Nhóm các tự đẳng cấu của một nhóm và nhóm hoàn chỉnh

Lời nói đầu Lý thuyết nhóm ra đời đã đợc hơn một trăm năm và ngày càng tỏ ra có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học và vật lý hiện đại. Mặc dầu đã trải qua một quá trình phát triển lâu dài nhng việc khảo sát các lớp nhóm cụ thể vẫn là một bài toán hấp dẫn nhiều ngời quan tâm đến toán học. Luận văn này tập trung nghiên cứu lớp nhóm hoàn chỉnh, đó là lớp nhóm với tâm tầm thờng và mỗi tự đẳng cấu của nó đều là một tự đẳng cấu trong. Luận văn gồm bốn tiết: Tiết Đ1. Nhắc lại khái niệm tâm của một nhóm và các tính chất liên quan. Kết quả chính của tiết này là chứng minh đợc rằng với n 3 nhóm đối xứng S n có tâm tầm thờng (Mệnh đề 1.6) Tiết Đ2. Xây dựng nhóm các tự đẳng cấu và các nhóm tự đẳng cấu trong của một nhóm. Trong tiết này đã mô tả khá tờng minh nhóm các tự đẳng cấu của các nhóm quen thuộc Z, Z m và Q (Mệnh đề 2.2) Tiết Đ3. Nêu khái niệm nhóm hoàn chỉnh và các tính chất đặc trng của nó. Kết quả chính của tiết này là chứng minh đợc rằng với n 2, n 6 nhóm đối xứng S n là nhóm hoàn chỉnh (Mệnh đề 3.3). Tiết Đ4. Xây dựng nhóm toàn hình của một nhóm cho trớc và chứng minh đợc rằng: Nếu G là nhóm hoàn chỉnh thì nhóm toàn hình Hol (G) đẳng cấu với tích trực tiếp G ì G. Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn của PGS -TS . Lê Quốc Hán. Nhân dịp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy về những sự giúp đỡ tận tình, chu đáo và những gợi ý thiết thực. Tôi cũng xin cảm ơn các thầy, các cô trong tổ Đại số và các bạn học cùng lớp đã động viên, giúp đỡ tôi hoàn thành bản luận văn này. Đứng trớc một đề tài nghiên cứu không phải là mới nhng lại rất khó, trong lúc đó trình độ và thời gian có hạn nên sẽ không tránh khỏi những thiếu sót mong đợc sự giúp đỡ của các thầy, các bạn bổ sung, sửa chữa góp ý những khiếm khuyết để bản luận văn đợc hoàn thiện hơn. Tác giả Đ1. Tâm của một nhóm. 1 Trong tiết này, chúng tôi sẽ trình bày các khái niệm tâm tập, hoán tập của một nhóm và chứng tỏ rằng với n 3, nhóm các phép thế S n có tâm tầm thờng. 1.1. Định nghĩa: Giả sử G là một nhóm, H là nhóm con và M là tập con của G. Khi đó: Tập hợp C H (M):= { } Mm,mm,Hxx x = đợc gọi là tâm hoá của tập M theo nhóm con H. Tập hợp: N H (M): = { } MM,Hhh h = đợc gọi là cái chuẩn hoá của tập M theo nhóm con H. 1.2. Mệnh đề: i, N H (M) hn G. ii, C H (M) N H (M). Chứng minh: i) Giả sử e là đơn vị của G. Khi đó M e = e -1 Me = M nên e N H (M). Do đó N H (M) . Mặt khác, nếu h 1 , h 2 N H (M) thì h 1 , h 2 H nên h 1 1 2 h H (vì H là nhóm con của G) và 1 h M = M, 2 h M = M (M h2 ) 1 2 h = M 1 2 h M e = M 1 2 h 1 2 h MM = Do đó: M 1 21 hh = (M h1 ) 1 2 h = M 1 2 h = M Nên h 1 1 2 h N H (M). Vậy N H (M) là nhóm con của G. ii) Giả sử x C H (M), khi đó x H và m x = m mxxMm 1 = m, Mm,xmxMMm = Giả sử x C H (M), khi đó x H và m x = m m M x -1 mx = m, m M mx = xm , Mm Giả sử a M x = x -1 Mx m M sao cho: a = x -1 mx = x -1 (mx) =(x -1 x)m = m M. Do đó M x M. Nếu a M thì ax = xa , nên a = x -1 ax = a x M x nên M M x . 2 Vậy M x = M và do đó x N H (M). Suy ra C H (M) N H (M) Tơng tự nh chứng minh N H (M) là nhóm con của C H (M) ta chứng minh đợc C H (M) là nhóm con của N H (M) Thật vậy, giả sử h N H (M). Khi đó h H và M h = M h -1 Mh = M Mh = hM. Giả sử a M h = h -1 Mh = h -1 (Mh) = (h -1 h) M = M. Do đó M h M. Nếu a M thì ah = ha nên a = h -1 ah = a h M h từ đó suy ra m h = m , m M . Do đó h C H (M) suy ra N H (M) H C (M) Ta hãy chứng minh: C H (M) N H (M) Thật vậy, giả sử h C H (M) và g N H (M). Khi đó h H và g H và hm = mh , m M. M g = M . Vì H là nhóm con của G nên g -1 hg H. Khi đó: hgg 1 m = m , m M. Thật vậy, vì m = M g = g -1 mg nên m 1 M sao cho: m = g -1 m 1 g g -1 m 1 = mg -1 . Do đó g -1 hgm = g -1 hg. g -1 m 1 g = g -1 hm 1 g = g -1 m 1 hg ( vì h C H (M) và m 1 ).M = mg -1 hg m = (g -1 hg) -1 m (g -1 hg) = hgg 1 m . Do đó g -1 hg C H (M) nên C H (M) N H (M) 1.3. Định nghĩa: Cho G là một nhóm. Khi đó tập hợp C(G): = { } Gx,xx,Ggg g = đợc gọi là tâm của nhóm G. 1.4. Hệ quả: C (G) G Chứng minh: Nếu là H = M = G thì: N H (M) = G và C H (M) = C (G) Theo mệnh đề 1.2, ta có C H (M) N H (M) ta suy ra C (G) G 1.5. Định nghĩa: 3 Nhóm G đợc gọi là nhóm không tâm, nếu tâm của G chỉ gồm một phần tử đơn vị. 1.6. Mệnh đề. Giả sử S n là nhóm các phép thế bậc n và A n là nhóm thay phiên bậc n. Khi đó: i) với n 3 , S n là nhóm không tâm ii) với n 4 , A n là nhóm không tâm Chứng minh: Trớc hết, ta chú ý rằng mỗi phép thế bậc n đều có thể phân tích đợc thành tích các chuyển trí (ij). Mặt khác vì (ij) = (1i). (1j). (1i), nên S n đợc sinh bởi các chuyển trí dạng (12), (13) , ., (1n). Mặt khác, vì mỗi phép thế chẵn là tích của một số chẵn các chuyển trí và (ij)(ik) = (ijk); (ij) (kl) = (ilj) (jkl) nên nhóm thay phiên A n đợc sinh bởi các phép thế bậc ba (ijk). Ta lại có mỗi phép thế bậc n đều phân tích đợc thành tích của các vòng xích độc lập, nên nó không giao hoán đợc với các chuyển trí khi n 3. Và không giao hoán đợc với các vòng xích độ dài bằng ba (jkl) với n 4 (ở đây các chữ khác nhau kí hiệu với những số khác nhau). Nên S n với n 3 và A n với n 4 là nhóm không tâm. Chú ý rằng S 2 và S 3 là những nhóm Aben, nên tâm của nửa nhóm trùng với chính nhóm ấy. 1.7. Mệnh đề: Giả sử G là nhóm nhân các ma trận vuông cấp n không suy biến trên trờng K. Khi đó G có tâm không tầm thờng. Chứng minh: Ta hãy chứng minh { } * KI)G(C = trong đó I là ma trận đơn vị cấp n. Thật vậy, nếu A là ma trận dạng với * K , thì GB ta có: A.B = ( ).B = (IB) = B = B . B. = BA nên A C (G). 4 Đảo lại, nếu A = [ ] ),G(Ca nxnij thì trớc hết ATAT ijij = (trong đó T ij = I + I ij , với I ij là ma trận vuông cấp n có phần tử 1a ij = còn tất cả các phần tử còn lại bằng không), ta suy ra A là ma trận vô hớng, nghĩa là K sao cho A = . Vì A là ma trận không suy biến nên .0 Do đó: { } * KI)G(C = C (G) I . Vậy tâm của G không tầm thờng. 1.8. Định nghĩa: Giả sử S là một tập và G là một nhóm với đơn vị là e, ta hiểu tác dụng của G trên S (bên trái) là ánh xạ G x S G, sao cho nếu kí hiệu xs là ảnh của cặp (x,s) đối với ánh xạ đó (x SsvàG ) thì đối với mọi x,y G và s S đều có: (xy)s = x(ys) và es = s Khi đó ta nói rằng G tác dụng trên tập S (bên trái) và cũng nói rằng S là một G - tập. 1.9. Nhận xét: Xét G - tập S. Khi đó với mỗi x G cảm sinh một ánh xạ T x : S S cho bởi công thức T x (s) =xs với mọi s S. Khi đó T xy (s) = (xy)s = x(ys) = T x (T y (s)) = = Ss,ses)s(TvàTTTnênSs),s(TT eyxxyyx === nên T e là phép đồng nhất của S. Hơn nữa e x.x x x e xx 1xx TTTTvàTTTT 111 ==== nên 1 x T là nghịch đảo của T x . Do đó T x là một song ánh từ S lên chính nó. Chú ý rằng mỗi song ánh từ S lên chính nó đợc gọi là một phép thế của S kể cả khi S vô hạn hay hữu hạn và tập hợp tất cả các phép thế của S với phép nhân ánh xạ lập thành một nhóm, nó đợc gọi là nhóm các phép thế của tập S và đợc kí hiệu là g s . Từ công thức T xy = yx TT ta suy ra ánh xạ: : G g s x T x 5 là một đồng cấu từ nhóm G vào nhóm các phép thế của S và ta nói rằng G biểu diễn đợc dới dạng nhóm các phép thế. 1.10. Ví dụ: Giả sử G là một nhóm. Với mỗi phần tử x G, ta xác định ánh xạ GG: x bởi công thức 1 x xgx)g( = . Khi đó ánh xạ (x,g) xgx -1 = g x gọi là phép liên hợp. (Thật vậy Gg,Gy,x ta có (xy,g) xyg (xy) -1 = xygy -1 x -1 = x(y,g)x -1 = (x,(y,g)) và (e,g) = ege -1 = g) = )ab(cóGb,a x xabx -1 = xax -1 . xbx -1 = xxx nên)b()a( là một tự đồng cấu của G. Hơn nữa 1 x là nghịch đảo của x nên x là một song ánh, và do đó x là một tự đẳng cấu của G. Vì vậy ta thấy ánh xạ x x là một đồng cấu từ nhóm G vào nhóm các tự đẳng cấu của nó. Hạt nhân của đồng cấu này là ớc chuẩn của G, gồm tất cả các phần tử x G sao cho x (g) = g, Gg hay xgx -1 = g, Gg , nghĩa là xg = gx, Gg và do đó x thuộc tâm của G. Nh vậy, hạt nhân đó chính là tâm của nhóm G. Chú ý rằng, nhờ các phép liên hợp, G cũng tác dụng trên tập các tập con của nó. Thật vậy, giả sử S là tập tất cả các tập con của G và giả sử A S . Khi đó xAx -1 cũng là một tập con của G, và ta sẽ kí hiệu là x (A) . Thế thì ánh xạ (x , A) xAx -1 = A x từ tích G x S vào S xác định tác dụng của G trên S. Hơn nữa, nếu A là nhóm con của G thì A x cũng là nhóm con của G (Thật vậy, x 21 Ag,g ta có g 1 = a x , g 2 = b x với a,b A khi đó: xx1111111111 21 A)ab(xxabxxbxax)xbx(xaxgg ==== , vì A là nhóm con của G và a,b A. Do đó A x là nhóm con của G). Nh vậy: nhờ phép liên hợp G cũng tác dụng trên tập tất cả các nhóm con. 1.11. Định nghĩa: Giả sử G tác dụng lên tập S và s là một phần tử cố định của S. Khi đó, tập con của S gồm tất cả các phần tử có dạng xs (trong đó x G ) đợc kí hiệu là G s và đợc gọi là quỹ đạo của phần tử s đối với nhóm G. 1.12. Định nghĩa: 6 Giả sử G tác dụng lên tập S và s là một phần tử cố định của S. Khi đó, tập hợp G s : {x G sxs = } là một nhóm con của G và đợc gọi là nhóm đẳng hớng của phần tử s trong G. 1.13. Bổ đề: Giả sử G tác dụng lên tập S. Khi đó: (i) Nếu s và s ' là hai phần tử của S sao cho gs = s ' với g nào đó thuộc G thì G s và G s' liên hợp với nhau. (ii) Cấp (hoặc độ dài) của quỹ đạo G s trùng với chỉ số (G : G s ). Chứng minh: (i) Trớc hết, ta kiểm tra lại rằng G s là nhóm con của G. Thật vậy, vì es = s nên e G nếu x G s thì xs = s nên x -1 xs = x -1 es hay es = x -1 s x -1 s = s 1 x G s . Hơn nữa, nếu x,y s G thì xs = s và ys = s nên xyz = xs = s xy s G Vậy G s là nhóm con của G. Bây giờ, giả sử gs = s ' khi đó gG s g -1 giữ s ' không đổi và gG s g -1 giữ s cố định nên gG s g -1 =G s' , hay G s và G s' liên hợp với nhau. (ii) Đặt H = G s . Khi đó xH = yH x -1 y H x -1 y G s (x -1 y)s = s ys = xs. Vì vậy, tơng ứng f: S H G xH xs là một ánh xạ và nó cảm sinh một song ánh từ tập các lớp ghép bên trái G/ H lên quỹ đạo G s . Do đó cấp (hoặc độ dài) của quỹ đạo G s trùng với chỉ số (G: H) hay trùng với (G:G s ) 1.14. Mệnh đề: Giả sử G là tác dụng lên tập S. Khi đó: i) Hai quĩ đạo phân biệt của nhóm G không giao nhau ii) Nếu S hữu hạn và S = i Ii Gs là một phân hoạch của S thì Cadr (S) = Ii (G : Gs i ) (1) Chứng minh: 7 i) Giả sử hai quĩ đạo Gs 1 và Gs 2 có chung phần tử s thì tồn tại g G sao cho s = gs 1 . Khi đó Gs = Ggs 1 = Gs 1 . Tơng tự Gs = Gs 2 và do đó Gs 1 = Gs 2 ii) Công thức trên suy ra trực tiếp từ bổ đề 1.13 và định nghĩa phân hoạch (Nếu Gs i Gs J thì Gs i = Gs J ). Chú ý rằng công thức (1) đợc gọi là công thức phân tích thành các quỹ đạo. 1.15. Hệ quả: Nếu G là nhóm hữu hạn, thì (G : 1) = Cx x )G:G( (2) trong đó C là tập các đại diện của các lớp khác nhau của các phần tử liên hợp (công thức (2) đợc gọi là công thức các lớp). Chứng minh: Giả sử G tác dụng lên chính nó bằng các liên hợp và Z(G) là tâm của G. Khi đó g Z(G) xg = gx, Gg hay xgx -1 = g { } gG g = , nghĩa là phần tử nằm trong tâm của G khi và chỉ khi quĩ đạo của phần tử đó trùng với chính nó, và vì vậy nó gồm một phần tử. Tổng quát, cấp của quĩ đạo của phần tử x bằng chỉ số cái chuẩn tắc hoá của nó. Do đó, nếu G là nhóm hữu hạn thì công thức (1) có dạng: (G : 1) = Cx x )G:G( trong đó C là tập các đại diện của các lớp khác nhau của các phần tử liên hợp. Hệ quả đợc chứng minh. 1.16. Định nghĩa: Nhóm G đợc gọi là p - nhóm nếu G là nhóm hữu hạn mà cấp là luỹ thừa của một số nguyên tố p. 1.17. Mệnh đề: Giả sử G là p - nhóm hữu hạn có cấp lớn hơn 1. Khi đó G có tâm không tầm thờng. Chứng minh: Giả sử G tác dụng trên chính nó bằng các liên hợp. Theo công thức về lớp ta có: (G : 1) = (Z : 1) + )G:G( x 8 trong đó Z là tâm của G và hạng tử (Z:1) tơng ứng với các quỹ đạo gồm 1 phần tử, nghĩa là các phần tử thuộc Z. Tổng ở vế phải lấy theo tất cả các quỹ đạo khác, vì vậy mỗi chỉ số (G : G s ) > 1 và chia hết cho p theo giả thiết (Vì 1pG n > ) Vì p\ G và vì vậy p\ Z { } eZ nên G có tâm không tầm thờng. 1.18. Mệnh đề: Giả sử G là nhóm hữu hạn cấp lớn hơn 1. Khi đó G có tâm không tầm thờng. Chứng minh: Vì G là nhóm hữu hạn và cấp của nó lớn hơn 1 nên tồn tại số nguyên tố p chia hết cho cấp của G. Gọi Z là tâm của G và sử dụng công thức về lớp: (G : 1) = (Z : 1) + )G:G( x Z là tâm của G và hạng tử (Z : 1) tơng ứng với các quĩ đạo gồm 1 phần tử, nghĩa là các phẩn tử thuộc Z. Tổng ở vế phải lấy theo tất cả các quĩ đạo khác, vì vậy mỗi chỉ số (G : G x ) > 1 và chia hết cho p. Vì p\ G p\ Z { } eZ nên G có tâm không tầm thờng Đ2. Nhóm các tự đẳng cấu 2.1. Đặt vấn đề: Giả sử G là một nhóm tuỳ ý. Khi đó tập hợp các song ánh từ G lên chính nó cùng với phép nhân ánh xạ lập thành một nhóm, kí hiệu là S(G). Nếu không sợ nhầm lẫn, ngời ta cũng gọi S(G) là nhóm các phép thế của G, cả khi G không phải là nhóm hữu hạn. Tập hợp các đồng cấu từ G vào chính nó cùng với phép nhân ánh xạ là một vị nhóm với phần tử đơn vị là phép đồng nhất, kí hiệu End(G). Nói chung End(G) không phải là một nhóm. Tập hợp các tự đẳng cấu của nhóm G cùng với phép nhân ánh xạ là một nhóm, gọi là nhóm các tự đẳng cấu của nhóm G và đợc kí hiệu là Aut(G). 9 Ta có Aut(G) là nhóm con của nhóm S(G), và là nhóm con của vị nhóm End(G). Trong trờng hợp G là nhóm Aben và phép toán trong G đợc kí hiệu theo lối cộng, ta đa vào End(G) phép toán cộng nh sau: )G(End, ta có: x GG: + xác định bởi: Gg,)g()g()g)(( +=+ . Khi đó: )gg()gg()gg)(( 212121 +++=++ = )g()g()g()g( 2121 +++ = )g()g()g()g( 2211 +++ = )g)(()g)(( 21 +++ nên + End (G). Khi đó End(G) cùng với phép cộng nói trên trở thành một nhóm Aben với phần tử không là ánh xạ không O : G G , O(g) = 0 , Gg và phần tử đối của là ánh xạ - đợc xác định bởi: (- ) : G G g -[ (g)] Mặt khác, End(G) là vị nhóm nhân theo lập luận trên, và luật phân phối của phép cộng đối với phép nhân đợc thử trực tiếp, nên End(G) trở thành một vành có đơn vị. Nói chung vành End(G) này không giao hoán. Kí hiệu (End(G)) * là tập hợp các phần tử khả nghịch của End(G), thì xét về lý thuyết tập hợp, ta có: Aut(G) = (End(G)) * . Dựa vào kết quả này, ta có thể mô tả đợc nhóm tự đẳng cấu của nhiều lớp nhóm Aben quen thuộc. 2.2. Mệnh đề: Giả sử Z là vành các số nguyên , Z m là vành các số nguyên thu gọn theo mô đun m, Q là trờng các số hữu tỷ. Thế thì: (i) End Z Z 10