Về môđun nguyên sơ

Chơng Các kiến thức 1.1 khái niệm chung vành 1.1.1 Định nghĩa Ta gọi vành tập hợp A với hai phép toán cho A ký hiệu theo thứ tự dấu (+) (.) ( ngời ta thờng ký hiệu nh vậy) gọi phép cộng phép nhân cho điều kiện sau thoả mãn: 1) A với phép cộng nhóm abel 2) A với phép nhân nửa nhóm 3) Phép nhân phân phối phép cộng: với phần tử tuỳ ý x,y,z A ta có: x(y + z)= xy + xz, (y + z)x=yx + zx Phần tử trung lập ký hiệu gọi phần tử không Phần tử đối xứng (đối với phép cộng) phần tử x ký hiệu -x gọi đối x Nếu phép nhân giao hoán ta bảo vành A giao hoán Nếu phép nhân có phần tử trung lập phần tử gọi phân tử đơn vị A ký hiệu e hay 1.1.2 Định nghĩa Giả sử A vành, B phận A ổn định với hai phép toán A nghĩa x + y B xy B với x,y B B vành A B với hai phép toán cảm sinh A vành 1.1.3 Định nghĩa Ta gọi iđêan trái (iđêan phải) vành A, vành B A thoả mãn điều kiện x a A (ax A) với a B x A Một vành B vành A gọi iđêan A B vừa iđêan trái vừa iđêan phải A 1.1.4 Định lý Một phận B khác rỗng vành A iđêan A điều kiện sau thoả mãn: 1) a b B với a, b B 2) x a B a x B với a B x A 1.1.5 Định nghĩa Cho P iđêan A (P A ) Khi P đợc gọi iđêan nguyên tố x, y A, x y P x P y P, ( xy P, x P suy y P, x, y A x P y P xy P, x, y A ) ( giả thiết A vành giao hoán, có đơn vị ) 1.1.6 Định nghĩa Giả sử P iđêan P đợc gọi iđêan tối đại tồn iđêan I A, I A cho P I P = I 1.2 Khái niệm chung môđun 1.2.1 Định nghĩa Giả sử A vành giao hoán có đơn vị ( ký hiệu 1), ta gọi M môđun A nếu: Trên M có phép cộng ánh xạ: AìMM ( r, a ) r.a Thoả mãn điều kiện : 1) M với phép cộng nhóm aben 2) r ( a + b ) = + rb, r A; a, b M 3) ( r + s ) a = + sa, r, s A ; a M 4) ( r s ) a = r ( s a ), 5) Tiên đề Hunita : r, s A ; a M 1a = a, a M 1.2.2 Định nghĩa Giả sử M A môđun X tập M, X đợc gọi môđun M X với hai phép toán cộng nhân vô hớng M lập thành A môđun 1.2.3 Định nghĩa Giả sử M M hai A môđun Một ánh xạ: f : M M Đợc gọi đồng cấu A môđun ( hay đồng cấu môđun ) thoả mãn điều kiện: f( a + b ) = f( a ) + f( b ) f( ka ) = kf( a ) a, b M; k A 1.2.4 Định nghĩa ánh xạ f : M M đợc gọi đơn cấu f đồng cấu đơn ánh, f đợc gọi toàn cấu f đồng cấu toàn ánh Nếu tồn đẳng cấu f : M M ta nói môđun M đẳng cấu với môđun M ( M M ) 1.3 môđun Nơte 1.3.1 Định lý Giả sử A vành M môđun ( tức A- môđun bên trái) mệnh đề sau tơng đơng: 1) Mọi dãy tăng môđun M dừng tức dãy dạng : A1 A A n để A n = A n+ k , k N * , A i m M 2) Mọi tập không rỗng S môđun M chứa phần tử tối đại (tức môđun A0 cho phần tử N thuộc S chứa A0 , ta có N A0 ) 3) Mọi môđun M hữu hạn sinh Chứng minh Ta chứng minh ba điều kiện tơng đơng (1) (2) Gọi = { Ai \ Ai m M , i I } 0/ Do 0/ Ai Nếu A1 tối đại ta có điều phải chứng minh Nếu A1 không tối đại suy tồn A2 A1 đợc chứa thực A2 , A2 không tối đại, đợc chứa A3 Theo quy nạp ta tìm đ- ợc môđun Ai không tối đại, đợc chứa nh môđun thực môđun Ai +1 đó.Vậy ta xây dựng đợc dãy vô hạn điều đợc (2) (3) Lấy B môđun M Gọi { Ai } iI họ tất môđun hữu hạn sinh môđun B Gọi = { Ai \ i I } 0/ Do A1 = a với a B A1 Do (2) suy có phần tử tối đại T suy T hữu hạn sinh Ta cần chứng minh T=B T B: Do T môđun B Ngợc lại a B, ta chứng minh a T Do T hữu hạn sinh suy T = x1 , x ,, x n Nếu a T lấy C = x1 , x ,, xn , a , suy C hữu hạn sinh, suy C mà C chứa thực T , mâu thuẫn với T tối đại, a T, suy B T Vậy B = T suy B hữu hạn sinh (3) (1).Từ (3) lấy dãy tăng A1 A2 ( a ) Trong Ai m M Lấy B = suy B = x1 , x ,, x k i =1 Ai suy B m M Theo (3) suy B hữu hạn sinh Khi x1 , x ,, xn An mà n =1 A1 A2 suy tồn m để x1 , x ,, x m Am suy ( x1 , x ,, x m ) Am mà B = n =1 An suy B = Am hay Am +1 = = Am + == B Vậy dãy ( a ) dừng m 1.3.2 Định nghĩa Môđun M thoả mãn điều kiện tơng đơng định lý 1.3.1 gọi môđun Nơte 1.3.3 Định lý Giả sử M A môđun Nơte Khi đó: 1) Mọi môđun môđun M Nơte 2) Mọi môđun thơng môđun M Nơte Chứng minh 1) Gọi H môđun môđun M Với môđun N H suy N môđun M Mà M môđun Nơte suy N hữu hạn sinh Vậy theo định nghĩa môđun Nơte, H có môđun hữu hạn sinh suy H Nơte 2) Giả giử B môđun M Ta cần chứng minh M/B Nơte f : M M/B đồng cấu tắc Giả sử M M dãy tăng môđun M/N giả sử M i = f ( M i ) Khi M M chuỗi tăng Môđun M, mà phải có phần tử tối đại, chẳng hạn Mr; nh Mi = Mr, với i r nhng f ( M i ) = M i , điều chứng minh mệnh đề 1.3.4.Bổ đề Cho f tự đồng cấu M, f End M = { đồng cấu f : M M } 1) Im f Im f 2) ker f ker f Chứng minh 1) ta có Im f = f (M ) , Im f = f ( M ) = f ( f ( M )) ,với Z f ( f ( M )) suy Z = f ( f ( x)) = f ( y ) với y = f (x) , suy Z = f ( y ) suy Im f Im f 2) Lấy x ker f f (x) = f ( f ( x)) = f ( 0) f 2(x) = x ker f Vậy ker f ker f 1.3.5 Hệ Mọi mođun M, f End M thì: 1) Im f Im f Im f n 2) ker f ker f ker f n 1.3.6 Định nghĩa Một vành đợc gọi vành Nơte, Nơte nh môđun bên trái Điều có nghĩa iđêan trái hữu hạn sinh 1.4 Iđêan nguyên tố liên kết giả thiết A vành giao hoán Các môđun A - môđun, đồng cấu A - đồng cấu đồng cấu 1.4.1 Định nghĩa Cho S tập A Khi S đợc gọi tập nhân vành A thoả mãn điều kiện: 1) S 2) x, y S, x, y S 1.4.2 Mệnh đề Giả sử S tập nhân A S không chứa Khi A tồn iđêan tối đại tập iđêan không giao với S, iđêan nh nguyên tố Chứng minh Sự tồn iđêan P nh suy từ bổ đề Zoóc (tập iđêan không giao với S không rỗng, có chứa iđêan không, tập tập thứ tự qui nạp ) Giả sử P phần tử tối đại tập Giả sử a, b A; ab P nhng a P b P Theo giả thiết, iđêan (a, P ) (b, P) sinh a P ( b P tơng ứng ) giao với S, tồn phần tử s, s/ S ; c, c/ A ; p, p/ P cho : s = c a + p s/ = c/ b +p/ Nhân hai biểu thức , ta đợc : ss/ = cc/ ab +p//, Trong p// phần tử thuộc P Từ suy ss/ nằm P Điều mâu thuẫn với việc P không giao với S chứng minh iđêan P nguyên tố 1.4.3 Hệ Mọi iđêan tối đại iđêan nguyên tố Chứng minh Giả sử m iđêan tối đại giả sử x,y A cho x,y m Giả thiết x m m + Ax iđêan thực chứa m phải A Do viết : = u + ax, u m, a A Nhân với y ta đợc : y = yu + axy Từ suy y m nh m iđêan nguyên tố 1.4.4 Định nghĩa Phần tử a thuộc vành A đợc gọi phần tử luỹ linh tồn số nguyên n cho a n = 1.4.5 Mệnh đề Phần tử a thuộc vành A luỹ linh nằm iđêan nguyên tố vành A Chứng minh Nếu a n = a n P với iđêan nguyên tố P a P Nếu a n không số dơng , ta ký hiệu S tập con, nhân gồm luỹ thừa a, cụ thể { 1, a, a , } theo giả thiết ta tìm đợc iđêan nguyên tố không giao với S, điều chứng minh mệnh đề đảo 1.4.6 Định nghĩa Linh iđêan a A tập a A cho a n a n nguyên (hoặc tơng đơng, tập phần tử a A mà ảnh chúng vành thơng A/a luỹ linh) 1.4.7 Hệ Phần tử a thuộc vành A nằm linh iđêan a nằm iđêan nguyên tố chứa a Chứng minh áp dụng mệnh đề 1.4.5 vành thơng A/a 10 1.4.8 Định nghĩa Giả sử x M ( M môđun ) Cái linh hoá a phần tử x iđêal gồm tất phần tử a A cho ax = Xảy đẳng cấu (môđun): A/a Ax ánh xạ : a ax 1.4.9 Bổ đề Giả sử x phần tử thuộc môđun môđun M, a linh hoá P Iđêan nguyên tố A Khi (Ax)P Khi P chứa a 1.4.10 Định nghĩa Giả sử a phần tử thuộc A Giả giử M môđun Đồng cấu: x ax, x M Sẽ gọi đồng cấu liên kết với a đợc ký hiệu aM 1.4.11 Định nghĩa Ta bảo a M luỹ linh địa phơng , x M, tồn số nguyên n(x) cho a Mn ( x ) x = 1.4.12 Nhận xét Từ điều kiện suy môđun hữu hạn sinh N M, tồn số nguyên n cho an N = 0: cần lấy n là bậc lớn bậc luỹ thừa a, linh hoá tập hữu hạn phần tử sinh N Vì vậy, môđun M hữu hạn sinh, đồng cấu aM luỹ linh địa phơng luỹ linh 11 1.4.13 Định nghĩa Giả sử S tập nhân vành A môđun M Xét lớp tơng đơng cặp ( x, s ) x M, s S cặp (x, s ) (x/, s/) tơng đơng tồn phần tử s1 S cho s1 (s/x sx/) = Ký hiệu lớp tơng đơng cặp ( x, s ) x/s Ký hiệu môđun lớp tơng đơng S-1M ( Chú ý S-1M xem nh S-1A môđun ) Nếu P iđêan nguyên tố A S phần bù P A S-1M đợc ký hiệu MP 1.4.14 Mệnh đề Giả sử M môđun, a A Khi aM luỹ linh địa phơng a nằm iđêan nguyên tố P mà M P Chứng minh Giả thiết aM luỹ linh địa phơng Giả sử P iđêan nguyên tố A cho M P Khi tồn x M: ( Ax )P Giả sử n số nguyên dơng cho a Mn x = Ký hiệu a linh hoá phần tử x Khi an a đó, áp dụng bổ đề 1.4.9 hệ 1.4.7 mệnh đề 1.4.2 ta kết luận a nằm iđêan nguyên tố P cho M P Đảo lại, cho phần tử x M, x 0, ta xét môđun Ax từ lý luận trên, ta chứng minh đợc a Mn x = với n đó, chứng tỏ tính luỹ linh địa phơng đồng cấu aM 1.4.15 Định nghĩa Giả sử M môđun, iđêan nguyên tố P đợc gọi iđêan liên kết với M, tồn phần tử x M mà linh hoá trùng với P Vì P A nên, đặc biệt, x 1.4.16 Mệnh đề Giả sử M môđun khác P phần tử tối đại tập iđêan linh hóa phần tử x M, x Khi P iđêan nguyên tố tố Chứng minh Giả sử P linh hoá phần tử x Khi 12 P A Giả sử a, b A, ab P, a P Khi ax Nhng iđêal ( b, P) linh hoá ax chứa P Nếu P tối đại, từ suy b P P iđêan nguyên tố 1.4.17 Hệ Nếu vành A Nơte M môđun khác không, tồn iđêal nguyên tố liên kết với M 1.4.18 Mệnh đề Giả sử vành A Nơte a A Giả sử M môđun Khi đồng cấu aM đơn cấu a không nằm iđêann nguyên tố liên kết với M Chứng minh Giả thiết aM đơn cấu, nh ax = với x thuộc M, x Do hệ 1.4.17 mệnh đề (1.4.16), tồn iđêal nguyên tố P liên kết với Ax a phần tử thuộc P Đảo lại, aM đơn cấu, a nằm phần tử khác không M 1.4.16 Mệnh đề Giả sử vành A Nơte M môđun Giả sử a A Các điều kiện sau tơng đơng : 1) a M luỹ linh địa phơng; 2) a nằm iđêan nguyên tố liên kết với M; 3) a nằm iđêan nguyên tố P mà M P 0; Chứng minh Từ (1) suy (2) dễ dàng chứng minh định nghĩa mệnh đề không cần thiết A phải Nơte Điều không cần thiết từ (3) suy (1) điều khẳng định đợc chứng minh mệnh đề 2(1.4.14) Nh ta phải chứng minh (2) suy (3) Giả sử P iđêan nguyên tố mà M P Khi tồn phần tử x M cho 13 ( Ax )P = Do mệnh đề (1.4.16), A tồn iđêan nguyên tố q liên kết với( Ax )P Do tồn phần tử y/s thuộc ( Ax )P với y Ax , s P y/s 0, mà linh hoá trùng với q Từ suy q p, trái lại tồn b q, b P = by/s từ y/s = - mâu thuẫn Bây giả sử a1,, ar l tập hữu hạn phần tử sinh iđêan q Khi với i = 1, , r, tồn phần tử ti P cho ti y = Rõ ràng t = t1tr P Mọi phần tử thuộc q linh hoá phần tử t y thuộc M, a(ty)= M, ay/s = M P , từ a q Do q linh hoá phần tử ty M, iđêan nguyên tố liên kết với M Đó phải chứng minh 1.4.20 Hệ Giả sử vành A Nơte M môđun Các điều kiện sau tơng đơng nhau: 1) Tồn iđêan nguyên tố liên kết với M 2) M với a A , đồng cấu aM đơn cấu luỹ linh địa phơng Khi thoả mãn điều kiện đó, tập tất phần tử a A cho aM luỹ linh địa phơng trùng với iđêal nguyên tố liên kết với M Chứng minh Đây hệ trực tiếp mệnh đề mệnh đề 4(1.4.18) mệnh đề (1.4.19) 1.4.21 Mệnh đề Giả sử N môđun M Mọi iđêan nguyên tố liên kết với N liên kết với M Một iđêan nguyên tố liên kết với M liên kết với N với M/N Chứng minh Mệnh đề thứ rõ ràng Giả sử P iđêan nguyên tố liên kết với M, chẳng hạn P linh hoá phần tử x Nếu Ax N = 0, Ax đẳng cấu với môđun M/N P liên kết với M/N Nếu Ax N 0, ta xem Ax N nh môđun vành nguyên vẹn A/P rõ ràng linh hoá phần tử khác không Ax N 14 A/P Do linh hoá A P P liên kết với N, điều phải chứng minh 15 Chơng Môđun nguyên sơ Giả thiết A vành giao hoán có đơn vị môđun A-môđun, đồng cấu A - đồng cấu, không nói trái lại ) Đ Môđun nguyên sơ 1.1 Định nghĩa ví dụ môđun nguyên 1.1.1 Định nghĩa Giả sử M môđun Môđun Q M đợc gọi nguyên sơ, Q M a A cho đồng cấu: aM / Q : M /Q M /Q x+ Q ax + Q đơn cấu luỹ linh 1.1.2 Định nghĩa.( Xem A nh môđun ).Cho q Iđêan A q đợc gọi iđêal nguyên sơ thoả mãn điều kiện sau đây: Nếu a, b A, ab q a q bn q với n Các ví dụ Ví dụ Cho vành số nguyên Z, Z Z môđun Q = nZ (n >1) môđun Z Khi Q môđun nguyên sơ 16 Thật ta có : Q Z Với a thuộc Z, đồng cấu aM/Q đơn cấu Bởi ta có: aZ/Q : Z /Q m Z /Q a.m aM/Q đẳng cấu: với m, n Z / Q , Z ta có : a ( m.n ) = a (m + n) = a(m + n) = am + an = am + an = am + an a ( m ) = a ( m ) = a ( m ) = (a )m = (a)m = am = a.m a Z / Q đơn ánh: Giả sử m n suy am an ? Ta có: am an am an a m a n mn Vậy Q môđun nguyên sơ 1.2 Các tính chất môđun nguyên sơ 1.2.1 Mệnh đề Cho M môđun Giả sử Q mđun nguyên sơ P iđêan gồm tất phần tử a A mà a M / Q luỹ linh Khi P iđêan nguyên tố Chứng minh Thật vậy, ta giả thiết a, b A , ab P a P Do Q môđun nguyên sơ nên aM/Q đơn cấu a Mn / Q đơn cấu với n 17 Mặt khác, từ tích luỹ linh (ab)M/Q ta suy bM/Q phải luỹ linh b P Theo định nghĩa iđêan nguyên tố suy P iđêan nguyên tố Ta gọi P iđêan nguyên tố tơng ứng với Q bảo Q P nguyên sơ 1.2.2 Định lý Giả sử M môđun, Q1 , Qr môđun Pnguyên sơ iđêan nguyên tố P Khi môđun Q1 Qr P nguyên sơ Chứng minh Đặt N = Q1 Qr Giả sử a P giả sử ni n cho (a M / Q ) = với i = 1,,r Ký hiệu n cực đại n1,, nr, i n (a M / Q ) = , nh a M / Q luỹ linh Đảo lại giả thiết a P Giả sử i n x M , x Q j với j Khi a x Q j n dơng aM/Q đơn cấu Điều chứng minh mệnh đề 18 Đ Sự phân tích môđun nguyên sơ 2.1 Định nghĩa phân tích môđun nguyên sơ 2.1.1 Định nghĩa Giả sử N môđun M Nếu N biểu diễn đợc dới dạng giao hữu hạn môđun nguyên sơ, chẳng hạn: N = Q1 Qr ta gọi biểu diễn phân tích nguyên sơ môđun N 2.1.2 Nhận xét Dùng định lý 1.2.2., ta thấy cách nhóm Qi lại theo iđêan nguyên tố chúng, ta luôn từ phân tích nguyên sơ cho thu đợc phân tích khác, iđêan nguyên tố tơng ứng với môđun nguyên sơ khác 2.1.3 Định nghĩa Sự phân tích nguyên sơ môđun N, iđêan nguyên tố p1 , , p r tơng ứng với Q1 , , Qr khác N biểu diễn đợc dới dạng giao họ thực môđun nguyên sơ { Q1 , , Qr } , đợc gọi phân tích tối giản 2.1.4 Nhận xét Bằng cách bỏ bớt số môđun nguyên sơ tham gia phân tích cho, ta thấy môđun N có phân tích nguyên sơ có phân tích tối giản 2.1.5 Định nghĩa Giả sử N = Q1 Qr phân tích nguyên sơ tối giản p i tơng ứng với Qi Nếu pi không chứa p j ( j i ) , ta bảo pi cô lập Nh iđêan nguyên tố cô lập iđêan nguyên tố tơng ứng với môđun nguyên sơ pi 19 2.2 Các tính chất phân tích nguyên sơ 2.2.1 Định lý1 Giả sử N môđun M giả sử N = Q1 Qr = Q1 Qs hai phân tích nguyên sơ tối giản Khi r = s Tập iđêan nguyên tố tơng ứng với Q1 , , Qr Q1 , , Qr nh Nếu { p1 , , p m } tập iđêan nguyên tố cô lập tơng ứng với phân tích đó, Qi = Qi , i = 1, m ; nói khác đi, môđun nguyên sơ thuộc vào iđêan nguyên tố cô lập đợc xác định Chứng minh Giả thiết sau hoán vị số, pi tối đại tập iđêan nguyên tố tơng ứng với mođun nguyên sơ Qi Qi p1 p j với j = 1, , s Khi tồn phần tử a p (i = 2, , r ) cho a pi a p j ( j = 1, , s ) Giả sử n số nguyên mà đối x với anM Q1 Ta ký hiệu N* môđun gồm phần tử x M cho anx N* Ta khẳng định rằng: N* = Q2 Qr Rõ ràng : Q2 Qr N* Đảo lại, x M , x Qi với i > đó, a n x Qi , a pi Do N* Q2 Qr Cũng lý luận chứng tỏ p1 p j với j = 1, , s : Q2 Qr = Q1 Qs , trái với giả thiết biểu diễn N dới dạng giao môđun nguyên sơ tối giản Điều chứng minh p1 có mặt tập { p1 , , p s } , chẳng hạn p1 = p1 chứng minh rằng: 20 Q2 Qr = Q2 Qs Cần phải chứng minh tính môđun nguyên sơ thuộc vào iđêan nguyên tố cô lập, chẳng hạn p1 Theo định nghĩa, j = 2, , r , tồn a j p j , a j p1 Giả sử a = a , , a r tích phần tử Khi a p j với j > , nhng a p1 Ta tìm đợc môt số nguyên n cho a n M / Q j = với j = 2, , r Giả sử : NM = tập x M cho amx N Ta khẳng định Q1 = NM với m đủ lớn Điều chứng minh tính phải làm Giả sử x Q1 Khi a m x Q1 Qr = N , nh x NM Đảo lại, giả sử x NM , nh amx N đặc biệt amx Q1 a p1 nên theo định nghĩa a M / Q đơn cấu Do x Q1 định lý đợc chứng minh 2.2.2 Định lý Mọi môđun N môđun Nơte M có phân tích nguyên sơ Chứng minh Ta xét tập môđun M phân tích nguyên sơ Nếu tập không rỗng, tính chất Nơte M, có phần tử tối đại mà ta ký hiệu N Môđun N không nguyên sơ, tức tồn a A cho a M / N đơn cấu, không luỹ linh Chuỗi tăng môđun: ker aM/N ker a2M/N ker a3M/N dừng arM/N chẳng hạn, ta ký hiệu tự đồng cấu: 21 arM/N M /N M /N : Khi ker = ker Do = ker Im hạt nhân lẫn ảnh không không Lấy ảnh ngợc M, ta thấy N giao hai mođun M không N Do tính tố đại N, ta kết luận môđun thừa nhận phân tích nguyên sơ - mâu thuẫn 2.2.3 Định lý Giả sử A M Nơte Các iđêan nguyên tố liên kết với môđun M iđêan nguyên tố tơng ứng với môđun nguyên sơ phân tích nguyên sơ tối giản không M Đặc biệt, tập iđêan nguyên tố liên kết với môđun M hữu hạn Chứng minh Giả sử : = Q1 Qr phân tích nguyên sơ tối giản M Xảy đơn cấu: r M M / Qi i =1 Do mệnh đề (1.4.21) mệnh đề 2.1.8 ta kết luận iđêan nguyên tố liên kết với M tơng ứng với Qi Đảo lại, giả sử N = Q2 Qr Khi N phân tích ta tối giản Ta có: N = N /( N Q1 ) ( N + Q1 ) / Q1 M / Q1 Vậy N đẳng cấu với môđun M / Q1 có iđêan nguyên tố liên kết, mà chẳng qua iđêan nguyên tố p1 tơng ứng với Q1 Điều chứng minh định lý 22 Kết luận Khóa luận giải đợc: 1- Hệ thống đợc khái niệm môđun nguyên sơ đa số ví dụ Từ nghiên cứu tính chất môđun nguyên sơ 2- Trên sở khái niệm phân tích nguyên sơ nêu lên đợc số tính chất phân tích nguyên sơ 23 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn tự Cờng, Giáo trình đại số đại, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội ( 2003) [2] S Lang, Đại số, Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp (1974) [3] Hoàng Xuân Sính, Đại số đại cơng, Nhà xuất Giáo dục (2000) 24 [...]... trong các môđun con ấy thừa nhận một sự phân tích nguyên sơ - mâu thuẫn 2.2.3 Định lý 3 Giả sử A và M đều Nơte Các iđêan nguyên tố liên kết với môđun M đúng là các iđêan nguyên tố tơng ứng với các môđun nguyên sơ trong sự phân tích nguyên sơ tối giản của không trong M Đặc biệt, tập các iđêan nguyên tố liên kết với môđun M là hữu hạn Chứng minh Giả sử : 0 = Q1 Qr là sự phân tích nguyên sơ tối giản... Đ 2 Sự phân tích môđun nguyên sơ 2.1 Định nghĩa sự phân tích môđun nguyên sơ 2.1.1 Định nghĩa Giả sử N là môđun con của M Nếu N biểu diễn đợc dới dạng một giao hữu hạn của các môđun con nguyên sơ, chẳng hạn: N = Q1 Qr thì ta sẽ gọi sự biểu diễn đó là sự phân tích nguyên sơ của môđun con N 2.1.2 Nhận xét Dùng định lý 1.2.2., ta thấy rằng bằng cách nhóm các Qi lại theo các iđêan nguyên tố của chúng,... an ? Ta có: am an am an a m a n mn Vậy Q là môđun con nguyên sơ 1.2 Các tính chất của môđun nguyên sơ 1.2.1 Mệnh đề Cho M là môđun Giả sử Q là mđun con nguyên sơ và P là iđêan gồm tất cả các phần tử a A mà a M / Q luỹ linh Khi đó P là iđêan nguyên tố Chứng minh Thật vậy, ta giả thiết rằng a, b A , ab P và a P Do Q là môđun con nguyên sơ nên aM/Q đơn cấu và do đó a Mn / Q đơn cấu với mọi... luôn có thể từ sự phân tích nguyên sơ đã cho thu đợc một sự phân tích khác, trong đó các iđêan nguyên tố tơng ứng với các môđun con nguyên sơ đều khác nhau cả 2.1.3 Định nghĩa Sự phân tích nguyên sơ của môđun con N, trong đó các iđêan nguyên tố p1 , , p r tơng ứng với Q1 , , Qr đều khác nhau và N không thể biểu diễn đợc dới dạng giao của một họ con thực sự các môđun con nguyên sơ { Q1 , , Qr } , sẽ đợc... suy ra rằng bM/Q phải luỹ linh và do đó b P Theo định nghĩa iđêan nguyên tố suy ra P là iđêan nguyên tố Ta sẽ gọi P là iđêan nguyên tố tơng ứng với Q và cũng bảo rằng Q là P nguyên sơ 1.2.2 Định lý Giả sử M là một môđun, Q1 , Qr là các môđun con Pnguyên sơ đối với cùng một iđêan nguyên tố P Khi đó môđun con Q1 Qr cũng P nguyên sơ Chứng minh Đặt N = Q1 Qr Giả sử a P và giả sử các ni sao n cho... Q1 Điều đó chứng minh định lý trên 22 Kết luận Khóa luận đã giải quyết đợc: 1- Hệ thống đợc khái niệm về môđun nguyên sơ và đa ra một số ví dụ Từ đó nghiên cứu các tính chất của môđun nguyên sơ 2- Trên cơ sở khái niệm về sự phân tích nguyên sơ đã nêu lên đợc một số tính chất của sự phân tích nguyên sơ 23 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn tự Cờng, Giáo trình đại số hiện đại, Nhà xuất bản Đại học quốc gia... các môđun nguyên sơ tham gia trong sự phân tích đã cho, ta thấy rằng nếu môđun con N có một sự phân tích nguyên sơ nào đó thì nó có một sự phân tích tối giản 2.1.5 Định nghĩa Giả sử N = Q1 Qr là một sự phân tích nguyên sơ tối giản và p i tơng ứng với Qi Nếu pi không chứa một p j nào cả ( j i ) , thì ta bảo rằng pi cô lập Nh vậy các iđêan nguyên tố cô lập là các iđêan nguyên tố tơng ứng với các môđun. .. chứng minh 1 2.2.2 Định lý 2 Mọi môđun con N của môđun Nơte M đều có sự phân tích nguyên sơ Chứng minh Ta xét tập các môđun con của M không có sự phân tích nguyên sơ Nếu tập đó không rỗng, thì do tính chất Nơte của M, nó có phần tử tối đại mà ta ký hiệu là N Môđun con N không nguyên sơ, tức là tồn tại a A sao cho a M / N không phải là đơn cấu, không luỹ linh Chuỗi tăng các môđun: ker aM/N ker a2M/N ker... Môđun nguyên sơ 1.1 Định nghĩa và ví dụ về môđun nguyên 1.1.1 Định nghĩa Giả sử M là một môđun Môđun con Q của M đợc gọi là nguyên sơ, nếu Q M và nếu đối với một a A đã cho bất kỳ đồng cấu: aM / Q : M /Q M /Q x+ Q ax + Q hoặc là đơn cấu hoặc là luỹ linh 1.1.2 Định nghĩa.( Xem A nh một môđun trên chính nó ).Cho q là một Iđêan của A q đợc gọi là iđêal nguyên sơ khi và chỉ khi nó thoả mãn điều kiện... Ax N nh một môđun trên vành nguyên vẹn A/P và rõ ràng cái linh hoá của một phần tử khác không bất kỳ Ax N trong 14 A/P là 0 Do đó cái linh hoá của nó trong A là P và P liên kết với N, là điều phải chứng minh 15 Chơng 2 Môđun nguyên sơ Giả thiết rằng A là vành giao hoán có đơn vị và các môđun là các A -môđun, các đồng cấu là các A - đồng cấu, nếu không nói gì trái lại ) Đ 1 Môđun nguyên sơ 1.1 Định ... Môđun nguyên sơ Giả thiết A vành giao hoán có đơn vị môđun A -môđun, đồng cấu A - đồng cấu, không nói trái lại ) Đ Môđun nguyên sơ 1.1 Định nghĩa ví dụ môđun nguyên 1.1.1 Định nghĩa Giả sử M môđun. .. nguyên tố Ta gọi P iđêan nguyên tố tơng ứng với Q bảo Q P nguyên sơ 1.2.2 Định lý Giả sử M môđun, Q1 , Qr môđun Pnguyên sơ iđêan nguyên tố P Khi môđun Q1 Qr P nguyên sơ Chứng minh Đặt N = Q1... luận môđun thừa nhận phân tích nguyên sơ - mâu thuẫn 2.2.3 Định lý Giả sử A M Nơte Các iđêan nguyên tố liên kết với môđun M iđêan nguyên tố tơng ứng với môđun nguyên sơ phân tích nguyên sơ tối