MỤC LỤC
Trước hết ta chứng minh một tiêu chuẩn khác đối với tính tự do của vị nhóm con của vị nhóm các từ. Khi đó M+ là một nửa nhóm con của A+, vì từ rỗng không thể là tích của hai từ khác từ rỗng. Để chứng tỏ rằng B(M) sinh ra M, ta giả sử ngựợc lại có một từ w∈M không biểu diễn được thành tích các từ thuộc B(M).
Giả sử v1 = u1w (trong trường hợp khác lập luận được tiến hành tương tự do tính đối xứng). Cơ sở của giao này được gọi là bao tự do của X và được ký hiệu là F(X).
Hai phép biến đổi trên được gọi là các phép biến đổi sơ cấp trên các dòng và các cột của ma trận a. Bằng các phép biến đổi sơ cấp trên các cột có thể biến đổi a thành ma trận dạng (aij) sao cho a12 ≠ 0. Sau đó dùng các phép biến đổi sơ cấp để biến các phần tử còn lại của cột 1 và dòng 1 bằng 0.
Lặp lại quá trình trên sau một số hữu hạn bước ta thu được ma trận dạng d(β). Điều này đã chứng minh khẳng định (i). i) Xét nhóm tuyến tính tổng quát trên một trường hữu hạn. Thật vậy, ta thấy cột thứ nhất của ma trận thuộc G có thể chọn tùy ý khác không, và do đó có qn-1 khả năng chọn như vậy.
Giả sử M là tập hợp tất cả các ma trận thuộc GL(n;q) với cột thứ nhất đã chọn được. Thật vậy, vì định thức của hoán tử bằng 1 nên bao hàm thức ⊆ là biểu nhiên. Cái tâm hoá của toàn bộ nhóm G được gọi là tâm của nhóm G và được ký hiệu là C(G).
Tâm của các nhóm GL(n;K) và SL(n;K) là tập hợp tất cả các ma trận vô hướng thuộc các nhóm đó. Trong việc tính toán chi tiết, ta chú ý rằng mỗi ma trận X có thể viết được dưới dạng X :=. Nhóm thương PSL(n, K) của nhóm tuyến tính đặc biệt SL(n,K) theo tâm của nó được gọi là nhóm tuyến tính đặc biệt xạ ảnh.
Trong biểu diễn này ta có hai phần tử sinh và ba hệ thức xác định. Một biểu diễn của các nửa nhóm các từ có tập hệ xác định là tập rỗng: A+ = A φ. Chúng ta sẽ quan tâm nhiều hơn các nửa nhóm có biểu diễn hữu hạn, nghĩa là một biểu diễn S = A R , trong đó A là một bảng chữ cái hữu hạn và R là một tập hữu hạn các hệ thức.
Ở trên ta đã nói tất cả các vị nhóm đều có một biểu diễn (với tư cách là một nửa nhóm). Tuy nhiên sẽ tiện lợi hơn nếu sử dụng các biểu diễn vị nhóm mà đối với các biểu diễn ấy có ưu thế của phần tử đơn vị. Trong biểu diễn vị nhóm chúng ta có thể giả thiết có các hệ thức dạng u = 1, nghĩa là từ u có thể bị xoá từ một từ khác hay bổ sung vào một vị trí nào đó giữa hai chữ cái.
Thế thì S có thể nhúng được vào một nửa nhóm được sinh bởi hai phần tử.
Định lý (Định lý Sierprinski). b) Giả sử S là một nửa nhóm biểu diễn được hữu hạn.
Nếu R chứa một hệ thức dạng a = b, trong đó a và b là các phần tử sinh khác nhau thuộc A, thì ta có thể khử a hoặc b mà không làm thay đổi hiệu quả của biểu diễn. Như vậy, không mất tổng quát, có thể giả thiết rằng R không chứa hệ thức nào như vậy. Trong tiết sau ta sẽ chứng tỏ rằng đối với một số lớp nhóm quen thuộc, đẳng thức defG(G) = defS(G) là đúng.
Bây giờ ta trở lại kiểm tra defM(M) và defs(M) đối với một vị nhóm M. Ta có thể chứng minh kết quả mạnh hơn defM(M) < defs(M) trong trường hợp sau đây.
Nếu n lẻ, phép đối xứng với trục là đường trung trực của một cạnh sẽ trùng với phép đối xứng trục là phân giác của góc đối diện, vì vậy với n tuỳ ý có đúng 2n sự chuyển động giữ Rn bất biến. Nếu ρ là một chuyển động khác trên P thế thì điểm σ(p) được chuyển thành điểm ρ(σ(p)) lại là một chuyển động, và nó được đồng nhất với phép toán được định nghĩa trên. Nếu σ là một chuyển động, phép biến đổi ngược σ-1 của nó cũng là một chuyển động.
Do đó tất cả các chuyển động của P tạo thành một nhóm với phép toán được xác định như trên; và tập hợp 2n sự chuyển động của P giữ n - giác đều Rn bất biến cũng tạo thành một nhóm hữu hạn cấp 2n với cùng phép toán. Nhóm bao gồm 2n chuyển động này được gọi là nhóm nhị diện cấp 2n và thường được ký hiệu bởi D2n. Từ hệ thức thứ nhất suy ra x2 là phần tử trung tâm trong nhóm G được xác định bởi pn.