tâm và nhóm con giao hoán tử của một số lớp nhóm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH - Lathsamivong Kikeo TÂM VÀ NHÓM CON GIAO HOÁN TỬ CỦA MỘT SỐ LỚP NHÓM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh -2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH - Lathsamivong Kikeo TÂM VÀ NHÓM CON GIAO HOÁN TỬ CỦA MỘT SỐ LỚP NHÓM Chuyên ngành : Đại số lý thuyết số Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS.My Vinh Quang Thành phố Hồ Chí Minh -2011 LỜI CẢM ƠN Lời luận văn gửi đến PGS TS My Vinh Quang Người thầy tận tình hướng dẫn giúp đỡ suốt trình học tập làm luận văn , lòng biết ơn chân thành sâu sắc n hất Xin chân thành cảm ơn đến thầy cô : Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh , Trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP Hồ Chí Minh thầy cô khác tham gia giảng dạy , guả n lỷ lớp học , trực tiếp truyền đạt kiến thức cho suốt trình học tập Cuối xin cảm ơn tất đồng nghiệp , bạn bè động Viên giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập hoàn thành luận văn TP Hồ Chí Minh - 2011 LATH SA MI VONG kikeo MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN : 1.2 Nhóm phép : Chương 2: TÂM VÀ NHÓM CON GIAO HOÁN TỬ CỦA MỘT SỐ LỚP NHÓM 2.1 ĐỊNH NGHĨA MỘT SỐ LỚP NHÓM : 2.2 TẬP SINH CỦA MỘT SỐ LỚP NHÓM : 16 2.3 TÂM CỦA CÁC LỚP NHÓM : 22 2.4 NHÓM CON GIAO HOÁN TỬ CỦA CÁC LỚP NHÓM 28 2.5 Tâm nhóm giao hoán tủ nhóm nhi diện D nhóm Quaternion Q8 36 2.5.1 Định nghĩa nhóm nhi diện D 36 2.5.2 Định lý : 36 2.5.3 Định nghĩa nhóm Quaternion Q8 37 2.5.4 Định lý : 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 MỞ ĐẦU Tâm nhóm sinh tập giao hoán tử vấn đề đại số đại cương Trong luận văn tham vọng trình bày đầy đủ chi tiết tâm nhóm giao hoán tử nhóm tổng quát mà chủ yếu xác định tâm nhóm giao hoán tử số nhóm như: nhóm phép thế, nhóm ma trận, Để xác định mục tiêu nêu trên, luận văn chia làm chương: Chương 1: Kiến thức Trong chương này, nhắc lại số kiến thức nhóm, nhóm sinh tập, Những kết áp dụng nhiều chương chứng minh chi tiết Chương 2: Tâm nhóm giao hoán tử số lớp nhóm Trong chương này, trình bày định nghĩa số lớp nhóm phép thế, ma trận xác định tập sinh lớp nhóm đó; xác định tâm lớp nhóm phép thế, ma trận; xác định nhóm giao hoán tử dựa vào tập sinh nhóm phép thế, ma trận xác định tâm nhóm giao hoán tử nhóm nhi diện D , nhóm Quaternion Q TP Hồ Chí Minh tháng 09 năm 2011 Người thực LATH SA MI VONG KiKeo Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN : 1.1.1 Định nghĩa: Nhóm X tập hợp X với phép toán hai kết hợp có đơn vị e phần tử x ∈ X có phần tử nghịch đảo Nếu phép toán nhóm giao hoán ta gọi nhóm nhóm giao hoán nhóm nhóm abel 1.1.2 Định nghĩa: Cho X nhóm, A tập khác rỗng X Tập A gọi nhóm X A ổn định với phép toán X A với phép toán cảm sinh nhóm Ký hiệu: A ≤ X Giao họ không rỗng nhóm nhóm X nhóm X Thật vậy, giả sử cho họ không rỗng ( A α )α∈I nhóm X A =  A i i∈I Khi A ≠ ∅ có e ∈ A Giả sử x,y ∈ A , x,y ∈ A α , ∀α ∈ I x.y −1 ∈ A α , ∀α ∈ I , tức x.y −1 ∈ A Như A nhóm X Giả sử M tập khác rỗng X Ta xét họ tất nhóm X chứa M Họ không rỗng X phần tử họ Giao họ nhóm X Nhóm gọi nhóm X sinh tập M, ký hiệu M M Ta có : = {a1ε  a εm / a i ∈ M ; εi =±1 ; M=1,2, , n} Thật vậy, ký hiệu vế phải A Vì m nhóm M chứa tất a i M nên M ⊃ A Mặt khác, a.b ∈ A hiển nhiên a.b ∈ A a −1 ∈ A nên A nhóm chứa M A ⊃ M Bởi A= M 1.2 Nhóm phép : Phép tập X song ánh từ X lên Khi X tập hợp có n phần tử phép X gọi phép bậc n Ta thường lấy tập X = {1, 2, , n} Khi phép f bậc n thường viết dạng :  n   f=    f (1) f ( )  f ( n )  Vì f song ánh nên phần tử f(1),f(2),…,f(n) dòng điều khác chúng hoán vị n phần tử 1,2,…, n Như hoán vị xác định phép bậc n số hoán vị tập có n phần tử n! Tập hợp tất phép bậc n ký hiệu Sn Cho f phép bậc n Nếu f viết dạng : i f=   i2 i2  im i3  i1 i m+1  i n   i m+1  i n  f gọi vòng xích độ dài m ta viết đơn giản là: f == ( i1 i  i m ) = ( i  i m i1 ) Vòng xích độ dài phép đồng 1= x  (1=) ( 2=)  = (n) Vòng xích độ dài gọi phép chuyển trí Hai vòng xích f = ( i1  i m ) g = ( j1  jk ) gọi độc lập {i1 ,  , i m } ∩ { j1 ,  , jk } = ∅ Phép nhân vòng xích độc lập có tính chất giao hoán 1.2.1 Định lý :Mọi phép bậc n khác phép đồng phân tích (không kể thứ tự) thành tích vòng xích độc lập độ dài lớn CHỨNG MINH Giả sử f phép khác phép đồng nhất, có i cho f ( i1 )= i ≠ i1 f song ánh nên f ( i ) = i3 ≠ i ; f ( i3 ) = i ≠ i ,i3 , cuối f ( i m1 ) = i1 Đặt f1 = ( i1i  i m1 ) , đầu vòng xích có độ dài m1 ≥ f ( i k ) = f1 ( i k ) với k =1,2, ,m1 Nếu tập {1, 2,, n} \ {i1i i m } có j1 cho f ( j1 = ) j2 ≠ j1 lặp lại trình ta có vòng xích f = ( j1 j2  jm2 ) với độ dài m ≥ f ( jk ) = f ( jk ) với k = 1,2, ,m Tiếp tục, tập {1, 2,, n} \ {i1 ,i ,,i m , j1 , j2 ,, jm2 } có l cho f ( l1 = ) l2 ≠ l1 tương tự ta có vòng xích f3 = ( l1l2  lm3 ) với độ dài m3 ≥ f ( lk ) = f ( lk ) với k = 1,2, ,m3 Cứ tiếp tục trình trên, cuối ta vòng xích độc lập f1 ,f , ,f r f = f1  f  f r Bây ta giả sử f có phân tích thành tích vòng xích độc lập khác: f = g1  g  g s có g k cho : g= k ( i1 ) f= ( i1 ) f= ( i1 ) i2 g= k (i2 ) f= (i2 ) f= ( i2 ) i3 g= k ( i m1 ) f= ( i m1 ) f= ( i m1 ) i1k Do g k = f1 , không làm tính tổng quát ta giả sử g1 = f1 Khi ta có: f  f r = g  g s Tiếp tục lặp lại trình trên, cuối ta có r = s f i = g i với i = 1,2, ,r định lý chứng minh 1.2.2 Hệ quả: Mọi phép phân tích thành tích chuyển trí CHỨNG MINH Do định lý ta cần chứng minh phép đồng 1x vòng xích Thật ta có 1x = ( i j)( i j) , f vòng xích kiểm tra trực tiếp ta có = f i1i  i m ) (= ( i1i m )( i1i m-1 )( i1i3 )( i1i ) Hàm dấu ánh xạ sign: Sn → R xác định sau: sign ( f ) = i-j ∏ f ( i ) − f ( j) {i,j}∈X i≠ j 1.2.3 Định lý : Dấu chuyển trí -1 CHỨNG MINH Giả sử f = ( kl ) , sign ( f ) = ∏ f ( i ) − f ( j) i-j {i,j}∈X i≠ j = i-j i-j i-j × ∏ × ∏ × ∏ { } { } f ( i ) − f ( j) { } { } f ( i ) − f ( j) { } { } { } f ( i ) − f ( j) i,j = k,l i,j ∩ k,l = φ i,j ∩ k,l = k i≠ j i≠ j i-j k-l i-j i-k i-l =× ∏ ×∏ ×∏ = −l l-k {i,j}∩{k,l}= φ i-j i ≠ k,l i-l i ≠ k,l i-k {i,j}∩{k,l}= {l} f ( i ) − f ( j) × ∏ i≠ j i≠ j 1.2.4 Định lý : Ta có khẳng định sau: 1) sign ( f ) ∈ {−1,1} với f ∈ Sn 2) Hàm sign có tính chất nhân tức sign(f.g) = sign(f).sign(g) CHỨNG MINH 1) Vì phép phân tích thành tích chuyển trí nên giả sử = f = ( i1i i m ) ( i1i m )( i1i m-1 )( i1i3 )( i1i ) (tích m-1 chuyển trí) suy sign(f) = sign((i1i m )(i1i m-1 ) (i1i3 )(i1i )) = sign ( i1i m ) sign(i1i m-1 ) sign ( i1i3 ) sign ( i1i ) = −1.(−1) (−1)(−1) Nếu m chẵn m-1 lẻ Sign(f) = -1 Nếu m lẻ m-1 chẵn Sign(f) = 2) Giả sử f biểu diễn dạng :  g (1) g ( 2)  g ( n )  f =    f  g (1) f  g ( )  f  g ( n )  sign ( f ) = g ( i ) − g ( j) ∏ f  g ( i ) − f  g(j) {i,j}∈X nên i≠ j = sign ( f ) sign ( g ) g ( i ) − g ( j) i-j ∏ f  g ( i ) − f  g ( j) × ∏ g(i)-g(j) {i,j∈X} {i,j}∈X i≠ j = i≠ j i-j = ∏ {i,j∈X} f  g(i)-f  g(j) sign(f  g) i≠ j 1.3 Nhóm Ma trận : Cho F trường Cho m,n hai số nguyên dương A gọi ma trận m.n F A bảng hình chử nhật gồm n.m phần tử thuộc F viết thành m dòng (mỗi dòng có n phần tử ) thành n cột (mỗi cột có m phần tử ) sau :  a11 a12 a a 22 A =  21    a m1 a m2  a1n   a 2n      a mn  Kí hiệu M(m.n,F) tập hợp tất ma trận m.n F Đặc biệt m = n , kí hiệu M(n,F) tập hợp tất ma trận vuông cấp n F 1.3.1 Định lý : Cho A ma trận vuông cấp n không suy biến hữu hạn phép biến đổi sơ cấp dòng (hoặc cột) ta đưa A dạng đường chéo có phần tử chéo a11=  = a n-1n-1= , a nn = det(A) Vợi A thuộc C ( T ( n, ) ) AT = TA với T thuộc T ( n, ) , T = Tij ( i < j) chọn ma trận có phần tử đường chéo vị trí ij vị trí khác 0, tương tự phần ta có A = aE A ∈ {aE / a ∈ ∗ } Vậy C ( T (= n, ) ) { aE / a ∈  } 4) C ( UT m ( n, ) ) = { ∗ } A ∈ UT m ( n, ) / AT= TA , ∀T ∈ UT m ( n, ) Ta thấy: E thuộc UT m ( n, ) mà ET = TE với T thuộc UT m ( n, ) nên E {E} ⊂ C ( UT m ( n, ) ) thuộc UT m ( n, ) suy Với A thuộc UT m ( n, ) AT = TA với T thuộc UT m ( n, ) chọn T = Tij ma trận có phần tử đường chéo vị trí ij ( j-i ≥ m ) vị trí khác 0, tương tự ta có A = aE , mà A thuộc UT m ( n, ) nên det ( A ) = suy a = A = E suy C ( UT m ( n, ) ) ⊂ Vậy {E} C ( UT m ( n, ) ) = {E} 5) C ( D ( n, ) )= { A ∈ D ( n, ) / AT= TA , ∀T ∈ D ( n, ) } Vì D ( n, ) nhóm giao hoán nên với A thuộc D ( n, ) A.B = B.A với B thuộc D ( n, ) Vậy C ( D ( n, ) ) = D ( n, ) 2.3.3 Định lý : Ta có khẳng định sau 1) C ( S2 ) = S2 2) C ( A ) = {e} với e phép đồng 3) C ( Sn ) = {e} với n ≥ 4) C ( A n ) = {e} với n ≥ CHỨNG MINH 1) S2 = { e, (12 ) } nhóm giao hoán nên với f thuộc S fg = gf với g thuộc S2 nên C ( S2 ) = S2 2) A = nên A nhóm giao hoán A ⊂ C ( A ) C ( A ) = A {e} 3) C ( Sn )= { f ∈ Sn / f.g= g.f , ∀g ∈ Sn } Ta thấy I x g = g.I x với g thuộc S n I x ∈ C ( Sn ) suy Với f ∈ C ( Sn ) f.g = g.f f.g f = ( ij) chọn g = ( ijk ) = {e} ⊂ C (Sn ) với g ∈ Sn , giả sử f chuyển trí ijk )( ij) (= ( kj) = f.g ij)( ijk ) (= ( kj) f.g = g.f nên i = j hay f = e , f phép f phân tích chuyển trí, suy C ( Sn ) ⊂ {e} Vậy C ( Sn ) = {e} 4) C ( A n ) = { f ∈ A n / f.g = g.f ,∀g ∈ A n } Ta thấy I x g = g.I x với g thuộc A n I x ∈ C ( A n ) suy {e} ⊂ C ( A n ) mà tích thành Với f ∈ C ( A n ) f.g = g.f A n f.g g = ( ij)( k1) thuộc= với g ∈ A n , giả sử f = ( ijk ) chọn ij)( k1)( ijk ) ik1) f.g (= ijk )( i j)( k1) (= (= ( j1k ) mà f.g = g.f nên ( ik1) = ( j1k ) suy k = hay f = I x , f phép f phân tích thnh tích vòng xích độ dài Suy C ( A n ) ⊂ {e} Vậy C ( A n ) = {e} 2.4 NHÓM CON GIAO HOÁN TỬ CỦA CÁC LỚP NHÓM Cho nhóm X , x y hai phần tử X ta gọi phần tử x -1 y -1xy hoán tử x y, ký hiệu [ x,y ] 2.4.1 Mệnh đề : 1) Nhóm A sinh tập hoán tử tất cặp x,y x nhóm chuẩn tắc X, ký hiệu A = [ X,X ] 2) X [ X,X ] nhóm abel 3) H nhóm chuẩn tắc X ( X H Abel ⇔ [ X,X ] ⊂ H ) CHỨNG MINH 1) ∀a ∈ A , ∀x ∈ X Đặt b = a -1x -1ax b ∈ A -1 -1 -1 -1 Ta = có a.b a ( a= x ax ) aa = x ax x -1ax mà a ∈ A , b ∈ A nên a.b ∈ A hay x -1ax ∈ A Vậy A  X 2) ∀a,b ∈ X a -1b -1ab ∈ [ X,X ] ⇔ ( ba ) ab ∈ [ X,X ] -1 ⇔ ab [ X,X = = = b.a ] b [ X,X ] a [ X,X ] ⇔ a.b ] ba [ X,X ] ⇔ a [ X,X ] b [ X,X Vậy X 3) X H [ X,X ] Abel Abel ⇔ xH.yH = yH.xH , ∀x,y ∈ X ⇔ xyH= yxH ⇔ ( yx ) xy ∈ H ⇔ x -1 y -1xy ∈ H ⇔ [ X,X ] ⊂ H -1 2.4.2 Định lý : (Nhóm giao hoán tử nhóm phép thế) 1) [S2 ,S2 ] = {e} 2) [ A ,A ] = {e} 3) [S3 ,S3 ] = A 4) [ A ,A ] = {e} 5) [ A ,A ] e, (12 )( 34 ) , (13)( 24 ) , (14 )( 23)} {= K 6) [ A n ,A n ] = A n với n ≥ 7) [Sn ,Sn = ] A n ; ∀n ∈  CHỨNG MINH S2 , A nhóm giao hoán nên với f,g thuộc S2 , A ta có [S ,S ] -1 -1 -1 f= g fg f= fg -1g e 2 = {e} , [ A ,A ] = {e} Ta có S nhóm cấp 6, A nhóm cấp A nhóm chuẩn tắc S nên nhóm thương S3 A3 nhóm cấp nên nhóm Abel [S3 ,S3 ] ⊂ A Xét f = (123) f phân tích = f Mà A = (123) 123) (13) (12 ) (13)(12 ) ∈ [ S3 , S3 ] (= −1 −1 nên A ⊂ [S3 ,S3 ] Vậy [S3 ,S3 ] = A -1 -1 -1 A nhóm cấp nên nhóm Abel, với a,b thuộc A a= b ab a= ab -1b e [ A n ,A n ] ⊂ {e} {e} ⊂ [ A n ,A n ] hiển nhiên Vậy [ A n ,A n ] = {e} Ta có A cấp 12, K cấp K nhóm chuẩn tắc A nên nhóm thương A4 nhóm cấp nên nhóm Abel [ A ,A ] ⊂ K K Mặt khác với {1, 2,3, 4} ) ta có ( ij)( K1) ( ij)( k1) thuộc K (i,j,k,1 đôi khác i,j,k,1 ∈ = ( ijk ) ( ij1) ( ijk )( ij1) mà nhóm thay phiên A sinh -1 vòng xích độ dài nên -1 ( ijk ) ( ij1) ( ijk )( ij1) ∈ [ A4 , A4 ] -1 -1 ( ij)( k1) ∈ [ A ,A ] suy K ⊂ [ A ,A ] Vậy [ A ,A ] = [A n e, (12 )( 34 ) , (13)( 24 ) , (14 )( 23)} {= K ,A n ] ⊂ A n hiển nhiên định nghĩa ( ijk ) Ngược lại vòng xích độ dài có dạng ( mji )(1ki ) = ( mji ) (1ki ) -1 -1 = ( mji ) , (1ki )  thuộc [ A n ,A n ] mà A n sinh vòng xích độ dài nên A n ⊂ [ A n ,A n ] Vậy [A n ,A n ] = A n Với f,g thuộc S n = sign ( f -1g -1fg ) sign = ( f ) sign ( g ) suy f -1g -1fg thuộc A n mà [Sn ,Sn ] sinh hoán tử [S ,S ] ⊂ A n n [ f , g] , với f,g thuộc S n nên n Ngược lại ta có với vòng xích độ dài ( ijk ) = ( ij) ( ik ) ( ij)( ik ) = ( ij)( ik )  -1 thuộc [Sn ,Sn ] [S ,S ] n n -1 mà A n sinh vòng xích độ dài nên A n ⊂ [Sn ,Sn ] Vậy = An  2.4.3 Bổ đề :  t ik ( α ) , t kj ( β )= t ij ( αβ ) i,j,k khác  β   t ij ( α ) ,dig ( β1 ,β2 ,,βn )=  t ij  α  j − 1  i ≠ j  β     i CHỨNG MINH  1)  t ik ( α ) , t kj ( β )= t ik-1 ( α ) t −kj1 ( β ) t ik ( α ) t kj ( β= ) t ik ( −α ) t kj ( −β ) t ik ( α ) t kj (β=) A 1   i   A = j    k    i  ↓ → 1   i   j    k    i  ↓ → 1   i   = j    k    → → → → i  ↓ → → → k  1   ↓   -α ← i   i       ×  j       k      1  j ↓ k  1   ↓   α ← i i       ×  j       k      1  j ↓ k  1   ↓   −α ← i   i       ×  j      −β  k      1  j ↓ αβ i  ↓ → → → i  ↓ →        ×     −β  ↑    j 1 j ↓             β    ↑  j 1 j ↓ → → i  ↓ → → → k ↓ k ↓             −β    ↑  j 1 j ↓ αβ k ↓ α 1   i   = j    k    i  ↓ → j ↓ αβ  → →    ← i    t αβ =  ij ( )        1 k ↓  t ij ( −α ) dig −1 ( β1 ,β2 ,,βn ) t ij ( α ) dig ( β1 ,β2 ,,βn=) B 2)  t ij ( α ) ,dig ( β1 ,β2 ,,βn )= 1  β   −1  dig ( β1 ,β2 ,,βn ) =     1 0  βn  1  β  β 0 1     Thật dig −1 ( β1 ,β2 ,,βn ) dig (=   β1 ,β2 ,,βn )  ×      1 βn  0   βn  1 0   =      1 0 β1  dig ( β1 ,β2 ,,βn ) dig −1 ( β=  ,β ,,β n )  0 1      β1     ×       1 βn    βn  1 0    =    1 0  β1 j 1  i     ↓      ← i  −α    B=   ×              1    j 1  β    ↓      α ← i       ×               1   βi  βj       ×       βn   1      ×       j ↓ α βj βi −α  βi  βj  βn    ← i  = t ij α ββ −1        1 ( 2.4.4 Định lý : (Nhóm giao hoán tử nhóm ma trận) 1) GL ( n, ) ,GL ( n, )  =SL ( n, ) 2) SL ( n, ) ,SL ( n, )  =SL ( n, ) 3) T ( n, ) ,T ( n, )  =UT ( n, ) 4)  UT r ( n, = ) , UTs ( n, ) UT r+s ( n, )( r+s ≤ n ) CHỨNG MINH 1) GL ( n, ) ,GL ( n, )  =SL ( n, )            j i ) Vậy A, B thuộc GL ( n, ) det ( A -1B-1AB ) = det ( A−1 ) det ( B −1 ) det ( A ) det ( B ) = nên A −1B−1AB thuộc SL ( n, ) mà GL ( n, ) ,GL ( n, )  sinh nhoán tử [ A,B] , với A , B thuộc GL ( n, ) nên GL ( n, ) ,GL ( n, )  ⊂ SL ( n, ) β  Với t ij ( k ) chọn k = α , βi = 1, β j = để k = α  j − 1 theo bổ đề ta có  βi  ( ) β t ij ( k ) =t ij α  β j −1 = t ij ( α ) ,dig (1,1, , βi , , β j , ,1)  ( i ≠ j)  i    t ij ( α ) ,dig (1,1, , βi , , β j , ,1) , i ≠ j ∈ GL ( n, ) ,  β     i  t ij  α β j −1  ∈ GL ( n, ) ,GL ( n, )  Mà SL ( n, ) sinh ma trận nên ( β   i  ) t ij ( k= ) t ij α  βj −1 nên SL ( n, ) ⊂ GL ( n, ) ,GL ( n, ) Vậy GL ( n, ) ,GL ( n, )  =SL ( n, ) 2) SL ( n, ) ,SL ( n, )  =SL ( n, ) SL ( n, ) ,SL ( n, )  ⊂ SL ( n, ) hiển nhiên định nghĩa nhóm sinh tập hoán tử Ngược lại với t ij ( α ) ( i ≠ j) thuộc SL ( n, ) , ta t ij ( α=)  t ik ( α ) ,t kj (1)  , i,j,k khác mà  t ik ( α ) ,t kj (1)  ∈ SL ( n, ) ,SL ( n, )  có nên t ij ( α ) thuộc SL ( n, ) ,SL ( n, )  mà nhóm SL ( n, ) sinh ma trận t ij ( α ) ( i ≠ j) nên SL ( n, ) ⊂ SL ( n, ) ,SL ( n, )  Vậy SL ( n, ) ,SL ( n, )  =SL ( n, ) 3) T ( n, ) ,T ( n, )  =UT ( n, ) Với A,B thuộc T ( n, ) [ A,B] [ A,B] = A -1B-1AB mà det ( A -1B-1AB ) = nên [ A,B] với ( − 1) , mặt thuộc UT ( n, ) mà T ( n, ) ,T ( n, )  sinh hoán tử A,B thuộc T ( n, ) nên T ( n, ) ,T ( n, )  ⊂ UT ( n, ) Ngược lại với t ij ( k ) , ( i < j) chọn α= k , β=i , β=j để k = α βj βi khác ta có ( ( − 1)=) t ij ( k= ) t ij α βj βi  t ij ( α ) ,dig (1,1, , βi , , β j , ,1)  ∈ T ( n, ) ,T ( n, )    mà UT ( n, ) sinh ma trận t ij ( α ) ( i < j) nên UT ( n, ) ⊂ T ( n, ) ,T ( n, )  Vậy T ( n, ) ,T ( n, )  =UT ( n, ) s 4)  UT r ( n, ) , UT = ( n, ) UT r+s ( n, )  r + s ≤ n     Ta có  t ik ( α ) ,t kj ( β )= t ij ( αβ ) i,j,k khác với t ik ( α ) ∈ UT r ( n, ) nên k - ≥ r ; t kj ( β ) thuộc UT s ( n, ) nên j - k ≥ s j - = i k - i + j - k ≥ r + s nên t ij ( αβ ) thuộc UT r+s ( n, ) mà  UT r ( n, ) , UT s ( n, )  sinh hoán tử  t ik ( α ) ,t kj ( β )  ; i,j,k khác với t ik ( α ) ∈ UT r ( n, ) , t kj ( β ) thuộc UT s ( n, ) nên  UT r ( n, ) , UT s ( n, )  ⊂ UT r+s ( n, ) Ngược lại với t ij ( α )  j - i ≥ r + s  ta có t ij ( α= )  t ik ( α ) , t kj (1)  ; i,j,k   khác mà j - i ≥ r + s nên j - k + k - i ≥ r + s chọn k = i + r suy k - i = r j - k > s nên t ik ( α ) ∈ UT r ( n, ) ,t kj (1) thuộc UT s ( n, ) t ij ( α ) ∈  UT r ( n, ) , UT s ( n, )   j - i ≥ r + s    mà UT r+s ( n, ) sinh ma trận t ij ( α ) ;  j - i ≥ r + s  nên UT r+s ( n, ) ⊂  UT r ( n, ) , UT s ( n, )    s Vậy  UT r ( n, ) , UT = ( n, ) UT r+s ( n, )  r + s ≤ n    2.5 Tâm nhóm giao hoán tủ nhóm nhi diện D8 nhóm Quaternion Q8 2.5.1 Định nghĩa nhóm nhi diện D8 Trong nhóm tuyến tính tổng quát GL ( 2,Q ) 0 1  1 0 Xét : a =  0 1   −1  , b =  1 0   −1 Dễ thấy a = , b = , ba = ab3 =  Xét nhóm D GL ( 2,Q ) sinh phần tử a,b D8 = Do < a,b > ba = ab3 nên pần tủ D viết dạng b j với i ∈ {0,1} , j ∈ {0,1,2,3} 2.5.2 Định lý : a) Tâm nhóm D : C ( D8 ) = b b) Nhóm giao hoán tử nhóm D8 :  D8 ,D8  = b2 CHỨNG MINH a) Ta có b2 = ba ab = ab-1 a-1ba = b-1 hay -2 a-1b= a b= b2 a giao hoán với Vì b2 giao hoán với b nên b2 với phần tử nhóm D Bởi b ⊂ C ( D8 ) giao hoán Ngược lại : Ta chứng minh phần tử có dạng thuộc (0 ab k ≤ k ≤ 3) không C ( D8 ) Thật : aba ) b (= k = ab k abl b l l-k aba ) b ( ) (= l l ab = ab k b k k-l ab k abl = ab l ab k ⇔ ( k - l ) - ( l - k )   ⇔ k - l  Do Nếu ta chọn ≤ ≤l thỏa k-l  ab k C ( D8 ) không thuộc Dễ thấy b b3 = b-1 không giao hoán với C ( D8 ) Vậy b) ab k abl ≠ abl ab k Vì b2 a nên b b3 không thuộc = C ( D8 ) -1 aba= b= b-1 = ab2 a-1 = b ) ( aba ) (= -1 -1 2 b nên b2 nhóm chuẩn tắc D8 D8 Ta lại có b nhóm cấp nên D8 nhóm Abel Bởi b2  D8 ,D8  ⊂ b2 Mặt khác ta có = b2 a,b  = a-1b-1 = ab a,b  ∈  D8 ,D8  Vậy  D8 ,D8  = b2 2.5.3 Định nghĩa nhóm Quaternion Q8 Trong nhóm tuyến tinh tổng quát GL ( 2,C ) 0 i 0 1 Xét a =   , b =  −1     −i  ( a ba) -1 -1 = b b.b = b2 nên  −1 0 i 0 2 Dễ thấy a = , a= ba a= b b= 0 -i   −1 , =     Xét nhóm Q GL ( 2,C ) sinh phần tử a,b Q = < a,b > Do ba = a 3b nên phần tử Q viết dạng : a i b j vởi i ∈ {0,1} , j ∈ {0,1, 2,3} Định lý : 2.5.4 a) Tâm nhóm Q : C (= Q8 ) = a2 b2 b) Nhóm giao hoán tử Q [ Q8 = ,Q8 ] = a2 b2 CHỨNG MINH a) Trước hết , ta có a = b nên b giao hoán với a b2 hiển nhiên giao hoán với b nên b2 giao hoán với phần tử D Vậy b ⊂ C ( D8 ) Ngược lại Ta chứng minh phần tử có dạng abk ( ≤ k ≤ 3) không C ( D8 ) thuộc Thật , ta có ba = a b ⇒ aba = b ⇒ aba -1 = b.a -2 = b.b -2 = b -1 k -1 Do đó= : ab k abl ab = a a bl Do : ab k ab l ≠ ab l ab k Vì b C ( D8 ) = b = ( aba ) b -1 k l+2 b l-k+2 Tương tự : ab l ab k = b k-l+2 k ab = ab l ab l ab k ⇔ k - l  Chọn l cho k - l  ta có ab k ∉ C ( D8 ) b3 = b -1 không giao hoán với a nên b , b3 ∉ C ( D8 ) Vậy b) Theo ta có a -1ba a = b= b -1 nên a -1b 2= (a -1 ba= ) b-2 ∈ b2 nhóm chuẩn tắc Q8 Ta lại có Q8 [Q8 ,Q8 ] ⊂ b nhóm cấp nên Q8 nhóm Abel Bởi b2 -1 -1 Ngược lại , ta có = b ab [a,b] a= = b2 b2 [a,b] ⊂ [Q8 ,Q8 ] hay b ⊂ [ Q8 ,Q8 ] Do [ Q8 ,Q8 ] = b (a = ba ) b b -1 -1 b2 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] PGS.TS My Vinh Quang : Đại số đại cương NXB Giái dục , 1998 [2] PGS.TS My Vinh Quang : Bài tập đại số đại cương NXB Giái dục , 1998 [...]... theo t=i A = n định lý nhóm con sinh bởi 1 tập thì 2.3 TÂM CỦA CÁC LỚP NHÓM : Cho nhóm X, tập con C ( X )= ( ijk ) / ∀i,j,k ∈ X { a ∈ X / ax= xa , ∀x ∈ X } của X gọi là tâm của nhóm X 2.3.1 Mệnh đề : C(X) là nhóm con giao hoán của nhóm X và mọi nhóm con của C(X) đều là nhóm con chuẩn tắc của X CHỨNG MINH C ( X ) ≠ ∅ vì luôn có e là đơn vị của X mà ex= xe , ∀x ∈ X do đó e ∈ C ( X ) C ( X ) ổn định... là một nhóm CHỨNG MINH Với mọi ma trận A,B,C thuộc GL ( n. ) vì phép nhân ma trận có tính kết hợp nên (A.B).C = A.(B.C) Tồn tại phần tử đơn vị E là ma trận đơn vị cấp n mà A.E = E.A với mọi A thuộc GL(n.) , mọi ma trận A thuộc GL(n.) thì det(A) khác 0 nên luôn tồn tại ma trận nghịc đảo A-1 và= A.A −1 −1 A = A E Chương 2: TÂM VÀ NHÓM CON GIAO HOÁN TỬ CỦA MỘT SỐ LỚP NHÓM 2.1 ĐỊNH NGHĨA MỘT SỐ LỚP NHÓM... và f.g (= ijk )( i j)( k1) (= (= ( j1k ) mà f.g = g.f nên ( ik1) = ( j1k ) suy ra k = 1 hay f = I x , nếu f là một phép thế bất kỳ thì f có thể phân tích thnh tích các vòng xích độ dài 3 Suy ra C ( A n ) ⊂ {e} Vậy C ( A n ) = {e} 2.4 NHÓM CON GIAO HOÁN TỬ CỦA CÁC LỚP NHÓM Cho nhóm X , x và y là hai phần tử của X ta gọi phần tử x -1 y -1xy là hoán tử của x và y, ký hiệu [ x,y ] 2.4.1 Mệnh đề : 1) Nhóm. .. một nhóm con chuẩn tắc của S gọi là nhóm Klein CHỨNG MINH Bảng nhân của K như sau: 4 , • e e (12 )( 34 ) (13)( 24 ) (14 )( 23) e (12 )( 34 ) (13)( 24 ) (14 )( 23) (12 )( 34 ) (12 )( 34 ) e (14 )( 23) (13)( 24 ) (13)( 24 ) (13)( 24 ) (14 )( 23) e (12 )( 34 ) (14 )( 23) (14 )( 23) (13)( 24 ) (12 )( 34 ) e Nhìn vào bảng nhân ta thấy K là nhóm con giao hoán của nhóm S4 Do đó, K là nhóm con chuẩn tắc của. .. : 2.1.1 Nhóm phép thế : (Sn ,.) là một nhóm vì phép nhân của các ánh xạ có tính kết hợp, có đơn vị e là phép thế đồng nhất e= = x I(1= ) ( 2= ) = ( n ) Mọi phép thế f thuộc Sn đều có nghịch đảo là ánh xạ ngược f 1 của f 2.1.2 Mệnh đề Bộ phận A n gồm các phép thế chẵn là một nhóm con chuẩn tắc của Sn CHỨNG MINH Trước hết ta chứng minh A n là nhóm con của Sn : tích của hai phép thế chẵn là một phép... n, ) với m –1 đường chéo phía trên song song với đường chéo chính bằng 0 2.1.5 Định lý : Các khẳng định sau là đúng: 1) SL ( n, ) là nhóm con của GL ( n, ) 2) T ( n, ) là nhóm con của GL ( n, ) 3) D ( n, ) là nhóm con của nhóm T ( n, ) 4) UT ( n, ) là nhóm con của T ( n, ) 5) UT ( n, ) ≥ UT1 ( n, ) ≥ UT 2 ( n, ) ≥ … ≥ UT m-1 ( n, ) ≥ UT m ( n, ) CHỨNG MINH 1) Với mọi A,B ∈ SL ( n, )=... x và y là hai phần tử của X ta gọi phần tử x -1 y -1xy là hoán tử của x và y, ký hiệu [ x,y ] 2.4.1 Mệnh đề : 1) Nhóm con A sinh bởi tập các hoán tử của tất cả các cặp x,y của x là nhóm con chuẩn tắc của X, ký hiệu A = [ X,X ] 2) X [ X,X ] là nhóm abel 3) H là nhóm con chuẩn tắc của X thì ( X H Abel ⇔ [ X,X ] ⊂ H ) CHỨNG MINH 1) ∀a ∈ A , ∀x ∈ X Đặt b = a -1x -1ax thì b ∈ A -1 -1 -1 -1 Ta = có a.b... ta chứng minh A n là nhóm con của Sn : tích của hai phép thế chẵn là một phép thế chẵn và nghịch đảo một phép thế chẵn là một phép thế chẵn nên A n ổn định với phép toán trong Sn mà Sn là nhóm hữu hạn nên A n là nhóm con của Sn Để chứng minh A n là nhóm con chuẩn tắc của Sn thì cần chứng minh với mọi f thuộc A n và với mọi g thuộc Sn thì g −1fg thuộc A n Thật vậy 2 = sign(g -1fg) sign(g -1 )sign(f)sign(g)... = {e} , [ A 2 ,A 2 ] = {e} Ta có S 3 là nhóm cấp 6, A 3 là nhóm cấp 2 và A 3 là nhóm con chuẩn tắc của S 3 nên nhóm thương S3 A3 là nhóm cấp 2 nên là nhóm Abel do đó [S3 ,S3 ] ⊂ A 3 Xét f = (123) thì f có thể phân tích = f Mà A 3 = (123) 123) (13) (12 ) (13)(12 ) ∈ [ S3 , S3 ] (= −1 −1 nên A 3 ⊂ [S3 ,S3 ] Vậy [S3 ,S3 ] = A 3 -1 -1 -1 A 3 là nhóm cấp 3 nên là nhóm Abel, với mọi a,b thuộc A 3 thì a=... lý nhóm con sinh bởi một tập thì k k k=1 = Sn 2) Ta luôn= có ( ij)( ik ) ( ij) / ∀i,j ∈ X = ( ijk ) , ( ij)( k1) ( i1j)( jk1) mà mỗi phép thế bậc chẵn thì có thể phân tích thành một số chẵn các chuyển trí và theo trên cứ tích hai chuyển trí cho ta một hay 2 vòng xích độ dài 3 do đó f= thuộc A n thì f n ∏ ( i j k ) ; i ,j ,k t t t t t t ∈ X nên theo t=i A = n định lý nhóm con sinh bởi 1 tập thì 2.3 TÂM ... 1.2 Nhóm phép : Chương 2: TÂM VÀ NHÓM CON GIAO HOÁN TỬ CỦA MỘT SỐ LỚP NHÓM 2.1 ĐỊNH NGHĨA MỘT SỐ LỚP NHÓM : 2.2 TẬP SINH CỦA MỘT SỐ LỚP NHÓM : 16 2.3 TÂM CỦA... định tập sinh lớp nhóm đó; xác định tâm lớp nhóm phép thế, ma trận; xác định nhóm giao hoán tử dựa vào tập sinh nhóm phép thế, ma trận xác định tâm nhóm giao hoán tử nhóm nhi diện D , nhóm Quaternion... TÂM CỦA CÁC LỚP NHÓM : 22 2.4 NHÓM CON GIAO HOÁN TỬ CỦA CÁC LỚP NHÓM 28 2.5 Tâm nhóm giao hoán tủ nhóm nhi diện D nhóm Quaternion Q8 36 2.5.1 Định nghĩa nhóm nhi diện