Về tổng trực tiếp hữu hạn các môđun đều có độ dài hữu hạn

1 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC .1 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU LỜI NÓI ĐẦU Chương Kiến thức sở Chương Tổng trực tiếp hữu hạn môđun có độ dài hữu hạn 10 §1 Điều kiện (Ci ) cho tổng trực tiếp hữu hạn môđun 10 §2 Đặc trưng vành QF điều kiện (C2 ∗ ) 24 KẾT LUẬN 27 TÀI LIỆU THAM KHẢO 28 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU N, Z, Q, R, C: Tương ứng tập hợp số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ, số thực, số phức N ⊆ M : N môđun môđun M N ⊆e M : N môđun cốt yếu môđun M N ⊂⊕ M : N hạng tử trực tiếp môđun M N ⊕ M : Tổng trực tiếp hai môđun N M N∼ = M : Hai môđun N M đẳng cấu với End(M ): Vành tự đồng cấu môđun M l(M ): Độ dài môđun M udim(M ): Chiều môđun M M (A) = Mi , Mi = M i∈A LỜI NÓI ĐẦU Trong lý thuyết vành môđun, lớp môđun (uniform modules) nhiều nhà toán học D V Huynh, S K Jain, S R López Permouth, S T Rizvi quan tâm Trong việc nghiên cứu lớp môđun mở rộng môđun nội xạ, điều kiện (Ci ) thường sử dụng nhiều Đối với điều kiện (C1 ), Harada mở rộng thành điều kiện (1 − C1 ) quan tâm đến môđun Với cách thức nhóm Seminar "Lý thuyết vành môđun" Trường Đại học Vinh đưa khái niệm (∗) mở rộng điều kiện (C2 ), cụ thể sau: (∗) Nếu A môđun môđun M đẳng cấu với hạng tử trực tiếp M A hạng tử trực tiếp M Trong luận văn điều kiện (∗) kí hiệu (C2 ∗ ) Luận văn tập trung vào nghiên cứu tính liên tục môđun tổng trực tiếp hữu hạn môđun với độ dài hữu hạn thông qua điều kiện (C2 ∗ ) Từ áp dụng kết để đặc trưng vành QF Luận văn gồm chương: Chương Trình bày khái niệm tính chất môđun cốt yếu, môđun đều, độ dài môđun khái niệm có liên quan Chương Nghiên cứu tính liên tục môđun thỏa mãn điều kiện (C2 ∗ ), tổng trực tiếp hữu hạn môđun có độ dài hữu hạn Qua xét đến điều kiện (C2 ) cần kiểm tra lớp môđun với lớp hẹp môđun đẳng cấu với hạng tử trực tiếp đặc biệt có dạng định sẵn Tiếp nối số nghiên cứu D V Huynh, S K Jain, S R López - Permouth, luận văn sử dụng kết môđun phần đầu Chương để đặc trưng vành QF Các kết luận văn đăng báo Tổng trực tiếp môđun với độ dài hữu hạn, Tạp chí khoa học Đại học Huế, số 59 (2010), 149 - 154 Luận văn hoàn thành Trường Đại học Vinh, hướng dẫn PGS TS Ngô Sỹ Tùng Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS TS Ngô Sỹ Tùng định hướng nghiên cứu, thường xuyên quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi, với lời động viên khích lệ tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo tổ Đại số - Khoa Toán - Trường Đại học Vinh động viên, giúp đỡ tác giả trình viết chỉnh sửa luận văn Tác giả xin cảm ơn NCS Lê Văn An thành viên nhóm Seminar "Lý thuyết vành môđun" giúp đỡ tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu Trường Đại học Vinh Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi thiếu sót Chúng mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo, cô giáo bạn đọc để luận văn hoàn thiện Vinh, tháng 10 năm 2010 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương trình bày số khái niệm tính chất liên quan đến luận văn Các khái niệm, tính chất ký hiệu chủ yếu dựa theo F W Anderson K R F¨uller [2]; N V Dung, D V Huynh, P F Smith R Wisbauer [4]; S H Mohamed B J M¨uller [9] Các vành giả thiết vành kết hợp có đơn vị, môđun vành hiểu môđun phải unita (nếu không nói thêm) 1.1 MÔĐUN CON CỐT YẾU VÀ MÔĐUN CON ĐÓNG 1.1.1 Định nghĩa Cho R vành M R−môđun phải Xét N môđun M (a) Môđun N gọi cốt yếu (essential) M ký hiệu N ⊆e M , với môđun K khác không M N ∩ K = Khi ta nói M mở rộng cốt yếu (essential extension) N (b) Môđun N gọi đóng (closed) M N mở rộng cốt yếu thực Nói cách khác, N gọi đóng M với môđun K M mà N ⊆e K K = N (c) Môđun K M gọi bao đóng (closure) môđun N M K môđun tối đại M cho N cốt yếu K 1.1.2 Tính chất Cho M , N R−môđun phải với N ⊆ M (a) Bao đóng môđun N môđun M tồn (xem [9], tr.19) (b) Nếu N đóng K , K đóng M N đóng M (xem [9], tr.20) 1.2 MÔĐUN ĐỀU VÀ CHIỀU ĐỀU 1.2.1 Định nghĩa (a) Cho vành R U R− môđun phải Môđun U gọi môđun (uniform module) U = A ∩ B = môđun khác không A, B U Hay nói cách khác, U U = môđun khác không cốt yếu U (b) Môđun M gọi có chiều (chiều uniform) hữu hạn không chứa tổng trực tiếp vô hạn môđun M Nếu môđun M chứa môđun cốt yếu tổng trực tiếp n môđun M ta có chiều môđun M n, ký hiệu udim(M ) = n Nhận xét: udim(M ) = ⇔ M = (c) Cho vành R, ta nói R có chiều phải (trái) hữu hạn môđun RR (tương ứng R R) có chiều hữu hạn 1.2.2 Tính chất Cho N môđun R−môđun M (a) Nếu N ⊆e M M có chiều hữu hạn N có chiều hữu hạn trường hợp udim(N ) = udim(M ) Ngược lại, M có chiều hữu hạn udim(N ) = udim(M ) N ⊆e M (b) Nếu M = M1 ⊕ M2 ⊕ ⊕ Mn udim(M ) = udim(M1 ) + udim(M2 ) + + udim(Mn ) (c) Giả sử N M/N có chiều hữu hạn Khi M có chiều hữu hạn udim(M ) ≤ udim(N ) + udim(M/N ) (d) Nếu M có chiều hữu hạn, với đơn cấu f : M −→ M ta có Im(f ) ⊆e M 1.3 ĐỘ DÀI CỦA MÔĐUN Cho R−môđun phải M Một dãy n + môđun M : M = M0 ⊇ M1 ⊇ ⊇ Mn = 0, gọi dãy hợp thành độ dài n môđun M Mi−1 /Mi (i = 1, 2, , n) môđun đơn Khi đó, độ dài dãy hợp thành gọi độ dài môđun M ký hiệu l(M ) = n Môđun M = có độ dài hữu hạn M vừa môđun Artin vừa môđun Noether 1.4 CÁC ĐIỀU KIỆN (Ci ) Cho M R−môđun phải Ta xét điều kiện sau: (C1 ) Mỗi môđun M cốt yếu hạng tử trực tiếp M Nói cách khác, môđun đóng M hạng tử trực tiếp M (C2 ) Nếu A B môđun M đẳng cấu với A hạng tử trực tiếp M B hạng tử trực tiếp M (C3 ) Nếu A B hạng tử trực tiếp M A ∩ B = A ⊕ B hạng tử trực tiếp M (1 − C1 ) Mỗi môđun M cốt yếu hạng tử trực tiếp M Nói cách khác, môđun đóng M hạng tử trực tiếp M 1.4.1 Định nghĩa (a) Một môđun M gọi CS−môđun (tương ứng (1 − C1 )môđun) M thoả mãn điều kiện (C1 ) (tương ứng (1 − C1 )) (b) Một môđun M gọi liên tục M thoả mãn (C1 ) (C2 ) (c) Một môđun M gọi tựa liên tục M thoả mãn điều kiện (C1 ) (C3 ) (d) Môđun M gọi môđun Σ − CS (tương ứng Σ − (1 − C1 )) môđun M (I) CS−môđun (tương ứng (1 − C1 )) với tập số I (e) Môđun M gọi môđun đếm Σ − CS (tương ứng đếm Σ−(1−C1 )) môđun M (N) CS−môđun (tương ứng (1−C1 )) 1.4.2 Tính chất (a) Một môđun thỏa mãn điều kiện (C2 ) thỏa mãn điều kiện (C3 ) (b) Ta có sơ đồ kéo theo sau đúng: Nội xạ =⇒ Tựa nội xạ =⇒ Liên tục =⇒ Tựa liên tục =⇒ CS =⇒ (1 − C1 ) Chiều ngược lại điều kiện nói chung không 1.5 VÀNH ĐỊA PHƯƠNG 1.5.1 Định nghĩa Vành R gọi vành địa phương (local ring) tập hợp phần tử không khả nghịch R đóng kín phép cộng 1.5.2 Tính chất Cho vành R, khẳng định sau tương đương: (a) R vành địa phương; (b) R có iđêan trái tối đại nhất; (c) J(R) iđêan trái tối đại; (d) Tập hợp phần tử không khả nghịch trái R đóng kín phép cộng; (e) J(R) = {x ∈ R |Rx = R}; (f) Đối với x ∈ R x − x khả nghịch 1.6 VÀNH TỰA FROBENIUS Vành R gọi tựa Frobenius (viết tắt QF-vành) R vành Artin hai phía tựa nội xạ hai phía 10 CHƯƠNG TỔNG TRỰC TIẾP HỮU HẠN CÁC MÔĐUN ĐỀU CÓ ĐỘ DÀI HỮU HẠN §1 Điều kiện (Ci ) cho tổng trực tiếp hữu hạn môđun có độ dài hữu hạn 2.1.1 Bổ đề Hạng tử trực tiếp CS−môđun CS−môđun Chứng minh Giả sử M CS−môđun, N hạng tử trực tiếp M Ta chứng minh N CS−môđun Thật vậy, xét T môđun đóng N Khi [9, Lemma 2.6], T đóng M Vì M CS−môđun nên T ⊂⊕ M , nghĩa là: M = T ⊕ X , với môđun X M Theo luật Môđula ta có: N = N ∩ M = N ∩ (T ⊕ X) = T ⊕ (N ∩ X) Do T ⊂⊕ N , N CS−môđun 2.1.2 Bổ đề Cho M môđun khác không, M không chứa tổng trực tiếp vô hạn môđun khác không M Khi M chứa môđun Chứng minh Giả sử M không chứa môđun Khi M môđun đều, suy tồn hai môđun khác không K1 , L1 M cho K1 ∩ L1 = Do L1 môđun đều, nên tồn hai môđun khác không K2 , L2 L1 cho K2 ∩ L2 = Nhận xét L2 môđun đều, nên tiếp tục 15 tiếp N Đặt M = N ⊕ N N = B ⊕ B , ta có M = B ⊕ B ⊕ N , suy B hạng tử trực tiếp M Vì A môđun M môđun M thoả mãn điều kiện (C2 ∗ ) nên A hạng tử trực tiếp M Đặt M = A⊕A , theo luật Môđula ta có N = N ∩M = N ∩(A⊕A ) = A ⊕ (N ∩ A ) Do A hạng tử trực tiếp N , tức N thỏa mãn điều kiện (C2 ∗ ) 2.1.11 Định lí Cho môđun với độ dài hữu hạn U1 , , Un đặt U = U1 ⊕ ⊕ Un Khi khẳng định sau tương đương: (a) U môđun liên tục ; (b) U CS−môđun thoả mãn điều kiện (C2 ∗ ); (c) U (1 − C1 )−môđun môđun X U thỏa mãn X∼ = i∈I Ui , (I ⊆ {1,2, , n}) X hạng tử trực tiếp U Chứng minh (a) =⇒ (b) hiển nhiên (b) =⇒ (a) Giả sử U CS−môđun thoả mãn điều kiện (C2 ∗ ), ta cần chứng minh U môđun liên tục Trước tiên ta chứng minh U môđun tựa liên tục Đặt Uij = Ui ⊕ Uj với ∀i, j = 1, 2, , n, i = j , ta chứng minh Uij môđun tựa liên tục Vì Uij hạng tử trực tiếp U nên ta có Uij CS−môđun Nếu l(Ui ) = l(Uj ) theo Bổ đề 2.1.6, ta có Uij thoả mãn điều kiện (C3 ) 16 suy Uij môđun tựa liên tục Nếu l(Ui ) = l(Uj ), không tính tổng quát ta giả sử l(Ui ) < l(Uj ) Theo Bổ đề 2.1.10, ta có Uij thoả mãn điều kiện (C2 ∗ ) Giả sử tồn R−đơn cấu f : Ui −→ Uj đặt f (Ui ) = L, L môđun Uj Ui ∼ = L Hiển nhiên ta có L = Giả sử L = Uj Vì Uij thoả mãn điều kiện (C2 ∗ ) L môđun Uij nên L hạng tử trực tiếp Uij (do Ui hạng tử trực tiếp Uij ) Đặt Uij = L⊕L , theo luật Môđula ta có Uj = Uj ∩Uij = Uj ∩(L⊕L ) = L ⊕ L với L = Uj ∩ L Vì Uj môđun nên L = (vì L = 0), suy L = Uj (mâu thuẫn) Do Ui không nhúng thực vào Uj Ngược lại, giả sử tồn R−đơn cấu g : Uj −→ Ui , ta có l(Uj ) = l(g(Uj )) l(Ui ) (mâu thuẫn) Từ Uj không nhúng vào Ui Giả sử tồn R−đơn cấu h : Ui −→ Ui cho h(Ui ) = K ⊆ Ui K = Ui Ta có K ∼ = Ui , suy l(Ui ) = l(K) < l(Ui ) (mâu thuẫn) Do Ui không nhúng thực vào tương tự Uj Giả sử S1 S2 hạng tử trực tiếp Uij cho S1 ∩ S2 = 0, ta chứng minh S1 ⊕ S2 hạng tử trực tiếp Uij Nhận xét chiều Uij nên trường hợp có hai hạng tử trực tiếp môđun có chiều ta dễ dàng có điều cần chứng minh Xét trường hợp hai hạng tử trực tiếp S1 S2 môđun Đặt Uij = S2 ⊕ F Theo Bổ đề 2.1.3, vành tự đồng cấu End(Ui ) End(Uj ) địa phương nên theo Bổ đề 2.1.5, ta có Uij = S2 ⊕F = S2 ⊕Ui , Uij = S2 ⊕ F = S2 ⊕ Uj 17 Không tính tổng quát ta cần xét trường hợp Uij = S2 ⊕ F = S2 ⊕ Ui = Ui ⊕ Uj Khi S2 ∼ = Uj Đặt Uij = S1 ⊕H , theo Bổ đề 2.1.5 ta có Uij = S1 ⊕H = S1 ⊕Ui , S1 ⊕ H = S1 ⊕ Uj Nếu Uij = S1 ⊕ H = S1 ⊕ Ui , sử dụng luật Môđula ta có S1 ⊕ S2 = (S1 ⊕S2 )∩Uij = (S1 ⊕S2 )∩(S1 ⊕Ui ) = S1 ⊕X X = (S1 ⊕S2 )∩Ui Từ X ∼ = S2 ∼ = Uj Vì Uj không nhúng thực vào Ui X môđun Ui nên X = Ui Do l(Ui ) = l(X) = l(S2 ) = l(Uj ) (mâu thuẫn) Nếu Uij = S1 ⊕ H = S1 ⊕ Uj , sử dụng luật Môđula ta có S1 ⊕ S2 = (S1 ⊕S2 )∩Uij = (S1 ⊕S2 )∩(S1 ⊕Uj ) = S1 ⊕V V = (S1 ⊕S2 )∩Uj Từ V ∼ = S2 ∼ = Uj Vì Uj không nhúng thực vào V môđun Uj nên V = Uj Do S1 ⊕ S2 = S1 ⊕ Uj = Uij Tóm lại ta có S1 ⊕ S2 = Uij Hay Uij thoả mãn điều kiện (C3 ) suy Uij môđun tựa liên tục Từ đó, Uij môđun tựa liên tục với i, j = 1, , n Theo Harmanci - Smith, ta có U môđun tựa liên tục (xem [5, Corollary 11]) Tiếp theo ta chứng minh, U thoả mãn điều kiện (C2 ) Xét hai môđun A, B U đẳng cấu với nhau, B hạng tử trực tiếp U , ta chứng minh A hạng tử trực tiếp U Thật vậy, theo 2.1.3, vành tự đồng cấu End(Ui ) địa phương với 18 i = 1, , n nên theo Bổ đề 2.1.5, tồn tập F {1, , n} cho B⊕( Ui ) = U i∈F Nếu F = {1, , n} A = B = Từ suy A hạng tử trực tiếp U Nếu F = {1, , n}, ta đặt J = {1, , n}\F Từ U =B⊕( Ui ) ⊕ ( Ui ) = ( i∈F i∈J Ui ) i∈F Do ta suy Ui ∼ = A∼ =B∼ = U/ i∈F Ui = C i∈J Không tính tổng quát ta giả sử J = {1, , k} với k n, tức C = U1 ⊕ ⊕ Uk Xét đẳng cấu ϕ : C −→ A đặt Ai = ϕ(Ui ), ta suy Ai ∼ = Ui với i = 1, , k Từ A = ϕ(C) = ϕ(U1 ⊕ ⊕Uk ) = ϕ(U1 )⊕ ⊕ϕ(Uk ) = A1 ⊕ ⊕Ak Mặt khác Ai môđun U , Ai ∼ = Ui U thoả mãn điều kiện (C2 ∗ ), ta có Ai hạng tử trực tiếp U với i = 1, , k Từ tính chất U môđun tựa liên tục, suy A = A1 ⊕ ⊕ Ak hạng tử trực tiếp U Do U thoả mãn điều kiện (C2 ) Vì U CS−môđun nên U môđun liên tục, ta có (a) (a) =⇒ (c) Hiển nhiên U CS−môđun Giả sử X môđun U , X ∼ = i∈I Ui , (I ⊆ {1, 2, , n} Do i∈I Ui ⊆⊕ U U thỏa mãn (C2 ), nên X ⊆⊕ U 19 (c) =⇒ (a) Trước hết ta chứng minh U CS−môđun Giả sử X môđun đóng U , ta X hạng tử trực tiếp U Ta có udim(X) ≤ udim(U ), giả sử udim(X) = m < ∞ Ta chứng minh quy nạp theo m Nếu m = m = ta có X ⊆e U Giả sử điều cần chứng minh tới m − 1, ta chứng minh với m Gọi Y môđun đóng X , theo [9, Lemma 2.6] Y môđun đóng U Do U = Y ⊕ Y , với Y môđun U Theo luật Môđula ta có X = X ∩ U = X ∩ (Y ⊕ Y ) = Y ⊕ (X ⊕ Y ) Đặt X = X ∩ Y Vì udim(X ) = m − nên X ⊆⊕ U Đặt U = X ⊕Z , theo luật Môđula ta có Y = Y ∩U = Y ∩(X ⊕Z) = X ⊕ X , với X = Y ∩ Z Từ U = Y ⊕ Y = Y ⊕ X ⊕ X = X ⊕ X Vậy X hạng tử trực tiếp U , U CS−môđun Tiếp theo ta chứng minh U thỏa mãn (C2 ), tức với hai môđun X, Y U thỏa mãn X ∼ = Y Y ⊆⊕ U X hạng tử trực tiếp U Theo 2.1.3, vành tự đồng cấu End(Ui ) địa phương với i = 1, , n nên áp dụng Bổ đề 2.1.5, tồn tập J {1, , n} cho U =Y ⊕H =Y ⊕( Ui ) i∈J Nếu J = {1, 2, , n}, X = Y = Do X ⊆⊕ U Nếu J = {1, 2, , n}, đặt I = {1, 2, , n}\J Ta có: U =Y ⊕H =Y ⊕( Ui ) ⊕ ( Ui ) = ( i∈J i∈I Ui ) i∈J 20 Từ X ∼ = U\ =Y ∼ Ui ∼ = i∈J Ui Theo giả thiết ta có X hạng tử i∈I trực tiếp U , hay U thỏa mãn (C2 ) Suy U môđun liên tục 2.1.12 Hệ Cho U1 , U2 , , Un môđun có độ dài hữu hạn, U = U1 ⊕ U2 ⊕ ⊕Un , U thỏa mãn (C2 ∗ ) Khi M, N ⊆⊕ U , udim(M ) = udim(N ) = n − U = M ⊕ N Chứng minh Do Ui môđun có độ dài hữu hạn nên theo Bổ đề 2.1.3 End(Ui ) vành địa phương, i = 1, 2, , n Theo giả thiết udim(N ) = n − 1, áp dụng Bổ đề 2.1.5 Tính chất 1.2.2 ta có U = N ⊕ K = N ⊕ Ui Không tính tổng quát, giả sử Ui = U1 , U = N ⊕ U1 = ( U =M ⊕H =M ⊕( i∈I n i=2 Ui ) ⊕ U1 Hơn ta có Ui với |I| = n − Ta xét hai trường hợp: Trường hợp : ∈ I Khi U = M ⊕ (U2 ⊕ ⊕ Un ) Theo luật Môđula ta có M ⊕N = (M ⊕N )∩U = (M ⊕N )∩(N ⊕U1 ) = N ⊕ ((M ⊕ N ) ∩ U1 )) = N ⊕ T , T = (M ⊕ N ) ∩ U1 ) Do T ∼ =M ∼ = U1 T ⊆ U1 Theo Định lí 2.1.11 U1 không tự nhúng vào nó, nên T = U1 Từ M ⊕ N = N ⊕ T = N ⊕ U1 = U Trường hợp : ∈ I Khi tồn k = cho k = {1, 2, , n} I Theo luật Môđula ta có M ⊕ N = N ⊕ V V = (M ⊕ N ) ∩ U1 Do V ⊆ U1 V ∼ =M ∼ = Uk Theo định lí 2.1.11, Uk không nhúng thực vào U1 , V = U1 Suy M ⊕ N = N ⊕ U1 = U Vậy U = M ⊕ N 21 2.1.13 Định nghĩa Một môđun M gọi u−liên tục M (1 − C1 )−môđun A B môđun M cho A ∼ = B , A hạng tử trực tiếp M , B hạng tử trực tiếp M 2.1.14 Mệnh đề Cho U1 , U2 , , Un môđun có độ dài hữu hạn, U = U1 ⊕ U2 ⊕ ⊕ Un Khi U u−liên tục U CS−môđun thỏa mãn (C2 ∗ ) Chứng minh Giả sử U môđun u−liên tục Khi U (1 − C1 )−môđun, U = U1 ⊕ U2 ⊕ ⊕ Un với U1 , U2 , , Un môđun có độ dài hữu hạn, theo Định lí 2.1.11 ta có U CS−môđun Hiển nhiên U thỏa mãn điều kiện (C2 ∗ ) Ngược lại, giả sử U thỏa mãn (C2 ∗ ), với U = U1 ⊕ U2 ⊕ ⊕ Un U1 , U2 , , Un môđun có độ dài hữu hạn Khi theo Định lí 2.1.11 ta có A B môđun U cho A ∼ = B , A hạng tử trực tiếp U , B hạng tử trực tiếp U Hiển nhiên U (1 − C1 )−môđun, U môđun u−liên tục 2.1.15 Định lí Cho vành R; U1 , U2 , , Un R−môđun có chiều dài hữu hạn, U = U1 ⊕ U2 ⊕ ⊕ Un , U thỏa mãn (C2 ∗ ) Nếu i∈K i∈J Ui Ui −nội xạ tập K, J {1, 2, , n}, K ∩ J = ∅, U môđun liên tục Chứng minh Trước hết ta chứng minh U CS−môđun 22 Xét A môđun đóng U Khi tồn tập tối đại J {1, 2, , n} cho ) ⊆e U A⊕( i∈J Thật vậy, A = U ta chọn J = ∅ Nếu A = U , A môđun đóng U nên tồn i ∈ {1, 2, , n} cho A ∩ Ui = (vì A ∩ Ui = với i theo [4, Proposition 5.6] A cốt yếu U , mà A đóng nên A = U ) Theo Bổ đề Zorn, tồn J tập tối đại {1, 2, , n} có tính chất A∩( i∈J Ui ) = Đặt V1 = i∈J Ui , V2 = i∈K , với K = {1, 2, , n}\J Từ tính chất tối đại J ta có A ∩ (V1 ⊕ Uk ) = 0, ∀k ∈ K Do tồn a ∈ A, a = cho a = x + u, x ∈ V1 , u ∈ Uk u = Từ u = a − x ∈ A ⊕ V1 , suy Uk ∩ (A ⊕ V1 ) = 0, ∀k ∈ K Theo [4, Proposition 5.6] ta có A ⊕ ( i∈J Ui ) ⊆e U Xét πJ , πK phép chiếu từ U lên V1 , V2 Khi πK |A đơn cấu A ∩ Ker(πK ) = A ∩ V1 = Do tồn (πK |A )−1 Giả sử h = πJ (πK |A )−1 : πK (A) −→ V1 Ta có A = {x + h(x)|x ∈ πK (A)} Thật vậy, x ∈ πK (A) tồn a ∈ A : a = πK (x) Vì U = V1 ⊕V2 nên a = v1 +v2 = πJ (a)+πK (a), với v1 ∈ V1 v2 ∈ V2 Khi x+h(x) = πK (a) + hπK (a) = πK (a) + πJ (πK |A )−1 πK (a) = πK (a) + πJ (a) = a, A ⊆ {x + h(x)|x ∈ πK (A)} Ngược lại a ∈ A a = πJ (a)+πK (a) = πK (a)+πJ (πK |A )−1 πK (a) = x + h(x), với x ∈ πK (A) Do {x + h(x)|x ∈ πK (A)} ⊆ A, 23 A = {x + h(x)|x ∈ πK (A)} Theo giả thiết V1 V2 −nội xạ, nên tồn g : V2 −→ V1 mở rộng h Đặt B = {x+g(x)|x ∈ V2 } Ta có A⊕V1 ⊆e U, πK (A) = πK (A⊕V1 ) ⊆e πK (U ) = V2 Khi A ⊆e B Thật vậy, A = (1 + h)(πK (A)) = (1 + g)(πK (A)), B = (1 + g)(V2 ), mà πK (A) ⊆e V2 Do (1 + g)(πK (A) ⊆e (1 + g)(V2 ), hay A ⊆e B Do A đóng nên A = B Ta chứng minh πK (A) = V2 Hiển nhiên πK (A) ⊆ V2 Ngược lại, s ∈ V2 s + g(s) ∈ B , s + g(s) ∈ A Do s + g(s) = t + h(t) = t + g(t), t ∈ πK (A) Suy s − t = g(t − s) Ta có s − t ∈ V2 , g(t − s) ∈ V1 , s − t = 0, hay s = t ∈ πK (A) Bởi V2 ⊆ πK (A), suy V2 = πK (A) Do U = A ⊕ V1 , nghĩa A ⊆⊕ U , U CS−môđun Theo giả thiết U thỏa mãn (C2 ∗ ) nên theo Định lí 2.1.11 ta có U môđun liên tục 24 §2 ĐẶC TRƯNG VÀNH QF BỞI ĐIỀU KIỆN (C2∗ ) 2.2.1 Bổ đề Một môđun khác không M có độ dài hữu hạn M vừa môđun Artin vừa môđun Noether Chứng minh * Điều kiện cần Giả sử l(M ) = k Xét dãy tăng môđun M : M1 ⊂ M2 ⊂ (1) Giả sử dãy không dừng, ta chọn chuỗi chuẩn tắc có độ dài k + Theo [14, 32.3] ta mịn hóa dãy chuẩn tắc trở thành dãy hợp thành M với độ dài ≥ k + Điều mâu thuẫn với giả thiết độ dài M Vậy dãy (1) dừng, M môđun Noether Tương tự ta có dãy giảm môđun M dừng, M môđun Artin Vậy M vừa môđun Artin vừa môđun Noether * Điều kiện đủ Giả sử M vừa môđun Artin vừa môđun Noether Khi M môđun hữu hạn sinh nên M chứa môđun tối đại M1 Do M1 môđun hữu hạn sinh nên M1 chứa môđun tối đại M2 Tiếp tục ta có dãy giảm M ⊃ M1 ⊃ M2 ⊃ với môđun thương Mi /Mi+1 môđun đơn với i Do M môđun Artin nên dãy dừng sau hữu hạn bước, thu dãy hợp thành M Do M có độ dài hữu hạn 25 2.2.2 Bổ đề [6, Theorem 4.3] Cho vành R có chiều hữu hạn Khi khẳng định sau tương đương: (a) R vành QF; (b) RR môđun Σ − (1 − C1 ) liên tục 2.2.3 Định lí Đối với vành R, khẳng định sau tương đương: (a) R vành QF; (b) RR môđun Σ−CS thoả mãn điều kiện (C2 ∗ ) Chứng minh (a) =⇒ (b) hiển nhiên (b) =⇒ (a) Giả sử RR môđun Σ − CS thoả mãn điều kiện (C2 ∗ ), ta chứng minh R vành QF Vì RR môđun Σ − CS nên theo [11] [12], ta có R vành Artin hai phía R vành Noether hai phía Đặt RR = R1 ⊕ ⊕ Rn Ri iđêan phải R với i = 1, , n Ta có Ri môđun Artin môđun Noether, theo Bổ đề 2.2.1 Ri môđun có độ dài hữu hạn Vì RR CS−môđun thoả mãn điều kiện (C2 ∗ ) nên theo Định lý 2.1.11, RR môđun liên tục phải Theo Bổ đề 2.2.2, ta có R vành QF 2.2.4 Bổ đề [8, Corollary 3] Đối với vành R khẳng định sau tương đương: (a) R Artin phải R−môđun phải đều có độ dài không vượt 2; 26 (b) Tổng trực tiếp R−môđun phải CS CS-môđun 2.2.5 Định lí Nếu vành R có tính chất sau: (i) RR thoả mãn điều kiện (C2 ∗ ), (ii) Mọi tổng trực tiếp R−môđun phải CS CS−môđun; R vành QF Chứng minh Giả sử vành R thoả mãn tính chất (i) (ii), ta chứng minh R vành QF Vì R thoả mãn tính chất (ii), theo Bổ đề 2.2.4 R vành Artin phải R−môđun phải có độ dài không vượt Từ tính chất R vành Artin phải, ta có RR = R1 ⊕ ⊕ Rn Ri iđêan phải R với l(Ri ) < ∞, i = 1, , n Do Ri CS−môđun nên theo tính chất (ii), RR CS−môđun Vì RR thoả mãn điều kiện (C2 ∗ ) nên theo Định lý 2.1.11, RR môđun liên tục phải Từ điều kiện RR CS−môđun tính chất (ii), suy RR môđun Σ − CS Theo Mệnh đề 2.2.3, R vành QF 27 KẾT LUẬN Luận văn giải vấn đề sau: Trình bày điều kiện môđun (điều kiện (C2 ∗ )), từ đưa số kết tính chất liên tục môđun tổng trực tiếp hữu hạn môđun có độ dài hữu hạn (Định lí 2.1.11, Định lí 2.1.15) Trình bày số đặc trưng vành QF thông qua lớp môđun CS môđun Σ − CS (Định lí 2.2.3, Định lí 2.2.5) Các kết luận văn công bố báo [15] 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] L V An and N S Tung, On direct sums of uniform modules and QF−rings (2009), East-West J of Math, Vol 11, No 2, 241 - 251 [2] F W Anderson and K R F¨uller (1974), Rings and Categories of Modules, Graduate Texts in Math No 13, Springer-Verlag, New York, Heidelberg, Berlin [3] H Q Dinh and D V Huynh (2003), Some results on self - injective rings and Σ − CS rings, Comm in Algebra 31, 6063 - 6077 [4] N V Dung, D V Huynh, P F Smith and R Wisbauer (1994), Extending modules, Pitman Research Notes in Mathematics Series 313, Longman, Harlow, UK [5] A Harmanci and P F Smith (1993), Finite direct sum of CSModules, Houston J Math 19, 523 - 532 [6] D V Huynh, D D Tai and L V An (2009), On the CS condition and rings with chain conditions, AMS Contem Math 480, 261 269 [7] D V Huynh and S T Rizvi (2001), On countably sigma - CS rings, Algebra and its applications, Narosa publishing house, New Delhi, Chennai, Mumbai, Kolkata, 119 - 128 [8] D V Huynh, S K Jain and S R López - Permouth (2000), Ring characterized by direct sums of CS modules, Comm in Algebra 28, 4219 - 4222 [9] S H Mohamed and B J M¨uller (1990), Continuous and Discrete Modules, London Math Soc Lecture Notes Series 147, Cambridge Univ Press, Cambridge [10] W K Nicholson and M F Yousif (2003), Quasi - Frobenius Rings, Cambridge Tracts No 158 Cambridge Univ Press, London, New York [11] K Oshiro (1984), Lifting modules, extending modules and their applications to QF rings, Hokkaido Math J 13, 310 - 338 29 [12] K Oshiro (1989), On Harada rings I, II, III, Math J Okayama Univ 31, 161 - 178 [13] N S Tung, L V An and T D Phong (2005), Some results on direct sums of uniform modules, Contributions in Math and Applications, ICMA, December, Mahidol Uni., Bangkok, Thailand, p.p 235 - 241 [14] R Wisbauer (1991), Foundations of Rings and Modules, Gordon and Breach, Reading [15] Ngô Sỹ Tùng, Lê Văn An, Nguyễn Minh Tuấn (2010), Tổng trực tiếp môđun với độ dài hữu hạn, Tạp chí khoa học Đại học Huế, số 59, 149 - 154 [...]... − C1 ) môđun, U = U1 ⊕ U2 ⊕ ⊕ Un với U1 , U2 , , Un là các môđun đều có độ dài hữu hạn, theo Định lí 2.1.11 ta có U là CS môđun Hiển nhiên U thỏa mãn điều kiện (C2 ∗ ) Ngược lại, giả sử U thỏa mãn (C2 ∗ ), với U = U1 ⊕ U2 ⊕ ⊕ Un trong đó U1 , U2 , , Un là các môđun đều có độ dài hữu hạn Khi đó theo Định lí 2.1.11 ta có nếu A và B là các môđun con của U sao cho A ∼ = B , A là hạng tử trực tiếp của... Theo Bổ đề 2.2.2, ta có R là vành QF 2.2.4 Bổ đề [8, Corollary 3] Đối với vành R các khẳng định sau là tương đương: (a) R là Artin phải và mọi R môđun phải đều đều có độ dài không vượt quá 2; 26 (b) Tổng trực tiếp các R môđun phải CS cũng là CS -môđun 2.2.5 Định lí Nếu vành R có các tính chất sau: (i) RR thoả mãn điều kiện (C2 ∗ ), (ii) Mọi tổng trực tiếp các R môđun phải CS cũng là CS môđun; thì R là vành... theo Định lý 2.1.11, RR là môđun liên tục phải Từ điều kiện RR là CS môđun và tính chất (ii), suy ra RR là môđun Σ − CS Theo Mệnh đề 2.2.3, R là vành QF 27 KẾT LUẬN Luận văn đã giải quyết được các vấn đề sau: 1 Trình bày một điều kiện mới về môđun (điều kiện (C2 ∗ )), từ đó đưa ra số kết quả về tính chất liên tục của môđun là tổng trực tiếp hữu hạn các môđun đều có độ dài hữu hạn (Định lí 2.1.11, Định... 2.1.13 Định nghĩa Một môđun M được gọi là u−liên tục nếu M là (1 − C1 ) môđun và nếu A và B là các môđun con của M sao cho A ∼ = B , A là hạng tử trực tiếp của M , thì B cũng là hạng tử trực tiếp của M 2.1.14 Mệnh đề Cho U1 , U2 , , Un là các môđun đều có độ dài hữu hạn, U = U1 ⊕ U2 ⊕ ⊕ Un Khi đó U là u−liên tục nếu và chỉ nếu U là CS môđun và thỏa mãn (C2 ∗ ) Chứng minh Giả sử U là môđun u−liên tục... 2.1.10 Mệnh đề Cho môđun M thoả mãn điều kiện (C2 ∗ ) Nếu N là hạng tử trực tiếp của M thì N thoả mãn điều kiện (C2 ∗ ) Chứng minh Giả sử A là môđun con đều của N và đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp B của N , ta chứng minh A cũng là hạng tử trực 15 tiếp của N Đặt M = N ⊕ N và N = B ⊕ B , ta có M = B ⊕ B ⊕ N , suy ra B là hạng tử trực tiếp của M Vì A là môđun con đều của M và môđun M thoả mãn điều... M vừa là môđun Artin vừa là môđun Noether * Điều kiện đủ Giả sử M vừa là môđun Artin vừa là môđun Noether Khi đó M là môđun hữu hạn sinh nên M chứa một môđun con tối đại M1 Do M1 là môđun hữu hạn sinh nên M1 chứa một môđun con tối đại M2 Tiếp tục như vậy ta có được một dãy giảm M ⊃ M1 ⊃ M2 ⊃ với môđun thương Mi /Mi+1 là môđun đơn với mọi i Do M là môđun Artin nên dãy trên dừng sau hữu hạn bước,... tăng các môđun con của M : M1 ⊂ M2 ⊂ (1) Giả sử dãy trên không dừng, khi đó ta có thể chọn ra một chuỗi chuẩn tắc có độ dài k + 1 Theo [14, 32.3] ta có thể mịn hóa dãy chuẩn tắc này trở thành một dãy hợp thành của M với độ dài ≥ k + 1 Điều này mâu thuẫn với giả thiết về độ dài của M Vậy dãy (1) là dừng, do đó M là môđun Noether Tương tự ta có mọi dãy giảm các môđun con của M đều dừng, do đó M là môđun. .. nên A là hạng tử trực tiếp của M Đặt M = A⊕A , theo luật Môđula ta có N = N ∩M = N ∩(A⊕A ) = A ⊕ (N ∩ A ) Do đó A là hạng tử trực tiếp của N , tức là N thỏa mãn điều kiện (C2 ∗ ) 2.1.11 Định lí Cho các môđun đều với độ dài hữu hạn U1 , , Un và đặt U = U1 ⊕ ⊕ Un Khi đó các khẳng định sau tương đương: (a) U là môđun liên tục ; (b) U là CS môđun và thoả mãn điều kiện (C2 ∗ ); (c) U là (1 − C1 ) môđun. .. ta có Y = Y ∩U = Y ∩(X ⊕Z) = X ⊕ X”, với X” = Y ∩ Z Từ đó U = Y ⊕ Y = Y ⊕ X ⊕ X” = X ⊕ X” Vậy X là hạng tử trực tiếp của U Từ Bổ đề 2.1.3 và 2.1.5 ta có được điều phải chứng minh 2.1.9 Định nghĩa Môđun M được gọi là thỏa mãn điều kiện (C2 ∗ ) khi và chỉ khi mọi môđun con đều của M nếu đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của M thì cũng là hạng tử trực tiếp Nói cách khác, nếu B là một môđun con đều. .. Ta có K ∼ = Ui , suy ra l(Ui ) = l(K) < l(Ui ) (mâu thuẫn) Do đó Ui không nhúng thực sự vào chính nó và tương tự Uj cũng vậy Giả sử S1 và S2 là các hạng tử trực tiếp của Uij sao cho S1 ∩ S2 = 0, ta sẽ chứng minh S1 ⊕ S2 cũng là hạng tử trực tiếp của Uij Nhận xét rằng chiều đều của Uij bằng 2 nên trong trường hợp có một trong hai hạng tử trực tiếp là môđun 0 hoặc có chiều đều bằng 2 ta dễ dàng có được ... phía 10 CHƯƠNG TỔNG TRỰC TIẾP HỮU HẠN CÁC MÔĐUN ĐỀU CÓ ĐỘ DÀI HỮU HẠN §1 Điều kiện (Ci ) cho tổng trực tiếp hữu hạn môđun có độ dài hữu hạn 2.1.1 Bổ đề Hạng tử trực tiếp CS môđun CS môđun Chứng... tính chất môđun cốt yếu, môđun đều, độ dài môđun khái niệm có liên quan Chương Nghiên cứu tính liên tục môđun thỏa mãn điều kiện (C2 ∗ ), tổng trực tiếp hữu hạn môđun có độ dài hữu hạn Qua xét... Mỗi môđun M cốt yếu hạng tử trực tiếp M Nói cách khác, môđun đóng M hạng tử trực tiếp M (C2 ) Nếu A B môđun M đẳng cấu với A hạng tử trực tiếp M B hạng tử trực tiếp M (C3 ) Nếu A B hạng tử trực