ) mà 0 thì i I A =I tồn tại tập con hữu hạn I ο của I để 0 i I A ο =I . 1.1.2.2. Ví dụ. i) Không gian vectơ hữu hạn chiều V (trên trường K) thì V là K-môđun và V là đối sinh hữu hạn. ii) ¢ môđun ¢ thì ¢ không đối sinh hữu hạn. Thật vậy, ta lấy { } p P p ∈ ¢ ( P là tập các số nguyên tố) là các môđun con của ¢ . Ta có 0 p P p ∈ =I ¢ nhưng với mọi tập hữu hạn bất kỳ các số nguyên tố n p .,p,p,p 321 có p P p ∈ I ¢ ∋ 0 321 ≠ n p .p.p.p 1.1.3. Môđun con tối đại. Định nghĩa. Môđun con A của M được gọi là tối đại nếu A ≠ M và nó không chứa trong một môđun con thực sự nào của M. 1.1.4. Môđun hữu hạn sinh. Định nghĩa. Giả sử X là tập con của R-môđun M. Môđun con A bé nhất chứa X được gọi là môđun con sinh bời tập X và X gọi là tập sinh hay hệ sinh của A. Trong trường hợp A=M thì X là hệ sinh của M và M được sinh bởi X. Nếu M có một hệ sinh hữu hạn ta nói M là R- môđun hữu hạn sinh. 1.1.5.Mệnh đề. Mỗi môđun hữu hạn sinh khác 0 đều chứa môđun con tối đại. 8 1.1.6. Môđun Noether, môđun Artin. 1.1.6.1. Định lí. Cho M là một R M môđun. Khi đó các khẳng định sau đây là tương đương: (i) Mọi tập hợp không rỗng những môđun con của M đều có một phần tử cực đại. (ii) Mọi dãy tăng những môđun con của M: 1 2 . . n M M M⊂ ⊂ ⊂ ⊂ đều dừng. (iii) Mọi môđun con của M đều là hưu hạn sinh. Chứng minh. (i) => (ii): lấy tùy ý một dãy tăng các R-môđun con của môđun M 1 2 . . n M M M⊂ ⊂ ⊂ ⊂ Gọi F là tập tất cả các phần tử của dãy này. Bởi (i), tập này có phần tử cực đại m M với m nào đó. Khi đó ta có k m M M= với mọi k m≥ . (ii) => (iii). Giả sử trái lại, tồn tại một môđun con N của M không hữu hạn sinh. Khi đó trong N tồn tại một dãy vô hạn các phần tử 1 2 , , . , . n x x x sao cho nếu đặt 1 m m i i M Ax = = ∑ thì 1 1. j j M M j + ⊆ ∀ ≥ Ta nhận được một dãy tăng vô hạn mà không dừng 1 2 . n M M M⊂ ⊂ ⊂ ⊂ các môđun con của M, mâu thuẩn với (ii). (iii) => (i). Giả sử S là một tập khác rỗng các môđun con của M. Vì S là một tập khác rỗng nên ta chon được một môđun con i M S∈ . Khi đó nếu i M không phải là phần tử cực đại trong S thì sẽ tồn tại M 2 thực sự chứa M 1 . Lặp lại lập luận đó ta suy ra nếu trong S không có phần tử cực đại, thì sẽ tồn tại một dãy tăng vô hạn 1 2 . n M M M⊂ ⊂ ⊂ ⊂ không dừng các môđun của M, nên N là một môdun hữu hạn sinh. Giả sử { } 1 , m x x là một hệ sinh của N. Vì dãy các môđun nhận được là một dãy tăng nên tồn tại k để 1 , ., m k x x M∈ khi đó 1 m i k i N Ax M = = ⊆ ∑ do vậy M k = N, và như thế dãy trên bị dừng bắt đầu từ vị trí thứ k (mâu thuẫn). 9 1.1.6.2. Định nghĩa. Môđun R M được gọi là môđun Noether nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện tương đương sau i) Mọi dãy tăng các môđun con của M đều dừng. ii) Mọi môđun con của M là hữu hạn sinh. iii) Mọi tập khác rỗng các môđun con của M đều có phần tử cực đại. 1.1.6.3. Định lí. Cho M là một R M môđun. Khi đó các khẳng định sau đây là tương đương: (i) Mọi tập hợp khác rỗng những môđun con của M đều có một phần tử cực tiểu. (ii) Mọi dãy giảm những môđun con của M: 1 2 . . n M M M⊃ ⊃ ⊃ ⊃ đều dừng. Chứng minh. (i) => (ii): Giả sử 1 2 . . n M M M⊃ ⊃ ⊃ ⊃ là một dãy các R- môđun con của môđun M. Theo điều kiện (i), tập { } \ 1 i M i ≥ có một phần tử cực tiểu, chẳng hạn t M khi đó k t M M k t= ∀ ≥ . (ii) => (i). Giả sử S là một tập khác rỗng các môđun con của M. Vì S là một tập khác rỗng nên ta chọn được một môđun con i M S∈ . Khi đó nếu i M không phải là phần tử cực tiểu trong S thì sẽ tồn tại M 2 thực sự chứa trong M 1 . Như vậy nếu trong S không có phần tử cực tiểu, thì sẽ tồn tại một dãy giảm vô hạn 1 2 . . n M M M⊃ ⊃ ⊃ ⊃ không dừng các môđun của M, mâu thuẫn với (ii). 1.1.6.4. Định nghĩa. Môđun R M được gọi là môđun Artin nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện tương đương sau i) Mọi dãy giảm các môđun con của M đều dừng. ii) Mọi tập khác rỗng các môđun con của M đều có phần tử cực tiểu. 1.1.7.1. Định lí. Cho môđun phải R M và A là môđun con của M . Khi đó các phát biểu sau đây là tương đương: i) M là Artin. 10 ii) A và /M A là Artin. Chứng minh. (i) => (ii) Vì mỗi tập con khác rỗng các môđun con của A cũng là tập con của môđun M. Do M là Artin nên có phần tử cực tiểu. Vì vậy A là môđun Artin. Xét toàn cấu chính tắc : /v M M A→ . Vì mỗi dãy giảm trong M/A đều là ảnh của một dãy giảm trong M qua toàn cấu chính tắc v, do M là Artin nên mọi dãy giảm đều bị dừng suy ra M/A là Artin. (ii) => (i) Giả sử A và M/A đều là Artin và cho 1 2 . . n M M M⊃ ⊃ ⊃ ⊃ là một dãy giảm trong M. Khi đó ta nhận được 2 dãy giảm 1 2 . . n M A M A M A∩ ⊃ ∩ ⊃ ⊃ ∩ ⊃ và 1 2 / / . / . n M A A M A A M A A+ ⊃ + ⊃ ⊃ + ⊃ là các môđun con tương ứng của A và M/A. Từ giả thiết A và M/A là Artin, ta suy ra tồn tại một số tự nhiên t để 1 1 à k k k k M A M A v M A M A k t + + ∩ = ∩ + = + ∀ ≥ khi đó ta được: ( ) ( ) 1 1 1 1 1 k k k k k k k k k k M M A M M A M M M A M M A M k t + + + + + = + ∩ = + ∩ = + ∩ = + ∩ = ∀ ≥ Vậy M là Artin. 1.1.7.2. Định lí. Cho môđun phải R M và A là môđun con của M. Khi đó các phát biểu sau đây là tương đương: i) M là Noether. ii) A và M/A là Noether. . Chương 2: Vành tự đồng cấu của một số lớp môđun …………………… 20 2.1. Vành tự đồng cấu của môđun Noether, môđun Artin………………… 20 2.2. Vành tự đồng cấu địa phương………………………………………… 26. tìm hiểu tự đồng cấu của môđun Noether, tự đồng cấu của môđun Artin, vành tự đồng cấu không phân tích được, vành tự đồng cấu địa phương,… Mục đích của luận