Tổng trực tiếp các mô đun tựa liên tục

1 MỤC LỤC Mục lục Lời nói đầu Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm sở 1.2 Môđun tựa liên tục số tính chất 11 Tổng trực tiếp môđun tựa liên tục ec - tựa liên tục 14 2.1 Tổng trực tiếp môđun tựa liên tục 14 2.2 Môđun ec- liên tục ec - tựa liên tục 18 Kết luận 22 Tài liệu tham khảo 23 LỜI NÓI ĐẦU Môđun tựa liên tục lớp mở rộng môđun nội xạ gần mở rộng lớp môđun liên tục, lớp môđun thỏa mãn hai điều kiện (C1 ) (C3 ) sau: • (C1 ): Mọi môđun M cốt yếu hạng tử trực tiếp M • (C2 ): Mọi môđun M đẳng cấu với hạng tử trực tiếp M hạng tử trực tiếp M • (C3 ): Nếu M1 M2 hạng tử trực tiếp M thỏa mãn M1 ∩ M2 = M1 ⊕ M2 hạng tử trực tiếp M Một điều đáng lưu ý rằng, hạng tử trực tiếp môđun tựa liên tục môđun tựa liên tục tổng trực tiếp môđun tựa liên tục không môđun tựa liên tục Chẳng hạn xét ví dụ sau: F F F F Xét vành R = F F trường Đặt A = 0 0 B = F Rõ ràng A B R- môđun tựa liên tục, A môđun nội xạ, B môđun đơn ta có R = A ⊕ B Tuy nhiên RR thỏa mãn điều kiện (C1 ) không thỏa mãn điều kiện (C3 ) không môđun tựa liên tục Mục đích luận văn là: Hệ thống lại kiến thức môđun liên tục, tựa liên tục Tìm hiểu số vấn đề liên quan đến tổng trực tiếp môđun tựa liên tục Tìm hiểu điều kiện C1 : Mọi môđun xiclic đóng M cốt yếu hạng tử trực tiếp M , lớp môđun ec-liên tục (thỏa mãn C1 C2 ), lớp môđun ec- tựa liên tục (thỏa mãn C1 C3 ) Xuất phát từ mục đích nghiên cứu, đề tài có tựa đề là: "Tổng trực tiếp môđun tựa liên tục" Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn trình bày chương: Chương Kiến thức sở Trong chương chủ yếu dành để trình bày khái niệm, định nghĩa liên quan chương Chương Tổng trực tiếp môđun tựa liên tục ec - tựa liên tục Nội dung chương trình bày phần: 2.1 Tổng trực tiếp môđun tựa liên tục Phần chủ yếu dành để trình bày kết tổng trực tiếp môđun tựa liên tục, tường minh kết giới thiệu [5] [8] 2.2 Môđun ec- liên tục ec - tựa liên tục Trong [9] giới thiệu khái niệm điều kiện (C1 ) từ có khái niệm ec - liên tục, ec - tựa liên tục, ec- CS Đây hướng mở rộng điều kiện (C1 ) Trong tài liệu tham khảo [8], tác giả S Plubtieng giới thiệu số kết lớp mở rộng Nội dung phần trình bày lại cách có hệ thống tường minh kết Luận văn bắt đầu thực từ tháng năm 2010 hướng dẫn PGS.TS Ngô Sỹ Tùng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới Thầy, người đặt toán tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu Tác giả xin chân thành gửi lời cảm ơn tới Thầy giáo, Cô giáo tổ Đại số, Khoa Toán, Khoa Đào tạo Sau đại học - Trường Đại học Vinh tận tâm giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học Mặc dù cố gắng trình nghiên cứu, tham khảo tài liệu tiếp thu ý kiến đóng góp, song luận văn khó tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Kính mong nhận ý kiến đóng góp quý Thầy, Cô bạn Vinh, tháng 10 năm 2010 Tác giả Nguyễn Thị Ngọc Dung CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong suốt luận văn, vành giả thiết vành kết hợp có đơn vị Các môđun vành hiểu unita phải (nếu không nói thêm ) Ở chương trình bày khái niệm kết biết sử dụng trực tiếp nội dung chương sau Các khái niệm, tính chất ký hiệu, chủ yếu tham khảo tài liệu [1], [2] [10] 1.1 Khái niệm sở Trước hết có khái niệm môđun đơn môđun nửa đơn 1.1.1 Định nghĩa • Trên vành R, R- môđun phải M gọi môđun đơn (simple) M = môđun khác ngoại trừ Môđun M gọi môđun nửa đơn (semisimple) thỏa mãn điều kiện tương đương sau: Mọi môđun M tổng môđun đơn M tổng môđun đơn M tổng trực tiếp môđun đơn Mọi môđun M hạng tử trực tiếp M • Tổng tất môđun đơn R- môđun phải M gọi đế phải môđun MR Ký hiệu Soc(MR ) Sr (M ) 1.1.2 Định nghĩa Cho R- môđun M khác không Một dãy hữu hạn n + môđun M : M = M0 ⊃ M1 ⊃ ⊃ Mn = gọi dãy hợp thành có độ dài n (composition series of length n) Mi−1 /Mi đơn Liên quan đến dãy hợp thành sở việc hình thành khái niệm độ dài môđun, có định lý Jordan- H¨older: 1.1.3 Định lý Nếu môđun M có phân tích thành dãy hợp thành có độ dài hữu hạn cặp dãy hợp thành có độ dài 1.1.4 Định nghĩa Một môđun M có phân tích thành dãy hợp thành gọi môđun có độ dài hữu hạn độ dài dãy hợp thành gọi độ dài M Ký hiệu lg(M ) length(M ) Trong lý thuyết vành, lớp iđêan đặc biệt linh hóa tử Nhiều tính chất lớp vành đặc trưng chúng nghiên cứu thông qua lớp iđêan 1.1.5 Định nghĩa Cho vành R A ⊂ R tập khác rỗng Linh hóa tử (annihilator) phải (trái) tập A R tập hợp r(A) := {b ∈ R|ab = 0; ∀a ∈ A} (tư., l(A) := {b ∈ R|ba = 0; ∀a ∈ A}) Một cách tự nhiên có linh hóa tử phần tử a trường hợp đặc biệt tập A = {a} linh hóa tử tập A tập hợp thỏa mãn tính chất linh hóa tử hai phía trái phải Đối với linh hóa tử ta có số tính chất sau: 1.1.6 Bổ đề Cho A tập khác rỗng vành R Khi ta có: Linh hóa tử trái l(A) iđêan trái R Tương tự linh hóa tử phải r(A) 7 Nếu A tập Z(R) (tâm vành R) l(A) = r(A) iđêan vành R Nếu A iđêan trái (phải) vành R l(A) (r(A) iđêan vành R) Vào cuối năm thập kỷ hai mươi, E Noether E Artin giới thiệu khái niệm ACC DCC Từ đây, Artin chứng minh định lý mô tả cấu trúc lớp vành nửa đơn gọi định lý Wedderburn - Artin, đánh dấu cho việc phát triển lý thuyết vành cách có hệ thống 1.1.7 Định nghĩa • Môđun M gọi thỏa mãn điều kiện ACC (Ascending Chain Condition) với dãy tăng môđun M1 ⊆ M2 ⊆ ⊆ Mn ⊆ , tồn số n cho Mn+i = Mn với i = 1, 2, • Môđun M gọi thỏa mãn điều kiện DCC (Descending Chain Codition) với dãy giảm môđun M1 ⊇ M2 ⊇ ⊇ Mn ⊇ , tồn số n cho Mn+i = Mn với i = 1, 2, 1.1.8 Định nghĩa • Môđun M gọi môđun Artin (Noether) M thõa mãn điều kiện DCC (ACC) • Vành R gọi vành Artin (Noether) phải RR môđun Artin (Noether) Chúng ta định nghĩa hoàn toàn tương tự cho vành Artin (Noether) trái Môđun nội xạ lớp môđun đóng vai trò quan trọng nghiên cứu lý thuyết vành Theo thời gian nhu cầu việc nghiên cứu chuyên sâu, khái niệm đến mở rộng theo nhiều hướng khác như: nội xạ chính, nội xạ, nội xạ trực tiếp, giả nội xạ, cốt yếu giả nội xạ, Trong phần tập trung giới thiệu lớp môđun nội xạ, tính chất số hướng mở rộng lớp môđun Trước vào khái niệm môđun nội xạ có khái niệm môđun cốt yếu số tính chất 1.1.9 Định nghĩa Môđun A R- môđun M gọi môđun cốt yếu (bé), ký hiệu A ⊂∗ M (t.ư., A ⊂◦ M ) với môđun U ⊂ M , A ∩ U = ⇒ U = (t.ư A + U = M ⇒ U = M ) Nếu A ⊂∗ M M gọi mở rộng cốt yếu A Từ định nghĩa môđun cốt yếu môđun bé ta có số tính chất sau: 1.1.10 Nhận xét A ⊂◦ M ⇔ ∀U ⊂ M ta có A + U ⊂ M A ⊂∗ M ⇔ ∀0 = U ⊂ M ta có A ∩ U = A ⊂◦ M = ⇒ A = M A ⊂∗ M = ⇒ A = ⊂◦ M M ⊂∗ M với R môđun M Nếu K môđun môđun M , sử dụng bổ đề Zorn, tồn môđun tối đại C M thỏa mãn C ∩ K = Khi C gọi môđun bù (complement) K M Do đó, K ⊂∗ M bù K Tiếp theo số tính chất môđun bù 1.1.11 Mệnh đề Cho C môđun môđun M Các điều kiện sau tương đương: C đóng M; Nếu C ⊂∗ N ⊆ M C = N ; Nếu C ⊆ N ⊂∗ M N/C ⊂∗ M/C; Nếu D môđun bù C M C môđun bù D M Bổ đề sau biết đến với tên gọi bổ đề cốt yếu (Essential Lemma) 1.1.12 Bổ đề Giả sử K môđun môđun M Nếu C môđun bù K M thì: K ⊕ C ⊂∗ M (K ⊕ C)/C ⊂∗ M/C 1.1.13 Định nghĩa R-môđun N gọi M -nội xạ với môđun X M , đồng cấu ϕ : X → N mở rộng thành đồng cấu ψ : M → N Môđun N gọi tựa nội xạ N N - nội xạ Môđun N gọi môđun nội xạ N A-nội xạ với A Mod-R Như có, môđun N nội xạ N RR -nội xạ Môđun N nội xạ thỏa mãn điều kiện tương đương sau: Với môđun A với môđun X A, đồng cấu f : X → N mở rộng thành đồng cấu từ A → N; (Tiêu chuẩn Baer ) Mọi đồng cấu từ iđêan phải I R tới N mở rộng thành đồng cấu từ R tới N ; Với R-môđun M , đơn cấu f : N → M chẻ Nghĩa là, Im f hạng tử trực tiếp M ; R-môđun N mở rộng cốt yếu thực 10 1.1.14 Định nghĩa Hai R-môđun M N gọi nội xạ lẫn M N -nội xạ ngược lại Về tính chất nội xạ lẫn ta có số kết sau 1.1.15 Bổ đề Cho G = ⊕i∈I Gi M R-môđun phải Khi G M- nội xạ Gi M-nội xạ với i ∈ I 1.1.16 Bổ đề Nếu G M- nội xạ N ⊆ M G N- nội xạ (M/N )- nội xạ Kết sau biết đến với tên gọi bổ đề Azumaya (Azumaya’s Lemma) 1.1.17 Bổ đề Nếu G M = M1 ⊕ M2 ⊕ ⊕ Mn R-môđun phải G M- nội xạ G Mi - nội xạ với i = 1, 2, , n 1.1.18 Bổ đề Môđun G M- nội xạ λ(M ) ⊆ G với đồng cấu λ : E(M ) → E(G) 1.1.19 Định nghĩa Nếu N môđun cốt yếu môđun nội xạ E E gọi bao nội xạ hay R-bao nội xạ môđun N Kí hiệu E(N ) Chúng ta có số tính chất môđun nội xạ 1.1.20 Mệnh đề Tích trực tiếp hạng tử trực tiếp môđun nội xạ môđun nội xạ Giữa tính chất khác bao nội xạ ta có bổ đề sau 1.1.21 Mệnh đề Trong phạm trù R- môđun phải (trái) vành R ta có: M nội xạ M = E(M ) Nếu M ⊂∗ N E(M ) = E(N ) 11 Nếu M ⊂◦ Q, với Q nội xạ, Q = E(M ) + E Nếu ⊕A E(Mα ) nội xạ, với A tập hữu hạn số, E(⊕A Mα ) = ⊕A E(Mα ) Như có Mệnh đề 1.1.20, hạng tử trực tiếp môđun nội xạ môđun nội xạ Vấn đề đặt là, liệu tổng trực tiếp môđun nội xạ có môđun nội xạ hay không Điều số trường hợp cụ thể Chẳng hạn có câu trả lời mệnh đề sau 1.1.22 Mệnh đề Trên vành R, điều kiện sau tương đương: Mọi tổng trực tiếp R- môđun nội xạ phải (trái) môđun nội xạ phải (trái) Nếu (Mα )α∈A họ R- môđun phải (trái) E(⊕A Mα ) = ⊕A E(Mα ) R vành Noether phải (trái) Chúng ta kết thúc phần bổ đề Zorn 1.1.23 Bổ đề (Zorn’s Lemma) Cho A tập thứ tự Nếu tập thứ tự hoàn toàn A có cận A A có phần tử tối đại 1.2 Môđun tựa liên tục số tính chất Khái niệm nội xạ có nhiều hướng mở rộng khác nhau, chẳng hạn như: mở rộng thông qua điều kiện C1 , C2 , C3 có khái niệm CS-môđun, môđun liên tục, môđun tựa liên tục Cho MR R- môđun phải Ta định nghĩa điều kiện sau: 12 1.2.1 Định nghĩa • (C1 ) : Mọi môđun MR cốt yếu hạng tử trực tiếp MR Hay nói cách khác, môđun đóng MR hạng tử trực tiếp MR • (C2 ) : Nếu A B môđun MR đẳng cấu với A hạng tử trực tiếp MR B hạng tử trực tiếp MR • (C3 ) : Nếu A B hạng tử trực tiếp MR A ∩ B = A ⊕ B hạng tử trực tiếp MR • (1 − C1 ) : Nếu U môđun đóng, MR U hạng tử trực tiếp MR Điều kiện (1 − C1 ) mở rộng điều kiện C1 từ điều kiện C2 suy điều kiện C3 1.2.2 Định nghĩa Môđun MR gọi CS-môđun (extending module) MR thỏa mãn điều kiện (C1 ) Môđun MR gọi liên tục (continuous) MR thỏa mãn điều kiện (C1 ) (C2 ) Môđun MR gọi tựa liên tục (quasi-continuous) MR thỏa mãn điều kiện (C1 ) (C3 ) Môđun MR gọi (1 − C1 )- môđun (uniform extending) MR thỏa mãn điều kiện (1 − C1 ) Từ định nghĩa có dãy kéo theo sau đây: Nội xạ ⇒ Tựa nội xạ ⇒ Liên tục ⇒ Tựa liên tục ⇒ CS ⇒ (1 − C1 ) Sử dụng khái niệm cho vành R xét R R-môđun có khái niệm tương ứng 1.2.3 Định nghĩa Vành R gọi CS (liên tục, tựa liên tục) vành phải RR CS (liên tục, tựa liên tục) môđun phải Tương tự có khái niệm CS-vành trái, vành liên tục trái vành tựa liên tục trái 13 Tiếp theo có số tính chất 1.2.4 Mệnh đề R- môđun phải (trái) có tính chất (C1 ) môđun đóng M hạng tử trực tiếp Môđun M gọi môđun (uniform) giao hai môđun khác không M môđun khác không Một mối liên hệ lớp môđun tựa liên tục lớp môđun thể bổ đề sau 1.2.5 Mệnh đề Môđun M không phân tích có tính chất (C1 ) M Mọi môđun M môđun tựa liên tục Chúng ta có hạng tử trực tiếp môđun nội xạ môđun nội xạ Mệnh đề sau kết tương tự lớp môđun thỏa mãn điều kiện (Ci )3i=1 1.2.6 Mệnh đề Các điều kiện (Ci )3i=1 có tính chất di truyền hạng tử trực tiếp Đặc biệt, hạng tử trực tiếp môđun liên tục (tựa liên tục) môđun liên tục (t.ư., tựa liên tục) 14 CHƯƠNG TỔNG TRỰC TIẾP CÁC MÔĐUN TỰA LIÊN TỤC VÀ EC - TỰA LIÊN TỤC 2.1 Tổng trực tiếp môđun tựa liên tục Như giới thiệu 1.2, hạng tử trực tiếp môđun tựa liên tục môđun tựa liên tục (Mệnh đề 1.2.6) Tuy nhiên, tổng trực tiếp môđun tựa liên tục không môđun tựa liên tục F F 2.1.1 Ví dụ Xét vành R = F F trường Đặt 0 F F A = 0 B = F Rõ ràng A B R - môđun tựa liên tục, A môđun nội xạ, B môđun đơn ta có R = A ⊕ B Tuy nhiên RR thỏa mãn điều kiện (C1 ) không thỏa mãn điều kiện (C3 ) không môđun tựa liên tục Mục đích phần đưa số điều kiện cần thiết để tổng trực tiếp môđun tựa liên tục Trước hết có đặc trưng môđun tựa liên tục 2.1.2 Định lý Cho M R - môđun phải Các điều kiện sau tương đương: M môđun tựa liên tục; Nếu C D môđun bù lẫn M M = C ⊕D; τ (M ) ⊆ M với τ = τ ∈ End[E(M )]; Nếu E(M ) = ⊕i∈I Ei M = ⊕i∈I (M ∩ Ei ) 15 Chứng minh Để thuận tiện trình bày chứng minh, ký hiệu E thay cho bao nội xạ E(M ) M Chúng ta chứng minh theo lược đồ sau: (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4) ⇒ (1) • (1) ⇒ (2) Giả sử C D môđun thỏa mãn điều kiện (2) Sử dụng Mệnh đề 1.1.11, C D môđun đóng M Mặt khác, M môđun tựa liên tục nên M có tính chất (C1 ), C (t.ư D) cốt yếu hạng tử trực tiếp M Theo tính chất (2), Mệnh đề 1.1.11, C D hạng tử trực tiếp M Theo giả thiết, C D môđun bù lẫn nên C ∩ D = Kết hợp điều kiện M có tính chất (C3 ) (do M tựa liên tục) ta có M = C ⊕ D • (2) ⇒ (3) Giả sử τ = τ : E → E Đặt K = M ∩ τ (E) N = M ∩ (1 − τ )(E) Suy K ∩ N = 0, ta có K ⊆ C môđun bù N M Do C đóng M , theo Mệnh đề 1.1.11, C môđun bù D M Theo tính chất (2), M = C ⊕ D Đặt π : M → C phép chiếu với Ker(π) = D Do M ⊂∗ E nên M ∩ (τ − π)(M ) = Nhưng m = (τ − π)(x), m, x ∈ M , τ (x) = m + π(x) ∈ M ∩ τ (E) = K ⊆ C Suy (1 − τ )(x) ∈ M ∩ (1 − τ )(E) = N ⊆ D từ x = τ (x)+(1−τ )(x), kết hợp định nghĩa π có π(x) = τ (x) Điều chứng tỏ m = ta có điều kiện (3) • (3) ⇒ (4) Hiển nhiên có M ⊇ ⊕i∈I (M ∩ Ei ) (∗) Giả sử m ∈ M ; m ∈ E1 + E2 + + En τ1 , τ2 , , τn họ lũy đẳng trực giao End(E) thỏa mãn τ (E) = Ei với i ∈ I Khi đó, theo điều kiện (3), τi (M ) ⊆ M với i ∈ I m = Σni=1 τi (m) ∈ ⊕ni=1 (M ∩ Ei ) Điều chứng tỏ M ⊆ ⊕i∈I (M ∩ Ei ) (∗∗) Từ (∗) (∗∗) ta có M = ⊕i∈I (M ∩ Ei ) • (4) ⇒ (1) Nếu K ⊆ M E = E(K) ⊕ G Khi đó, theo (4), 16 M = (M ∩ E(K)) ⊕ (M ∩ G) K ⊂∗ (M ∩ E(K)) Vậy M thỏa mãn điều kiện C1 Để chứng minh M thỏa mãn điều kiện C3 ta giả sử K1 , K2 hạng tử trực tiếp M thỏa mãn K1 ∩ K2 = Ta phải chứng minh (K1 ⊕ K2 ) hạng tử trực tiếp M Thật vậy, với môi i, chọn bao nội xạ Ei = E(Ki ) cho Ki ⊆ Ei ⊆ E Khi đó, Ki ⊂∗ Ei với i nên E1 ∩ E2 = Từ E1 ⊕ E2 nội xạ nên ta đặt E = E1 ⊕ E2 ⊕ H, với H Theo (4), ta có M = (M ∩ E1 ) ⊕ (M ∩ E2 ) ⊕ (M ∩ H) Ta cần chứng tỏ Ki = M ∩ Ei với i Thật vậy, Ki ⊂∗ Ei nên Ki ⊂∗ (M ∩ Ei ) Ki ⊂⊕ M nên Ki ⊂⊕ (M ∩ Ei ) Vậy Ki = M ∩ Ei Suy K1 ⊕ K2 hạng tử trực tiếp M Chúng ta có hệ sau, điều kiện để tổng trực tiếp môđun tựa liên tục 2.1.3 Hệ Nếu M = K ⊕ N môđun tựa liên tục K N - nội xạ Chứng minh Nếu X ⊆ N α : X → K đồng cấu, ta phải tìm cách mở rộng α từ N vào K Đặt Y = {x − α(x)|x ∈ X} Khi Y ∩ K = 0, gọi C ⊇ Y phần bù K M Từ K đóng M nên theo Mệnh đề 1.1.11, K phần bù C M Theo Định lý 2.1.2, M = K ⊕ C Đặt π : M → K phép chiếu với Ker(π) = C Khi Y ⊆ Ker(π) π(x) = π[α(x)] = α(x) với x ∈ X Như π|N mở rộng α Mở rộng kết cho trường hợp M = M1 ⊕ M2 ⊕ ⊕ Mn ta có định lý sau 2.1.4 Định lý Cho R-môđun M = M1 ⊕ M2 ⊕ ⊕ Mn , điều kiện sau tương đương: 17 M môđun tựa liên tục Mỗi Mi môđun tựa liên tục Mi Mj - nội xạ với i = j Chứng minh (1) ⇒ (2) Từ (1) kết hợp Mệnh đề 1.2.6, Mi môđun tựa liên tục Nếu i = j Mi ⊕ Mj tựa liên tục theo Mệnh đề 1.2.6 Mi Mj nội xạ (theo Hệ 2.1.3) (2) ⇒ (1) Nếu N = M2 ⊕ ⊕ Mn theo Bổ đề 1.1.15, N M1 nội xạ Mặt khác, theo Bổ đề 1.1.17, M1 N - nội xạ Do không tính tổng quát giả sử n = Trong trường hợp này, ký hiệu E = E(M ) chọn Ei = E(Mi ) ⊆ E với i ∈ I Khi đó: E = E(M ) = E(M1 ⊕ M2 ) = E(M1 ) ⊕ E(M2 ) Đặt τ = τ ∈ End(E) Chúng ta chứng minhM tựa liên tục thông qua Định lý 2.1.2, nghĩa phải τ (M ) ⊆ M Chúng τ τ ta biểu diễn τ dạng ma trận τ = τ11 τ12 , 21 22 τij : Ej → Ei Suy τ M1 = τ11 M1 + τ21 M1 τ M2 = τ12 M2 + τ22 M2 Từ M2 M1 - nội xạ, kết hợp Bổ đề 1.1.18, ta có τ21 M1 ⊆ M2 Tương tự, τ12 M2 ⊆ M1 Suy τ11 M1 ⊆ M1 τ22 M2 ⊆ M2 + τ12 τ21 Để thuận tiện trình bày Từ τ = τ ta có τ11 = τ11 ký hiệu α = τ11 β = − τ11 Khi αβ = βα = α − α2 = β − β = τ12 τ21 ∈ End(E1 ) Ký hiệu K = Ker(αβ) • Trước hết chứng minh K = αK ⊕ βK Thật vậy, x ∈ αK ∩ βK αx ∈ αβK = 0, x = x − αx = βx ∈ βαK = Suy αK ∩ βK = Ta có αK ⊆ Ker(β) ⊆ Ker(αβ) = K Tương tự ta có βK ⊆ K Vậy αK ⊕ βK ⊆ K Mặt khác α + β = nên ta có αK ⊕ βK = K Từ E1 nội xạ ta chọn bao nội xạ E(αK) ⊆ E1 E(βK) ⊆ E1 Theo chứng minh K = αK ⊕βK ⊆ E(αK)⊕E(βK) E(αK)⊕E(βK) hạng tử trực tiếp E1 Do tồn lũy đẳng trực giao µ 18 ν End(E1 ) cho αK ⊆ µE1 βK ⊆ νE1 Suy µ(αK) = αK, ν(βK) = βK µ(βK) = = ν(αK) • Tiếp theo chứng minh α|βµE1 đơn ánh Trước hết ta có µK = µ(αK) ⊕ (βK) = αK K ∩ µE1 ⊆ µK = αK ⊆ K ∩ µE1 Suy K ∩ µE1 = αK ⊆ Ker(β) Bây giả sử x ∈ Ker(α) ∩ βµE1 x = βµe1 với e1 E1 Khi αβ(µe1 ) = 0, µe1 ∈ Ker(αβ) = K Suy µe1 ∈ K ∩ µE1 ⊆ Ker(β) = βµe1 = x Suy α|βµE1 đơn ánh Xét đồng cấu bao hàm i : βµE1 → E1 Do E1 nội xạ nên tồn λ ∈ End(E1 ) cho βµ = λαβµ E1 Hiển nhiên µ(M1 ) ⊆ M1 , theo Định lý 2.1.2 ta có M1 tựa liên tục µ2 = µ ∈ End(E1 ) Mặt khác, Mi Mj - nội xạ với i = j nên τij (Mj ) ⊆ Mi với i = j Do ta có βµM1 = λαβµM1 ⊆ λαβM1 = λτ12 τ21 M1 ⊆ (λτ12 )M1 ⊆ M1 Hoàn toàn tương tự ta có ανM1 ⊆ M1 αM1 = α(µ + ν)M1 ⊆ αµM1 + ανM1 = (1 − β)µM1 + ανM2 ⊆ M1 Kết hợp điều kiện α = τ11 ta có điều phải chứng minh 2.2 Môđun ec- liên tục ec - tựa liên tục Ở Định nghĩa 1.2.1 có điều kiện (C1 ), (C2 ), (C3 ) (1 − C1 ) Một cách mở rộng khác điều kiện (C1 ) giới thiệu [9] gọi điều kiện (C1 ): 2.2.1 Định nghĩa Cho M R- môđun phải (trái) • Môđun M gọi môđun xiclic cốt yếu (essentially cyclic) có chứa môđun xiclic cốt yếu • Môđun M gọi thỏa mãn điều kiện (C1 ) môđun xiclic cốt yếu M cốt yếu hạng tử trực tiếp M 19 • Môđun M gọi là: ec- CS thỏa mãn điều kiện C1 ; ecliên tục (ec- continuous) thỏa mãn điều kiện (C1 ) (C2 ); ec- tựa liên tục (ec- quasi continuous) thỏa mãn điều kiện (C1 ) (C3 ) Tương tự lớp môđun thỏa mãn điều kiện (C1 ) Mệnh đề 1.2.4 có bổ đề sau: 2.2.2 Bổ đề R- môđun phải (trái) M có tính chất (C1 ) môđun xiclic cốt yếu, đóng M hạng tử trực tiếp M Chứng minh • Điều kiện cần hiển nhiên vì: M có tính chất (C1 ) môđun xiclic cốt yếu hạng tử trực tiếp Do môđun xiclic cốt yếu đóng hạng tử trực tiếp M • Để chứng minh điều kiện đủ ta giả sử N môđun xiclic cốt yếu M , nghĩa N ⊆ M có chứa môđun xiclic N ⊂∗ N Theo bổ đề Zorn, môđun N có mở rộng cốt yếu tối đại L M Hiển nhiên L môđun đóng M (vì mở rộng cốt yếu thực M ) L môđun xiclic cốt yếu (vì L chứa môđun xiclic N ) Theo giả thiết ta có L hạng tử trực tiếp M Vậy M có tính chất (C1 ) Tính chất tương tự lớp môđun tựa liên tục Mệnh đề 1.2.6 ta có kết sau: 2.2.3 Bổ đề Cho M R - môđun phải ec-liên tục Khi đó: Mọi hạng tử trực tiếp M ec- liên tục Nếu M không phân tích End(M ) vành địa phương Chứng minh Từ kết Bổ đề 2.2.2 luật modular ta có điều phải chứng minh 20 Do M môđun không phân tích ec- liên tục nên M môđun liên tục End(M ) vành địa phương Tiếp theo có số kết lớp môđun ec- tựa liên tục 2.2.4 Mệnh đề Cho R vành thỏa mãn điều kiện ACC cho iđêan phải có dạng r(m), m ∈ M , M R - môđun phải ec- tựa liên tục Khi M tổng trực tiếp môđun Chứng minh Trước hết chứng minh M có chứa hạng tử trực tiếp tối đại địa phương N = ⊕α∈I Nα , với Nα môđun với α ∈ I Thật vậy, với = m phần tử M cho r(m) tối đại tập hợp {r(m)|0 = m ∈ M } Khi tồn hạng tử trực tiếp K M cho mR ⊂∗ K Giả sử K môđun không phân tích được, tồn môđun K1 , K2 K cho K = K1 ⊕ K2 Từ m ∈ M = K1 ⊕ K2 ta có m = m1 + m2 , m ∈ K1 ; m ∈ K2 Nếu m1 = m = m2 ∈ K2 , mR ∩ K1 = Suy K1 = 0, mâu thuẩn với giả thiết trên, m1 = Hiển nhiên có r(m) ⊆ r(m1 ) Mặt khác, theo cách chọn m ta có r(m) tối đại tất {r(m)|0 = m ∈ M } nên r(m1 ) ⊇ r(m) Vậy r(m) = r(m1 ) Chứng minh tương tự cho m2 ta có = m2 r(m) = r(m2 ) Suy r(m1 ) = r(m2 ) Do m1 = nên tồn r1 , r2 ∈ R cho = m1 r1 = mr2 = (m1 +m2 )r2 = m1 r2 +m2 r2 Suy m2 r2 = 0, r2 ∈ r(m2 )\r(m), mâu thuẩn Vậy K môđun không phân tích Mặt khác, K ecCS nên ta có K Sử dụng Bổ đề 1.1.23, M có chứa hạng tử trực tiếp tối đại địa phương N = ⊕α∈I Nα , Nα môđun M với α ∈ I Tiếp theo, chứng minh N ⊂∗ M Giả sử tồn 21 = m ∈ M cho mR ∩ N = Đặt = y ∈ M cho r(y) tối đại tập hợp có dạng {r(m)|0 = m ∈ M mR ∩ N = 0} Chúng ta lưu ý yR ⊂∗ N với N hạng tử trực tiếp M Theo lập luận trên, N môđun Sử dụng điều kiện C3 , N ⊕ N hạng tử trực tiếp địa phương, mâu thuẩn với cách chọn N Do N ⊂∗ M , kết hợp ([3], Theorem 8) ta có M = N Vậy M tổng trực tiếp môđun 22 KẾT LUẬN Trên sở tài liệu tham khảo [5] [8] Luận văn đề cập đến vấn đề sau: Tìm hiểu số điều kiện để tổng trực tiếp môđun tựa liên tục (Hệ 2.1.3, Định lý 2.1.4) Nghiên cứu điều kiện (C1 ) khái niệm ec- CS, ec- liên tục ec- tựa liên tục Làm sáng tỏ số tính chất lớp môđun thỏa mãn điều kiện (C1 ) (Bổ đề 2.2.2, Bổ đề 2.2.3, Mệnh đề 2.2.4) 23 TÀI LIỆU THAM KHẢO A Tiếng Việt [1] Nguyễn Tiến Quang- Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lý thuyết môđun vành , NXB Giáo dục B Tiếng Anh [2] F.W Anderson and K.R Furler (1974), Rings and Categories of Modules, Springer - Verlag, NewYork - Heidelberg - Berlin [3] Nguyen Viet Dung, Dinh Van Huynh, P F Smith and R Wisbauer (1994), Extending Modules, Pitman, London [4] P Ara and J K Park (1991), On continuous semiprimary rings, Comm Algebra, 19, 1945-1957 [5] S.H Mohamed and B.J Muller (1990), Continuous and Discrete Modules, London Math Soc Lecture Note Ser Vol 147, Cambridge University Press [6] W.K Nicholson and M.F Yousif (2003), Quasi- Frobenius Rings, Cambridge Univ Press, Vol 158 [7] M Okado (1984), On the decomposition of extending modules, Math Japonica, 29, 939-941 [8] Somyot Plubtieng (2003), A Generalization of Continuous Modules and Their Application to QF-rings, Kyungpook Math J 43, 11-18 24 [9] L V Thuyet and R Wisbauer (1997), Extending property for finitely generated submodules, Vietnam J Math, 25, 65-73 [10] T Y Lam (1991), A First Course on Noncommutative Rings, Springer Verlag [...]... một mô un liên tục (t.ư., tựa liên tục) 14 CHƯƠNG 2 TỔNG TRỰC TIẾP CÁC M ĐUN TỰA LIÊN TỤC VÀ EC - TỰA LIÊN TỤC 2.1 Tổng trực tiếp các mô un tựa liên tục Như đã giới thiệu trong 1.2, mọi hạng tử trực tiếp của mô un tựa liên tục là mô un tựa liên tục (Mệnh đề 1.2.6) Tuy nhiên, tổng trực tiếp của các mô un tựa liên tục không hẳn là mô un tựa liên tục F F 2.1.1 Ví dụ Xét vành R = 0 F trong đó F là một... đều Mọi mô un đều M là mô un tựa liên tục Chúng ta có mọi hạng tử trực tiếp của mô un nội xạ là một mô un nội xạ Mệnh đề sau là kết quả tương tự trên lớp mô un thỏa mãn các điều kiện (Ci )3i=1 1.2.6 Mệnh đề Các điều kiện (Ci )3i=1 có tính chất di truyền đối với các hạng tử trực tiếp Đặc biệt, mọi hạng tử trực tiếp của một mô un liên tục (tựa liên tục) là một mô un liên tục (t.ư., tựa liên tục) 14... ràng A và B là các R - mô un tựa liên tục, vì A là mô un nội xạ, B là mô un đơn và ta có R = A ⊕ B Tuy nhiên RR chỉ thỏa mãn điều kiện (C1 ) nhưng không thỏa mãn điều kiện (C3 ) và do đó nó không là mô un tựa liên tục Mục đích chính của phần này là đưa ra một số điều kiện cần thiết để tổng trực tiếp của các mô un là tựa liên tục Trước hết chúng ta có một đặc trưng của mô un tựa liên tục 2.1.2 Định... như: mở rộng thông qua các điều kiện C1 , C2 , C3 chúng ta có các khái niệm CS -mô un, mô un liên tục, mô un tựa liên tục Cho MR là R- mô un phải Ta định nghĩa các điều kiện sau: 12 1.2.1 Định nghĩa • (C1 ) : Mọi mô un con của MR là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của MR Hay nói cách khác, mọi mô un con đóng trong MR là hạng tử trực tiếp của MR • (C2 ) : Nếu A và B là các mô un con của MR đẳng cấu... một số tính chất 1.2.4 Mệnh đề R- mô un phải (trái) có tính chất (C1 ) nếu và chỉ nếu mọi mô un con đóng của M là hạng tử trực tiếp Mô un M được gọi là mô un đều (uniform) nếu giao của hai mô un con khác không bất kỳ của M là một mô un con khác không Một trong những mối liên hệ giữa lớp mô un tựa liên tục và lớp mô un này được thể hiện trong bổ đề sau 1.2.5 Mệnh đề Mô un M không phân tích được và có... tục ⇒ CS ⇒ (1 − C1 ) Sử dụng các khái niệm trên cho vành R khi xét R như một R -mô un trên chính nó chúng ta có các khái niệm tương ứng 1.2.3 Định nghĩa Vành R được gọi là CS (liên tục, tựa liên tục) vành phải nếu RR là một CS (liên tục, tựa liên tục) mô un phải trên chính nó Tương tự chúng ta có các khái niệm CS-vành trái, vành liên tục trái và vành tựa liên tục trái 13 Tiếp theo chúng ta có một số... kiện (C1 ) Mô un MR được gọi là liên tục (continuous) nếu MR thỏa mãn các điều kiện (C1 ) và (C2 ) Mô un MR được gọi là tựa liên tục (quasi-continuous) nếu MR thỏa mãn các điều kiện (C1 ) và (C3 ) Mô un MR được gọi là (1 − C1 )- mô un (uniform extending) nếu MR thỏa mãn điều kiện (1 − C1 ) Từ các định nghĩa trên chúng ta có dãy kéo theo sau đây: Nội xạ ⇒ Tựa nội xạ ⇒ Liên tục ⇒ Tựa liên tục ⇒ CS ⇒... trường hợp M = M1 ⊕ M2 ⊕ ⊕ Mn ta có định lý sau 2.1.4 Định lý Cho R -mô un M = M1 ⊕ M2 ⊕ ⊕ Mn , các điều kiện sau tương đương: 17 1 M là mô un tựa liên tục 2 Mỗi Mi là một mô un tựa liên tục và Mi là Mj - nội xạ với mọi i = j Chứng minh (1) ⇒ (2) Từ (1) kết hợp Mệnh đề 1.2.6, Mi là mô un tựa liên tục Nếu i = j thì Mi ⊕ Mj là tựa liên tục theo Mệnh đề 1.2.6 và do đó Mi là Mj nội xạ (theo Hệ quả 2.1.3)... một hạng tử trực tiếp địa phương, mâu thuẩn với cách chọn N Do đó N ⊂∗ M , kết hợp ([3], Theorem 8) ta có M = N Vậy M là một tổng trực tiếp các mô un đều 22 KẾT LUẬN Trên cơ sở các tài liệu tham khảo chính [5] và [8] Luận văn đã đề cập đến các vấn đề sau: 1 Tìm hiểu một số điều kiện để tổng trực tiếp các mô un là tựa liên tục (Hệ quả 2.1.3, Định lý 2.1.4) 2 Nghiên cứu điều kiện (C1 ) và các khái niệm... mô un phải ec -liên tục Khi đó: 1 Mọi hạng tử trực tiếp của M cũng là ec- liên tục 2 Nếu M không phân tích được thì End(M ) là vành địa phương Chứng minh 1 Từ kết quả của Bổ đề 2.2.2 và luật modular ta có điều phải chứng minh 20 2 Do M là mô un không phân tích được và ec- liên tục nên M là mô un liên tục và do đó End(M ) là vành địa phương Tiếp theo chúng ta có một số kết quả trên lớp các mô un ec- tựa ... tử trực tiếp Đặc biệt, hạng tử trực tiếp mô un liên tục (tựa liên tục) mô un liên tục (t.ư., tựa liên tục) 14 CHƯƠNG TỔNG TRỰC TIẾP CÁC M ĐUN TỰA LIÊN TỤC VÀ EC - TỰA LIÊN TỤC 2.1 Tổng trực tiếp. .. trực tiếp mô un tựa liên tục Như giới thiệu 1.2, hạng tử trực tiếp mô un tựa liên tục mô un tựa liên tục (Mệnh đề 1.2.6) Tuy nhiên, tổng trực tiếp mô un tựa liên tục không mô un tựa liên tục F F... mô un tựa liên tục mô un tựa liên tục tổng trực tiếp mô un tựa liên tục không mô un tựa liên tục Chẳng hạn xét ví dụ sau: F F F F Xét vành R = F F trường Đặt A = 0 0 B = F Rõ ràng A B R- mô un