tâm và nhóm con giao hoán tử của một số lớp nhóm

Tâm và nhóm con giao hoán tủ của nhóm nhi diện D8 và nhóm Quaternion Q8 ..... MỞ ĐẦU Tâm và nhóm sinh bởi tập các giao hoán tử là một vấn đề của đại số đại cương.. Trong luận văn này ch

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

B Ộ GIÁO D Ụ C VÀ Đ ÀO T Ạ O TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

NG ƯỜ I H ƯỚ NG D Ẫ N KHOA H Ọ C

PGS.TS.My Vinh Quang

Thành ph ố H ồ Chí Minh -2011

LỜI CẢM ƠN

L ờ i đầ u t ên trong lu ậ n v ă n này tôi g ử i đế n PGS TS My Vinh Quang

Ng ườ i th ầ y đ ã t ậ n t nh h ướ ng d ẫ n và giúp đỡ tôi trong su ố t quá trình h ọ c t ậ p và làm

lu ậ n v ă n lòng bi ế t ơ n chân thành sâu s ắ c nh ấ t

Xin chân thành c ả m ơ n đế n c c th ầ y cô trong : Khoa Toán Tr ườ ng Đạ i h ọ c

S ư ph ạ m TP H ồ Chí Minh Tr ườ ng Đạ i h ọ c Khoa h ọ c T ự nhiên TP H ồ Chí Minh

và c c th ầ y cô khá đ ã tham gia gi ả ng d ạ y gu ả n l ỷ l ớ p h ọ c đ ã tr ự c t ế p truy ề n đạ t

ki ế n th ứ c cho tôi trong su ố t quá trình h ọ c t ậ p

Cu ố i cùng tôi xin c ả m ơ n t ấ t c ả c c đồ ng nghi ệ p b ạ n bè đ ã độ ng Viên giúp đỡ

t ạ o đ i ề u ki ệ n thu ậ n l ợ i cho tôi trong quá trình h ọ c t ậ p và hoàn thành lu ậ n v ă n này

TP H ồ Chí Minh - 2011 LATH SA MI VONG kikeo

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 3

MỤC LỤC 1

MỞ ĐẦU 2

Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN 3

1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN : 3

1.2 Nhóm các phép thế : 4

Chương 2: TÂM VÀ NHÓM CON GIAO HOÁN TỬ CỦA MỘT SỐ LỚP NHÓM 9

2.1 ĐỊNH NGHĨA MỘT SỐ LỚP NHÓM : 9

2.2 TẬP SINH CỦA MỘT SỐ LỚP NHÓM : 16

2.3 TÂM CỦA CÁC LỚP NHÓM : 22

2.4 NHÓM CON GIAO HOÁN TỬ CỦA CÁC LỚP NHÓM 28

2.5 Tâm và nhóm con giao hoán tủ của nhóm nhi diện D8 và nhóm Quaternion Q8 36

2.5.1 Định nghĩa nhóm nhi diện D8 36

2.5.2 Định lý : 36

2.5.3 Định nghĩa nhóm Quaternion Q8 37

2.5.4 Định lý : 38

TÀI LIỆU THAM KHẢO 40

MỞ ĐẦU

Tâm và nhóm sinh bởi tập các giao hoán tử là một vấn đề của đại số đại cương Trong luận văn này chúng tôi không có tham vọng trình bày đầy đủ chi tiết về tâm và nhóm giao hoán tử của một nhóm tổng quát mà chủ yếu là xác định tâm và nhóm giao hoán tử của một số nhóm cơ bản như: nhóm phép thế, nhóm ma trận, Để xác định được mục tiêu nêu trên, luận văn chia làm 2 chương:

Chương 1: Kiến thức cơ bản

Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ bản về nhóm, nhóm con sinh bởi một tập, Những kết quả được áp dụng nhiều trong chương 2 sẽ được chứng minh chi tiết

Chương 2: Tâm và nhóm con giao hoán tử của một số lớp nhóm

Trong chương này, chúng tôi trình bày định nghĩa một số lớp nhóm phép thế, ma trận

và xác định tập sinh của các lớp nhóm đó; xác định tâm của lớp nhóm phép thế, ma trận; xác định nhóm của giao hoán tử dựa vào tập sinh của nhóm phép thế, ma trận và xác định tâm

và nhóm con giao hoán tử của các nhóm nhi diện D8 , nhóm Quaternion Q8

TP Hồ Chí Minh tháng 09 năm 2011

Người thực hiện

LATH SA MI VONG KiKeo

Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN :

1.1.1 Định nghĩa: Nhóm X là một tập hợp X cùng với một phép toán hai ngôi kết hợp có

đơn vị e và mọi phần tử x X∈ đều có phần tử nghịch đảo

Nếu phép toán của nhóm là giao hoán thì ta gọi nhóm là nhóm giao hoán hoặc nhóm là nhóm abel

1.1.2 Định nghĩa: Cho X là một nhóm, A là một tập con khác rỗng của X Tập A gọi là

nhóm con của X nếu A ổn định với phép toán trong X và A cùng với phép toán cảm sinh là một nhóm Ký hiệu: A X≤

Giao của một họ không rỗng các nhóm con của một nhóm X là một nhóm con của

X Thật vậy, giả sử đã cho một họ không rỗng ( )Aα α∈Icác nhóm con của X và i

i I

A = A

∈

 Khi đó A ≠ ∅ vì có e A∈ Giả sử x,y A∈ , khi đó x,y A ,∈ α ∀α ∈ I do đó

1

x.y− ∈A , α ∀α ∈ I , tức là 1

x.y− ∈A Như vậy A là nhóm con của X

Giả sử M là một tập con khác rỗng của X Ta xét họ tất cả các nhóm con của X chứa

M Họ này không rỗng vì X là một phần tử của họ Giao của họ đó là một nhóm con của X Nhóm con này gọi là nhóm con của X sinh bởi tập M, ký hiệu M Ta có :

M = aεaε / a ∈M ; ε = ±1 ; M=1,2,, n Thật vậy, ký hiệu vế phải là A Vì nhóm con M chứa tất cả các aicủa M nên M ⊃ Mặt khác, nếu a.b AA ∈ thì hiển nhiên a.b∈ và A 1

a− ∈ nên A là một nhóm con chứa M do đó AA ⊃ M Bởi vậy

A = M

Vòng xích độ dài 2 gọi là phép chuyển trí

Hai vòng xích f = i( 1  im) và g = j( 1  jk) gọi là độc lập nếu

Phép nhân các vòng xích độc lập có tính chất giao hoán

1.2.1 Định lý :Mọi phép thế bậc n khác phép thế đồng nhất đều phân tích được duy nhất

(không kể thứ tự) thành tích các vòng xích độc lập độ dài lớn hơn hoặc bằng 2

CHỨNG MINH

Giả sử f là phép thế khác phép thế đồng nhất, khi đó có i1 sao cho f i ( )1 = i2 ≠ do f là i1

song ánh nên f i( )2 = ≠i3 i ; f i2 ( )3 = ≠i4 i ,i ,2 3  và cuối cùng f i( )m1 = Đặt i1

1 1 2 m1

f = i i i , đầu là vòng xích có độ dài m1 ≥ và 2 f i( )k =f i1( )k với k 1,2,= ,m1

Nếu trong tập {1, 2,, n \ i i} {1 2im} có j sao cho 1 f j( )1 = ≠ thì lặp lại quá j2 j1

trình trên ta sẽ có vòng xích f2 =(j j1 2jm2) với độ dài m2 ≥ và 2 f j( )k =f2( )jk với

Do định lý trên ta chỉ cần chứng minh đối với phép thế đồng nhất 1 và các vòng xíchx Thật vậy ta có 1x =( )( )i j i j , còn nếu f là vòng xích thì kiểm tra trực tiếp ta có

1) sign f( ) { }∈ −1,1 với mọi f∈ Sn

2) Hàm sign có tính chất nhân tức là sign(f.g) = sign(f).sign(g)

CHỨNG MINH

1) Vì mọi phép thế đều có thể phân tích thành tích các chuyển trí nên giả sử

f = i i i = i i i i  i i i i (tích của m-1 chuyển trí) suy ra

sign(f) =sign((i i )(i i1 m 1 m-1)(i i )(i i ))1 3 1 2

=sign i i( )1 m sign(i i1 m-1)sign i i sign i i( )1 3 ( )1 2

1.3.1 Định lý : Cho A là ma trận vuông cấp n không suy biến khi đó bằng hữu hạn các phép

biến đổi sơ cấp trên dòng (hoặc cột) ta có thể đưa A về dạng đường chéo có các phần tử trên chéo chính a11 ==an-1n-1=1, ann =det(A)

để biến đổi các phần tử trên dòng 2 và trên cột 2 bằng 0 ta làm tương tự như trên

Cứ tiếp tục cho đến bước thứ n-1 ta được ma trận chéo có các phần tử trên đường chéo chính a11 = … = an-1n-1 =1, ann=det(A) Vậy định lý được chứng minh

1.3.2 Mệnh đề : GL(n ) A = { ∈M(n )/det(A)  ≠ 0} thì (GL(n ),. là một nhóm )

CHỨNG MINH

Với mọi ma trận A,B,C thuộc GL n.(  vì phép nhân ma trận có tính kết hợp nên )

(A.B).C =A.(B.C) Tồn tại phần tử đơn vị E là ma trận đơn vị cấp n mà A.E = E.A với mọi

A thuộc GL(n ) , mọi ma trận A thuộc GL(n ) thì det(A) khác 0 nên luôn tồn tại ma trận nghịc đảo A-1

và A.A−1= A A E−1 =

Chương 2: TÂM VÀ NHÓM CON GIAO HOÁN TỬ CỦA MỘT SỐ

LỚP NHÓM

2.1 ĐỊNH NGHĨA MỘT SỐ LỚP NHÓM :

2.1.1 Nh óm phép thế :

( )S , n là một nhóm vì phép nhân của các ánh xạ có tính kết hợp, có đơn vị e là phép

thế đồng nhất e I= x = ( )1 2 n= ( ) =  = ( ) Mọi phép thế f thuộcSnđều có nghịch đảo là ánh xạ ngược 1

phép toán trong S mà n Snlà nhóm hữu hạn nên A là nhóm con n của S n Để chứng minh A n

là nhóm con chuẩn tắc củaSnthì cần chứng minh với mọi f thuộcA và n với mọi g thuộc S n

thì g fg−1 thuộc A Thật vậy n

sign(g fg) sign(g )sign(f)sign(g) sign (g)sign(f) 1= = =

2.1.3 Mệnh đề: K e, 12 34 , 13 24 , 14 23= { ( )( ) ( )( ) ( )( ) }là một nhóm con chuẩn tắc của S , 4

gọi là nhóm Klein

CHỨNG MINH

Bảng nhân của K như sau:

Nhìn vào bảng nhân ta thấy K là nhóm con giao hoán của nhóm S4 Do đó, K là nhóm con chuẩn tắc của S 4

UT n, là tập hợp các ma trận thuộc UT n,(  với m –1 đường chéo phía )

trên song song với đường chéo chính bằng 0

CHỨNG MINH

1) Với mọi A,B∈SL n,(  thì ) det A 1 , det B 1( ) = ( ) = nên

det A B =det A det B = do đó A.B∈1 SL n,(  )

Với mọi A∈SL n,(  thì ) det A 1( ) = ≠ nê0 n tồn tại 1

A− và ( )-1 ( )

det A =1/det A = 1suy ra 1

A− ∈SL n,(  )

Thỏa 2 điều kiện về nhóm con nên SL n,(  là nhóm của ) GL n,(  )

2) Với mọi A, B thuộc T n,(  )

0





Suy ra

11 22 -1

A =

1a

22 -1

22

nn

nn

1a

11

11 22 -1

22

nn nn

1a

1a

nên D n,(  là nhóm con giao hoán )

4) Với mọi A, B thuộc UT n,(  )

AB a b a b ab = ∑ = ∑ + + ∑a b

AB a b a b ab = ∑ = ∑ + + ∑a b

k=1

AB a b 0= ∑ = với i j>

( )ii+1 n i-1 n

ik ki+1 ik ki+1 ii ii+1 ii+1 i+1i+i ik ki+1

AB a b= ∑ a b= ∑ ab+ ab+ + ∑a b

Với mọi A thuộc 1( )

UT n, thì det( )A = ≠ nên tồn tại 1 0 -1

Thậy vậy, ( ) n

ik ki+j ii+j

Với mọi A thuộc m( )

UT n, thì det( ) 1 0A = ≠ nên tồn tại -1

Tính ∆ : Tương tự như trên ta có Aij= 0 i ( )<j ; Aii= 1

( )2i+k i+k,i

x0

01

Với mọi A thuộc GL n,(  thì định thức A khác 0 đặt ) det A( )= β ≠ , bằng hữu hạn 0

các phép biến đổi sơ cấp ta có thể đưa A về dạng đường chéo có các phần tử trên đường

chéo chính là a , a , … , a Theo bổ đề trên 11 22 nn A→ β d( )

Suy ra d( )β = t t … t A.t1 2 r r+1 … t , ts i là các ma trận sơ cấp

mà det A( )= nên 1 β = 1 ta lại có d( )β = e + (β −1 e) nndo đó d 1 ( ) = nên e

3) T n,( )= tij( )α ,dig a ,a ,…,a( 11 22 nn)/ ,a , a , ,aα 11 22 nn∈∗,i j<

Với mọi A thuộc ( )

11 22

Do det(A) khác 0 nên a11 khác 0 Nhân cột 1 với –a1k / a11 rồi cộng vào các cột thứ

k(k 2 , 3 , … , n= ) thì ta được các phần tử trên dòng 1 bằng 0, tương tự đối với dòng 2 nhân cột 2 với –a2t / a22 rồi cộng vào các cột thứ t (t 3 , … , n= )ta được các phần tử trên dòng 2 bằng 0 Khi thực hiện phép biến đổi trên dòng 2 thì dòng 1 không thay dổi vì các phần tử trong dòng 1 bằng 0

Cứ tiếp tục cho đến dòng thứ n-1 thì ta đưa A về dạng đường chéo Trong quá trình biến đổi ta thực hiện phép biến đổi sơ cấp trên dòng loại là nhân một số với cột i rồi cộng vào các cột i 1 , i 2 , … , n+ +

Suy ra A dig a , a , … , a= ( 11 22 nn) t t … t1 2 r với tk= tij( )α

Với mọi A thuộc m( )

ta biến đổi trên dòng 2 thì dòng 1 không thay đổi vì các phần tử trong dòng 1 bằng 0, cứ tiếp tục cho đến bước thứ n-1 ta đưa được A về dạng đường chéo có các phần tử trên đường chéo chính bằng 1 nên A→ trong quá e trình biến đổi ta thực hiện phép biến đổi sơ cấp trên cột là nhân cột i với 1 số rồi cộng vào cột i m , i m 1 ,…, n+ + + hay tương ứng với

1) Do mọi phép thế bậc n đều có thể phân tích thành tích các chuyển trí nghĩa là với mọi f thuộc Sn thì n ( )

k k k k k=1

f = ∏ i j , i j ∈X theo định lý nhóm con sinh bởi một tập thì

( )

n

S ij / i,j= ∀ ∈X 2) Ta luôn có ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )ij ik = ijk , ij k1 = i1j jk1 mà mỗi phép thế bậc chẵn thì

có thể phân tích thành một số chẵn các chuyển trí và theo trên cứ tích hai chuyển trí cho ta một hay 2 vòng xích độ dài 3 do đó f thuộc An thì n ( )

t t t t t t t=i

f = ∏ i j k ; i ,j ,k ∈X nên theo định lý nhóm con sinh bởi 1 tập thì A ijk / i,j,kn = ( ) ∀ ∈X

2.3 TÂ M CỦA CÁC LỚP NHÓM :

Cho nhóm X, tập con C X a( ) = { ∈X / ax xa , x= ∀ ∈X } của X gọi là tâm của nhóm X

2.3.1 Mệnh đề : C(X) là nhóm con giao hoán của nhóm X và mọi nhóm con của C(X) đều

là nhóm con chuẩn tắc của X

-1 -1 -1 -1

( ) ( ) ( )

-1 -1

-1 -1 -1

Cuối cùng ta còn phải chứng minh mọi nhóm con của C(X) đều là nhóm con chuẩn tắc của X Thật vậy A C(X)∀ ≤ , a∀ ∈A , x∀ ∈ vì a AX ∈ nên a∈C X( )

Với mọi A∈C GL n,( (  thì ) ) AT TA , T= ∀ ∈GL n,(  chọn ) T T= ijl ma trận có các phần tử trên đường chéo bằng 1, tại vị trí ij bằng 1 còn lại bằng 0 i j ≠ 

T T= là ma trận có các phần tử trên đường chéo chính bằng 1 tại vị trí ij bằng 1 còn các

vị khác bằng 0, tương tự như trên ta có A aE= , mà A thuộc SL n,(  nên) det A( )= suy 1

ra n

a = 1: nếu n lẻ thì a 1= khi đó A E= suy ra C SL n,( ( ) )⊂{ }E ; nếu chẵn thì

a 1= ± khi đó A E= ± suy ra C SL n,( ( ) )⊂{-E,E}

Vậy C SL n,( ( ) ) E= { } nếu n lẻ

C SL n, = -E,E nếu n chẵn 3) C T n,( ( ) ) A= { ∈T n,( )/ AT TA ; T= ∀ ∈T n,(  ) }

Ta có aE.T T.aE = với mọi T thuộc T n,(  (E là ma trận đơn vị, a) ∈  ) suy ∗

ra aE / a{ ∈∗}= C T n,( (  ) )

Vợi mọi A thuộc C T n,( (  thì AT TA) ) = với mọi T thuộc T n,(  , chọn )

UT n, suy ra { } ( m( ) )

E ⊂C UT n, Với mọi A thuộc m( )

UT n, thì AT TA= với mọi T thuộc m( )

UT n, chọn

ij

T T= là ma trận có các phần tử trên đường chéo chính bằng 1 tại vị trí ij (j-i≥m) bằng

1 còn các vị trí khác bằng 0, tương tự như trên ta có A aE= , mà A thuộc m( )

Vì D n,(  là nhóm giao hoán nên với mọi A thuộc ) D n,(  thì A.B B.A) =

với mọi B thuộc D n,(  )

Vậy C D n,( ( ) ) D n,= (  )

2.3.3 Định lý : Ta có các khẳng định sau

1) C S ( )2 = S2

Ta thấy I g g.Ix = xvới mọi g thuộc Sn do đóIx∈C S( )n suy ra { }e ⊂C S( )n

Với mọi f ∈C S( )n thì f.g g.f= với mọi g∈ Sn , giả sử f là một chuyển trí

( )

f ij= chọn g ijk= ( ) thì f.g ijk ij kj= ( )( ) ( )= và f.g ij ijk kj= ( )( ) ( )= mà f.g g.f= nên i j= hay f e= , nếu f là một phép thế bất kỳ thì f có thể phân tích thành tích các chuyển trí, suy ra C S( ) { }n ⊂ e

Vậy C S( ) { }n = e

4) C A( )n f= { ∈A / f.g g.f , gn = ∀ ∈An}

Ta thấy I g g.Ix = x với mọi g thuộc An do đó Ix∈C A( )n suy ra

{ }e ⊂C A( )n

Với mọi f ∈C A( )n thì f.g g.f= với mọi g∈An, giả sử f ijk= ( )chọn

( )( )

g ij k1= thuộc An thì f.g ij k1 ijk ik1= ( )( )( ) ( )= và f.g ijk i = ( )( )( ) ( )j k1 j1k=

mà f.g g.f= nên ( ) ( )ik1 = j1k suy ra k 1= hay f I= x, nếu f là một phép thế bất kỳ thì

f có thể phân tích thnh tích các vòng xích độ dài 3 Suy ra C A( ) { }n ⊂ e

Vậy C A( ) { }n = e

2.4 NHÓM CON GIAO HOÁN TỬ CỦA CÁC LỚP NHÓM

Cho nhóm X , x và y là hai phần tử của X ta gọi phần tử x y xy là hoán tử của x -1 -1

[A ,A n n] ⊂ An hiển nhiên do định nghĩa

Ngược lại mỗi vòng xích độ dài 3 đều có dạng ( ) ( ) ( )-1 -1

ijk mji= 1ki

nên An ⊂[A ,An n] Vậy [A ,An n]=An

Với mọi f,g thuộc Sn thì ( -1 -1 ) 2( ) 2( )

sign f g fg sign= f sign g 1= suy ra -1 -1

f g fg thuộc An mà [S ,S n n] được sinh bởi các hoán tử [f g, ], với mọi f,g thuộc Sn nên

[S ,Sn n]⊂An

Ngược lại ta có với mọi vòng xích độ dài 3 ( ) ( ) ( ) ( )( )-1 -1

ijk ij= ik ij ik =  ij ik( )( ) thuộc [S ,S mà An n] n được sinh bởi các vòng xích độ dài 3 nên An ⊂[S ,S n n] Vậy

1 i

1 i

1 j

1 n

j i

ij

t1

β

 

α −1β

Vậy mọi A, B thuộc GL n,(  thì ) ( -1 -1 ) ( ) ( )1 1 ( )

det A B AB =det A− det B− det A

Với mọi A,B thuộc T n,(  thì ) [ ] -1 -1

2.5.1 Định nghĩa nhóm nhi diện D 8

Trong nhóm tuyến tính tổng quát GL 2,Q( )

8

Ngược lại : Ta chứng minh các phần tử có dạng abk (0 ≤ k ≤ 3) đều không thuộc C D( )8 Thật vậy :

Dễ thấy b và b b3= -1 không giao hoán với a nên b và b3 cũng không thuộc

8 8

Q ,Q a = b =

CHỨNG MINH a) Trước hết , ta có 2 2

a = b nên 2

b giao hoán với a và b2

hiển nhiên giao hoán với b nên b2giao hoán với mọi phần tử của D8 .Vậy 2 ( )