Về nhóm CR tự đẳng cấu của siêu mặt kiểu vô hạn trong c2

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - DƯƠNG THỊ NGỌC OANH VỀ NHÓM CR TỰ ĐẲNG CẤU CỦA SIÊU MẶT KIỂU VÔ HẠN TRONG C2 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - DƯƠNG THỊ NGỌC OANH VỀ NHÓM CR TỰ ĐẲNG CẤU CỦA SIÊU MẶT KIỂU VÔ HẠN TRONG C2 Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NINH VĂN THU Hà Nội - 2016 LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành hướng dẫn dạy tận tình TS Ninh Văn Thu Nhân dịp này, tơi xin kính gửi tới Thầy lời cảm ơn chân thành sâu sắc Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Tốn - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội dạy bảo tơi tận tình suốt q trình học tập khoa Tơi xin gửi lời cảm ơn đến Phòng Sau Đại học nhà trường tạo điều kiện thuận lợi để tơi sớm hồn thành luận văn Nhân dịp tơi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, người thân bạn bè Những người bên cạnh ủng hộ, động viên, giúp đỡ vật chất tinh thần sống học tập Mặc dù thân tơi có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tơi mong nhận đóng góp ý kiến quý thầy, cô bạn Hà Nội, tháng 12 năm 2016 Dương Thị Ngọc Oanh Mục lục LỜI CẢM ƠN DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU MỞ ĐẦU NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số khái niệm giải tích phức 1.2 Tính chất địa phương ánh xạ bảo giác 1.3 Khái niệm điểm kiểu vô hạn theo nghĩa D’Angelo 1.4 Khái niệm trường vector chỉnh hình tiếp xúc 10 1.5 Một số kết hàm triệt tiêu cấp vô hạn 10 1.6 Định lý hoa Leau-Fatou 12 1.7 Đặc trưng trường vector chỉnh hình tiếp xúc với siêu mặt dạng ống C2 13 Nhóm CR tự đẳng cấu số lớp siêu mặt kiểu vô hạn C2 16 2.1 Nhóm G2 (MP , 0) 17 2.2 Nhóm CR tự đẳng cấu MP 18 2.3 Nhóm CR tự đẳng cấu siêu mặt dạng ống C2 22 2.4 Đặc trưng trường vector chỉnh hình tiếp xúc với MP TÀI LIỆU THAM KHẢO 25 36 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU • N, Z, Q, R, C: tương ứng tập số tự nhiên, tập số nguyên, tập số hữu tỷ, tập số thực, tập số phức • υ0 (f ): Ký hiệu cấp triệt tiêu hàm f dùng định nghĩa loại điểm vô hạn D’Angelo • Ký hiệu ≈ kết hợp với ký hiệu : Dùng cho ký hiệu bất đẳng thức sai khác số dương • C∞ -trơn: Dùng hàm khả vi liên tục cấp vơ hạn • P (z) = Pz (z) = • r ∂P (z): Đạo hàm theo biến z hàm P ∂z = {z ∈ C : |z| < r} với r > ký hiệu • ∆ = {z ∈ C : |z| < 0} := ∆∗0 = ∆ \ {0} • Giả sử M mầm siêu mặt quanh điểm p ∈ C2 Khi đó, nhóm tự đẳng cấu M (kí hiệu Aut(M )) tập hợp song chỉnh hình f : U → f (U )) thỏa mãn f (U ∩ M ) ⊂ M , U lân cận p C2 • Aut(M, p) = {f ∈ Aut(M ) : f (p) = p} nhóm ổn định M p • aut(M, p) = H = h1 (z1 , z2 ) ∂z∂ + h2 (z1 , z2 ) ∂z∂ Ở đây, H tiếp xúc với M , H trường vector chỉnh hình h1 , h2 hàm chỉnh hình lân cận p • aut0 (M, p) = H ∈ aut(M, p) : H(p) = • MP := {(z1 , z2 ) ∈ C2 : Re(z1 ) + P (z2 ) = 0}, P ∈ C ∞ (C) ν0 (P ) = +∞ • S∞ (P ) = {z2 ∈ ∆ : νz2 (P ) = +∞}, νz2 (P ) cấp triệt tiêu hàm P (z2 + ξ) − P (z2 ) ξ = • P∞ (MP ) tập hợp điểm có kiểu vơ hạn MP MỞ ĐẦU Giả sử (M, p) mầm siêu mặt Cn cho p điểm kiểu vô hạn theo nghĩa D’Angelo (gọi tắt kiểu vô hạn) Nhóm tự đẳng cấu M (kí hiệu Aut(M )) nhóm tất song ánh chỉnh hình lân cận M biến M vào M Nhóm ổn định M p (kí hiệu Aut(M, p)) nhóm tất tự đẳng cấu M biến p thành p Tập hợp tất trường vector chỉnh hình Cn tiếp xúc với M triệt tiêu p kí hiệu aut0 (M, p) Bài toán đặt mơ tả nhóm CR tự đẳng cấu Aut(M, p) mơ tả trường vector chỉnh hình tiếp xúc aut0 (M, p) mầm siêu mặt (M, p) Trong luận văn này, xét siêu mặt đặc biệt Cụ thể, chúng tơi xét mơ hình kiểu vô hạn MP định nghĩa sau MP := {(z1 , z2 ) ∈ C2 : Re z1 + P (z2 ) = 0}, P ≡ hàm C ∞ -trơn, triệt tiêu cấp vô hạn z2 = Nội dung luận văn tìm hiểu kết nhóm CR tự đẳng cấu Aut(MP , 0) mô tả trường vector chỉnh hình tiếp xúc aut0 (MP , 0) mơ hình kiểu vơ hạn MP Luận văn trình bày dựa theo báo “Infinitesimal CR automorphisms and stability groups of models in C2 " Atsushi Hayashimoto Ninh Văn Thu ([1]) Bố cục luận văn gồm hai chương: Chương I: Những kiến thức chuẩn bị Nội dung chương trình bày số kiến thức giải tích phức khái niệm hàm chỉnh hình, ánh xạ bảo giác, khái niệm trường vector chỉnh hình tiếp xúc, khái niệm điểm kiểu vô hạn theo nghĩa D’Angelo, Định lý hoa Leau -Fatou Đặc trưng trường vector chỉnh hình tiếp xúc với siêu mặt dạng ống C2 Chương II: Nhóm CR tự đẳng cấu số lớp siêu mặt kiểu vô hạn C2 Trong chương này, mô tả nhóm CR tự đẳng cấu số lớp siêu mặt kiểu vô hạn C2 mô tả trường vector chỉnh hình tiếp xúc MP Nội dung chủ yếu chứng minh Định lý 2.2.1, 2.3.1 2.4.1 Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm giải tích phức Giả sử Ω miền mặt phẳng phức C f hàm biến phức z = x + iy xác định Ω Định nghĩa 1.1.1 Hàm f gọi C - khả vi điểm z0 ∈ Ω tồn giới hạn f (z0 + h) − f (z0 ) h h→0 lim Khi đó, ta nói giới hạn đạo hàm phức f điểm z0 kí hiệu f (z0 ) Định nghĩa 1.1.2 Hàm f gọi chỉnh hình điểm z0 C khả vi lân cận điểm z0 Hàm f gọi chỉnh hình miền Ω chỉnh hình điểm miền H n1 ∈ C∗ Đạo hàm theo t t = αP (z2 ) hai vế phương trình (2.12) ý ν0 (P ) = +∞ ta nhận Re im1 αi − m1 −1 P (z2 ) m1 −1 + j1 aj1 k1 z2k1 + o(|z2 |k1 ) αi − bm1 n1 z2n1 + o(|z2 |n1 ) Pz2 (z2 ) j1 −1 P (z2 ) j1 −1 (2.14) =0 với z2 ∈ ∆ , j1 , n1 ∈ N aj1 k1 ∈ C Theo Bổ đề 1.5.1 Hệ 1.5.3, ta có m1 = n1 = b1 (z2 ) ≡ −β1 z2 + O(z2 ) với β1 ∈ R∗ Bây giờ, ta chứng minh b1 (z2 ) ≡ −β1 z2 Thật vật, giả sử ngược lại, từ phương trình (2.14) ta có Re iz2 Pz2 (z2 ) ≡ Re az + O(|z2 |) Pz2 (z2 ) + O(P (z2 )) ∆ với a ∈ C∗ vào phương trình (2.12) ta có (2.15) ≥ Mặt khác, ν0 (P ) = +∞ nên thay t = Re iz2 − iβ1 + O(|z2 |) P (z2 ) Pz2 (z2 ) + a10 + o(1) P (z2 ) ≡ (2.16) ∆ Vì vậy, từ phương trình (2.15) (2.16) ta có Re iaz2 + O(|z2 |) Pz2 (z2 ) + a10 + o(1) P (z2 ) ≡ (2.17) ∆ Điều mâu thuẫn với Bổ đề 1.5.1 Vậy, b1 (z2 ) ≡ −β1 z2 Bằng quy nạp, ta chứng minh bm (z2 ) = βm im+1 z2 với m ∈ N∗ , βm ∈ R∗ với m ∈ N∗ Thay t = αP (z2 ) vào phương trình (2.12), ta có Re iz2 + iβ1 (iα − 1)P (z2 ) + · · · + im βm (iα − 1)m P m (z2 ) + · · · Pz2 (z2 ) (2.18) + a10 + o(1) P (z2 ) ≡ 29 ∆ Đạo hàm hai vế phương trình (2.12) theo t t = αP (z2 ), ta có Re iz2 i2 β1 + i3 2β2 (iα − 1)P (z2 ) + · · · + im+2 mβm (iα − 1)m−1 P m (z2 ) + · · · Pz2 (z2 ) + ∞ ∞ jajk iα − j−1 P j−1 (z2 )z2k ≡ 0, j=1 k=0 hay Re iz2 + i2 − 2β1 ∞ β2 βm (iα − 1)P (z2 ) + · · · + im m (αi − 1)m−1 P m (z2 ) + · · · Pz2 (z2 ) β1 β1 ∞ jajk iα − j−1 P j−1 (z2 )z2k ≡ j=1 k=0 (2.19) ∆ Từ phương trình (2.18)và (2.19) ta suy 2β2 /β1 = β1 , 3β3 /β1 = β2 , , mβm /β1 = βm−1 , ngược lại, thay phương trình (2.19) vào (2.18), ta nhận phương trình phụ thuộc vào biến α, mâu thuẫn với Bổ đề 1.5.1 với α ∈ R Vì vậy, (β1 )m βm = m! với m ∈ N∗ Vì thế, h2 (z1 , z2 ) = iz2 + iβ1 z1 + i2 β12 βm z1 + · · · + im z1m + 2! m! = iz2 eiβ1 z1 với z2 ∈ ∆ Hơn nữa, (2.12) trở thành Re ∞ j ajk it − P (z2 ) z2k + iz2 Pz2 (z2 ) exp iβ1 it − P (z2 ) =0 (2.20) j,k=0 với (z2 , t) ∈ ∆ × (−δ0 , δ0 ) Đặt f (z2 , t) := Re ∞ j,k=0 ajk j it − P (z2 ) z2k với (z2 , t) ∈ ∆ × (−δ0 , δ0 ) Từ phương trình (2.20) ta có f (z2 , t) = −2Re iz2 Pz2 (z2 ) exp iβ1 it − P (z2 ) , ∀ (z2 , t) ∈ ∆ × (−δ0 , δ0 ) Điều suy f (z2 , t) triệt tiêu cấp vô hạn z2 = với t Pz2 (z2 ) triệt tiêu cấp vơ hạn z2 = ft (z2 , t) = −β1 f (z2 , t) Hệ ajk = với k ∈ N∗ j ∈ N Từ đó, ∞ aj0 it − P (z2 ) f (z2 , t) = Re j=0 j 30 Hơn nữa, phương trình ft (z2 , 0) = −β1 f (z2 , 0) kéo theo Re(ia10 ) + 2Re(ia20 )(−P (z2 )) + o(P (z2 )) = −β1 Re(a10 )(−P (z2 )) + o(P (z2 )) Điều suy Re(ia10 ) = 0, 2Re(ia20 ) = −β1 Re(a10 ) = −β1 a10 Tương tự, từ ftt (z2 , 0) = −β1 ft (z2 , 0) = β12 f (z2 , 0) ta có 2Re(i2 a20 ) + 3!Re(i2 a30 )(−P (z2 )) + o(P (z2 )) = β12 Re(a10 )(−P (z2 )) + o(P (z2 )) Phương trình suy Re(i2 a20 ) = 0, 3!Re(i2 a30 ) = β12 Re(a10 ) = β12 a10 Tiếp tục trình này, ta kết luận am0 = vậy, (iβ1 )m−1 a10 m! với m ∈ N∗ eiβ1 z1 − h1 (z1 , z2 ) ≡ a10 iβ1 Hơn nữa, h1 không triệt tiêu đồng nên a10 = Không giảm tính tổng qt, ta giả sử a10 < Trường hợp a10 > chứng minh tương tự Bây giờ, phương trình (2.20) với t = tương đương với 2Re iz2 Pz2 (z2 ) exp − iβ1 P (z2 ) = a10 sin(β1 P (z2 )) β1 (2.21) với z2 ∈ ∆ Do P liên tục z2 = nên ta giả sử |P (z2 )| < |βπ1 | với |z2 | < Hơn nữa, theo giả thiết thành phần liên thông điểm tập điểm P {0} nên tồn số thực r ∈ (0, ) cho < |P (r)| < |βπ1 | reπ/|a10 | < Cố định r gọi γ : (−∞, +∞) → ∆∗0 đường cong thỏa mãn dγ(t) = iγ(t) exp dt − iβ1 P (γ(t)) , γ(0) = r Đặt u(t) := P (γ(t)) với −∞ < t < +∞ Đạo hàm hàm u theo t sử dụng (2.21) ta có u (t) = a10 sin(β1 u) β1 Bằng tính tốn đơn giản, phương trình có nghiệm P (γ(t)) = u(t) = arctan β1 tan(β1 P (r)/2)ea10 t , −a < t < b (2.22) 31 Với −a < t < b, ta có t ie−iβ1 P (γ(s)) ds γ(t) = r exp t = r exp tan(β1 P (r)/2)ea10 s − 2i arctan i exp ds Vì vậy, t |γ(t)| = r exp sin arctan tan(β1 P (r)/2)ea10 s ds Do đó, có −∞ + r := lim |γ(t)| = r exp sin arctan t→−∞ tan(β1 P (r)/2)ea10 s ds −∞ = r exp e−a10 s sin π − arctan tan(β1 P (r)/2) −∞ = r exp sin arctan e−a10 s tan(β1 P (r)/2) +∞ = r exp − sin arctan = r exp − 2 = r exp − a10 ea10 s tan(β1 P (r)/2) 1+ +∞ d 1+ ds ea10 s tan(β1 P (r)/2) ea10 s tan(β1 P (r)/2) +∞ ds ds ds ea10 s tan(β1 P (r)/2) ea10 s tan(β1 P (r)/2) 2 arctan a10 tan(β1 P (r)/2) π ≤ r exp( ) < |a10 | = r exp Vì vậy, tồn dãy {tn } ⊂ R cho tn → −∞ γ(tn ) → r+ eiθ0 n → ∞ với θ0 ∈ [0, 2π) Hơn nữa, |P (r+ eiθ0 )| < | βπ1 | Tuy nhiên, a10 < P liên tục ∆ nên theo phương trình (2.22) ta có |P (r+ eiθ0 )| = |P ( lim γ(tn ))| = | lim P (γ(tn ))| = | n→∞ n→∞ Điều mâu thuẫn Vậy, ta kết luận h1 ≡ Trường hợp h1 ≡ π | β1 ... xúc với siêu mặt dạng ống C2 13 Nhóm CR tự đẳng cấu số lớp siêu mặt kiểu vô hạn C2 16 2.1 Nhóm G2 (MP , 0) 17 2.2 Nhóm CR tự đẳng cấu MP ... kiểu vô hạn theo nghĩa D’Angelo, Định lý hoa Leau -Fatou Đặc trưng trường vector chỉnh hình tiếp xúc với siêu mặt dạng ống C2 Chương II: Nhóm CR tự đẳng cấu số lớp siêu mặt kiểu vô hạn C2 Trong. .. GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - DƯƠNG THỊ NGỌC OANH VỀ NHÓM CR TỰ ĐẲNG CẤU CỦA SIÊU MẶT KIỂU VÔ HẠN TRONG C2 Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: