Biểu diễn nửa nhóm của một số lớp nhóm hữu hạn

B GIO DC V O TO Trờng đại học vinh trịnh thị hà biểu diễn nửa nhóm của một số lớp nhóm hữu hạn Tóm tắt luận văn thạc sĩ toán học Vinh, 2010 1 B GIO DC V O TO Trờng đại học vinh trịnh thị hà biểu diễn nửa nhóm của một số lớp nhóm hữu hạn Tóm tắt luận văn thạc sĩ toán học Chuyên ngành: Đại Số v Lý thuyết số Mã số: 60.46.05 Ngời hớng dẫn khoa học PGS.TS. Lê Quốc Hán Vinh, 2010 2 Lun vn c hon thnh ti trng i hc Vinh Ngời hớng dẫn khoa học: PGS.TS. Lê Quốc Hán Phản biện 1: PGS.TS. Ngô Sỹ Tùng Phản biện 2: PGS.TS. Nguyễn Thành Quang Lun vn c bo v ti Hi ng chm lun vn thc s trng i hc Vinh vo thỏng 12 nm 2010 Cú th tỡm hiu Lun vn ti Th vin trng i hc Vinh. 3 MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU 1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Nửa nhóm tự do. Vị nhóm tự do 3 1.2 Nhóm tuyến tính đặc biệt trên trường hữu hạn 12 Chương 2. Biểu diễn nửa nhóm của một số lớp nhóm hữu hạn 19 2.1 Biểu diễn nửa nhóm. Biểu diễn vị nhóm 19 2.2 Số khuyết của các biểu diễn nửa nhóm 24 2.3 Biểu diễn của nhóm tuyến tính đặc biệt SL(n;p) và nhóm nhị diện D 2n 27 KẾT LUẬN 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO 32 MỞ ĐẦU 4 Một biểu diễn nửa nhóm là một tập hợp được sắp thứ tự |A R , trong đó A là một bảng chữ cái và R là một quan hệ trên A + - nửa nhóm tự do trên A. Một nửa nhóm S gọi là xác định được bởi biểu diễn nửa nhóm |A R hay |A R là biểu diễn nửa nhóm của S nếu /S A ρ + ≅ , trong đó ρ là tương đẳng trên A + được sinh bởi quan hệ R, ký hiệu S = |A R . Giả sử G là một nhóm, khi đó G trước hết phải là một nửa nhóm nên ta có thể xét các biểu diễn nửa nhóm |A R của G. Nếu G là nhóm hữu hạn, ta có thể chọn A và R hữu hạn và khi đó biểu diễn |G A R = của G là biểu diễn hữu hạn. Nhờ tính chất đặc biệt của G (G là nhóm và G hữu hạn), có thể tìm được các biểu diễn của G một cách tường minh. Mục đích của luận văn là dựa trên bài báo "The semigroup eficiency of groups and monoids " của H.Ayik, C.M.Campbell và các cộng sự đăng trên tạp chí Math. Proceedings of Royal Irishn Academy năm 2000 để trình bày chi tiết biểu diễn một số lớp nhóm hữu hạn đặc biệt đó là lớp nhóm ( , )SL n p (Nhóm nhân các ma trận vuông cấp n có định thức bằng một với phần tử trên trường hữu hạn p F gồm p phần tử) và nhóm thương ( , ) ( , ) /PSL n p SL n p Z = (trong đó Z là tâm của ( , )SL n p . Ngoài ra, chúng tôi còn xét biểu diễn của nhóm nhị diện D 2n . Luận văn gồm hai chương : Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này chúng tôi hệ thống lại các kiến thức liên quan đến nửa nhóm tự do, vị nhóm tự do và nhóm tuyến tính đặc biệt trên trường hữu hạn để làm cơ sở cho việc trình bày chương sau . Chương 2. Biểu diễn nửa nhóm của một số nhóm hữu hạn. Trong chương này, trước hết chúng tôi trình bày biểu diễn nửa nhóm và biểu diễn vị nhóm bởi các cấu trúc tự do tương ứng. Từ đó xét các biểu diễn nửa nhóm của một số lớp nhóm cụ thể như nhóm tuyến tính đặc biệt trên trường hữu hạn (Định lý 2.3.2, Định lý 2.3.3) 5 và nhóm tuyến tính đặc biệt xạ ảnh (Định lý 2.3.1), nhóm nhị diện D 2n (Mệnh đề 2.3.5, Định lý 2.3.6). Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh. Nhân dịp này tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Quốc Hán, người đã đặt vấn đề và trực tiếp hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn. Cuối cùng xin Trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán, Khoa Sau Đại học, các thầy, cô giáo trong khoa và tổ Đại số đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. Mặc dù đã rất cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp từ các thầy, cô giáo và các bạn học viên. Vinh, tháng 10 năm 2010 Tác giả CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản của Lý thuyết nửa nhóm và vị nhóm có sử dụng trong luận văn. 1.1. Nửa nhóm tự do. Vị nhóm tự do 6 1.1.1. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm. Một tập con X của S được gọi là sinh ra S một cách tự do nếu S = S X và mỗi ánh xạ α 0 : X → P (trong đó P là nửa nhóm bất kỳ) có thể mở rộng thành một đồng cấu α : S → P sao cho α X = α 0 . Khi đó ta nói rằng α là một mở rộng đồng cấu của ánh xạ α 0 . Nếu S được sinh ra tự do bởi một tập nào đó thì S được gọi là nửa nhóm tự do. 1.1.2. Ví dụ. 1. ( N * , +) là nửa nhóm tự do với x = {1} là tập sinh tự do của nó. Nếu α 0 : X → P là một ánh xạ, thì ta định nghĩa α : N * → P bởi α(n) = α 0 (1) n . Khi đó α X = α 0 và α là đồng cấu, vì : α(m+n) = α 0 (1) m+n = α 0 (1) m . α 0 (1) n = α(m). α(n). 2. (N * , . ) không phải là nửa nhóm tự do. Thật vậy; Giả xử X ⊆ N * , chọn P = (N * , +) và giả sử α 0 (n) = n ,∀n∈ X. Nếu α : (N * , .) → P là một đồng cấu thì α 0 (n) = α 0 (1.n) = α(1)+ α(n) và do đó α(1) = 0 ∉ P. Như vậy α không phải là mở rộng của α 0 . 1.1.3. Đinh lý. Nếu S được sinh ra tự do bởi X và α 0 : X → P là một ánh xạ, thì α 0 có một mở rộng đồng cấu duy nhất α : S → P. Chứng minh. Theo định nghĩa, mỗi α 0 có một mở rộng. Giả sử α : S → P và β : S → P là các mở rộng đồng cấu của α 0 . Khi đó với mọi x ∈ S, x = x 1 x 2 . x n với các phần tử x i ∈ X nào đó, vì X sinh ra S. Thế thì α(x) = α(x 1 ) α(x 2 ) . α(x n ) = α 0 (x 1 )α 0 (x 2 ) .α 0 (x n ) = β(x 1 ) β(x 2 ) . β(x n ) = β(x 1 x 2 .x n ) = β(x) và do đó α = β.  1.1.4. Định lý. Một nửa nhóm tự do nếu và chỉ nếu nó đẳng cấu với nửa nhóm các từ A + với một bảng chữ cái A + nào đó. Chứng minh. Giả sử S được sinh tự do bởi tập con X ⊆ S và A là một bảng chữ cái với |A| = |X| . Khi đó tồn tại song ánh ψ 0 : A → X . Vì A sinh ra A + một cách tự do nên tồn tại một mở rộng toàn cấu ψ : A + → S .Vì 1 0 − ψ : X → A cũng là song ánh và S được sinh tự do bởi X nên 1 0 − ψ có một mở rộng toàn cấu β : S → A + . Cái hợp thành βψ : A + → A + là một toàn cấu thỏa mãn điều kiện: βψ A = βψ 0 = (β/X)ψ 0 = 1 0 − ψ ψ 0 = i A . 7 Vì i A : A → A được mở rộng một cách duy nhất tới đẳng cấu đồng nhất i A+ : A + → A + nên βψ = i A+ . Vì βψ = i A+ là song ánh nên ψ đơn ánh và do đó ψ là song ánh. Từ đó ψ là một đẳng cấu. Mặt khác, giả sử rằng tồn tại một đẳng cấu ψ : A + → S. Khi đó S = ( ) S A ψ và ψ có một ánh xạ ngược ψ -1 : S → A + cũng là đẳng cấu. Xác định ánh xạ ψ 0 = ψ| A và X = ψ(A). Giả xử P là một nửa nhóm tuỳ ý và α 0 : X → P là một ánh xạ bất kỳ. Thế thì ánh xạ α 0 ψ 0 : A → P mở rộng một cách duy nhất thành đồng cấu γ : A + → P. Xét ánh xạ β = γψ -1 : S → P. Đó là một đồng cấu vì ψ -1 và γ là những đồng cấu. Hơn nữa, với mỗi x ∈X, β(x) = γ(ψ -1 (x)) = α 0 ψ 0 1 0 − ψ (x) = α 0 (x) và do đó β| X = α 0 , nghĩa là β là một mở rộng đồng cấu của α 0 . Theo định nghĩa, S được sinh tự do bởi X. 1.1.5. Hệ quả. i) Nếu S được sinh tự do bởi một tập con X thì S ≅ A + với  A  =  X  ii) Nếu S và R là các nửa nhóm được sinh tự do tương ứng bởi X và Y sao cho  X  =  Y  thì S ≅ R. 1.1.6. Hệ quả. Mỗi nửa nhóm tự do có luật giản ước. Chứng minh. Suy ra từ luật giản ước có trong A + . Bây giờ ta chuyển sang chứng minh tiêu chuẩn Lévi-Dubreil - Jacotin về nửa nhóm tự do dựa trên sự nhân tử hoá các phần tử của nó. Giả sử X ⊆ S. Ta nói rằng x = x 1 x 2 x n là một sự phân tích thành nhân tử phần tử x trên X nếu mỗi x i ∈ X, i = 1,2, .n. Nếu X sinh ra S thì mỗi phần tử x ∈ S có một nhân tử hoá trên X. Nói chung sự phân tích đó không duy nhất, nghĩa là có thể xảy ra x 1 x 2 x n = y 1 y 2 .y n với x i ∈ X, y j ∈ X và x k ≠ y k nào đó. 1.1.7. Định lý. Một nửa nhóm S được sinh tự do bởi X nếu và chỉ nếu mỗi phần tử x thuộc S có sự nhân tử hóa duy nhất trên X. Chứng minh. Trước hết ta nhận xét rằng khẳng định của Định lý 1.1.7 được thoả mãn với nửa nhóm A + . 8 Giả sử A là một bảng chữ cái sao cho A = X  và α 0 : X → A là một song ánh. Giả thiết rằng X sinh ra S. Giả sử x = x 1 x 2 . x n = y 1 y 2 . y m là hai sự nhân tử hoá x trên X và α là mở rộng đồng cấu của α 0 thì α(x) = α 0 (x 1 )α 0 (x 2 ) . α 0 (x n ) = α 0 (y 1 )α 0 (y 2 ) . α 0 (y m ) là hai sự nhân tử hoá của α(x) trên A. Vì A + thoả mãn khẳng định của định lý, nên ta phải có α 0 (x i ) = α 0 (y i ) với ∀i = 1,2 ., n. (và m = n). Vì α 0 là song ánh nên x i = y i , với i = 1,2, .,n. Và như vậy S thoả mãn khẳng định của Định lý 1.1.7. Giả sử S thoả mãn điều kiện duy nhất ký hiệu β 0 = α 0 -1 và giả sử β: A + → S là mở rộng đồng cấu của β 0 . Khi đó β là toàn ánh (vì X sinh ra S) và là đơn ánh (vì nếu β(u) = β(v) với u, v ∈ A + , u ≠ v nào đó thì β(u) có hai cách nhân tử hoá khác nhau trên X: trái giả thiết). Vậy β là một song ánh và do đó là một đẳng cấu.  1.1.8. Định nghĩa. Đối với mỗi nửa nhóm S, tập con B(S) = S\S 2 = {x ∈S ∀ y,z ∈ S: x ≠ yz} được gọi là cơ sở của S. Từ định nghĩa suy ra rằng một phần tử x ∈ S nằm trong B(S) nếu và chỉ nếu x không biểu diễn được thành tích của hai phần tử tuỳ ý thuộc S. Kết quả sau đây thuộc về Lévi - Dubreil - Jacotin. 1.1.9. Định lý. Một nửa nhóm S tự do nếu và chỉ nếu B(S) sinh ra S một cách tự do. Chứng minh. Đặt X = B(S). Nếu X sinh ra S một cách tự do thì S là nửa nhóm tự do theo Định nghĩa 1.1. Giả sử S là nửa nhóm tự do. Ta chứng minh X sinh ra S một cách tự do. Trước hết, ta chú ý rằng X là tập con của S không có ước nào thuộc S, thế thì X ≠ φ và X sinh ra S. Thật vậy, giả sử a = bc trong đó b,c ∈ X hoặc a = xyz . hoặc quá trình đó sẽ kết thúc và ta thu được biểu diễn của a dưới dạng tích các phần tử thuộc X hoặc với mọi số n lớn tuỳ ý sẽ tồn tại các phần tử a 1, a 2 . a n ∈ S sao cho a = a 1 a 2 . a n . Nếu a = a 1 a 2 a n thì a 1 ,a 1 a 2 , a 1 a 2 a 3; .; a 1 a 2 . a n-1 là các ước bên trái của a, chúng đều khác nhau vì trong nửa nhóm tự do có luật giản ước và không có luỹ đẳng. Vì n có thể lớn tuỳ ý nên mâu thuẫn với Định lý 1.1.4 và định nghĩa nửa nhóm các từ. Vậy X sinh ra S. 9 Giả sử x 1 x 2 . x n = y 1 y 2 y m trong đó x i , y j ∈ X. Đặt x 2 . x n = x và y 2 . y m = y thì x 1 x = y 1 y nên hoặc x 1 = y 1 hoặc x 1 , y 1 có ước. Khả năng thứ hai không xảy ra do định nghĩa của X. Bây giờ tương tự thu được x 2 = y 2 và tiếp tục quá trình đó không quá max{n, m} bước, ta có n = m và x i = y i với i = 1,2, .n. Như vậy mỗi phần tử thuộc S biểu diễn được một cách duy nhất dưới dạng tích các phần tử thuộc X. Do đó S được sinh tự do bởi X.  1.1.10. Ví dụ. 1. Giả sử A = {a,b,c} là một bảng chữ cái. Các từ ab, bab, ba sinh ra một nửa nhóm con của nửa nhóm các từ A + . Nửa nhóm S = A ab, ba, bab + không tự do, vì phần tử w = babab có hai cách nhân tử hoá khác nhau trong S: w = ba.bab = bab.ab. 2. Giả sử A = {a,b,c} và T = A ab, ba, bab + . Khi đó T là nửa nhóm con tự do của A + . Thật vậy, nếu tồn tại hai cách nhân tử hoá w = u 1 u 2 . u n = v 1 v 2 . v m của một từ w thuộc T, thì hoặc u 1 = v 1 (và do tính giản ước sẽ có một từ ngắn hơn với hai cách nhân tử hoá khác nhau: u 2 u 3 u n = v 2 v 3 . v m ) hoặc u 1 = aa và v = abb (hoặc do đối xứng, u 1 = aab và v 1 = aa). Nhưng, trong trường hợp này không thể tìm được u 2 , bởi u 2 nếu có phải bắt đầu bằng chữ cái b. 1.1.11. Định nghĩa. Vị nhóm M gọi là một vị nhóm tự do được sinh tự do bởi một tập con X với 1 ∉ X nếu X ∪ {1} là một tập sinh của M và mỗi ánh xạ α 0 : X → P (trong đó P là một vị nhóm) mở rộng được thành một đồng cấu vị nhóm duy nhất α : M → P, nghĩa là α  X = α 0 và α(1 M ) = 1 P . 1.1.12. Định lý. Nếu S là một nửa nhóm tự do thì S 1 là vị nhóm tự do và ngược lại. 1.1.13. Hệ quả. Vị nhóm các từ A * là một vị nhóm tự do với mọi bảng chữ cái A. 1.1.14. Định lý. Một vị nhóm M là vị nhóm tự do nếu và chỉ nếu M \{1} là nửa nhóm tự do. Chứng minh. Đối với điều kiện ngược lại, tập con M\{1} là nửa nhóm con của M. Điều đó được thỏa mãn, vì nếu không 1 M sẽ có hai cách 10