Về tổng trực tiếp các môđun đều với vành các tự đồng cấu địa phương

1 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU LỜI NÓI ĐẦU Chương Kiến thức sở Chương Tổng trực tiếp môđun với vành tự đồng cấu vành địa phương §1 Tổng trực tiếp môđun với điều kiện CS §2 Tổng trực tiếp môđun với điều kiện phân phối 19 KẾT LUẬN 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO 30 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU N, Z: Tương ứng tập hợp số tự nhiên, số nguyên N ⊆ M : N môđun môđun M N ⊆e M : N môđun cốt yếu môđun M N ⊆⊕ M : N hạng tử trực tiếp môđun M N ⊕ M : Tổng trực tiếp hai môđun N M N∼ = M : Hai môđun N M đẳng cấu với End(M ): Vành tự đồng cấu môđun M J(M ): Căn môđun M u − dim(M ): Chiều môđun M M (A) = ⊕i∈A Mi , Mi = M LỜI NÓI ĐẦU Môđun (uniform modules) lớp môđun quan trọng Lý thuyết Vành Môđun Một số tác giả sử dụng lớp môđun để đặc trưng tính chất môđun lớp vành Đặc biệt, xét tổng trực tiếp môđun với điều kiện kèm theo tác giả đạt nhiều kết sâu sắc Một hai trụ cột Lý thuyết Vành Môđun lớp môđun nội xạ Lớp môđun sử dụng để đặc trưng vành công cụ số chuyên ngành khác Vì có nhiều nhà toán học quan tâm đến vấn đề mở rộng lớp môđun nội xạ Lớp môđun nội xạ mở rộng theo nhiều hướng khác hướng mở rộng theo tính chất Hướng mở rộng dẫn tới lớp môđun thoả mãn điều kiện (1 − C1 ), (C1 ), (C2 ), (C3 ) Từ xuất khái niệm môđun liên tục, môđun tựa liên tục, môđun CS, môđun (1 − C1 ) Một hướng tác giả quan tâm nghiên cứu tính chất lớp môđun mở rộng môđun nội xạ ứng dụng vào đặc trưng vành Như biết điều kiện (1 − C1 ) mở rộng điều kiện (C1 ) quan tâm đến môđun Tương tự trên, đưa điều kiện (∗ ) mở rộng điều kiện (C2 ) xét đến môđun Luận văn tập trung nghiên cứu tính chất liên tục tổng trực tiếp hữu hạn môđun với vành tự đồng cấu vành địa phương thoả mãn điều kiện (∗ ) Từ áp dụng kết để đặc trưng vành QF Luận văn gồm chương: Chương Trong chương này, giới thiệu ngắn gọn khái niệm tính chất cần sử dụng toàn luận văn Chương Nghiên cứu tính chất liên tục tổng trực tiếp hữu hạn môđun với vành tự đồng cấu vành địa phương thoả mãn điều kiện (∗ ) Chúng đưa vào điều kiện CS, phân phối, UC đạt số kết quả, sau sử dụng kết để đặc trưng vành QF Các kết luận văn đăng báo: Tổng trực tiếp môđun môđun liên tục, Tạp chí khoa học Đại học Vinh, tập 39, số 2A (2010), 78 - 83 Luận văn hoàn thành Đại học Vinh, hướng dẫn tận tình PGS.TS Ngô Sỹ Tùng Nhân dịp tác giả bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn, người định hướng nghiên cứu tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập, nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo khoa Toán, đặc biệt thầy cô giáo thuộc tổ Đại số - Lý thuyết số dạy dỗ, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập viết luận văn Tác giả xin cảm ơn NCS Lê Văn An thành viên nhóm Seminar "Lý thuyết Vành Môđun" giúp đỡ tác giả trình học tập, nghiên cứu Trường Đại học Vinh Tác giả bày tỏ lòng biết ơn tới Ban giám hiệu, đồng nghiệp Trường THPT Yên Thành tạo điều kiện giúp đỡ tác giả hoàn thành tốt khóa học Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi thiếu sót Chúng mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo, cô giáo bạn đọc để luận văn hoàn thiện Vinh, tháng 12 năm 2010 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương này, trình bày số khái niệm tính chất liên quan đến luận văn Các khái niệm, tính chất ký hiệu chủ yếu dựa theo F W Anderson K R F¨ uller [3]; N V Dung, D V Huynh, P F Smith R Wisbauer [8]; S H Mohamed B J M¨ uller [14] Các vành giả thiết vành kết hợp có đơn vị, môđun vành hiểu môđun phải unita (nếu không nói thêm) 1.1 Môđun cốt yếu môđun đóng Cho R vành M R−môđun phải Xét N môđun M (a) Môđun N gọi cốt yếu (essential) M ký hiệu N ⊆e M , với môđun K khác không M N ∩ K = Khi ta nói M mở rộng cốt yếu (essential extension) N (b) Môđun N gọi đóng (closed) M N mở rộng cốt yếu thực Nói cách khác, N gọi đóng M với môđun K M mà N ⊆e K K = N (c) Môđun K M gọi bao đóng (closure) môđun N M K môđun tối đại M cho N cốt yếu K 1.2 Môđun chiều (a) Cho vành R U R− môđun phải Môđun U gọi môđun (uniform module) U = với môđun khác không V U V ⊆e U (b) Môđun M gọi có chiều (chiều uniform) hữu hạn không chứa tổng trực tiếp vô hạn môđun M Nếu môđun M chứa môđun cốt yếu tổng trực tiếp n môđun M ta có chiều môđun M n, ký hiệu u − dim(M ) = n 1.3 Căn môđun vành tự đồng cấu môđun Cho R−môđun phải M (a) Căn môđun M giao tất môđun tối đại M ký hiệu J(M ) (b) Tập tất tự đồng cấu môđun M lập thành vành gọi vành tự đồng cấu môđun M ký hiệu End(M ) 1.4 Môđun nội xạ Cho vành R A, M R−môđun phải (a) Môđun M gọi A−nội xạ (A−injective) với môđun X A, đồng cấu ϕ : X −→ M mở rộng tới đồng cấu ψ : A −→ M (b) Môđun M gọi tựa nội xạ (quasi−injective) M M −nội xạ (c) Môđun M gọi nội xạ (injective) M A−nội xạ với môđun A 1.5 Các điều kiện (Ci ) Cho M R−môđun phải Ta xét điều kiện sau: (C1 ) Mỗi môđun M cốt yếu hạng tử trực tiếp M Nói cách khác, môđun đóng M hạng tử trực tiếp M (C2 ) Nếu A B môđun M đẳng cấu với B hạng tử trực tiếp M A hạng tử trực tiếp M (C3 ) Nếu A B hạng tử trực tiếp M A ∩ B = A ⊕ B hạng tử trực tiếp M (1 − C1 ) Mỗi môđun M cốt yếu hạng tử trực tiếp M Nói cách khác, môđun đóng M hạng tử trực tiếp M 1.5.1 Định nghĩa (a) Một môđun M gọi CS−môđun (tương ứng (1 − C1 )-môđun) M thoả mãn điều kiện (C1 ) (tương ứng (1 − C1 )) (b) Một môđun M gọi liên tục M thoả mãn điều kiện (C1 ) (C2 ) (c) Một môđun M gọi tựa liên tục M thoả mãn điều kiện (C1 ) (C3 ) (d) Môđun M gọi môđun Σ−tựa nội xạ môđun M (I) tựa nội xạ, với tập số I (e) Môđun M gọi môđun đếm Σ − (1 − C1 ) môđun M (N) môđun (1 − C1 ) (f) Vành R gọi vành CS phải RR môđun CS 1.5.2 Tính chất (a) Một môđun thỏa mãn điều kiện (C2 ) thỏa mãn điều kiện (C3 ) (b) Ta có sơ đồ kéo theo sau đúng: Nội xạ =⇒ Tựa nội xạ =⇒ Liên tục =⇒ Tựa liên tục =⇒ CS =⇒ (1 − C1 ) Chiều ngược lại điều kiện nói chung không 1.6 Vành môđun địa phương 1.6.1 Định nghĩa Cho vành R M R−môđun phải (a) Môđun M gọi môđun địa phương (local module) M có môđun tối đại (b) Vành R gọi vành địa phương (local ring) với r ∈ R r khả nghịch − r khả nghịch 1.6.2 Tính chất Nếu M môđun địa phương J(M ) môđun tối đại môđun thực M môđun J(M ) 1.7 Một số lớp vành 1.7.1 Định nghĩa Cho vành R (a) Vành R gọi vành nửa hoàn chỉnh (semiperfect) R−môđun phải hữu hạn sinh có bao xạ ảnh (b) Vành R gọi vành tựa Frobenius (viết tắt QF-vành) R vành Artin hai phía tựa nội xạ hai phía 1.7.2 Tính chất (a) Nếu R vành nửa hoàn chỉnh có phân tích RR = R1 ⊕ R2 ⊕ Rn (1) Ri iđêan phải với vành tự đồng cấu End(Ri ) vành địa phương, với ∀i = 1, 2, , n (b) Nếu R vành nửa hoàn chỉnh, CS phải phân tích (1), iđêan phải Ri đều, với ∀i = 1, 2, , n CHƯƠNG TỔNG TRỰC TIẾP CÁC MÔĐUN ĐỀU VỚI VÀNH CÁC TỰ ĐỒNG CẤU LÀ VÀNH ĐỊA PHƯƠNG §1 Tổng trực tiếp môđun với điều kiện CS Trong [7, Lemma 1.1], tác giả Đinh Quang Hải Đinh Văn Huỳnh nghiên cứu điều kiện (C3 ) cho tổng trực tiếp hai môđun địa phương Tiếp tục vấn đề đó, tiết quan tâm đến tính chất liên tục tổng trực tiếp hữu hạn môđun với vành tự đồng cấu vành địa phương thoả mãn điều kiện CS; từ áp dụng kết tìm để đặc trưng vành 2.1.1 Định nghĩa Cho môđun M Khi M gọi thoả mãn điều kiện (∗ ) môđun M đẳng cấu với hạng tử trực tiếp M hạng tử trực tiếp M Nghĩa A môđun M A ∼ = B với B ⊆⊕ M , A ⊆⊕ M 2.1.2 Nhận xét Nếu môđun M thoả mãn điều kiện (C2 ) M thoả mãn điều kiện (∗ ) Chứng minh Từ định nghĩa điều kiện (C2 ), suy M thoả mãn điều kiện (∗ ) Kết tiết Định lý 2.1.8 đưa đặc trưng môđun liên tục cho tổng trực tiếp hữu hạn môđun với vành tự đồng cấu địa phương thông qua điều kiện (∗ ) Trong Nhận xét 2.1.2, biết môđun M thoả mãn điều kiện (C2 ) M thoả mãn điều kiện (∗ ) Định lý 2.1.8 đưa điều kiện để giải chiều ngược lại môđun thoả mãn điều kiện (∗ ) thoả mãn điều kiện 10 (C2 ) Để chứng minh Định lý 2.1.8, cần bổ đề sau: 2.1.3 Bổ đề Cho môđun M thoả mãn điều kiện (∗ ) Nếu N hạng tử trực tiếp M N thoả mãn điều kiện (∗ ) Chứng minh Giả sử A môđun N A ∼ = B với B hạng tử trực tiếp N , ta chứng minh A hạng tử trực tiếp N Đặt M = N ⊕ N N = B ⊕ B Khi M = B ⊕ B ⊕ N , suy B hạng tử trực tiếp M Vì A môđun N nên A môđun M Mặt khác, M thoả mãn điều kiện (∗ ), suy A hạng tử trực tiếp M Đặt M = A ⊕ A Sử dụng luật Môđula ta có N = N ∩ M = N ∩ (A ⊕ A ) = A ⊕ (N ∩ A ) Vậy A hạng tử trực tiếp N , tức N thoả mãn điều kiện (∗ ) 2.1.4 Bổ đề Azumaya Cho M = M1 ⊕ M2 ⊕ ⊕ Mn tổng trực tiếp môđun Mi vành tự đồng cấu End(Mi ) vành địa phương với ∀i = 1, 2, , n Khi đó, A hạng tử trực tiếp M M = A ⊕ (⊕i∈J Mi ) với J ⊆ {1, 2, , n} Chứng minh Xem [3, 12.6 12.7] 2.1.5 Bổ đề Nếu M = M1 ⊕ M2 ⊕ ⊕ Mn tổng trực tiếp môđun Mi , M môđun tựa liên tục Mi ⊕ Mj môđun tựa liên tục với ∀i, j ∈ {1, 2, , n} i = j Chứng minh Xem [10, Corollary 11] 2.1.6 Bổ đề Cho môđun M1 , M2 , , Mn cho vành tự đồng cấu End(Mi ) vành địa phương với ∀i = 1, 2, , n Nếu M = 17 có M (I) môđun tựa nội xạ với tập số I , M (N) môđun tựa nội xạ Từ M (N) môđun (1 − C1 ), tức M môđun đếm Σ − (1 − C1 ) Mặt khác, M môđun tựa nội xạ nên M thoả mãn điều kiện (C2 ), suy M thoả mãn điều kiện (∗ ), ta có (ii) (ii) =⇒ (i) Giả sử M môđun đếm Σ − (1 − C1 ) thoả mãn điều kiện (∗ ), ta chứng minh M môđun Σ−tựa nội xạ Nhận xét M hạng tử trực tiếp môđun M (N) M (N) môđun (1 − C1 ), nên ta có M môđun (1 − C1 ) Vì u − dim(M ) = n nên theo Bổ đề 2.1.9, M CS−môđun Theo Định lý 2.1.8, ta có M môđun liên tục Theo Bổ đề 2.1.10, M môđun Σ−tựa nội xạ Vậy ta có (i) Sử dụng Hệ 2.1.11, đưa Hệ 2.1.13 đặc trưng vành QF thông qua lớp môđun đếm Σ − (1 − C1 ) điều kiện (∗ ) Để chứng minh Hệ 2.1.11 cần bổ đề sau: 2.1.12 Bổ đề Vành R QF R vành Σ−tựa nội xạ phải (hoặc trái) Chứng minh Xem [9, 20.3A] 2.1.13 Hệ Cho R vành nửa hoàn chỉnh, CS phải Vành R QF RR môđun đếm Σ − (1 − C1 ) thoả mãn điều kiện (∗ ) Chứng minh Nếu R vành QF theo Bổ đề 2.1.12, R vành Σ−tựa nội xạ phải, hay RR môđun Σ−tựa nội xạ Mặt khác R vành nửa hoàn chỉnh, CS phải ta có RR = R1 ⊕ R2 ⊕ ⊕ Rn , Ri iđêan phải R với ∀i = 1, 2, , n Theo Hệ 2.1.11, RR môđun Σ − (1 − C1 ) thoả mãn điều kiện (∗ ) Ngược lại, RR môđun Σ − (1 − C1 ) thoả mãn điều kiện (∗ ), 18 ta chứng minh R vành QF Thật vậy, R vành nửa hoàn chỉnh, CS phải ta có RR = R1 ⊕ R2 ⊕ ⊕ Rn , Ri iđêan phải R với ∀i = 1, 2, , n Theo Hệ 2.1.11, R vành Σ−tựa nội xạ phải từ Bổ đề 2.1.12, R vành QF Sử dụng Hệ 2.1.13, đưa cách chứng minh khác kết có [13] Đ V Huỳnh N S Tùng 2.1.14 Hệ Cho R vành nửa hoàn chỉnh Vành R QF RR môđun liên tục đếm Σ − (1 − C1 ) Chứng minh Nếu R vành QF theo Hệ 2.1.13, RR môđun Σ−tựa nội xạ Do RR môđun liên tục đếm Σ − (1 − C1 ) Ngược lại, RR môđun liên tục đếm Σ − (1 − C1 ), RR thoả mãn điều kiện (∗ ) Theo Hệ 2.1.13, R vành QF 19 §2 Tổng trực tiếp môđun với điều kiện phân phối Trong tiết 1, chứng minh CS−môđun tổng trực tiếp hữu hạn môđun với vành tự đồng cấu địa phương điều kiện (∗ ) điều kiện môđun liên tục tương đương (Định lý 2.1.8) Trong tiết này, thay điều kiện CS điều kiện môđun phân phối để xét tương đương điều kiện (∗ ) điều kiện (C2 ), đồng thời đưa đặc trưng môđun liên tục Các kết tiết Định lý 2.2.4 Định lý 2.2.8 Để bắt đầu cho tiết đưa định nghĩa môđun phân phối Lớp môđun W Stephenson đưa năm 1974 [17], sau số tác giả quan tâm nghiên cứu V Camillo, A A Tuganbaev (xem [4], [19], [20]) 2.2.1 Định nghĩa Môđun M gọi phân phối (distributive) với môđun A, B, C M có: A ∩ (B + C) = (A ∩ B) + (A ∩ C) 2.2.2 Ví dụ Gọi Z vành số nguyên Khi Z−môđun Zpn môđun phân phối với p số nguyên tố n số nguyên dương Chứng minh Gọi A, B, C môđun Zpn Nếu ba môđun môđun 0, hiển nhiên ta có A ∩ (B + C) = (A ∩ B) + (A ∩ C) Nếu A, B, C khác môđun ta có A = Zpi , B = Zpj , C = Zpk ≤ i, j, k ≤ n Không tính tổng quát ta giả sử j ≤ k , B + C = C B ⊆ C Từ A ∩ (B + C) = A ∩ C Nếu i ≤ k A ⊆ C , suy A ∩ (B + C) = A ∩ C = A Vì A ∩ B ⊆ A 20 nên (A ∩ B) + A = A, (A ∩ B) + (A ∩ C) = A = A ∩ (B + C) Nếu k < i C ⊂ A, suy A ∩ (B + C) = A ∩ C = C Vì B ⊆ C nên A ∩ B ⊆ A ∩ C = C , (A ∩ B) + (A ∩ C) = C = A ∩ (B + C) Vậy Zpn môđun phân phối Trong phần đầu tiết này, sử dụng điều kiện môđun phân phối tổng trực tiếp hữu hạn môđun với vành tự đồng cấu địa phương để nghiên cứu tương đương điều kiện (C2 ) điều kiện (∗ ) Kết theo hướng Định lý 2.2.4 Để chứng minh Định lý 2.2.4, cần bổ đề sau: 2.2.3 Bổ đề Cho môđun M1 , M2 , , Mn cho End(Mi ) vành địa phương với ∀i = 1, 2, , n môđun M = M1 ⊕ M2 ⊕ ⊕ Mn thoả mãn điều kiện (∗ ) Nếu S1 S2 hạng tử trực tiếp M cho u − dim(S1 ) = u − dim(S2 ) = n − M = S1 ⊕ S2 Chứng minh Theo giả thiết vành tự đồng cấu End(Mi ) địa phương với ∀i = 1, 2, , n Sử dụng Bổ đề 2.1.4 cho hạng tử trực tiếp S1 , S2 ta có M = S2 ⊕ K = S2 ⊕ Mj M = S1 ⊕ H = S1 ⊕ (⊕i∈I Mi ) tập hợp I ⊆ {1, 2, , n} có n − phần tử Không tính tổng quát ta giả sử j = tức M = S2 ⊕ M1 = (⊕ni=2 Mi ) ⊕ M1 21 Ta xét trường hợp sau: Trường hợp : Nếu ∈ I I = {2, 3, , n}, M = S1 ⊕ (M2 ⊕ ⊕ Mn ) = M1 ⊕ (M2 ⊕ ⊕ Mn ), suy S1 ∼ = M1 Sử dụng luật Môđula ta có S1 ⊕ S2 = (S1 ⊕ S2 ) ∩ M = (S1 ⊕ S2 ) ∩ (S2 ⊕ M1 ) = S2 ⊕ ((S1 ⊕ S2 ) ∩ M1 ) = S2 ⊕ U, với U = (S1 ⊕ S2 ) ∩ M1 Từ U ⊆ M1 , U ∼ = M1 Vì M thoả mãn = S1 ∼ điều kiện (∗ ) M1 hạng tử trực tiếp M nên theo Bổ đề 2.1.3, M1 thoả mãn điều kiện (∗ ) Lại theo Bổ đề 2.1.6, ta có M1 không nhúng thực vào Do U = M1 , suy S1 ⊕ S2 = S2 ⊕ M1 = M Trường hợp : Nếu ∈ I , tồn phần tử k = cho {k} = {1, , n}\I Ta có M = S1 ⊕ H = S1 ⊕ (⊕i∈I Mi ) = Mk ⊕ (⊕i∈I Mi ), suy S1 ∼ = Mk Sử dụng luật Môđula ta có S1 ⊕ S2 = S2 ⊕ V, với V = (S1 ⊕ S2 ) ∩ M1 Từ V ⊆ M1 , V ∼ = Mk Vì M thoả mãn = S1 ∼ điều kiện (∗ ), nên theo Bổ đề 2.1.6, ta có Mk không nhúng thực vào M1 Do V = M1 , suy S1 ⊕ S2 = S2 ⊕ M1 = M Định lý sau khẳng định môđun phân phối M tổng trực tiếp hữu hạn môđun với vành tự đồng cấu địa phương M thoả mãn điều kiện (C2 ) M thoả mãn điều kiện (∗ ) 22 2.2.4 Định lí Cho môđun M1 , M2 , , Mn cho End(Mi ) vành địa phương với ∀i = 1, 2, , n Nếu M = M1 ⊕ M2 ⊕ ⊕ Mn môđun phân phối khẳng định sau tương đương: (i) M thoả mãn điều kiện (C2 ); (ii) M thoả mãn điều kiện (∗ ) Chứng minh (i) =⇒ (ii) Suy từ nhận xét 2.1.2 (ii) =⇒ (i) Giả sử môđun M thoả mãn điều kiện (∗ ) ta cần chứng minh M thoả mãn điều kiện (C2 ) Xét môđun đẳng cấu X , Y M với Y hạng tử trực tiếp M , ta chứng minh X hạng tử trực tiếp M Nếu Y = X = Từ ta có X hạng tử trực tiếp M Nếu Y = Theo giả thiết vành tự đồng cấu End(Mi ) địa phương với ∀i = 1, 2, , n Sử dụng Bổ đề 2.1.4, cho hạng tử trực tiếp Y M ta có M = Y ⊕ H = Y ⊕ (⊕i∈J Mi ) = (⊕i∈I Mi ) ⊕ (⊕i∈J Mi ) J ⊆ {1, , n} I = {1, , n}\J Do X∼ =Y ∼ = ⊕i∈I Mi Xét đẳng cấu ϕ : ⊕i∈I Mi −→ X đặt Xi = ϕ(Mi ), ta suy Xi ∼ = Mi Từ ta có X = ⊕i∈I Xi Vì môđun M thoả mãn điều kiện (∗ ), Xi môđun M đẳng cấu với hạng tử trực tiếp M nên Xi hạng tử trực tiếp M với i ∈ I Chú ý u−dim(Xi ) = với ∀i = 1, 2, , n Không tính tổng quát ta giả sử I = {1, 2, , k} k n Ta chứng minh X hạng tử trực tiếp M phương pháp quy nạp theo k 23 Với k = 1, X = X1 , suy X hạng tử trực tiếp M Giả sử điều phải chứng minh với tổng trực tiếp nhiều (k − 1) hạng tử trực tiếp Xi , tức X1 ⊕ X2 ⊕ ⊕ Xk−1 hạng tử trực tiếp M Ta chứng minh với k , hay chứng minh X1 ⊕ X2 ⊕ ⊕ Xk hạng tử trực tiếp M Đặt X = (X1 ⊕ ⊕ Xk−1 ) ⊕ Xk = D ⊕ Xk D hạng tử trực tiếp M Theo Bổ đề 2.1.4, ta có M = D ⊕ E = D ⊕ (⊕j∈Q Mj ) = (⊕j∈P Mj ) ⊕ (⊕j∈Q Mj ), Q ⊆ {1, , n} P = {1, , n}\Q Mặt khác M = Xk ⊕ C = Xk ⊕ (⊕j∈F Mj ) = Mα ⊕ (⊕j∈F Mj ), với F tập có n − phần tử tập {1, , n} {α} = {1, , n}\F Chú ý số phần tử tập hợp F ∩ Q số phần tử tập Q tối đa phần tử, tức Q có m + phần tử F ∩ Q có m phần tử Không tính tổng quát ta giả sử {1, , m} ⊆ F ∩ Q Từ M = (D ⊕ (M1 ⊕ ⊕ Mm )) ⊕ Mβ = Z ⊕ Mβ với β = Q\{1, , m} Z = D ⊕ (M1 ⊕ ⊕ Mm ) Xét môđun Xk , D M1 ⊕ ⊕ Mm M , từ tính chất môđun M phân phối ta suy Xk ∩ (D ⊕ (M1 ⊕ ⊕ Mm )) = (Xk ∩ D) ⊕ (Xk ∩ (M1 ⊕ ⊕ Mm )) = 0, tức Xk ∩ Z = Mặt khác Xk Z hạng tử trực tiếp M với u − dim(Xk ) = u − dim(Z) = n − 1, theo Bổ đề 2.2.3, ta suy M = Z ⊕ Xk = D ⊕ Xk ⊕ (M1 ⊕ ⊕ Mm ) = X ⊕ (M1 ⊕ ⊕ Mm ), 24 suy X hạng tử trực tiếp M Vậy ta có (i) Phần cuối tiết này, đưa đặc trưng tính liên tục môđun phân phối tổng trực tiếp hữu hạn môđun với vành tự đồng cấu địa phương Lưu ý rằng, Định lý 2.1.8, môđun M CS nên M môđun liên tục cần thoả mãn thêm điều kiện (C2 ) đủ Trong kết giả thiết môđun CS bỏ đi, cần có thêm giả thiết Các kết xét M môđun UC, phân phối Lớp môđun UC P F Smith đưa năm 1993 [16] sau số tác giả quan tâm nghiên cứu, chẳng hạn C C ¸ elik, A Harmanci P F Smith [5], C C ¸ elik [6] 2.2.5 Định nghĩa Môđun M gọi UC (unique closure) môđun M có bao đóng M 2.2.6 Ví dụ (i) Môđun môđun UC Chứng minh Giả sử U môđun đều, ta chứng minh U môđun UC Thật vậy, gọi N môđun U Giả sử N1 N2 hai bao đóng N , N ⊆e N1 ⊆ U N ⊆e N2 ⊆ U Nếu N = N1 = N2 = Nếu N = N1 = N2 = Vì U môđun nên N ⊆e U Từ tính chất tối đại N1 , ta có N1 = U Tương tự N2 = U Do N1 = N2 = U Vậy N có bao đóng Từ ta có U môđun UC (ii) Môđun nửa đơn môđun UC Chứng minh Giả sử M môđun nửa đơn, ta chứng minh M môđun UC Thật vậy, gọi N môđun M Giả sử N1 N2 hai 25 bao đóng N , N ⊆e N1 ⊆ M N ⊆e N2 ⊆ M Nếu N = N1 = N2 = Nếu N = 0, kết hợp điều kiện M nửa đơn, ta có M = N ⊕ N Theo luật Môđula ta có N1 = N1 ∩ M = N1 ∩ (N ⊕ N ) = N ⊕ N , N = N1 ∩ N Kết hợp giả thiết N ⊆e N1 ta có N = N1 Hoàn toàn tương tự ta có N = N2 , suy N1 = N1 = N Vậy N có bao đóng Từ ta có M môđun UC Phần cuối tiết này, xét môđun M = M1 ⊕ M2 ⊕ ⊕ Mn với Mi môđun đều, địa phương cho Mi không nhúng J(Mj ) với ∀i, j = 1, 2, , n Chúng giả thiết M môđun UC, phân phối nghiên cứu tính chất liên tục môđun M Nhận xét từ điều kiện cho trên, vành tự đồng cấu End(Mi ) vành địa phương với ∀i = 1, 2, , n Điều suy trực tiếp từ bổ đề sau: 2.2.7 Bổ đề Nếu M môđun đều, địa phương cho M không nhúng vào J(M ) vành tự đồng cấu End(M ) vành địa phương Chứng minh Xét tự đồng cấu f : M −→ M, ta cần chứng minh f − f tự đẳng cấu Giả sử f không tự đẳng cấu ta chứng minh f không đơn cấu Giả sử ngược lại, f đơn cấu M∼ = f (M ) = L Do f không đẳng cấu nên f không toàn cấu, suy L môđun thực M Từ tính chất M môđun địa phương, ta có L môđun 26 J(M ) Từ suy M nhúng J(M ), điều mâu thuẫn với giả thiết, tức f không đơn cấu Mặt khác Ker(f ) ∩ Ker(1 − f ) = 0, kết hợp tính chất Ker(f ) = 0, suy Ker(1 − f ) = (vì M môđun đều), tức − f đơn cấu Khi M∼ = (1 − f )(M ) = K Nếu K môđun thực M K môđun J(M ) Từ M nhúng J(M ) (mâu thuẫn) Điều dẫn đến K = M , tức − f toàn cấu, suy − f đẳng cấu Vậy End(M ) vành địa phương Sử dụng Bổ đề 2.2.7, có định lý sau đặc trưng môđun liên tục lớp môđun UC, phân phối Kết này, xem ứng dụng Định lý 2.1.8 2.2.8 Định lí Cho môđun đều, địa phương M1 , M2 , , Mn cho Mi không nhúng J(Mj ) với ∀i, j = 1, 2, , n Nếu M = M1 ⊕ M2 ⊕ ⊕ Mn môđun UC, phân phối M môđun liên tục Chứng minh Trước hết ta cần chứng minh M CS−môđun Xét A môđun đóng M , ta chứng minh A hạng tử trực tiếp M Đặt Xi = A ∩ Mi với ∀i = 1, 2, , n Vì M môđun phân phối nên ta có A = A ∩ M = A ∩ (M1 ⊕ ⊕ Mn ) = (A ∩ M1 ) ⊕ (A ∩ Mn ) = X1 ⊕ ⊕ Xn Vì A = môđun M nên tồn phần tử t ∈ {1, , n} cho Xt = Chú ý Xt có hai bao đóng M A Mt Xt môđun cốt yếu A môđun cốt yếu Mt 27 Từ tính chất M môđun UC ta suy A = Mt Do A hạng tử trực tiếp M Điều chứng minh M môđun (1 − C1 ) Nhận xét M có chiều hữu hạn nên theo Bổ đề 2.1.9, M CS−môđun Bây ta chứng minh môđun M thoả mãn điều kiện (∗ ) Giả sử U môđun M đẳng cấu với hạng tử trực tiếp V M , ta cần chứng minh U hạng tử trực tiếp M Vì U môđun M nên V môđun M , suy u − dim(V ) = Theo Bổ đề 2.2.7, vành tự đồng cấu End(Mi ) vành địa phương với ∀i = 1, 2, , n V hạng tử trực tiếp M nên áp dụng Bổ đề 2.1.4, ta có M = V ⊕ V = V ⊕ (⊕j∈J Mj ) = Mk ⊕ (⊕j∈J Mj ) J tập có n − phần tử tập {1, 2, , n} {k} = {1, , n}\J Từ U∼ =V ∼ = Mk Gọi U ∗ bao đóng U M Vì U môđun M nên U ∗ bao đóng U M Vì M CS−môđun nên U ∗ hạng tử trực tiếp M Chứng minh tương tự trên, ta suy tồn s ∈ {1, 2, , n} cho U ∗ = Ms Do Mk đẳng cấu với môđun U Ms Nếu U môđun thực Ms U môđun J(Ms ), suy Mk nhúng J(Ms ) (mâu thuẫn) Điều dẫn đến U = Ms , tức U hạng tử trực tiếp M Vậy M thoả mãn điều kiện (∗ ) Cuối M thoả mãn điều kiện Định lý 2.1.8 (ii) nên M môđun liên tục Sử dụng Định lý 2.2.8, đưa đặc trưng lớp môđun Σ−tựa nội xạ lớp môđun đếm Σ − (1 − C1 ) 28 2.2.9 Hệ Cho môđun đều, địa phương M1 , M2 , , Mn cho Mi không nhúng J(Mj ) với ∀i, j = 1, 2, , n Nếu M = M1 ⊕ M2 ⊕ ⊕ Mn môđun UC, phân phối khẳng định sau tương đương: (i) M môđun Σ−tựa nội xạ; (ii) M môđun đếm Σ − (1 − C1 ) Chứng minh (i) =⇒ (ii) Giả sử M môđun Σ−tựa nội xạ, M (I) môđun tựa nội xạ với tập số I Ta có M (N) môđun tựa nội xạ, suy M (N) môđun (1 − C1 ), hay M môđun đếm Σ − (1 − C1 ) (ii) =⇒ (i) Giả sử môđun M đếm Σ − (1 − C1 ), ta cần chứng minh M môđun Σ−tựa nội xạ Theo Định lý 2.2.8, ta có M môđun liên tục Theo Bổ đề 2.1.10, M môđun M môđun Σ−tựa nội xạ 29 KẾT LUẬN Luận văn giải vấn đề sau: Nghiên cứu tính chất liên tục tổng trực tiếp hữu hạn môđun với vành tự đồng cấu vành địa phương giả thiết thêm điều kiện CS Từ ứng dụng để đặc trưng lớp môđun Σ−tựa nội xạ thông qua lớp môđun đếm Σ − (1 − C1 ) ứng dụng để đặc trưng vành QF Các kết Định lý 2.1.8, Hệ 2.1.11, Hệ 2.1.13 Xét lớp môđun phân phối tổng trực tiếp hữu hạn môđun với vành tự đồng cấu vành địa phương, lớp môđun điều kiện (∗ ) điều kiện (C2 ) tương đương Kết Định lý 2.2.4 Nghiên cứu tính chất liên tục tổng trực tiếp hữu hạn môđun với vành tự đồng cấu vành địa phương giả thiết thêm điều kiện UC, phân phối Kết Định lý 2.2.8 Các kết luận văn công bố báo [21] 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] L V An and N S Tung (2009), On direct sums of uniform modules and QF−rings, East-West J of Math, Vol 11, No 2, 241 - 251 [2] L V An and N S Tung (2007), Some results on (IEZ)−modules, VNU J of Sci Mathematics - Physics, 23, 189 - 193 [3] F W Anderson and K R F¨ uller (1974), Rings and Categories of Modules, Springer - Verlag, New York - Heidelberg - Berlin [4] V Camillo (1975), Distributive modules, J Algebra, 36, 16 - 25 [5] V C ¸ elik, A Harmanci and P F Smith (1995), A generalization of CS−modules, Comm in Algebra 23, 5445 - 5460 [6] V C ¸ elik (1998), CESS−modules, Tr J of Math., 22, 69 - 75 [7] H Q Dinh and D V Huynh (2003), Some results on self - injective rings and Σ − CS rings, Comm in Algebra 31, 6063 - 6077 [8] N V Dung, D V Huynh, P F Smith and R Wisbauer (1994), Extending Modules, Pitman Research Notes in Mathematics Series 313, Longman, Harlow, UK [9] C Faith (1976), Algebra II: Ring Theory, Springer - Verlag [10] A Harmanci and P F Smith (1993), Finite direct sum of CS−modules, Houston J Math 19, 523 - 532 [11] D V Huynh, D D Tai and L V An (2009), On the CS condition and rings with chain conditions, AMS Contem Math 480, 261 - 269 [12] D V Huynh and S T Rizvi (2001), On countably sigma−CS rings, Algebra and its applications, Narosa publishing house, New Delhi, Chennai, Mumbai, Kolkata, 119 - 128 31 [13] D V Huynh and N S Tung (1996), A note on quasi−Frobenius rings, Proc Amer Math Soc 124, 371 - 375 [14] S H Mohamed and B J M¨ uller (1990), Continuous and Discrete Modules, London Math Soc Lecture Notes Series 147, Cambridge Univ Press, Cambridge [15] W K Nicholson and M F Yousif (2003), Quasi−Frobenius Rings, Cambridge Tracts No 158 Cambridge Univ Press, London, New York [16] P F Smith (1993), Modules for which ever submodule has a unique closure, in Ring Theory (Editors, S K Jain, S T Rizvi, World Scientific, Singapore), 303 - 313 [17] W Stephenson (1974), Modules whose lattice of submodules is distributive, Proc London Math Soc 28, 291 - 310 [18] N S Tung, L V An and T D Phong (2005), Some results on direct sums of uniform modules, Contributions in Math and Applications, ICMA, December, Mahidol Uni., Bangkok, Thailand, 235 - 241 [19] A A Tuganbaev (2001), Bezout rings, Polynomials, and Distributivity, Math Notes, Vol 70, No 2, 242 - 257 [20] A A Tuganbaev (2002), Structure of distributive rings, Sbornik Math 193 (5), 113 - 128 [21] Ngô Sỹ Tùng, Lê Văn An, Nguyễn Thị Hải Anh (2010), Tổng trực tiếp môđun môđun liên tục, Tạp chí khoa học Đại học Vinh, tập 39, số 2A, 78 - 83 [...]... lớp môđun phân phối là tổng trực tiếp hữu hạn các môđun đều với vành các tự đồng cấu là vành địa phương, khi đó trên lớp môđun này điều kiện (∗ ) và điều kiện (C2 ) là tương đương Kết quả chính là Định lý 2.2.4 3 Nghiên cứu tính chất liên tục của tổng trực tiếp hữu hạn các môđun đều với vành các tự đồng cấu là vành địa phương khi giả thiết thêm điều kiện UC, phân phối Kết quả chính là Định lý 2.2.8 Các. .. (∗ ) Theo Hệ quả 2.1.13, R là vành QF 19 §2 Tổng trực tiếp các môđun đều với điều kiện phân phối Trong tiết 1, chúng tôi đã chứng minh rằng đối với một CS môđun là tổng trực tiếp hữu hạn các môđun đều với vành các tự đồng cấu địa phương thì điều kiện (∗ ) và điều kiện môđun liên tục là tương đương (Định lý 2.1.8) Trong tiết này, chúng tôi thay điều kiện CS bởi điều kiện môđun phân phối để xét sự tương... đặc trưng về tính liên tục của một tổng trực tiếp hữu hạn các môđun đều với vành các tự đồng cấu địa phương và thoả mãn điều kiện CS 2.1.8 Định lý Cho các môđun đều M1 , , Mn sao cho End(Mi ) là vành địa phương với ∀i = 1, 2, , n Nếu M = M1 ⊕ M2 ⊕ ⊕ Mn là CS môđun thì các khẳng định sau là tương đương: (i) M là môđun liên tục; (ii) M thoả mãn điều kiện (∗ ) Chứng minh (i) =⇒ (ii) Giả sử M là môđun liên... Bổ đề 2.1.10, M là môđun M là môđun Σ−tựa nội xạ 29 KẾT LUẬN Luận văn đã giải quyết được các vấn đề sau: 1 Nghiên cứu tính chất liên tục của tổng trực tiếp hữu hạn các môđun đều với vành các tự đồng cấu là vành địa phương khi giả thiết thêm điều kiện CS Từ đó ứng dụng để đặc trưng lớp môđun Σ−tựa nội xạ thông qua lớp môđun đếm được Σ − (1 − C1 ) và ứng dụng để đặc trưng vành QF Các kết quả chính là... Bổ đề Nếu M là môđun đều, địa phương sao cho M không nhúng được vào J(M ) thì vành các tự đồng cấu End(M ) là vành địa phương Chứng minh Xét một tự đồng cấu f : M −→ M, ta cần chứng minh f hoặc 1 − f là tự đẳng cấu Giả sử f không là tự đẳng cấu ta sẽ chứng minh f không là đơn cấu Giả sử ngược lại, nếu f đơn cấu thì M∼ = f (M ) = L Do f không đẳng cấu nên f không là toàn cấu, suy ra L là môđun con thực... môđun đều với vành các tự đồng cấu là vành địa phương 2.1.11 Hệ quả Cho các môđun đều M1 , M2 , , Mn sao cho End(Mi ) là vành địa phương với ∀i = 1, 2, , n và đặt M = M1 ⊕ M2 ⊕ ⊕ Mn , khi đó các khẳng định sau là tương đương: (i) M là môđun Σ−tựa nội xạ; (ii) M là môđun đếm được Σ − (1 − C1 ) và thoả mãn điều kiện (∗ ) Chứng minh (i) =⇒ (ii) Giả sử M là môđun Σ−tựa nội xạ, ta chứng minh M là môđun đếm... ), 24 suy ra X là hạng tử trực tiếp của M Vậy ta có (i) Phần cuối cùng của tiết này, chúng tôi sẽ đưa ra một đặc trưng về tính liên tục của môđun phân phối là tổng trực tiếp hữu hạn các môđun đều với vành các tự đồng cấu địa phương Lưu ý rằng, trong Định lý 2.1.8, vì môđun M là CS nên M là môđun liên tục chỉ cần thoả mãn thêm điều kiện (C2 ) là đủ Trong các kết quả giả thiết môđun CS được bỏ đi, do... tôi sẽ sử dụng điều kiện môđun phân phối là tổng trực tiếp của hữu hạn môđun đều với vành các tự đồng cấu địa phương để nghiên cứu sự tương đương của điều kiện (C2 ) và điều kiện (∗ ) Kết quả theo hướng này là Định lý 2.2.4 Để chứng minh Định lý 2.2.4, chúng ta cần bổ đề sau: 2.2.3 Bổ đề Cho các môđun đều M1 , M2 , , Mn sao cho End(Mi ) là vành địa phương với ∀i = 1, 2, , n và môđun M = M1 ⊕ M2 ⊕ ⊕... có M là môđun UC Phần cuối của tiết này, chúng tôi xét môđun M = M1 ⊕ M2 ⊕ ⊕ Mn với Mi là môđun đều, địa phương sao cho Mi không nhúng trong J(Mj ) với ∀i, j = 1, 2, , n Chúng tôi giả thiết M là môđun UC, phân phối và nghiên cứu tính chất liên tục của môđun M Nhận xét rằng từ điều kiện đã cho ở trên, vành các tự đồng cấu End(Mi ) là vành địa phương với ∀i = 1, 2, , n Điều này suy ra trực tiếp từ... ) Mặt khác Mij là hạng tử trực tiếp của M và M là CS môđun suy ra Mij cũng là CS môđun Từ đó, Mij là môđun tựa liên tục với bất kỳ i, j ∈ {1, 2, , n} Theo Bổ đề 2.1.5, ta có M là môđun tựa liên tục Cuối cùng ta chứng minh M thoả mãn điều kiện (C2 ), tức là với các môđun đẳng cấu A và B của M , B là hạng tử trực tiếp của M thì A cũng là hạng tử trực tiếp của M 15 Ta có B là môđun con đóng của M , do ... 2.1.13, R vành QF 19 §2 Tổng trực tiếp môđun với điều kiện phân phối Trong tiết 1, chứng minh CS môđun tổng trực tiếp hữu hạn môđun với vành tự đồng cấu địa phương điều kiện (∗ ) điều kiện môđun. .. M môđun đều, địa phương cho M không nhúng vào J(M ) vành tự đồng cấu End(M ) vành địa phương Chứng minh Xét tự đồng cấu f : M −→ M, ta cần chứng minh f − f tự đẳng cấu Giả sử f không tự đẳng cấu. .. tương đương lớp môđun Σ−tựa nội xạ với lớp môđun đếm Σ − (1 − C1 ) thoả mãn điều kiện (∗ ) xét tổng trực tiếp hữu hạn môđun với vành tự đồng cấu vành địa phương 2.1.11 Hệ Cho môđun M1 , M2 ,