vành địa phương và vành tự đồng cấu địa phương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN ĐỨC VIỆT VÀNH ĐỊA PHƯƠNG VÀ VÀNH TỰ ĐỒNG CẤU ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An– 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN ĐỨC VIỆT VÀNH ĐỊA PHƯƠNG VÀ VÀNH TỰ ĐỒNG CẤU ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 05 Người hướng dẫn khoa học: PGS TS NGÔ SỸ TÙNG Nghệ An– 2013 MỤC LỤC MỤC LỤC………………………………………………………………… MỞ ĐẦU…………………………………………………………………… .2 VÀNH ĐỊA PHƯƠNG…………………………………………………….4 1.1 Các phần tử đặc biệt vành………………………………………… 1.2 Khái niệm vành địa phương………………………………………………5 1.3 Một số đặc trưng vành địa phương………………………………… VÀNH TỰ ĐỒNG CẤU ĐỊA PHƯƠNG……………………………… 11 2.1 Định nghĩa……………………………………………………………….11 2.2 Các tính chất…………………………………………………………… 11 KẾT LUẬN ……………………………………………………………… 21 TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………… .22 MỞ ĐẦU Việc mở rộng lớp vành vấn đề nhà nghiên cứu lý thuyết vành môđun quan tâm thời gian gần Đặc biệt, lớp vành địa phương có vai trò quan trọng thân lý thuyết vành mà có ứng dụng số ngành toán học khác Năm 1938, Wolfgang Kull đưa khái niệm vành địa phương, với tính chất chúng Vành tự đồng cấu môđun nội xạ không phân tích có tính chất vành thương Jacobson thể Một vành gọi vành địa phương tập hợp phần tử không khả nghịch đóng kín phép cộng Dựa vào tài liệu “Modules and Rings” F Kasch (Xem [3]) nội dung luận văn nhằm tìm hiểu vành địa phương vành tự đồng cấu địa phương, với điều kiện môđun M R vành tự đồng cấu End ( M R ) vành địa phương Vì chọn đề tài nghiên cứu luận văn “Vành địa phương vành tự đồng cấu địa phương” Ngoài phần mở đầu, phần kết luận, luận văn bố cục thành hai chương: Chương Vành địa phương Trong chương trình bày kiến thức vành địa phương, số tính chất đặc trưng vành địa phương Chương Vành tự đồng cấu địa phương Trong chương trình bày với điều kiện môđun M R vành tự đồng cấu End ( M R ) vành địa phương 3 Bản luận văn hoàn thành làm việc nghiêm túc thân hướng dẫn giúp đỡ tận tình thầy giáo PGS TS Ngô Sỹ Tùng Nhân dịp xin chân thành cảm ơn thầy giáo PGS TS Ngô Sỹ Tùng, thầy cô giáo môn Đại số, Ban chủ nhiệm khoa Toán, Phòng Đào tạo Sau đại học trường Đại học Vinh, thầy cô giáo phản biện quan tâm dành thời gian đọc đóng góp nhiều ý kiến quý báu, tạo điều kiện để giúp đỡ trình học tập nghiên cứu Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn tới gia đình, đồng nghiệp bạn bè động viên suốt trình học tập Trong qua trình học tập, nghiên cứu viết luận văn, cố gắng nỗ lực, song thời gian kiến thức hạn chế nên nhiều thiếu sót Kính mong góp ý thầy cô bạn học viên để luận văn hoàn thiện Nghệ An, tháng năm 2013 Tác giả CHƯƠNG I VÀNH ĐỊA PHƯƠNG Trong suốt toàn luận văn, vành giả thiết vành có đơn vị ký hiệu môđun môđun phải unita 1.1 Các phần tử đặc biệt vành 1.1.1 Phần tử lũy đẳng Định nghĩa Cho vành R, e ∈ R, e gọi lũy đẳng e = e Hệ Nếu e lũy đẳng ⇒ e n = e, ∀n ≥ Nếu e lũy đẳng ⇔ − e lũy đẳng 1.1.2 Phần tử lũy linh Định nghĩa Cho vành R, x ∈ R gọi lũy linh tồn n ≥ để xn = 1.1.3 Phần tử nghịch đảo Định nghĩa Cho vành R (có đơn vị 1), r ∈ R r gọi nghịch đảo phải tồn r ' ∈ R : rr ' = r gọi nghịch đảo trái tồn r ' ∈ R : r ' r = r gọi nghịch đảo vừa nghịch đảo trái, vừa nghịch đảo phải Hệ (i) Nếu u có phần tử khả nghịch phải v phần tử khả nghịch trái v ' v = v ' u khả nghịch (hai phía) với u ' = v = v ' để uu ' = u ' u = (ii) Nếu x lũy linh, suy − x khả nghịch 5 1.2 Khái niệm vành địa phương 1.2.1 Định nghĩa Cho vành R , đặt: A = {Phần tử không khả nghịch R } R gọi vành địa phương : a1 , a2 ∈ A ⇒ a1 + a2 ∈ A 1.2.2 Ví dụ Ví dụ Mỗi thể vành địa phương Ví dụ Giả sử R vành giao hoán, ℘ iđêan nguyên tố R , S = R \℘ Xét tập : F = R × S Trên F xác định quan hệ hai “ ∼ ” sau: ( a, r ) ∼ (b, s ) tồn t ∈ S cho tsa = trb Dễ thấy ∼ quan hệ tương đương.Tập thương F / ∼ ký hiệu R℘ hay S −1R Mỗi phần tử R℘ ký hiệu a Như r a  R℘ = S −1R =  a ∈ R, r ∈ S  Trên R℘ xác định phép cộng phép nhân r  sau: a b as + br + = r s as a b ab = Có thể kiểm tra để thấy r s as với hai phép toán R℘ vành địa phương Tập hợp x  A =  ∈ S −1R x ∈℘ gồm phần tử không khả nghịch A đóng kín đối r  với phép cộng Thật vậy, với sx + ry ∈℘ ; nghĩa x y + ∈ A r s Vậy R℘ vành địa phương x y x y sx + ry , ∈ A , ta có: + = với r s r s rs Ví dụ Vành chuỗi: Cho R vành đơn vị , giao hoán ∞ R[[x]]={α = ∑ x i ∈ R , x = 1} i =0 ∞ ∞ i =0 Phép cộng : Với α = ∑ x i β = ∑ bi x i , ∞ α + β = ∑ (ai + bi ) xi ∞ Phép nhân: α β = γ , với γ = ∑ ci x i Trong đó: ck = ∑ a b , k = 0,1,2, , ∞ i j i + j =k Khi R[[x ]] vành đơn vị e = 1x + x + = Phần tử không: = x + x + Mỗi phần tử α = a0 x + a1 x + + an x n + gọi chuỗi ∞ Tính chất Phần tử α = ∑ x i khả nghịch R[[x]] i =0 hệ tử a0 khả nghịch R Mệnh đề R[[x]] vành địa phương R địa phương Chứng minh [ ⇒ Cho R[[x]] địa phương, chứng minh R địa phương Lấy r ∈ R , r không khả nghịch suy α = rx + 1x + x + không khả nghịch R[[x]] Do R[[x]] địa phương nên − α khả nghịch mà − α = (1 − r ) x + 1x + x + Suy − r khả nghịch R Suy R địa phương (do điều kiện Định lý 1.3.1) ⇐ ] Cho R địa phương, chứng minh R[[x]] địa phương ∞ Lấy α = ∑ x i ∈ R[[x]] i =0 Nếu α không khả nghịch R[[x]] suy a0 không khả nghịch R Do R địa phương suy − a0 khả nghịch R Mà − α = (1 − a0 ) x + a1 x + a2 x + ⇒ − α khả nghịch Suy R[[x]] địa phương □ Ví dụ Giả sử K trường, K [[x]] tập hợp chuỗi lũy thừa ∞ hình thức f ( x) = ∑ xi , ∈ K f ( x) ∈ K [[x ]] , f ( x) không khả nghịch i =0 a0 = Do tập phần tử không khả nghịch đóng kín phép cộng Vậy theo Định nghĩa 1.2.1 K [[x]] vành địa phương 1.3 Một số đặc trưng vành địa phương 1.3.1 Định lý Cho A tập hợp phần tử không khả nghịch vành R đó, mệnh đề sau tương đương: (1) R vành địa phương (2) A ⊲ R RR ( iđêan hai phía) (3) A iđêan phải thực lớn (3’) A iđêan trái thực lớn (4) Trong R tồn iđêan phải thực lớn (4’) Trong R tồn iđêan trái thực sự, lớn (5) ∀r ∈ R r − r khả nghịch phải (5’) ∀r ∈ R r − r khả nghịch trái (6) ∀r ∈ R r − r khả nghịch Chứng minh Ta chứng minh định lý cho trường hợp “bên phải” Trường hợp “bên trái” tương tự (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4) ⇒ (5) ⇒ (6) ⇒ (1) Xét bổ đề : Với giả thiết (1) phần tử khả nghịch phía suy khả nghịch hai phía Chứng minh bổ đề: Lấy b khả nghịch phải suy bb ' = Ta chứng minh b khả nghịch trái Tức chứng minh b ' b = Trường hợp 1: b ' b ∉ A Suy b ' b khả nghịch Suy ∃s : sb ' b = ⇒ sb ' bb ' = b ' ⇒ sb = b ' ⇒ bb ' = Trường hợp 2: bb ' ∈ A ⇒ − bb ' ∉ A Vì − bb ' ∈ A ⇒ b ' b + (1 − b ' b) = 1∈ A (vô lý) ⇒ − bb ' khả nghịch ⇒ s (1 − b ' b) = ⇒ s (1 − b ' b)b ' = b ' ⇒ sb '− sb ' bb ' = b ' ⇒ sb '− sb ' = b ' ⇒ b ' = (vô lý b ' b = ) Suy trường hợp không xảy Vậy bổ đề chứng minh (1) ⇒ (2) : Để chứng minh A ⊲ R ta cần chứng minh ∀a ∈ A, ∀r ∈ R ar ∈ A  ra ∈ A Ta chứng minh ar ∈ A Nếu ar ∉ A, ∃s : ars = ⇒ a ( rs ) = ⇒ a khả nghịch phải, theo bổ đề suy a khả nghịch Suy a ∉ A vô lý Vậy ar ∈ A (2) ⇒ (3) : + A thực sự, ∉ A + A lớn Lấy B ⊲ R (thực hai phía) b ∈ B ⇒ bR ⊆ B R ⇒ bR ≠ R Suy b khả nghịch Suy b ∈ A (3) ⇒ (4) : Hiển nhiên (4) ⇒ (5) : Gọi C iđêan thực lớn Lấy r ∈ R Giả sử r − r rR ⊲ RR rR ⊆ C ⇒ r ∈ C không khả nghịch phải Suy  ⇒ (1 − r ) R ⊆ C ⇒ − r ∈ C (1 − r ) ⊲ RR Do C ⊲ R đóng kín cộng, suy r + (1 − r ) = 1∈ C ⇒ C = R (vô lý) Suy r − r khả nghịch phải (5) ⇒ (6) : Ta cần chứng minh r khả nghịch bên phải r khả nghịch bên trái Giả sử tồn s ∈ R cho rs = (*) Xét phần tử sr Nếu sr không khả nghịch bên phải thì, theo (5), − sr khả nghịch bên phải Do tồn t ∈ R cho = (1 − sr )t (**) Nhân hai vế (**) với r kết hợp với (*), ta được: r = r (1 − sr )t = (r − rsr )t = ( r − r )t = Trái với giả thiết rs = Vì sr khả nghịch bên phải, tức tồn u ∈ R cho sru = Nhân hai vế đẳng thức với sr kết hợp với (*), ta được: 10 sr = sr ( sru ) = s ( rs )ru = sru = Nghĩa là, r khả nghịch bên trái Vậy r khả nghịch (6) ⇒ (1) : Trước hết chứng minh a ∈ A, r ∈ R suy ar ∈ A Nếu ar ∉ A suy ar khả nghịch Do ars = ⇒ a (rs ) = suy a khả nghịch phải Tương tự chứng minh a khả nghịch trái Suy a khả nghịch Suy a ∉ A (vô lý) Nếu a1 , a2 ∈ A Giả sử a1 + a2 ∉ A ⇒ (a1 + a2 ) s = ⇒ a1s = − a2 s a s ∈ A Theo ta có  ⇒ a1s không khả nghịch a s ∈ A  Theo (6) suy − a1s = a2 s khả nghịch Suy a2 s ∉ A (vô lý) Suy a1 + a2 ∈ A 1.3.2 Hệ Cho R vành địa phương A iđêan gồm tất phần tử không khả nghịch R Khi : a) R A thể b) Mọi phần tử không khả nghịch trái (phải) R khả nghịch c) Mọi vành khác không ảnh vành địa phương qua toàn cấu vành địa phương Đặc biệt : Ảnh đẳng cấu vành địa phương địa phương 1.3.3 Địnhlý Môđun xạ ảnh hữu hạn sinh vành địa phương môđun tự 11 CHƯƠNG II VÀNH TỰ ĐỒNG CẤU ĐỊA PHƯƠNG 2.1 Định nghĩa 2.1.1 Định nghĩa Cho môđun M , ký hiệu: End ( M ) = { f : M → M tự đồng cấu môđun} với: Phép cộng: ( f + g )( x ) = f ( x) + g ( x ) Phép nhân: ( fg )( x) = f ( g ( x)) Thì End ( M ) có vành đơn vị đồng cấu đồng nhất, ta gọi End ( M ) vành tự đồng cấu môđun M 2.1.2 Định nghĩa Ta nói M R môđun không phân tích thành tổng không biểu diễn thành tổng hai môđun thực (tức môđun khác khác M R ) 2.2 Các tính chất 2.2.1 Hệ Cho phần tử r thuộc vành R đó: 1) Nếu r lũy linh r không khả nghịch, − r khả nghịch 2) Nếu r lũy đẳng suy − r lũy đẳng 3) Nếu r lũy đẳng khả nghịch r = 2.2.2 Hệ Cho vành R điều kiện sau tương đương: i R không phân tích bên trái ii R không phân tích bên phải iii R có hai lũy đẳng 12 (Vành R gọi không phân tích bên trái (phải) R = A ⊕ B với A, B iđêan trái (phải) R A = B = ) Chứng minh Chỉ cần chứng minh (i ) ⇔ (iii ) (ii ) ⇔ (iii ) (i ) ⇒ (iii ) : Giả sử e lũy đẳng R Suy − e lũy đẳng có eR = e = ⇒ RR = eR ⊕ (1 − e) R Do (i) suy  (1 − e) R = eR = R ⇒ e = Vậy có (iii) (iii ) ⇒ (i ) : Nếu RR = A ⊕ B ( A, B iđêan phải R ) Theo Định lý phân tích vành tổng quát (2.2.3) suy A = Re; B = Rf , với e = e, f = f ef = fe = 0, e + f = ⇒ f = − e Do (iii) e = ⇒ A = e = ⇒ f = suy B = Vậy R không phân tích bên trái □  2.2.3 Định lý (Định lý phân tích vành tổng quát) a) Cho vành R thỏa mãn R = ⊕ Ai với Ai ⊲ R R , thì: i∈I (i).Tập I hữu hạn ( I = I = {1,2, , n} ) (ii) Ai = Rei , ∀i ∈ I Trong ei thỏa mãn ei = ei , ∀i ∈ I ei e j = 0, ∀i, j ∈ I , i ≠ j (*) e1 + e2 + + en = 13 b) Ngược lại: Nếu vành R có họ lũy đẳng {e1 , e2 , , en } thỏa mãn điều kiện (*) R = Re1 ⊕ Re2 ⊕ ⊕ Ren Hơn ei lũy đẳng tâm ( ∀i = 1, n ) Rei iđêan hai phía Chứng minh a) Do 1∈ R nên từ giả thiết R = ⊕ Ai ta có i∈I = e1 + e2 + en , ei ∈ Ai (**) Với ∀r ∈ R ⇒ r = re1 + re2 + + ren ∈ Re1 + Re2 + + Ren ; Rei ∈ Ai ⇒ R ⊆ Re1 + Re2 + + Ren ⇒ R = Re1 + Re2 + + Ren Với ∀ai ∈ Ai (i = 1, n) ta có = e1 + e2 + + en Do R = ⊕ Ai tổng trực tiếp (trong) nên biểu diễn i∈I ⇒ e j = 0,(∀j = 1, n, j ≠ 1) ⇒ = ei ∈ Rei ⇒ Ai ⊆ Rei ⇒ Ai = Rei Vậy R = A1 ⊕ A2 ⊕ ⊕ An suy ( i) chứng minh Từ (**) ta có: ei = ei e1 + ei e2 + + ei ei + + ei en Lý luận tương tự suy ei = ei ei = ei Nên ei lũy đẳng ei e j = 0, ∀i ≠ j = 1, n b) Với ∀r ∈ R , 14 = e1 + e2 + + en ⇒ r = re1 + re2 + + ren ⇒ R = Re1 + Re2 + + Ren n Với ∀k ∈1, n ta chứng minh Rek ∩ ∑ Rei = i =1 i ≠k Thật vậy: n Giả sử a ∈ Rek ∩ ∑ Rei i =1 i≠k ⇒ a = rk ek (1) n ⇒ a = ∑ re i i (2) i =1 i≠k (1) ⇒ aek = rk ek ek = rek = a n (2) ⇒ a = aek = ∑ re i i ek = i =1 i ≠k ⇒a=0 Do R = Re1 + Re2 + + Ren Nếu ei thuộc tâm: ei x = xei , ∀x ∈ R, i = 1, n ⇒ rei x = rxei ∈ Rei , ∀r , x ∈ R; ⇒ Rei ⊲ RR ⇒ Rei ⊲ R 2.2.4 Định lý Cho M R S := End ( M R ) , điều kiện sau tương đương: i M không phân tích ii SS không phân tích S không phân tích iii S iv S có hai lũy đẳng 15 Chứng minh Do Hệ 2.2.2 có (ii ) ⇔ (iii ) ⇔ (iv) Vậy cần chứng minh (i ) ⇔ (iv ) (i ) ⇒ (iv) : Gọi e phần tử lũy đẳng S Ta có: M = e( M ) ⊕ (1 − e) M Thật : M = e( M ) + (1 − e) M e( M ) ∩ (1 − e) M = Do Ker (e) = (1 − e) M , ta chứng minhh điều này: x ∈ Ker (e) ⇒ e( x) = ⇒ x = e( x) = x ⇒ (1 − e) x = x ⇒ x ∈ (1 − e) M x ∈ (1 − e) M ⇒ ∃y ∈ M : x = (1 − e) y ⇒ x = y − e( y ) ⇒ e( x) = e( y ) − e2 ( y ) = Do M không phân tích nên : Hoặc : e( M ) = ⇒ e = Hoặc: (1 − e) M = ⇒ − e = ⇒ e = (iv) ⇒ (i ) : Giả sử M = A ⊕ B Đặt e:M → M x = a + b ֏ a(a ∈ A) Suy e ∈ End ( M ) Ta có: e = e Bởi vì: ∀x ∈ M , x = a + b(a ∈ A), e ( x) = e(e( x)) = e( a) = a = e( x) Theo giả thiết (iv) ta có : Hoặc e = ⇒ A = M ⇒ B = Hoặc e = ⇒ A = 16 Từ M không phân tích 2.2.5 Định lý Cho môđun M khác không Nếu M không phân tích có độ dài hữu hạn vành tự đồng cấu M vành địa phương phần tử không khả nghịch lũy linh Chứng minh Để chứng minh Định lý ta chứng minh Mệnh đề nêu Mệnh đề Cho môđun M có độ dài hữu hạn ϕ tự đồng cấu M Khi ta có: ∃n0 ∈ ℕ, ∀n ≥ n0 : M = Im(ϕ n ) ⊕ Ker (ϕ n ) Theo giả thiết Định lý, M có độ dài hữu hạn nên theo Mệnh đề ∃n0 ∈ ℕ, ∀n ≥ n0 : M = Im(ϕ n ) ⊕ Ker (ϕ n ),(ϕ ∈ End ( M )) Do M không phân tích nên: Hoặc Im(ϕ n ) = ⇒ ϕ n = ⇒ ϕ lũy linh, suy − ϕ khả nghịch Hoặc Ker (ϕ n ) = ⇒ Kerϕ = ⇒ ϕ đơn cấu M Artin (do M có độ dài hữu hạn) suy ϕ đẳng cấu, suy ϕ khả nghịch Vậy End ( M ) vành địa phương Nếu ϕ ∈ End ( M ) không khả nghịch suy Im(ϕ n ) = ⇒ ϕ n = ⇒ ϕ lũy linh □ 2.2.6 Hệ Nếu S := End ( M ) vành địa phương suy M môđun không phân tích Chứng minh Theo Định lý 2.2.4 cần chứng minh S có hai lũy đẳng Giả sử e ∈ S lũy đẳng mà e ≠ 0, e ≠ 17 Khi − e lũy đẳng − e ≠ 0,1 − e ≠ Do lũy đẳng khả nghịch có , mà e ≠ 1,1 − e ≠ ⇒ e − e không khả nghịch Do S địa phương nên đóng kín không khả nghịch Suy = e + (1 − e) không khả nghịch Suy vô lý Vậy e = e = 1.□ 2.2.7 Định lý Cho M môđun nội xạ không phân tích Khi vành tự đồng cấu M địa phương Chứng minh Cho ϕ ∈ End ( M ) ϕ đơn cấu Do M nội xạ, ϕ ∈ End ( M ) ⇒ Im(ϕ ) nội xạ Suy Im(ϕ ) ⊂ ⊕ M , M không phân tích nên Im(ϕ ) = M ⇒ ϕ đẳng cấu ⇒ ϕ khả nghịch Từ ta có nhận xét: Với môđun M giả thiết Định lý, ϕ ∈ End ( M ) khả nghịch ϕ đơn cấu hay Ker (ϕ ) = 0, suy ϕ ∈ End ( M ) không khả nghịch Ker (ϕ ) ≠ Cho ϕ1 ,ϕ ∈ End ( M ),ϕ1 ,ϕ không khả nghịch nên Ker (ϕ1 ), Ker (ϕ ) ≠ Mặt khác M môđun nội xạ không phân tích nên M bất khả quy Suy ≠ Ker (ϕ1 ) ∩ Ker (ϕ2 ) ⊂ Ker (ϕ1 + ϕ2 ) ⇒ ϕ1 + ϕ không khả nghịch Theo 1.2.1 tập phần tử không khả nghịch End ( M ) đóng kín phép cộng nên End ( M ) địa phương □ 2.2.8 Định lý Giả sử PR ≠ môđun xạ ảnh PR môđun không phân tích thành tổng S := End ( PR ) vành địa phương 18 Chứng minh [⇒ Giả sử PR không phân tích thành tổng Ta cần chứng minh s ∈ S s − s khả nghịch Ta có PR = Im( s ) + Im(1 − s ) Vì PR môđun không phân tích thành tổng nên Im( s ) = P Im(1 − s ) = P Nếu Im( s ) = P s : PR → PR toàn cấu chẻ ra, chẳng hạn t Khi PR = Im(t ) ⊕ Ker (t ) Vì PR ≠ t đơn cấu nên Im(t ) ≠ Do PR không phân tích thành tổng nên Ker ( s ) = Vậy s đẳng cấu, tức s khả nghịch Nếu Im(1 − s ) = P − s khả nghịch ⇐] Giả sử S vành địa phương PR = A + B , với A B môđun thực PR Gọi p : P → P / B phép chiếu tắc q= p A Rõ ràng q toàn cấu Vì PR môđun xạ ảnh nên tồn đồng cấu f : PR → A cho qf = p Đặt i : A → PR phép nhúng tắc s = if ∈ S Vì S vành địa phương nên chẳng hạn s khả nghịch Khi với x ∈ PR tồn y ∈ PR cho x = s ( y ) = if ( y ) = f ( y ) ∈ A Vậy A = PR Nếu − s khả nghịch B = PR Trái với giả thiết A B hai môđun thực PR Điều chứng minh PR môđun không phân tích thành tổng □ 19 2.2.9 Định lý Giả sử M R ≠ 1) Nếu M R môđun Artin Noether có môđun n không phân tích M , M , , M n cho M R = ⊕ M i i =1 2) Nếu M R có độ dài hữu hạn có môđun M , M , , M n n với End ( M i ) vành địa phương cho M R = ⊕ M i i =1 Chứng minh 1) Trường hợp M R môđun Artin Gọi Γ tập hạng tử trực tiếp B ≠ M R Γ ≠ ∅ M R ∈ Γ Do M R môđun Artin nên Γ có phần tử tối tiểu, chẳng hạn, B0 Khi hiển nhiên B0 môđun không phân tích Lại gọi Λ tập môđun C M R cho tồn môđun không phân tích B1 , B2 , , Bk mà M R = B1 ⊕ B2 ⊕ ⊕ Bk ⊕ C Vì tồn hạng tử không phân tích B0 nên Λ ≠ ∅ Lại có M R = M ⊕ M ⊕ ⊕ M n ⊕ C0 Rõ ràng C0 = C0 ≠ C0 môđun Artin nên C0 có hạng tử trực tiếp môđun không phân tích được, chẳng hạn C0 = M n+1 ⊕ C1 , với M n +1 môđun không phân tích được; trái với giả n thiết tối tiểu C0 Vậy M R = ⊕ M i , với M i môđun không phân tích i =1 Trường hợp M R môđun Noether Gọi Γ tập hạng tử trực tiếp B ≠ M R M R ; Γ ≠ ∅ 0∈ Γ Do M R môđun Noether nên Γ có phần tử tối đại, chẳng hạn, B0 20 M R = B0 ⊕ A0 Khi hiển nhiên A0 môđun không phân tích Lại gọi Λ tập môđun C M R cho tồn môđun không phân tích B1 , B2 , , Bk mà C = B1 ⊕ B2 ⊕ ⊕ Bk C hạng tử trực tiếp M R Vì tồn hạng tử không phân tích A0 nên Λ ≠ ∅ Lại M R môđun Noether nên Λ có phần tử tối đại, chẳng hạn C0 có cách phân tích C0 = M ⊕ M ⊕ ⊕ M n M R = C0 ⊕ D0 Rõ ràng D0 = D0 ≠ D0 môđun Noether nên D0 có hạng tử trực tiếp môđun không phân tích được, chẳng hạn D0 = M n+1 ⊕ D1 , với M n +1 môđun không phân tích được; trái n với giả thiết tối đại C0 Vậy M R = ⊕ M i , với M i môđun không i =1 phân tích 2) Nếu M R mô đun có độ dài hữu hạn mô đun Artin Do M R có cách phân tích 1) Vì M i mô đun có độ dài hữu hạn không phân tích nên theo định lí 2.2.5, End ( M i ) vành địa phương 21 KẾT LUẬN Luận văn hoàn thành với nội dung sau Luận văn tìm hiểu vành địa phương, số tính chất đặc trưng vành địa phương Cụ thể trình bày chứng minh chi tiết Định lý 1.3.1 Trong chương 2: Tìm hiểu vành tự đồng cấu địa phương, điều kiện môđun M R để vành tự đồng cấu End ( M R ) vành địa phương Cụ thể trình bày chứng minh chi tiết Hệ 2.2.2,2.2.6, Đinh lý 2.2.3, 2.2.4, 2.2.5, 2.2.7, 2.2.8, 2.2.9 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Nguyễn Tiến Quang – Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lý thuyết môđun vành, NXB Giáo dục [2] Dương Quốc Việt (2009), Cơ sở lý thuyết module, NXB Đại học sư phạm TIẾNG ANH [3] F Kasch (1982), Modules and Rings, Academic Press Inc: (LonDon) Ltd [4] Nataga (1960), Local Ring, Kyoto University, Kyoto, Japan [...]... (phải) trong R là khả nghịch c) Mọi vành khác không là ảnh của vành địa phương qua toàn cấu là vành địa phương Đặc biệt : Ảnh đẳng cấu của vành địa phương là địa phương 1.3.3 Địnhlý Môđun xạ ảnh hữu hạn sinh trên vành địa phương là môđun tự do 11 CHƯƠNG II VÀNH TỰ ĐỒNG CẤU ĐỊA PHƯƠNG 2.1 Định nghĩa 2.1.1 Định nghĩa Cho môđun M , ký hiệu: End ( M ) = { f : M → M là tự đồng cấu môđun} khi đó với: Phép cộng:... dài hữu hạn và không phân tích được nên theo định lí 2.2.5, End ( M i ) là vành địa phương 21 KẾT LUẬN Luận văn hoàn thành với những nội dung chính sau 1 Luận văn đã tìm hiểu vành địa phương, một số tính chất đặc trưng của vành địa phương Cụ thể đã trình bày chứng minh chi tiết Định lý 1.3.1 2 Trong chương 2: Tìm hiểu vành tự đồng cấu địa phương, điều kiện của môđun M R để vành các tự đồng cấu End (... phân tích được 2.2.5 Định lý Cho môđun M khác không Nếu M không phân tích được và có độ dài hữu hạn thì vành các tự đồng cấu của M là vành địa phương và các phần tử không khả nghịch của nó là lũy linh Chứng minh Để chứng minh Định lý này ta sẽ chứng minh Mệnh đề nêu dưới đây Mệnh đề Cho môđun M có độ dài hữu hạn và ϕ là tự đồng cấu của M Khi đó ta có: ∃n0 ∈ ℕ, ∀n ≥ n0 : M = Im(ϕ n ) ⊕ Ker (ϕ n ) Theo giả... là lũy đẳng và 1 − e ≠ 0,1 − e ≠ 1 Do lũy đẳng và khả nghịch chỉ có là 1 , mà e ≠ 1,1 − e ≠ 1 ⇒ e và 1 − e không khả nghịch Do S địa phương nên đóng kín không khả nghịch Suy ra 1 = e + (1 − e) không khả nghịch Suy ra vô lý Vậy hoặc e = 0 hoặc e = 1.□ 2.2.7 Định lý Cho M là môđun nội xạ không phân tích được Khi đó vành các tự đồng cấu M là địa phương Chứng minh Cho ϕ ∈ End ( M ) và ϕ là đơn cấu Do M nội... nhân: ( fg )( x) = f ( g ( x)) Thì End ( M ) có vành đơn vị là đồng cấu đồng nhất, ta gọi End ( M ) là vành các tự đồng cấu của môđun M 2.1.2 Định nghĩa Ta nói M R là môđun không phân tích được thành tổng nếu nó không biểu diễn được thành tổng của hai môđun con thực sự (tức môđun con khác 0 và khác M R ) 2.2 Các tính chất 2.2.1 Hệ quả Cho phần tử r thuộc vành R khi đó: 1) Nếu r lũy linh thì r không khả... ⇒ Kerϕ = 0 ⇒ ϕ là đơn cấu và M Artin (do M có độ dài hữu hạn) suy ra ϕ là đẳng cấu, suy ra ϕ khả nghịch Vậy End ( M ) là vành địa phương Nếu ϕ ∈ End ( M ) không khả nghịch suy ra Im(ϕ n ) = 0 ⇒ ϕ n = 0 ⇒ ϕ lũy linh □ 2.2.6 Hệ quả Nếu S := End ( M ) là vành địa phương thì suy ra M là môđun không phân tích được Chứng minh Theo Định lý 2.2.4 chỉ cần chứng minh S có hai lũy đẳng 0 và 1 Giả sử e ∈ S là... → PR là một toàn cấu chẻ ra, chẳng hạn bởi t Khi đó PR = Im(t ) ⊕ Ker (t ) Vì PR ≠ 0 và t là đơn cấu nên Im(t ) ≠ 0 Do PR không phân tích được thành tổng nên Ker ( s ) = 0 Vậy s đẳng cấu, tức là s khả nghịch Nếu Im(1 − s ) = P thì 1 − s khả nghịch ⇐] Giả sử S là vành địa phương và PR = A + B , với A và B là những môđun con thực sự của PR Gọi p : P → P / B là phép chiếu chính tắc và q= p A Rõ ràng... và q= p A Rõ ràng q cũng là một toàn cấu Vì PR là môđun xạ ảnh nên tồn tại đồng cấu f : PR → A sao cho qf = p Đặt i : A → PR là phép nhúng chính tắc và s = if ∈ S Vì S là vành địa phương nên chẳng hạn s khả nghịch Khi đó với mỗi x ∈ PR tồn tại một y ∈ PR sao cho x = s ( y ) = if ( y ) = f ( y ) ∈ A Vậy A = PR Nếu 1 − s khả nghịch thì B = PR Trái với giả thiết A và B là hai môđun con thực sự của PR... ϕ1 + ϕ 2 không khả nghịch Theo 1.2.1 thì tập các phần tử không khả nghịch của End ( M ) đóng kín đối với phép cộng nên End ( M ) địa phương □ 2.2.8 Định lý Giả sử PR ≠ 0 là môđun xạ ảnh PR là môđun không phân tích được thành tổng khi và chỉ khi S := End ( PR ) là vành địa phương 18 Chứng minh [⇒ Giả sử PR không phân tích được thành tổng Ta chỉ cần chứng minh rằng nếu s ∈ S thì hoặc s hoặc 1 − s khả... đồng cấu địa phương, điều kiện của môđun M R để vành các tự đồng cấu End ( M R ) là vành địa phương Cụ thể đã trình bày chứng minh chi tiết Hệ quả 2.2.2,2.2.6, Đinh lý 2.2.3, 2.2.4, 2.2.5, 2.2.7, 2.2.8, 2.2.9 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Nguyễn Tiến Quang – Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lý thuyết môđun và vành, NXB Giáo dục [2] Dương Quốc Việt (2009), Cơ sở lý thuyết module, NXB Đại học sư ... vào tài liệu “Modules and Rings” F Kasch (Xem [3]) nội dung luận văn nhằm tìm hiểu vành địa phương vành tự đồng cấu địa phương, với điều kiện môđun M R vành tự đồng cấu End ( M R ) vành địa phương. .. qua toàn cấu vành địa phương Đặc biệt : Ảnh đẳng cấu vành địa phương địa phương 1.3.3 Địnhlý Môđun xạ ảnh hữu hạn sinh vành địa phương môđun tự 11 CHƯƠNG II VÀNH TỰ ĐỒNG CẤU ĐỊA PHƯƠNG 2.1 Định... phương, số tính chất đặc trưng vành địa phương Chương Vành tự đồng cấu địa phương Trong chương trình bày với điều kiện môđun M R vành tự đồng cấu End ( M R ) vành địa phương 3 Bản luận văn hoàn