Vành tự đồng cấu của p nhóm abel

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Ngọc Dũng VÀNH TỰ ĐỒNG CẤU CỦA P – NHÓM ABEL LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Ngọc Dũng VÀNH TỰ ĐỒNG CẤU CỦA P – NHÓM ABEL Chuyên ngành : Đại số lý thuyết số Mã số : 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS PHẠM THỊ THU THỦY Thành phố Hồ Chí Minh – 2020 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan, bảo hướng dẫn TS Phạm Thị Thu Thủy, luận văn chuyên ngành Đại số lý thuyết số với đề tài: “Vành tự đồng cấu p - nhóm Abel” hồn thành nhận thức tìm hiểu thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn TP Hồ Chí Minh, tháng 05 năm 2020 Tác giả Nguyễn Ngọc Dũng LỜI CẢM ƠN Lời luận văn tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới cô giáo hướng dẫn TS Phạm Thị Thu Thủy, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình làm hồn thiện luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới q thầy khoa Tốn Tin học, trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh Q thầy trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ tơi nhiều việc hồn thành luận văn Tơi khơng qn bày tỏ lịng biết ơn quý thầy cô Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, đặc biệt q thầy phịng Sau Đại học tạo điều kiện thuận lợi để học tập làm việc suốt trình học Cao học Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, người thân bạn bè, người bên cạnh động viên, giúp đỡ, ủng hộ vật chất tinh thần suốt q trình học tập hồn thành luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng suốt q trình thực đề tài, song cịn có mặt hạn chế, thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp dẫn thầy cô giáo bạn học viên TP Hồ Chí Minh, tháng 05 năm 2020 Tác giả Nguyễn Ngọc Dũng MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nhóm Abel 1.2 Một số kết lý thuyết tập hợp Chương TỰ ĐỒNG CẤU CỦA NHÓM ABEL XOẮN 11 2.1 Định nghĩa số tính chất tự đồng cấu nhóm Abel 11 2.2 Tự đồng cấu p - nhóm Abel bị chặn 16 KẾT LUẬN 24 TÀI LIỆU THAM KHẢO 25 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU : Tập hợp số tự nhiên : Tập hợp số tự nhiên khác * : Tập hợp số nguyên : Tập hợp số hữu tỉ ai iI : Họ phần tử với i  I : Nhóm sinh phần tử a a : Vành số nguyên mod p p o a  : Cấp phần tử a hp  a  : p - độ cao phần tử a X : Lực lượng tập hợp X Hom  A, B  : Tập hợp đồng cấu nhóm từ A đến B End A : Tập hợp tự đồng cấu nhóm G : Tích trực tiếp nhóm Gi , i  I  Gi : Tổng trực tiếp nhóm Gi , i  I iI iI i LỜI MỞ ĐẦU Mọi nhóm Abel module vành tự đồng cấu mình, tính chất vành đồng cấu phản ánh nhiều thông tin thân nhóm Abel Mối quan hệ tính chất nhóm Abel tính chất vành đồng cấu đề tài nhận nhiều quan tâm Mặc dù trường hợp chung, kết vành tự đồng cấu nhóm Abel cịn rời rạc, lớp nhóm Abel xoắn, cụ thể p - nhóm Abel, nhiều kết đẹp đạt cơng trình Baer, Kaplansky, Richman, Walker, Pierce v.v Nội dung luận văn nghiên cứu trình bày có hệ thống kết tự đồng cấu p - nhóm Abel bị chặn Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Vành tự đồng cấu nhóm Abel xoắn Chương gồm Bài 2.1 trang bị kiến thức chung tự đồng cấu nhóm Abel Bài 2.2 trình bày kết tự đồng cấu p - nhóm Abel bị chặn Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày số khái niệm nhóm, đồng cấu nhóm, tổng trực tiếp, tích trực tiếp Trình bày định lý phổ dụng tổng trực tiếp, tích trực tiếp kết lý thuyết tập hợp Các kết chương sử dụng chương sau 1.1 Nhóm Abel Định nghĩa 1.1.1 Nhóm tập hợp G   , xác định phép tốn hai ngơi thỏa điều kiện: i) Với x, y , z  G ta có  x  y   z  x   y  z  ii) Tồn  G cho với x  G , ta có x    x  x iii) Với x  G , tồn   x   G cho   x   x  x    x   Nếu nhóm G thỏa mãn x  y  y  x với x  G G gọi nhóm Abel Trong luận văn nhóm xét nhóm Abel, nên để đơn giản ghi “nhóm” ta hiểu “nhóm Abel” Định nghĩa 1.1.2 Tập A nhóm G gọi nhóm G thỏa mãn điều kiện: i) A   ii) Với a, b  A ta có a   b   A Nhóm A G ký hiệu A  G Định nghĩa 1.1.3 Cho nhóm G phần tử a  G Cấp phần tử a số nguyên dương nhỏ n cho na  Kí hiệu cấp a o  a  Nếu không tồn số nguyên dương n ta quy ước o  a    Định nghĩa 1.1.4 Cho G nhóm Với số tự nhiên m , đặt G  m  x  G mx  0 Đồng cấu nhóm Định nghĩa 1.1.5 Cho hai nhóm G G Một ánh xạ f : G  G gọi đồng cấu nhóm với a, b  G ta có f  a  b   f  a   f  b  Tập hợp tất đồng cấu nhóm từ G đến G ký hiệu Hom  G , G   Ta ký hiệu End G  Hom  G , G  Nếu đồng cấu f đơn ánh (tồn ánh, song ánh) ta nói f đơn cấu (tồn cấu, đẳng cấu) nhóm Tổng trực tiếp tích trực tiếp Định nghĩa 1.1.6 Cho họ khơng rỗng nhóm Gi , i  I Khi tập tích Descartes G iI i với phép toán định nghĩa  xi    yi    xi  yi  với  xi  ,  yi    Gi iI tạo thành nhóm, gọi tích trực tiếp nhóm Gi , i  I Định lý 1.1.7 (Định lý tính phổ dụng tích trực tiếp) Cho họ nhóm X i iI , với nhóm X , họ đồng cấu  fi : X  X i iI phân   tích cách qua họ phép chiếu  pi :  X t  X i  Nói cách khác,  tI iI tồn đồng cấu f : X   X t cho fi  pi f với i  I tI Chứng minh Đồng cấu f xây dựng theo công thức sau: ! f X   Xt tI fi pi Xi Với x  X , f  x    f i  x  iI Khi hiển nhiên thỏa mãn điều kiện pi f  f i , với i  I Với x, x  X , ta có f  x  x    f i  x  x  iI   f i  x   f i  x  iI   f i  x  iI   f i  x  iI  f  x   f  x  Suy f đồng cấu Nếu có đồng cấu h : X   X t cho pi h  f i với x  X : tI h  x    pi h  x  iI   f i  x  iI  f  x  Suy h  f nghĩa f Định nghĩa 1.1.8 Cho họ khơng rỗng nhóm Gi , i  I Tập G iI i gồm x   xi iI , xi  Gi mà hầu hết trừ số hữu hạn thành phần xi  , nhóm Gi , i  I kí hiệu  G , gọi tổng trực tiếp nhóm iI i  Gi iI Định nghĩa 1.1.9 Cho họ  Ai iI nhóm nhóm G thỏa i) A G iI ii) i Với j  I ta có A j   iI ,i  j Ai  G gọi tổng trực tiếp nhóm Ai , i  I Nhận xét 1.1.10 Hai cách định nghĩa tổng trực tiếp tổng trực tiếp tương đương 11 Chương TỰ ĐỒNG CẤU CỦA NHĨM ABEL XOẮN Chương trình bày định nghĩa số tính chất tự đồng cấu nhóm Abel nhóm Abel xoắn Cuối trình bày chi tiết có hệ thống việc mơ tả tự đồng cấu p - nhóm Abel bị chặn 2.1 Định nghĩa số tính chất tự đồng cấu nhóm Abel Cho G nhóm Trên tập tất tự đồng cấu G , ký hiệu EndG , ta xét phép toán cộng phép toán nhân sau: Với cặp tự đồng cấu f f , g  End G , tổng  g  tích  fg  ánh xạ từ G tới G xác định theo công thức: f Với a  G , Dễ thấy, f  g  a   f  a   g  a   fg  a   f  g  a    g   fg  tự đồng cấu G Hơn EndG phép cộng phép nhân vành, gọi vành tự đồng cấu nhóm G  Ví dụ 2.1.1 End Chứng minh Ta xây dựng F :  End f 1 f Từ định nghĩa, hiển nhiên F đồng cấu vành Ta chứng minh F đơn cấu Cho f  End thỏa F  f   , nghĩa nên f  n   nf 1  với n  f 1  Khi đó, f  End Ta chứng minh F toàn cấu Thật vậy, với n  cho f 1  n Vậy End A  Ví dụ 2.1.2 End m  m m , tồn f  End 12 Chứng minh Ta xây dựng F : End m  m f 1 f Hiển nhiên F đồng cấu vành Ta chứng minh F đơn cấu Cho f  End f 1  Khi đó, f  End m m thỏa F  f   , nghĩa nên f  n   nf 1  với n  Ta chứng minh F toàn cấu Thật vậy, với n  m , tồn f  End m cho f 1  n Vậy End m  m Mệnh đề 2.1.3 Cho đẳng cấu nhóm f : A  C Khi ánh xạ f*: End A  End C  f  f 1 Là đẳng cấu vành Ta nói f : A  C cảm sinh f * : End A  End C Chứng minh Ta chứng minh f * đồng cấu vành Với  ,   End A tùy ý, ta có f *      f     f 1  f  f 1  f  f 1  f *    f *    f *    f  f 1  f  f 1 f  f 1  f *   f *    Lấy  ,   End A Giả sử f *    f *    f  f 1  f  f 1 Vì f đẳng cấu nên    Do f * đơn cấu Mặt khác, với   EndC tùy ý, xét   f 1 f  End A Khi f *    ff 1 ff 1   Vậy f * toàn cấu Vậy f * đồng cấu vành từ End A đến EndC Bổ đề 2.1.4 Cho nhóm C họ nhóm  Ai iI với I tập số tùy ý, ta có đẳng cấu nhóm Hom  A , C    Hom  A ,C  iI i iI i 13 Chứng minh Với i  I , với f  Hom  A ,C  , gọi iI i ji phép nhúng từ Ai vào  Ai Xét dãy đồng cấu: iI ji f Ai   Ai  C iI Khi fji  Hom  Ai , C  Bây ta định nghĩa:  : Hom  A , C  i iI f  Với f , g  Hom   Hom  A , C  iI i  fji iI  A , C  , ta có: iI i   f  g    f  g  ji iI   fji iI   gji iI    f     g   Lấy  fi iI   Hom  Ai , C  Khi đó, ta có họ  fi : Ai  C Theo Định lý iI tính phổ dụng tổng trực tiếp tồn đồng cấu f từ  Ai iI vào C thỏa fji  f i với i  I ,   f    fji iI   f i iI Vậy  đẳng cấu Bổ đề 2.1.5 Cho nhóm A họ nhóm C j  với J tập số tùy ý, jJ ta có đẳng cấu nhóm   Hom  A,  C j    Hom  A, C j   jJ  jJ Chứng minh   Với j  J , với f  Hom  A,  C j  , gọi  j phép chiếu từ  jJ  C j Xét dãy đồng cấu: C jJ j 14 f A   C jJ  j j  C j Khi  j f  Hom  A, C j  Bây ta định nghĩa:   : Hom  A,  C j    jJ    f  f j  Hom  A, C  j jJ jJ     đồng cấu Với f , g  Hom  A,  C j  , ta có:  jJ    f  g    j  f  g  jJ   j f  jJ   j g  jJ    f     g    f j cấu đẳng cấu Lấy f  j jJ   Hom  A, C j  Khi đó, ta có họ iI : A  C j  Theo Định lý tính phổ dụng tích trực tiếp tồn đồng f từ A vào C jJ j thỏa j f  fj với jJ ,   f    j f  jJ   f j  jJ Định lý 2.1.6 Cho họ nhóm  Ai iI B j  Khi tồn đẳng cấu jJ nhóm:   Hom   Ai ,  B j    Hom  Ai , B j  J  I  I J Chứng minh Áp dụng Bổ đề 2.1.4 Bổ đề 2.1.5, ta có:     Hom   Ai ,  B j    Hom  Ai ,  B j     Ai , B j     Ai , B j  jJ jJ i , j I  J  iI  iI   iI jJ Hệ 2.1.7 Cho G   Ai với Ai nhóm hồn tồn bất biến iI G Khi ta có đẳng cấu nhóm End G   End Ai iI 15 Chứng minh Theo Bổ đề 2.1.4, ta có End G  Hom  A ;G    Hom  A ;G  iI i j iI Mặt khác, với i  I , lấy f  Hom  Aj ; G  Do Ai nhóm bất biến hồn tồn G nên f  Ai   Ai ; suy f  End Ai Suy Hom  Ai ; G   End Ai Vậy End G   End Ai iI Hệ 2.1.8 Cho G nhóm xoắn G p p - thành phần G ( p số nguyên tố) Khi ta có đẳng cấu nhóm End G   End G p p Chứng minh Do G nhóm xoắn nên theo Định lý 1.1.17 ta có G  Gp Mặt khác, theo Định lý 1.1.20, G p nhóm hồn tồn bất biến G Vậy theo Hệ 2.1.7 End G   End G p p 16 2.2 Tự đồng cấu p - nhóm Abel bị chặn Định lý 2.2.1 ([3], [4]) Mọi nhóm bị chặn tổng trực tiếp nhóm cyclic Hệ 2.2.2 Mọi p - nhóm bị chặn tổng trực tiếp p - nhóm cyclic Mệnh đề 2.2.3 Giả sử A   Ai , với Ai  ei , o  ei   p mi , B nhóm bất iI kỳ Khi đó, với phần tử bi iI , bi  B thỏa o  bi   pmi , tồn   Hom  A, B  cho   ei   bi với i  I Chứng minh Ta xây dựng ánh xạ  sau: : A  B k e k b i i iI iI i i Quy tắc thực ánh xạ Thật vậy, giả sử  k e   k e iI k   k  e iI i i i i i  Mà A   Ai nên theo Tính chất 1.1.11, với i  I ta có iI  ki  ki  ei  Vì  ki  ki  bi  Suy o  ei   pmi  ki  ki  nên pmi kibi  ki bi với i  I Suy Mà o  bi   pmi iI i i iI i i  k e ,  l e  A ta có iI i i  iI i i      iI     ki ei   li ei       ki  li  ei     ki  li  bi   ki bi   li bi  iI iI iI iI         ki ei      li ei   iI   iI  Vậy  đồng cấu nhóm nên  k b   k b Vậy  ánh xạ Với i i iI iI 17 Giả sử có    Hom  A, B  thỏa    ei   bi Khi đó, với    iI     iI   k e  A ta có iI i i     ki ei    ki bi     ki ei  Suy     iI Hệ 2.2.4 Cho p số nguyên tố, A nhóm cyclic bậc p m B nhóm Khi Hom  A, B   B  p m  Chứng minh Giả sử A  a , với o  a   pm Khi đó, đồng cấu   Hom  A, B  hoàn   toàn xác định   a  , với pm  a    pm a    0  , hay   a   B  pm  Nên Hom  A, B   B  p m  Hơn nữa, với b  B  pm  , tồn đồng cấu   Hom  A, B  cho   a   b Do Hom  A, B   B  p m  Vậy Hom  A, B   B  p m  Mệnh đề 2.2.5 Ta có đẳng cấu nhóm Hom  pm ; pn  pk , với k  m, n Chứng minh Giả sử pm  em Ta xây dựng ánh xạ F sau: F: Hom  pm f Với f , g  Hom  pm ; pn ; pn   pn f  em   , ta có F  f  g    f  g   em   f  em   g  em   F  f   F  g  Vậy F đồng cấu nhóm 18 Giả sử f  Ker F Khi f  em   nên với am  km em  , ta có pm f  am   km f  em   Suy f  Vậy F đơn cấu Ta chứng minh Im F   Với pn  pm  Thật vậy: f  Hom pm f  em   f  pmem  Im F  pn ; pn  f 0  pn , ta F  f   f  em  có f  em   nên pn  p m  Suy Do  pm  p m a  Suy o  a   pm Theo Mệnh đề 2.2.3 có đồng cấu f  Hom pn pm  p m   Lấy a  Suy   pm ; pn  cho f  em   a Do a  Im F  p m   Im F Vậy Hom  pm ; pn  pn  p m   (vì nhóm cyclic cấp p k ) pk Bổ đề 2.2.6 Cho họ không rỗng p - nhóm  Ai iI m  Khi  A   p m i iI     Ai  p m  iI  Chứng minh Ta chứng minh  A   p    A  p  Lấy m i iI m i iI  Ai , i  I Khi p m   Suy iI p m  , với i  I Suy p iI m  a   A   p iI i iI i m  với  Theo Tính chất 1.1.11  Ai  pm  , với i  I Từ  a    A  p   m iI i iI i  A   p     A  p  Ta chứng minh   A  p     A   p  Lấy  a    A  p   bất kỳ, Vậy m iI m i iI i m iI i m m iI i iI i i iI với  Ai  pm  , i  I Suy p m  , với i  I Suy p m   iI 19 Suy  a   A   p i iI Vậy  A   p iI i m m i iI  Ai   p m   Ai  pm     iI iI  Vậy      Ai  p m  iI Bổ đề 2.2.7 Cho  Ai iI lượng Khi  Ai iI họ vơ hạn nhóm cyclic khác có lực  I Chứng minh Vì với j  I , ta có A j   Ai iI  Ai  với i  I Ai  nên iI ,i  j  I (1) Gọi E tập hợp tập hữu hạn Ai Vì I vơ hạn nên theo Định iI Ai  E Hơn Ai nhóm cyclic nên Ai  0 Suy lý 1.2.6 iI Ai  I 0  I (vì I  0 ) Suy E  I E  iI Với J tập hữu hạn I , ta xây dựng F sau:  Ai F: a a iJ i  E iI i i  J  , với  A, i  J Ta chứng minh F ánh xạ Giả sử  a   a   A iJ i iJ  i iI i J  J   ai, i  J , suy ai i  J   ai i  J  , suy F ánh xạ Mặt khác, a i i  J   ai i  J  rõ ràng  Ai iI Vậy từ (1) (2) suy  a   a , suy F iJ i  E  I  Ai iI  I iJ  i đơn ánh Do (2) 20 Bổ đề 2.2.8 Cho A, B p - nhóm bị chặn p m p n Khi Hom  A, B  p - nhóm bị chặn p k , với k  m, n Chứng minh   Lấy f  Hom  A, B  Với a  A , ta có pk f  a   f pk a    Vì p m A  nên p m a  Do f pm a   Vì p n B  nên p n f  a   Tóm tại, p k f  a   , với f  Hom  A, B  , với a  A Vậy Hom  A, B  p - nhóm bị chặn p k Bổ đề 2.2.9 Cho A p - nhóm A  a  B , với o  a   p s , s  * Khi h p  a   Chứng minh Giả sử a  pA Khi tồn a   A cho a  pa Vì a   A  a  B nên a  ma  b , với m  b  B Từ đó, ta có a  pma  pb , suy a  pma  pb  a  B  0 Do a  pma  hay a  pma , vô lý o  a   p s cịn o  pma   p s Vậy a  pA hay h p  a   Bổ đề 2.2.10 Cho p - số nguyên tố, A nhóm cyclic bậc p m B tổng trực tiếp nhóm cyclic bậc p n Đặt k  m, n Khi với đồng cấu f : A  B , ta có 1) o  f   p s với s  k 2) h p  f   k  s Chứng minh 1) Theo Bổ đề 2.2.8 Hom  A, B  bị chặn p k nên p k f  Suy o  f   p s với s  k 21 2) Trước hết, ta chứng minh f  p k s Hom  A, B  Thật vậy, theo Bổ đề 2.2.8 Hom  A, B  bị chặn p k nên với g  Hom  A, B  p k g  Mặt khác, o  f   p s nên p s f  Suy p s f  p k g với g  Hom  A, B  hay f  p k s g với g  Hom  A, B  Vậy p k s Hom  A, B    f  Bây giờ, ta chứng minh f  p k s1 Hom  A, B  Giả sử có g  Hom  A, B  cho f  p k s1 g Theo Bổ đề 2.2.8, ta có Hom  A, B  bị chặn p k nên   p s1 p k s1 g  p k g  Suy o  f   o pk s1 g  p s1 , mâu thuẫn với giả thiết o  f   p s  p s1 Vậy f  p k s1 Hom  A, B  Vậy f  pk s Hom  A, B  \ pk s1 Hom  A, B  nghĩa h p  f   k  s Mệnh đề 2.2.11 Cho p - số nguyên tố, A nhóm cyclic bậc p m B tổng trực tiếp  nhóm cyclic bậc p n Khi ta có đẳng cấu nhóm Hom  A, B     pk , với k  m, n Chứng minh Ta có A  pm ; B  pn Trường hợp 1:  hữu hạn Khi B   pn  Theo  Hom  A, B   Hom   Định p m ;  lý p n Vậy Hom  A, B     pk  Trường hợp 2:  vô hạn 2.1.6,     Hom   Theo Mệnh đề 2.2.5, ta có Hom   pm pk ;  pn pm ;  ta pn  pk , với k  m, n , với k  m, n có 22 Theo Hệ 2.2.4, ta có Hom  A, B   B  p m  Theo Bổ đề 2.2.6, ta có B  p m      pn   p m  , mà pn  pm  nhóm cyclic  vơ hạn nên theo Bổ đề 2.2.7 B  p m    Vậy Hom  A, B    (1) Ta chứng minh Hom  A, B     pk Theo Bổ đề 2.2.8, ta có Hom  A, B  p - nhóm bị chặn p k nên tổng trực tiếp p - nhóm cyclic bậc bé p k Do Hom  A, B    fi với o  fi   p si , si  k iI Theo Bổ đề 2.2.9, với i  I ta có hp  fi   Mặt khác, theo Bổ đề 2.2.10, ta có hp  fi   k  si Suy si  k với i  I Suy o  fi   p k với i  I hay Hom  A, B    Giả sử I hữu hạn Hom  A, B    iI pk  iI pk (2) pk iI có lực lượng hữu hạn, điều mẫu thuẫn Hom  A, B  có lực lượng vơ hạn Do I vơ hạn, nên theo Bổ đề 2.2.7  iI pk  I (3) Từ (1), (2) (3) suy I   Vậy Hom  A, B     pk Mệnh đề 2.2.12 Cho p - số nguyên tố, A tổng trực tiếp  nhóm cyclic bậc bậc p m B tổng trực tiếp  nhóm cyclic bậc p n Khi ta có đẳng cấu nhóm Hom  A, B      Chứng minh  pk , với k  m, n 23 Theo Bổ đề 2.1.4, ta có Hom  A, B   Hom Theo Mệnh đề 2.2.11, ta có Hom Hom  A, B       pk  pm  ,B     pm  pk  , B   Hom   pm  ,B , với k  m, n Vậy , với k  m, n Ghi 2.2.13 Cho G p - nhóm bị chặn p m Khi đó, theo Hệ 2.2.2 G   ei với o  ei   p m Đặt Ak  iI  o ei  p k ei G  A1  A2   Am Đến đây, ta có định lý quan trọng sau: Định lý 2.2.14 Cho G p - nhóm bị chặn p m G  A1  A2   Am , với Ai tổng trực tiếp  i nhóm cyclic bậc p i với i  1, m Khi ta có đẳng cấu nhóm  Hom  Ai ; Aj  i , j 1 m End G  với Hom  Ai ; Aj     i j pk , k  i; j Chứng minh: Theo Định lý 2.1.6 End G  Hom  Ai ; Aj     i j pk  Hom  Ai ; Aj  Theo Mệnh đề 2.2.12 m i , j 1 , k  i; j 24 KẾT LUẬN Trong luận văn thực cơng việc sau: Trình bày số kết tự đồng cấu nhóm Abel (Mệnh đề 2.1.3, Hệ 2.1.8) Trình bày chi tiết có hệ thống việc mơ tả tự đồng cấu p - nhóm Abel bị chặn (Mệnh đề 2.2.11, Mệnh đề 2.2.12, Định lý 2.2.14) 25 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] L Fuchs, Abelian groups Springer Monographs in Mathematics, 2015 [2] Nguyễn Viết Đông Trần Huyên, Đại số đồng điều Nhà xuất Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh, 2006 [3] H Prüfer., “Untersuchungen über die Zerlegbarkeit der abzählbaren primären abelschen Gruppen”, Math Z, Vol 17, pp 35–61, 1923 [4] R Baer., “The decomposition of enumerable, primary, abelian groups into direct summands”, Q J Math Oxford, Vol 6, pp 217–221, 1935 ... Nhóm Abel 1.2 Một số kết lý thuyết t? ?p h? ?p Chương TỰ ĐỒNG CẤU CỦA NHÓM ABEL XOẮN 11 2.1 Định nghĩa số tính chất tự đồng cấu nhóm Abel 11 2.2 Tự đồng cấu p - nhóm Abel. .. cấu p - nhóm Abel bị chặn 2.1 Định nghĩa số tính chất tự đồng cấu nhóm Abel Cho G nhóm Trên t? ?p tất tự đồng cấu G , ký hiệu EndG , ta xét ph? ?p toán cộng ph? ?p toán nhân sau: Với c? ?p tự đồng cấu. .. C? ?p phần tử a hp  a  : p - độ cao phần tử a X : Lực lượng t? ?p h? ?p X Hom  A, B  : T? ?p h? ?p đồng cấu nhóm từ A đến B End A : T? ?p h? ?p tự đồng cấu nhóm G : Tích trực ti? ?p nhóm Gi , i  I