1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

Về lớp (1 c1) môđun và tổng trực tiếp các môđun đều

33 533 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 33
Dung lượng 236,64 KB

Nội dung

Tiếp đó Harada và các học trò của ông đã nghiên cứu lớp môđun mở rộng của CS - môđun, đó là những môđun màmọi môđun con đóng đều của nó là hạng tử trực tiếp.. Các tác giả đã chứng minh r

Trang 1

2.1 Lớp (1 − C1) - môđun 112.2 Lớp (1 − C1) - môđun và CS - môđun 17

3.1 Môđun chứa môđun con đều 213.2 Tổng trực tiếp các môđun đều 24

Trang 2

CÁC KÝ HIỆU

K ⊆ M : K là môđun con của môđun M

K  M :K là môđun con cốt yếu của môđun M

K ⊂⊕ M: K là hạng tử trực tiếp của môđun M

E(M ): Bao nội xạ của môđun M

U dimM (hoặc GdimM): Chiều Goldie (chiều đều) của môđun M

End(M ): Vành các tự đồng cấu của môđun M

Trang 3

LỜI MỞ ĐẦU

Vào năm 1977, Chatters và Hajarnavis lần đầu tiên đưa ra khái niệm

CS - môđun (hay Extending môđun) Tiếp đó Harada và các học trò của ông

đã nghiên cứu lớp môđun mở rộng của CS - môđun, đó là những môđun màmọi môđun con đóng đều của nó là hạng tử trực tiếp Đến năm 1988 Kamal

và Muller đã gọi những môđun thoã mãn điều kiện trên là (1 − C1) - môđun

và tiếp tục thu được nhiều kết quả Các tác giả đã chứng minh rằng trên miềngiao hoán không xoắn hoặc trên vành Noether, tổng trực tiếp hữu hạn cácmôđun đều M = ⊕n

i=1Mi là CS khi và chỉ khi Mi⊕ Mj là CS ∀1 ≤ i ≤ j ≤ n.Lớp CS - môđun hiện nay đang được nhiều người nghiên cứu lý thuyếtvành và môđun quan tâm Môđun nửa đơn, môđun đều và môđun nội xạ lànhững ví dụ của Extending môđun

Trong quá trình nghiên cứu môđun để dẫn đến đặc trưng của vành,một mặt ta nghiên cứu môđun đã cho nhờ sự phân tích nó thành nhữngmôđun đơn giản hơn, mặt khác ta hướng tới việc xây dựng những môđunmới từ những môđun đã cho.Theo hướng nghiên cứu này, một trong nhữngcấu trúc đặc biệt có ý nghĩa là tổng trực tiếp các môđun Qua việc nghiêncứu đối với tổng trực tiếp các môđun đều người ta đã ứng dụng kết quả đểkhảo sát các lớp môđun và các lớp vành như: Noether, Artin và đặc biệt làvành QF

Mục đích của luận văn là trình bày lại một số tính chất của lớp (1−C1)

- môđun và các tính chất của tổng trực tiếp các môđun đều mà chủ yếu dựavào các tài liệu tham khảo [2],[3],[4],[7]

Trang 4

Luận văn được trình bày thành 3 chương:

Chương 1 Trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản của môđun cốt yếu,môđun đều, môđun bé, ,cùng các khái niệm có liên quan

Chương 2 Tập trung nghiên cứu tính chất của lớp (1 − C1) - môđun và lớp

đã định hướng nghiên cứu, thường xuyên quan tâm, tạo mọi điều kiện thuậnlợi, cùng với những lời động viên khích lệ tác giả trong suốt quá trình họctập nghiên cứu

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán,khoa Đào tạo sau đại học cùng các bạn trong lớp cao học khoá 16 Đại số lýthuyết số đã động viên giúp đỡ và có nhiều ý kiến đóng góp quý báu để luậnvăn được hoàn thành đúng kế hoạch

Vì khả năng và thời gian có hạn nên luận văn không thể tránh khỏinhững hạn chế và thiếu sót, rất mong sự góp ý, chỉ bảo của các thầy cô giáocùng các bạn học viên

Vinh, tháng 12 năm 2010

Tác giả

Trang 5

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương này chúng tôi nêu ra các khái niệm và các tính chất cơ bảnliên quan đến các chương sau Các khái niệm, tính chất và ký hiệu cơ bảnchúng tôi chủ yếu dựa vào các tài liệu: F W Anderson and Fuller [1], Ng.V.Dung, D.V Huynh, P.F Smith and R Wisbauer [2]

Các vành luôn được giả thiết là vành kết hợp có đơn vị, các môđun trên mộtvành luôn được hiểu là môđun phải unita

1.1 Môđun con cốt yếu

1.1.1 Định nghĩa Cho M là một R-môđun phải và N là môđun con của

M

(1) Môđun con N được gọi là môđun con cốt yếu (essential) trong M và kýhiệu là NM, nếu với mọi môđun con K khác không của M thì N ∩ K 6= 0.Khi đó ta nói rằng M là mở rộng cốt yếu (essential extension) của N

(2) Một đơn cấu f : A → M được gọi là đơn cấu cốt yếu nếu f (A) M Lúc

đó ta nói rằng A nhúng cốt yếu được vào M

(3) Môđun con N của M được gọi là đóng (closed) trong M nếu N không

có một mở rộng cốt yếu thực sự trong M Nói cách khác N được gọi là đóngtrongM nếu với mọi môđun conK khác không củaM mà NK thìK = N.(4) Môđun con T của M được gọi là tối đại trong M nếu mọi môđun con X

của M thõa mãn T ⊆ X thì X = M hoặc X = T

(5) Môđun con K của M được gọi là bao đóng (closed) của môđun N trong

Trang 6

M nếu K là môđun con tối đại trong M sao cho N cốt yếu trong K.

(6) Môđun con B của M được gọi là bé (small) trong M (hay là đối cốt yếu)trong M và ký hiệu B  M, nếu mọi môđun con L của M, L 6= M thì

B + L 6= M, nói cách khác nếu B + L = M thì L = M

(7) Một môđun con H của M được gọi là một tập bù của N (trong M) nếu

H là tối đại trong tập hợp những môđun con Q của M mà Q ∩ N = 0.(8) Một môđun con N của M được gọi là một tập bù (trong M) nếu tồn tạimột môđun con H của M sao cho N là một tập bù của H (trong M)

1.1.2 Tính chất Cho M là R- môđun K và N là các môđun con của M.Khi đó ta có:

(1) N  M ⇔ 0 6= ∀x ∈ M, Rx ∩ N 6= 0

(2) Cho K ⊆ N, N ⊆ M thì K  M khi và chỉ khi K  N và N  M.(3) Nếu Ai  Bi, i = 1, 2, , n; Ai, Bi ⊆ M thì

nTi=1

Ai ⊆

nTi=1

Bi Đặc biệt nếu

Ai M thì

nTi=1

Ai M.(4) Cho K ⊆ N, N ⊆ M Nếu N/K  M/K thì N  M

(5) Nếu f : B −→ C là một đồng cấu môđun và A C thì f−1(A) B

i∈I

Mi, A = ⊕

i∈I

Ai, Ai và Mi là các môđun con của M và

Ai Mi, ∀i ∈ I, trong đó Khi đó tồn tại ⊕

i∈I

Mi và A ⊕

i∈I

Mi.Chứng minh

(1) Giả sử N  M, với 0 6= x ∈ M ⇒ Rx 6= 0 ⇒ Rx ∩ N 6= 0 (hiển nhiêntheo định nghĩa)

Ngược lại, nếu Rx ∩ N 6= 0, ∀x ∈ M, x 6= 0 Khi đó giả sử 0 6= X ⊆ M mà

N ∩X = 0 DoX 6= 0 ⇒ ∃x ∈ X mà x 6= 0 Ta có:0 = N ∩X ⊃ Rx∩X 6= 0

(vô lý).Vậy X ∩ N 6= 0 hay N  M

(2) Giả sử K M Lấy 0 6= A ⊆ N ⇒ A ⊆ M ⇒ A ∩ K 6= 0.Vậy K  N.Lấy 0 6= B ⊆ M ⇒ B ∩ K 6= 0 mà K ⊆ N ⇒ B ∩ N 6= 0

Trang 7

Bi ⇒ X ⊆ Bi, ∀i = 1, 2, 3 , n mà Ai  Bi ⇒

X ∩ Ai 6= 0

Lúc đó X ∩ (

nTi=1

Ai) 6= 0 hay

nTi=1

Ai  Tni=1

Bi.(4) Lấy 0 6= A ⊆ M Nếu A = K, lúc đó A ∩ N = K ∩ N = K 6= 0 ⇒

a ∈ f (X) ⇒ a = f (x) (với x là phần tử khác 0 nào đó của X)

Trang 8

(2) Một môđun M được gọi đơn nếu M không chứa môđun con thực sự nào(nghĩa là M chỉ chứa hai môđun con đó là 0 và chính nó).

(3) Giả sử (Tα)α∈I là tập các môđun con đơn của M Nếu M là tổng trựctiếp của (Tα)α∈I thì M = ⊕

i∈α

Tα là sự phân tích nửa đơn của M

Trang 9

(4) Môđun M được gọi là nửa đơn nếu M có sự phân tích nửa đơn.

(5) Tập hợp r(m) = {r ∈ R | mr = 0} được gọi là linh hóa tử của phần tử

Nếu ZR(U ) = 0 thì ta nói rằng U không suy biến

1.3 Chiều Goldie (chiều Uniform)

1.3.1 Định nghĩa (1) Một môđun M trên vành R gọi là có chiều Goldie(hay chiều đều, chiều Uniform) hữu hạn nếu không tồn tại một tổng trực tiếp

vô hạn các môđun con khác không trong M M được gọi là có chiều Goldie

vô hạn trong trường hợp ngược lại

Người ta đã chứng minh được rằng (xem [2]): số hạng tử khác không lớnnhất của tổng trực tiếp các môđun con đều của M là một bất biến và đượcgọi là số chiều Goldie (hay chiều Uniform) của M và được ký hiệu là Gdim(M) (hay Udim (M))

(2) Cho R là vành tùy ý, ta gọi chiều Goldie phải của R là chiều Goldie của

RR và chiều Goldie trái của R là chiều Goldie của RR

1.3.2 Tính chất (Xem [1, 1.10]).Gọi N là một môđun con của một Rmôđun M

-(1) Nếu N  M thì M có chiều đều hữu hạn nếu và chỉ nếu N có chiều đềuhữu hạn, và trong trường hợp này udimM = udimN

Ngược lại, nếu M có chiều đều hữu hạn và udimM = udimN thì N  M.(2) Nếu M = M1 ⊕ M2 ⊕ Mn thì udimM = udimM1 + udimM2 + +udimMn

Trang 10

(3) Giả sử N và M/N đồng thời có chiều đều hữu hạn thì M có chiều đều

(4) Nếu M có chiều đều hữu hạn thì mọi môđun con của M có chiều đều hữuhạn

1.3.3 Bổ đề Mọi môđun khác không có chiều Goldie hữu hạn luôn chứa mộtmôđun con đều

Chứng minh Giả sử ngược lại rằng M không chứa một môđun con đều Cụthể:

Nếu M không là đều thì tồn tại những môđun con khác không K1, L1 của

M sao cho K1 ∩ L1 = 0 Khi đó K1 không là môđun đều nên tồn tại nhữngmôđun con khác không K2, L2 của K1 sao cho K2 ∩ L2 = 0 Ta lại có K2

không là môđun đều nên ta tiếp tục phân tích như trên dẫn đến M chứa mộttổng trực tiếp vô hạn L1 ⊕ L2 ⊕ của những môđun con khác không của

M Suy ra M có chiều Goldie vô hạn và điều này mâu thuẫn với giả thiết M

có chiều Goldie hữu hạn Vậy M chứa một môđun con đều

Trang 11

CHƯƠNG 2

LỚP (1 − C1) - MÔĐUN

Trong chương này chúng tôi trình bày khái niệm CS - môđun và (1 − C1)

- môđun và một số tính chất của chúng Những vấn đề trình bày trongchương này được chúng tôi tổng hợp từ một số kết quả có trong các tài liệu[1],[2],[4],[9]

2.1 Lớp (1 − C1) - môđun

2.1.1 Định nghĩa Môđun M được gọi là CS - môđun nếu mỗi môđun concủa M cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M

2.1.2 Định nghĩa Môđun M được gọi là (1 − C1)-môđun (hay có tính chất

CS cho các môđun con đều), nói đơn giản M là (1 − C1)-môđun hay Mcó

(1 − C1) nếu mỗi môđun con đều của M là cốt yếu trong một hạng tử trựctiếp của M

2.1.3 Định nghĩa Môđun M được gọi là tựa liên tục nếu M thõa mãn cácđiều kiện sau:

(1) Mọi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M.(2) Nếu A và B là các hạng tử trực tiếp của M và A ∩ B = 0 thì A ⊕ B cũng

là hạng tử trực tiếp của M

2.1.4 Định nghĩa Cho M là R - môđun phải

(1) Một R - môđun phải A được gọi là M- nội xạ nếu với mỗi môđun con N

của M và mỗi đồng cấu f : N → A luôn tồn tại mở rộng f∗ : M → A sao

Trang 12

cho biểu đồ sau giao hoán, nghĩa là : f∗ ◦ i = f.

(5) Cho R - môđun phải M, ta gọi bao nội xạ của M là một môđun nội xạ

E và tồn tại đơn cấu cốt yếu f : M → E tức là f (M ) E

Bao nội xạ của môđun M luôn tồn tại và được ký hiệu là E(M )

2.1.5 Định nghĩa Cho R - môđun M

a) Một {Xα; α ∈ I} các môđun con của môđun M được gọi là hạng tử trựctiếp địa phương của M nếu P

α∈I

Xα là trực tiếp và P

α∈F

Xα là hạng tử trực tiếpcủa M với mọi tập hữu hạn F ⊂ I

Chứng minh Vì M là CS- môđun nên theo định nghĩa 2.1.1, mỗi môđun concủaM cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp Do vậy mỗi môđun con đều cũngcốt yếu trong một hạng tử trực tiếp, dẫn đến M là (1 − C1)- môđun theođịnh nghĩa 2.1.2

Trang 13

2.1.7 Bổ đề Giả sử M là một môđun và K ⊆ L là những môđun con của

M sao cho K là một môđun đóng trong L và L là môđun đóng trong M Thì

K là môđun đóng trong M

Chứng minh Xem [2, 1.10]

2.1.8 Bổ đề Một môđun M là CS - môđun (tương ứng (1 − C1) - môđun)nếu và chỉ nếu mọi môđun con đóng (đóng đều) trong M là một hạng tử trựctiếp của M

Chứng minh Giả sử M là (1 − C1) - môđun và N là một môđun con đóng

và đều bất kỳ của M Thì từ tính đóng, N là cốt yếu trong chính nó và dẫnđến N ⊂⊕ M

Ngược lại, giả sử rằng mọi môđun con đóng và đều trong M luôn là mộthạng tử trực tiếp của M Gọi K là một môđun con đều bất kỳ của M thìkhi đó, bao đóng E(K) của K là đóng và đều trongM và do đó là một hạng

tử trực tiếp của M Vậy M là (1 − C1) - môđun

2.1.9 Hệ quả Nếu môđun M có tính chất (1 − C1) thì mọi hạng tử trực tiếpcủa M cũng có tính chất (1 − C1)

Chứng minh Gọi môđun con N là một hạng tử trực tiếp của M và U làmôđun con đóng đều trong N Khi đó theo Bổ đề 2.1.7 thì U đóng trong M

Vì M có (1 − C1) nên U là một hạng tử trực tiếp của M, dẫn đến

M = U ⊕ U0

với U0 là môđun con nào đó của M Vì U ⊆ N nên theo luật modula ta có

N = U ⊕ (N ∩ U0).Vậy U là một hạng tử trực tiếp của N và dẫn đến N có (1 − C1)

2.1.10 Bổ đề Giả sử M là (1 − C1) - môđun và V ⊕ U là một môđun conđóng của M, trong đó U là môđun con đều và V là một hạng tử trực tiếp của

M Khi đó V ⊕ U là một hạng tử trực tiếp của M

Trang 14

Chứng minh Vì V là hạng tử trực tiếp của M nên ta có:

M = V ⊕ M1

với M1 là môđun con nào đó của M

Gọi: π : M → M1 là phép chiếu tự nhiên

Giả sử X là mở rộng cốt yếu của π(U ) trong M1 Vì U ∩ V = 0 nên π |U làmột đơn cấu, do đó ta có: π(U ) ∼= U Từ đó X là một môđun con đóng đềucủa M1 Do M1 ⊂⊕ M, M là (1 − C1) - môđun nên M1 cũng là (1 − C1) -môđun Do vậy X là hạng tử trực tiếp của M1

Trang 15

-Chứng minh Gọi U là môđun con đều tối đại của M, thì U đóng trong M.

Do M là (1 − C1) - môđun nên U là một hạng tử trực tiếp của M, nghĩa là

M = U ⊕ U0

với môđun con U0 nào đó của M Từ giả thiết và Hệ quả 2.1.9 dẫn đến U0 là

(1 − C1) - môđun với chiều Goldie hữu hạn Bằng quy nạp trên chiều Goldie

và Hệ quả 2.1.9 dẫn đến, U0 là một tổng trực tiếp hữu hạn các môđun conđều

Vậy M là một tổng trực tiếp hữu hạn những môđun con đều

2.1.12 Bổ đề Cho R là vành tuỳ ý và R- môđun M là (1 − C1)-môđun Khi

đó mọi môđun con N đóng trong M và có chiều Goldie hữu hạn là một hạng

tử trực tiếp của M

Chứng minh Gọi U là một môđun con đều và đóng trong N Khi đó U làđóng trong M (Bổ đề 2.1.7) Từ giả thiết suy ra U là một hạng tử trực tiếpcủa M, nghĩa là

M = U ⊕ U0

với môđun con U0 nào đó của M Do U ⊆ N nên N = U ⊕ (N ∩ U0) bởi luậtmodula Do vậy U là hạng tử trực tiếp của N, hay N có (1 − C1) Khi đótheo Bổ đề 2.1.11 ta có sự phân tích của N thành tổng trực tiếp hữu hạn

N = N1 ⊕ N2 ⊕ ⊕ Nn

trong đó mỗi Ni(1 ≤ i ≤ n) là đều Tiếp theo ta quy nạp theo n và sử dụng

Trang 16

Bổ đề 2.1.10 ta có được N là hạng tử trực tiếp của M.

2.1.13 Hệ quả Một môđun M với chiều Goldie hữu hạn là CS - môđun nếu

-H trong L sao cho L ∩ M2  M, ta có H đóng đều trong M Theo giả thiếtthì H ∩ M1 = 0 nên M = H ⊕ H0 với H0là môđun con nào đó của M.Theo luật modula ta có:

L = H ⊕ (L ∩ H0)

Hơn nữa L ∩ H0 đóng trong L, L đóng trong M, nên L ∩ H0 đóng trong M

Vì vậy theo giả thiết (L ∩ H0) ∩ M2 = 0, do đó L ∩ H0 là hạng tử trực tiếpcủa H0, nghĩa là H0 = (L ∩ H0) ⊕ X với X là môđun con của H0

Mà M = H ⊕ H0 ⇒ M = H ⊕ (L ∩ H0) ⊕ X = L ⊕ X hay L là hạng tử trựctiếp của M

Vậy M là (1 − C1) - môđun

2.1.15 Định lí Cho R là vành tùy ý Một R - môđun M là (1 − C1) - môđunvới chiều Goldie hữu hạn nếu và chỉ nếu:

Trang 17

(i) M là một tổng trực tiếp hữu hạn các môđun con đều

(ii) Mọi hạng tử trực tiếp của M có chiều Goldie 2 là (1 − C1) - môđun.Chứng minh Giả sử rằng M là (1 − C1) - môđun với chiều Goldie hữu hạnkhác không Khi đó dễ nhận thấy rằng, có (i) bởi Bổ đề 2.1.11 và sử dụng Hệquả 2.1.9 ta có (ii)

Ngược lại, giả sử M thõa mãn (i), (ii) Đặt M = M1 ⊕ ⊕ Mn trong đó

n là một số nguyên dương và Mi là một môđun đều với mỗi 1 6 i 6 n Gọi

V là một môđun con đóng đều của M Giả sử V 6= M thì tồn tại một chỉ sốnào đó 1 6 i 6 n sao cho V ∩ Mi = 0 Không làm mất tính tổng quát ta cho

i = 1 Đặt M0 = M2⊕ ⊕ Mn thì tồn tại một môđun con K đóng trong M

sao cho V ⊕ M1  K Khi đó K = M1 ⊕ (K ∩ M0) bởi luật modula

Mặt khác, do K ∩ M0 đóng trong K nên dẫn đến cũng đóng trong M (Bổ

đề 2.1.7) Như vậy K ∩ M0 đóng trong M0

Bằng phép quy nạp theo số chiều Goldie, (K ∩ M0) ⊂⊕ M0 và dẫn đến

K ⊂⊕ M Mặt khác, K có chiều Goldie 2 nên theo (ii), K là (1 − C1) môđun

-Bởi vì V đóng đều trong M nên V cũng đóng đều trong K, do đó V ⊂⊕ K

hay V ⊂⊕ M Vậy M là (1 − C1) - môđun

2.2 Lớp (1 − C1) - môđun và CS - môđun

2.2.1 Nhận xét Ta thấy rằng một môđun CS là một (1 − C1)-môđun Ví

dụ dưới đây chỉ ra điều ngược lại không đúng Nghĩa là lớp (1 − C1)-môđunrộng hơn thực sự lớp các môđun CS

2.2.2 Ví dụ Tồn tại một Z-môđun là (1 − C1) nhưng không phải là CSmôđun, trong đó Z là vành các số nguyên

Trang 18

Chứng minh Gọi F là nhóm Aben tự do vô hạn sinh, nghĩa làF làZ-môđun

và F = ⊕

i∈I

Ui, trong đó Ui ∼= Z, ∀i ∈ I (I là tập vô hạn).

Vì F là nhóm Aben có chiều vô hạn do đó F không phải là CS-môđun, ta sẽchứng minh F là (1 − C1)-môđun

Thật vậy, giả sửU là môđun con đóng đều củaF Nhóm con của nhóm Aben

tự do là nhóm Aben tự do nên U là nhóm Aben tự do

Như vậy ta có U là tổng trực tiếp của một số lượng bản nào đó, với tất cảcác bản đẳng cấu với Z Theo giả thiết thì U là môđun con đóng đều nên U

không phân tích được, do đó U ∼= Z Từ đó ta có U là một Z-môđun xiclic.Khi đó tồn tại số tự nhiên n sao cho:

Mặt khác, U là môđun con đóng trongU1⊕ U2⊕ ⊕ Un nên ta có U là hạng

tử trực tiếp củaU1⊕ U2⊕ ⊕ Un(theo Bổ đề 2.1.12) Như vậy ta cóU ⊂⊕ F,

do đó theo định nghĩa của (1 − C1)-môđun ta có F là (1 − C1)-môđun

2.2.3 Bổ đề Giả sử M = M1 ⊕ M2 là tổng trực tiếp các môđun M1 và M2.Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:

Ngày đăng: 15/12/2015, 07:21

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w