Biểu diễn tự đẳng cấu và phân tích phổ của biểu diễn chính quy của một số nhóm Lie reductive thực thấp chiều. (NCKH)

Biểu diễn tự đẳng cấu và phân tích phổ của biểu diễn chính quy của một số nhóm Lie reductive thực thấp chiều. (NCKH)Biểu diễn tự đẳng cấu và phân tích phổ của biểu diễn chính quy của một số nhóm Lie reductive thực thấp chiều. (NCKH)Biểu diễn tự đẳng cấu và phân tích phổ của biểu diễn chính quy của một số nhóm Lie reductive thực thấp chiều. (NCKH)Biểu diễn tự đẳng cấu và phân tích phổ của biểu diễn chính quy của một số nhóm Lie reductive thực thấp chiều. (NCKH)Biểu diễn tự đẳng cấu và phân tích phổ của biểu diễn chính quy của một số nhóm Lie reductive thực thấp chiều. (NCKH)Biểu diễn tự đẳng cấu và phân tích phổ của biểu diễn chính quy của một số nhóm Lie reductive thực thấp chiều. (NCKH)Biểu diễn tự đẳng cấu và phân tích phổ của biểu diễn chính quy của một số nhóm Lie reductive thực thấp chiều. (NCKH)Biểu diễn tự đẳng cấu và phân tích phổ của biểu diễn chính quy của một số nhóm Lie reductive thực thấp chiều. (NCKH)Biểu diễn tự đẳng cấu và phân tích phổ của biểu diễn chính quy của một số nhóm Lie reductive thực thấp chiều. (NCKH)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC Y DƯỢC BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC BIỂU DIỄN TỰ ĐẲNG CẤU VÀ PHÂN TÍCH PHỔ CỦA BIỂU DIỄN CHÍNH QUY CỦA MỘT SỐ NHĨM LIE REDUCTIVE THỰC THẤP CHIỀU Mã số : ĐH2015 – TN05-03 Chủ nhiệm đề tài: TS Đỗ Thị Phương Quỳnh Thái Nguyên, 2017 i ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC Y DƯỢC BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC BIỂU DIỄN TỰ ĐẲNG CẤU VÀ PHÂN TÍCH PHỔ CỦA BIỂU DIỄN CHÍNH QUY CỦA MỘT SỐ NHÓM LIE REDUCTIVE THỰC THẤP CHIỀU Mã số : ĐH2015 – TN05-03 Chủ nhiệm đề tài: TS Đỗ Thị Phương Quỳnh Tổ chức chủ trì (ký, họ tên, đóng dấu) Chủ nhiệm đề tài (ký, họ tên) ii Mục lục Trang bìa phụ i Mục lục ii Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt v Thông tin kết nghiên cứu vii Mở đầu 1 Từ công thức Poisson cổ điển đến công thức vết Arthur-Selberg 1.1 Công thức tổng Poisson cổ điển 1.2 Nhóm nhân số phức biến đổi Fourier-Laplace 1.3 Công thức vết Arthur-Selberg 1.3.1 Công thức vết 1.3.2 Công thức vết ổn định 10 SL(2, R) 2.1 11 Xây dựng nhóm SL(2, R) đại số Lie 12 2.1.1 Nhóm Lie 12 2.1.2 Đại số Lie 12 2.1.3 Nhóm compact cực đại 13 iii 2.2 2.1.4 Nhóm Borel 13 2.1.5 Phân tích Iwasawa phân tích Cartan 15 Biểu diễn SL(2, R) 17 2.2.1 Tương ứng Langlands hình học 17 2.2.2 Lượng tử hóa hình học 19 2.3 Đặc trưng nhóm 22 2.4 Cơng thức nhóm nội soi 22 2.4.1 Công thức vết tổng quát 22 2.4.2 Tích phân quỹ đạo 26 2.4.3 Cơng thức nhóm nội soi 26 2.4.4 Vế hình học công thức vết 31 2.4.5 Vế phổ công thức vết 32 2.4.6 Công thức tổng Poisson 32 SU(2, 1) 3.1 3.2 3.3 34 Xây dựng nhóm SU(2, 1) đại số Lie 34 3.1.1 Nhóm Lie 34 3.1.2 Đại số Lie 34 3.1.3 Nhóm compact cực đại 35 3.1.4 Nhóm Borel 35 Biểu diễn SU(2, 1) 38 3.2.1 Dãy phổ Hochschild-Serre 39 3.2.2 Trường hợp chỉnh hình khơng chỉnh hình 40 Cơng thức vết nhóm nội soi 40 3.3.1 Công thức tổng quát 40 3.3.2 Tích phân quỹ đạo 42 iv 3.3.3 Cơng thức nhóm nội soi 46 Kết luận kiến nghị 50 Danh mục cơng trình cơng bố tác giả 51 Tài liệu tham khảo 52 v DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT C Tập số phức N Tập số tự nhiên R Tập số thực Z Tập số nguyên R∗+ Tập số thực dương C∗ tập số phức khác khơng Tích nửa trực tiếp phải Tích nửa trực tiếp trái ⊕ Tổng trực tiếp ∼ = Đẳng cấu K\G/K G chia thương trái phải cho K diag(λ1 , λ2 , , λn ) Ma trận đường chéo L2 Khơng gian hàm bình phương khả tích o Phần rời rạc khơng gian hàm L2 bình phương khả tích L2cont Phần liên tục khơng gian hàm bình phương khả tích tr A Vết ma trận A det A Định thức ma trận A vi Dk π1 ( Biểu diễn chuỗi rời rạc ) Nhóm khơng gian tôpô Θ⊥ Phần bù trực giao Θ L2 (G) H(SL(2, R)) Đại số Hecke SL(2, R) gồm hàm lớp C0∞ K- bất biến phía ||f | | Chuẩn hàm f ˆ G Nhóm đối ngẫu G, gồm lớp tương đương biểu diễn unita bất khả quy G S1 Đường tròn đơn vị C0∞ (R) Lớp hàm trơn có giá compact ⊕ R Tích phân trực tiếp biểu diễn IndG Bχ Biểu diễn cảm sinh từ B lên G {Γ} Tập phần tử đại diện lớp liên hợp V ol Thể tích O(f ) Tích phân quỹ đạo hàm f Gal(C/R) Nhóm Galois mở rộng C/R G Phủ phổ dụng nhóm G Sk (Γ) Không gian dạng modular trọng k nhóm rời rạc Γ vii ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Đơn vị: Trường Đại học Y Dược THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Thông tin chung: Tên đề tài: Biểu diễn tự đẳng cấu phân tích phổ biểu diễn quy số nhóm Lie Reductive thực thấp chiều Mã số: ĐH2015 – TN05-03 Chủ nhiệm: TS Đỗ Thị Phương Quỳnh Cơ quan chủ trì: Đại học Y Dược Thái Nguyên Thời gian thực hiện: 2015 - 2017 Mục tiêu: Đề tài nghiên cứu giải tích điều hòa nhóm Lie thực thấp chiều SL(2, R); SU(2, 1) Chúng phân loại biểu diễn nhóm Thơng qua biểu diễn cảm sinh, lượng tử hóa trường, chúng tơi nghiên cứu công thức vết biểu diễn tự đẳng cấu hàm thuộc đại số Hecke, tính cơng thức vết nhóm nội soi tương ứng Dùng cơng thức vết Arthur-Selberg chúng tơi tìm cơng thức tổng Poisson nhóm Lie Tính sáng tạo Xây dựng công thức tổng Poisson nhóm Lie thực thấp chiều cơng cụ giải tích Kết nghiên cứu: • Cơng thức tường minh tích phân quỹ đạo nhóm nội soi nhóm Lie SL(2, R); SU(2, 1) viii • Cơng thức tính vết tường minh biểu diễn chuỗi rời rạc nhóm Lie • Định lý công thức tổng Poisson cho nhóm Lie kể Sản phẩm: 5.1 Sản phẩm khoa học: Do Ngoc Diep, Do Thi Phuong Quynh, " Automorphic representations of SL(2, R) and quantization of fields", American research Journal of Mathematics, Vol - No 2, 2015, p.25- 37 Do Ngoc Diep, Do Thi Phuong Quynh, "Poisson summation and endoscopy for SU(2,1)" , East - West Journal of Mathematics, Vol 17, No 2, 2015, p.101 116 Do Ngoc Diep, Do Thi Phuong Quynh, "Poisson summation and endoscopy for Sp(4, R)" , SEAMS Bull Math Vol 40, p 837 -856, 2016 5.2 Sản phẩm đào tạo: Đào tạo 01 nghiên cứu sinh Tên đề tài: "Biểu diễn tự đẳng cấu phân tích phổ biểu diễn quy số lớp nhóm Lie Reductive thực thấp chiều" Phương thức chuyển giao, địa ứng dụng, tác động lợi ích mang lại kết nghiên cứu: Đề tài thực cụ thể hóa số lĩnh vực Chương trình Langlands cho nhóm thấp chiều tính tốn cụ thể Kết thu đề tài cho nhập mơn dễ hiểu Chương trình Langlands Vì kết mà luận án thu làm tài liệu chuyên khảo cho học viên cao học, nghiên cứu sinh, nhà nghiên cứu chuyên ngành Toán giải tích, Giải tích điều hòa, Lý thuyết nhóm Lie ix Đề tài đưa tính tốn cụ thể tường minh công thức tổng Poisson cho hai nhóm SL(2, R); SU(2, 1) cơng cụ cần thiết cho giải tích điều hòa Đào tạo, bồi dưỡng nhân lực: Đào tạo tiến sỹ Toán học Nâng cao lực nghiên cứu người tham khảo, đặc biệt với chủ nhiệm đề tài Bổ sung 01 tài liệu tham khảo phục vụ cho việc nghiên cứu, giảng dạy học tập học viên nghiên cứu giải tích điều hòa Ngày 14 tháng năm 2017 Tổ chức chủ trì (ký, họ tên, đóng dấu) Chủ nhiệm đề tài (ký, họ tên) 41 không gian biểu diễn tác động biểu diễn cảm sinh IndG B χ hạn chế biểu diễn quy phải R khơng gian cảm sinh biểu diễn cảm sinh R(f )ϕ = f (x−1 y)ϕ(y)dy f (y)ϕ(xy)dg = G G = f (x−1 γy))ϕ(y)dy ( Γ\G γ∈Γ Ta có cơng thức tính vết tương tự nhóm trước sau: Kf (x, x)dx tr R(f ) = Γ\G = f (x−1 γx))ϕ(y)dx ( Γ\G γ∈Γ f (x−1 δ −1 γδx)dx = Γγ \G γ∈{Γ} δ∈Γ \Γ γ f (x−1 γx)dx = γ∈{Γ} Γγ \G f (x−1 u−1 γux)dudx = γ∈{Γ} Gγ \G Γγ \Gγ f (x−1 γx)dx V ol(Γγ \Gγ ) = Gγ \G γ∈{Γ} Vì để tính cơng thức vết ta cần: - Phân loại lớp liên hợp cho γ ∈ Γ: phân loại thành kiểu elliptic, kiểu hyperbolic, kiểu parabolic - Tính tốn thể tích thương lớp ổn định quỹ đạo liên hợp - Tính tốn tích phân quỹ đạo nhóm nội soi tương ứng nhóm SU(2, 1) f (x−1 γx)dx Oγ (f ) = Gγ \G 42 3.3.2 Tích phân quỹ đạo Mục đích mục tính tốn tích phân quỹ đạo nhóm nội soi nhóm SU(2, 1) f (x−1 γx)dx Oγ (f ) = Gγ \G Để tính tích phân cụ thể ta cần: + Phân loại trường hợp γ: toàn giá trị riêng phân biệt thỏa mãn điều kiện a1 a2 a3 = (đây trường hợp đơn giản nhất), trường hợp hai giá trị riêng trùng a1 = a2 a21 a3 = + Biến đổi tích phân nhóm nội soi tương ứng a Tích phân quỹ đạo Ta tính tốn tích phân quỹ đạo trường hợp cụ thể sau: + Trường hợp 1: γ = diag(a1 , a2 , a3 ), a1 a2 a3 = với đôi khác Do phân tích Iwasawa, tích phân quỹ đạo tính sau: f (x−1 γx)dx Oγ (f ) = Gγ \G f (u−1 γu)dx = U  = f R3 = f R3 1  0    1  0   −1  x z  y   a1  0 a   0  −x yx − z  a1   −y  0     1 x z    0 y  dxdydz 0     a3 0   0  1 x z    0 y  dxdydz a2      a3 0 43   a1 (a1 − a2 ) (a1 − a3 )z − (a2 − a3 )xy     dxdydz 0 Oγ (f ) = a (a − a )y 2   R   0 a3   a1 x z     = |a1 − a2 |−1 |a2 − a3 |−1 |a1 − a3 |−1 f  a y   R   0 a3 dy dz = |a1 − a2 |−1 |a2 − a3 |−1 |a1 − a3 |−1 Oγ (f˜) Tích phân hội tụ tuyệt đối hàm trơn Vậy ta viết f H (γ) = ∆(γ)Oγ (f ), ∆(γ) = |ai − aj | i