Biểu diễn tự đẳng cấu và phân tích phổ của biểu diễn chính quy của một số lớp nhóm Lie Reductive thực thấp chiều

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐỖ THỊ PHƯƠNG QUỲNH BIỂU DIỄN TỰ ĐẲNG CẤU VÀ PHÂN TÍCH PHỔ CỦA BIỂU DIỄN CHÍNH QUY CỦA MỘT SỐ LỚP NHĨM LIE REDUCTIVE THỰC THẤP CHIỀU Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số : 62 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH ĐỖ NGỌC DIỆP 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, hướng dẫn GS TSKH Đỗ Ngọc Diệp, luận án tiến sĩ chun ngành tốn giải tích với tên đề tài "Biểu diễn tự đẳng cấu phân tích phổ biểu diễn quy số lớp nhóm Lie reductive thực thấp chiều" cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các kết nghiên cứu trình bày luận án trung thực, khách quan chưa để bảo vệ học vị Tôi xin cam đoan thông tin trích dẫn luận án rõ nguồn gốc tuân thủ quy tắc Tác giả Đỗ Thị Phương Quỳnh i LỜI CẢM ƠN Trong trình thực đề tài “Biểu diễn tự đẳng cấu phân tích phổ biểu diễn quy số lớp nhóm Lie reductive thực thấp chiều” Tôi nhận nhiều giúp đỡ, tạo điều kiện tập thể lãnh đạo, nhà khoa học, cán bộ, chuyên viên Khoa Sau Đại học, Khoa Tốn, giảng viên, cán phịng, ban chức Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành giúp đỡ Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới GS TSKH Đỗ Ngọc Diệp người thầy trực tiếp hướng dẫn bảo tận tình cho tơi hồn thành luận án Tơi xin chân thành cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp tơi gia đình động viên, khích lệ, tạo điều kiện giúp đỡ tơi suốt q trình thực hồn thành luận án Thái Nguyên, ngày 01 tháng 02 năm 2017 Nghiên cứu sinh Đỗ Thị Phương Quỳnh ii Mục lục Trang bìa phụ i Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt v Mở đầu Chương Từ công thức Poisson cổ điển đến công thức vết Arthur-Selberg 1.1 Công thức tổng Poisson cổ điển 1.2 Nhóm nhân số phức biến đổi Fourier-Laplace 11 1.3 Công thức vết Arthur-Selberg 12 1.3.1 Công thức vết 12 1.3.2 Công thức vết ổn định 14 Chương Nhóm hạng 15 2.1 Nhóm nội soi SL(2, R) 16 2.2 Biểu diễn tự đẳng cấu 2.2.1 Tương ứng Langlands hình học 18 20 2.2.2 Lượng tử hóa hình học 21 2.3 Công thức vết Arthur-Selberg 24 2.3.1 Công thức vết 2.3.2 Công thức vết ổn định 24 28 2.4 Nội soi 28 iii 2.5 Công thức tổng Poisson 2.5.1 Vế hình học công thức vết 32 32 2.5.2 Vế phổ công thức vết 2.5.3 Công thức tổng Poisson 33 33 Chương Nhóm hạng 35 3.1 Công thức tổng Poisson nội soi cho SL(3, R) 35 3.1.1 Biểu diễn unita bất khả quy 3.1.2 Cảm sinh chỉnh hình 35 40 3.1.3 Dãy phổ Hochschild-Serre 3.1.4 Nội soi 41 42 3.1.5 Tích phân quỹ đạo ổn định 3.1.6 Công thức tổng Poisson 47 49 3.2 Công thức tổng Poisson nội soi cho SU(2, 1) 3.2.1 Biểu diễn unita 49 49 3.2.2 Cảm sinh chỉnh hình 3.2.3 Dãy phổ Hochschild-Serre 52 54 3.2.4 Trường hợp chỉnh hình khơng chỉnh hình 3.2.5 Công thức vết 54 55 3.2.6 Nội soi tổng Poisson 56 3.3 Công thức tổng Poisson nội soi cho Sp(4, R) 63 3.3.1 Biểu diễn cảm sinh chỉnh hình 3.3.2 Cảm sinh đối đồng điều 67 69 3.3.3 Dãy phổ Hochschild-Serre 3.3.4 Nội soi 72 73 3.3.5 Công thức tổng Poisson 76 Kết luận kiến nghị 80 Danh mục công trình cơng bố tác giả 81 Tài liệu tham khảo 82 iv Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt C N Tập số phức Tập số tự nhiên R Tập số thực Z R∗+ Tập số nguyên Tập số thực dương C∗ tập số phức khác khơng Tích nửa trực tiếp phải Tích nửa trực tiếp trái Tổng trực tiếp ⊕ ∼ = K\G/K Đẳng cấu G chia thương trái phải cho K diag(λ1 , λ2 , , λn ) L2 Ma trận đường chéo Khơng gian hàm bình phương khả tích o L2 Phần rời rạc khơng gian hàm L2cont bình phương khả tích Phần liên tục khơng gian hàm tr A bình phương khả tích Vết ma trận A det A Dk Định thức ma trận A Biểu diễn chuỗi rời rạc π1 ( Θ⊥ ) Nhóm khơng gian tơpơ Phần bù trực giao Θ L2 (G) H(SL(2, R)) Đại số Hecke SL(2, R) gồm hàm lớp C0∞ K- bất biến phía ||f | | ˆ G Chuẩn hàm f S1 C0∞ (R) Đường trịn đơn vị Lớp hàm trơn có giá compact Nhóm đối ngẫu G, gồm lớp tương đương biểu diễn unita bất khả quy G v ⊕ R IndG Bχ Tích phân trực tiếp biểu diễn Biểu diễn cảm sinh từ B lên G {Γ} V ol Tập phần tử đại diện lớp liên hợp Thể tích O(f ) Gal(C/R) Tích phân quỹ đạo hàm f Nhóm Galois mở rộng C/R G Phủ phổ dụng nhóm G Sk (Γ) Không gian dạng modular trọng k nhóm rời rạc Γ vi Mở đầu Lý chọn đề tài Giải tích điều hịa ngành toán nghiên cứu biểu diễn hàm hay phân tích, tổng hợp sóng nghiên cứu tổng quát khái niệm lý thuyết chuỗi Fourier biến đổi Fourier Trong kỷ qua, giải tích điều hịa trở thành lĩnh vực lớn với ứng dụng nhiều lĩnh vực đa dạng xử lý tín hiệu, học lượng tử, phân tích thủy triều thần kinh học Biến đổi Fourier cổ điển Rn lĩnh vực nhiều nhà nghiên cứu "khai thác" đặc biệt vấn đề có liên quan đến biến đổi Fourier đối tượng tổng quát hàm suy rộng điều hịa Giải tích điều hịa trừu tượng (xem [18]) bao gồm lý thuyết biểu diễn (xem [14], [25]), sử dụng sở thay vai trò hàm mũ phân tích Fourier cổ điển Nói cách khác giải tích điều hịa trừu tượng mở rộng phân tích Fourier cổ điển lên nhóm G tùy ý Trong vấn đề này, có khác biệt lớn trường hợp nhóm Aben nhóm khơng Aben Phân tích Fourier nhóm Aben G xác định số hạng đặc trưng nhóm tương ứng Tuy nhiên đặc trưng bội khơng phù hợp để mở rộng phân tích Fourier nhóm khơng Aben Do trường hợp biểu diễn nhóm (xem [24]) cho câu trả lời phù hợp (chú ý nhóm Aben biểu diễn bất khả quy chiều) Trong giải tích điều hịa cổ điển R, cơng thức Poisson cho hàm suy rộng là: +∞ +∞ e−inx , δ(x − n) = 2π n=−∞ n=−∞ δ hàm Dirac Cơng thức đóng vai trị quan trọng với hàm f ∈ C0∞ (R) viết dạng +∞ +∞ fˆ(m), f (m) = 2π m=−∞ m=−∞ fˆ(m) = 2π π f (x)e−imx dx −π biến đổi Fourier f Vế trái công thức xem phân tích biểu diễn quy thành tổng thành phần bất khả quy vế phải xem tổng giá trị biến đổi Fourier Chính cơng thức cho phân tích khơng gian hàm bình phương khả tích sau: ⊕ L (R/πZ) = Cn , n∈Z với Cn = C Mặt khác, công thức dễ dàng phát triển ngơn ngữ nhóm cho nhóm sau: R, R∗+ , C∗ Nếu ta xét G = S1 nhóm Lie compact giao hốn, lý thuyết chuỗi Fourier cho câu trả lời thỏa đáng cho nhiều vấn đề giải tích Fourier biến đổi Fourier biến đổi Fourier ngược, công thức Plancherel Nếu có hàm R lấy trung bình điểm nguyên để chuyển đến hàm S1 Công thức tổng Poisson cho ta mối quan hệ tổng điểm nguyên giá trị hàm R với giá compact tổng ảnh Fourier tương ứng Cơng thức cơng cụ quan trọng cho giải tích phổ khơng gian hàm bình phương khả tích đường trịn đơn vị L2C (S1 ; 2π dθ) Chính xác hơn, khơng gian L2 (S1 ; C) phân tích thành tổng trực tiếp trực giao rời rạc vô hạn lần C : ⊕ C1n ; C1n ∼ = C L (R/2πZ) = n∈Z Cịn trường hợp G nhóm cộng R có kết tương tự lý thuyết biến đổi Fourier Nhóm nhân R∗+ vi phơi với R tích phân Fourier tương ứng gọi biến đổi Mellin Công thức nghịch đảo Mellin cơng thức Plancherel có dạng phân tích khơng gian L2 (R∗+ ; dx x ) thành tích phân trực tiếp C1λ dλ, C1λ ∼ = C L2 (R∗+ ) = R Nhóm nhân C∗ số phức khác khơng đồng phơi với tích trực tiếp nhóm compact S1 nhóm khơng compact R∗+ dr có phân tích phổ L2 (C∗ ; dθ), theo I.M Gelfand, thành tổng trực 2π r tiếp rời rạc tích phân trực tiếp liên tục ⊕ ∗ L (C /2πZ × {1}) = ⊕ C1λ Cn ⊕ n∈Z R Bài toán đặt nghiên cứu để tìm cơng thức tổng Poisson tương tự cơng thức Poisson nói khn khổ giải tích điều hịa trừu tượng nhóm nửa đơn reductive Cơng thức Poisson trừu tượng tổng quát chưa tồn nên tiếp cận đến tốn lớp nhóm Lie có hạng nhóm SL(2, R) phủ phổ dụng SU(1, 1) cần nghiên cứu trường hợp SL(2, R) đủ Các nhóm hạng SL(3, R), SU(2, 1) Sp(4, R), trường hợp chúng tơi tính tốn tích phân quỹ đạo cụ thể Khi nhóm G nhóm tuyến tính đặc biệt SL(2, R), tác động nửa mặt phẳng Poincaré H = SL(2, R)/ SO(2, R) biến đổi phân tuyến tính, chọn nhóm Fuchsian kiểu I, Γ ⊆ SL(2, Z) cho thể tích hữu hạn V ol(Γ\G) < +∞ tương ứng với độ đo Haar tự nhiên SL(2, R) Khi nhóm tuyến tính đặc biệt tồn nhất, xác đến liên hợp, nhóm Cartan H [27] xuyến T (C) = GL1 (C) = C ∗ Mặt khác L2 (Γ\ SL(2, R)) phân tích phổ thành tổng trực giao hai phần phần liên tục L2cont (Γ\ SL(2, R)) phần rời rạc o L2 (Γ\ SL(2, R)) Phần rời rạc phân tích thành tổng trực tiếp trực giao biểu diễn tự đẳng cấu, tức biểu diễn thu từ biểu diễn chuỗi rời rạc G, sau tính vết cho biểu diễn chuỗi rời rạc ta nhận vế giải tích (hay vế phổ) cơng thức tổng ... giải tích với tên đề tài "Biểu diễn tự đẳng cấu phân tích phổ biểu diễn quy số lớp nhóm Lie reductive thực thấp chiều" cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các kết nghiên cứu trình bày luận án trung thực, ... nguồn gốc tuân thủ quy tắc Tác giả Đỗ Thị Phương Quỳnh i LỜI CẢM ƠN Trong trình thực đề tài ? ?Biểu diễn tự đẳng cấu phân tích phổ biểu diễn quy số lớp nhóm Lie reductive thực thấp chiều? ?? Tơi nhận... luận án thể tường minh biểu diễn tự đẳng cấu thơng qua lượng tử hóa áp dụng chúng vào việc phân tích phổ tốn tử Laplace phần rời rạc biểu diễn quy nhóm reductive thực thấp chiều Từ dùng nội soi