Sự phân tích nguyên sơ của môđun

Mục lục Trang Lời nói đầu 2 Chơng 1. Kiến thức cơ sở Đ1. Vành Đ2. Mô đun Đ3. Vành và môđun Noether Đ4. Môđun các thơng 3 3 6 9 11 Chơng 2. Iđêan nguyên tố liên kết Đ1. Định nghĩa và tính chất Đ2. Sự phân tích Nguyên sơ Đ3 Một số ví dụ 13 13 17 22 Kết luận 27 Tài liệu tham khảo 27 Lời nói đầu Sự phân tích iđêan thành giao của các iđêan nguyên sơ là một việc làm truyền thống trong lý thuyết iđêan. Điều này đợc phản ánh trong Hình học đại số nh là một đa tạp đại số đợc phân tích thành hợp của các đa tạp bất khả quy. Do đó nó đợc ứng dụng nhiều trong Hình học đại số. Một cách khác, ta cũng có thể xem sự phân tích một iđêan thành giao của các iđêan nguyên sơ nh là một sự khái quát hoá của việc phân tích một số nguyên thành tích của các luỹ thừa của các số nguyên tố. Mặc dù với phơng pháp nghiên cứu hiện đại sự phân tích nguyên sơ không còn đóng vai trò trung tâm trong lý thuyết iđêan nhng nó vẫn còn nhiều điều thú vị. Mục đích của luận văn là trình bày lại một cách chi tiết về khái niệm iđêan nguyên tố liên kết và sự phân tích nguyên sơ của môđun Noether dựa theo [1] và [3]. Luận văn đợc chia làm hai chơng. ở Chơng 1 chúng tôi trình bày mà không chứng minh các khái niệm, kết quả liên quan đến các chứng minh trong Chơng 2. Chơng 2 là nội dung chính của luận văn. Trong chơng này chúng tôi trình bày định nghĩa và các tính chất của tập iđêan nguyên tố liên kết; chứng minh sự tồn tại sự phân tích nguyên sơ của môđun Noether. Đặc biệt trong chơng này chúng tôi đa ra nhiều ví dụ về sự phân tích nguyên sơ các iđêan đơn thức trong vành đa thức nhiều biến trên một trờng. Để hoàn thành luận văn này tôi đã nhận đợc sự hớng dẫn nhiệt tình của Ts. Nguyễn Thị Hồng Loan và các thầy cô giáo. Nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Thị Hồng Loan, cùng các thầy cô giáo trong khoa Toán, đặc biệt là tổ Đại số đã giúp đỡ cho tôi hoàn thành luận văn này. Mặc dù đã hết sức cố gắng nhng không thể tránh khỏi thiếu sót. Vì vậy, tôi rất mong muốn nhận đợc ý kiến góp ý của các thầy, cô giáo và các bạn. Vinh, tháng 4/2005. Chơng I Kiến thức cơ sở 2 Trong chơng này chúng tôi đa ra các khái niệm và kết quả cần dùng cho các chứng minh ở Chơng 2. Đ1. Vành 1.1 Khái niệm vành 1.1.1 Định nghĩa. Ta gọi vành là một tập hợp R cùng với hai phép toán gọi là phép cộng và nhân sao cho các điều kiện sau thỏa mãn: (i) R cùng với phép cộng là một nhóm Aben. (ii) R cùng với phép nhân là một nửa nhóm. (iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng x(y + z) = xy + xz (y + z)x = yx + zx Với mọi x, y, z R . Phần tử đơn vị của phép cộng kí hiệu là 0 và gọi là phần tử không của vành. Nếu phép nhân là giao hoán thì ta nói vành R là vành giao hoán. Nếu phép nhân có phần tử đơn vị thì ta gọi đó là phần tử đơn vị của vành R và thờng kí hiệu là 1. 1.1.2 Ví dụ. Tập hợp Z các số nguyên cùng với phép cộng và phép nhân các số thông thờng là một vành giao hoán, có đơn vị gọi là vành các số nguyên. Ta cũng có vành các số hữu tỉ Q, vành các số thực R, vành các số phức C đối với phép cộng và nhân các số thông thờng. Để thuận tiện từ nay về sau ta luôn giả thiết R là vành giao hoán, có đơn vị. 1.2 Iđêan 1.2.1 Định nghĩa (i) Một iđêan trái của vành R là một vành con I R thoả mãn: ra I, r R, aI (ii) Một iđêan phải của vành R là một vành con I R thoả mãn: ar I,r R, a I. (iii) Nếu vành con I R vừa là một iđêan trái vừa là một iđêan phải thì nó đợc gọi là một iđêan. Đối với vành giao hoán các khái niệm iđêan, iđêan trái, iđêan phải, trùng nhau. 3 1.2.2 Ví dụ. (a) Bộ phận {0} và bộ phận R là hai iđêan của vành R. (b) Bộ phận mZ gồm các số nguyên là bội của một số nguyên m cho trớc là một iđêan của vành các số nguyên Z. 1.2.3 Một số khái niệm khác. 1) Iđêan sinh bởi một tập, iđêan hữu hạn sinh. Cho R là một vành và S là một tập con của R. Khi đó giao của tất cả các iđêan của R chứa S là iđêan bé nhất của R chứa S. Iđêan đó đợc gọi là iđêan sinh bởi S. Kí hiệu I = <S >. Nếu S là tập hữu hạn phần tử thì iđêan sinh bởi S đợc gọi là iđêan hữu hạn sinh. Giả sử S ={S 1 ,S 2 , .,S n } thì I = <S> = < S 1 ,S 2 , .,S n > ={ = n i ii sr 1 | r i R ,s i S } Chú ý . (i) Cho I = (a 1 , .,a n ) và J = (b 1 , .,b n ) là hai iđêan hữu hạn sinh của vành R. Khi đó I J nếu và chỉ nếu a i J với mọi i = 1, ., n từ đó suy ra I = J khi và chỉ khi a i J và b j I với mọi i = 1, .,n và j =1, .,m (ii) Iđêan I = R khi và chỉ khi 1 I. 2) Iđêan nguyên tố, Iđêan cực đại. Iđêan P của vành R đợc gọi là iđêan nguyên tố nếu P R và với mọi x, y R mà xy P thì suy ra hoặc x P hoặc y P. Iđêan m của vành R đợc gọi là iđêan cực đại nếu m R và không tồn tại iđêan I m sao cho I m và I R. Nói cách khác m là cực đại theo quan hệ bao hàm trong tập các iđêan thực sự của vành R. 2.1 Ví dụ. Trong vành các số nguyên Z, iđêan nZ là nguyên tố nếu và chỉ nếu n là một số nguyên tố. Chứng minh. Thật vậy, giả sử nZ là một iđêan nguyên tố. Ta có n nZ. Nếu n là một hợp số thì n = r.s (1<r,s<n) tuy nhiên r nZ và s nZ. Do đó nZ không phải là một iđêan nguyên tố. Điều này mâu thuẫn với giả thiết nZ là iđêan nguyên tố. Từ đó suy ra n là nguyên tố. Ngợc lại nếu n = P là một số nguyên tố và xy = PZ thì xy chia hết cho P. Khi đó hoặc x chia hết cho P nghĩa là x PZ hoặc y PZ. Vậy PZ là một iđêan nguyên tố hay nZ là iđêan nguyên tố. 4 Chú ý . (i) P là iđêan nguyên tố của vành R khi và chỉ khi R/P là miền nguyên. (ii) m là iđêan cực đại của vành R khi và chỉ khi R/ m là một trờng. 3) Iđêan nguyên sơ. Cho R là vành giao hoán có đơn vị, I là một iđêan của vành R, I đợc gọi là iđêan nguyên sơ nếu mọi x,y R, xy I và nếu x I thì tồn tại số tự nhiên n sao cho y n I. Ví dụ: Trong vành các số nguyên Z, iđêan nZ là nguyên sơ nếu và chỉ nếu k Pn = , trong đó P là số nguyên tố. 4) Iđêan chính. Iđêan sinh bởi một phần tử gọi là iđêan chính. Ví dụ: Trong vành các số nguyên Z, mọi iđêan đều có dạng mZ với m là một số nguyên nào đó nên chúng là iđêan chính: mZ = <m>. 5) Iđêan bất khả qui. Cho I là một iđêan ta nói rằng I bất khả qui nếu I đợc phân tích thành giao của hai iđêan I = I 1 I 2 thì I 1 = I hoặc I 2 = I nghĩa là I không phân tích đợc thành giao của hai iđêan thực sự chứa nó. 1.3 Phổ của vành. 1.3.1 Định nghĩa: Tập hợp SpecR = {P | P là iđêan nguyên tố của R} đợc gọi là phổ (nguyên tố) của vành R. Cho I là một iđêan của R. Ta kí hiệu : V(I) = {P SpecR | P I}. Đ2. Môđun 2.1 Khái niệm môđun. Ta xét vành cơ sở là vành R giao hoán, có đơn vị là 1. 2.1.1 Định nghĩa. Cho R là vành, tập M gọi là R-Môđun nếu trong M có một phép cộng và một phép nhân vô hớng 5 R x M M (r,x) r x thoã mãn 8 điều kiện: (i) Phép cộng có tính chất kết hợp. (ii) Phép cộng có tính chất giao hoán. (iii) Tồn tại 0 M : x + 0 = 0 + x, Mx (iv) x M, tồn tại x M : x + (-x) = (-x) + x = 0. (v) r(x+y) = rx + ry, MyxRr ,, (vi) (r+)x=rx + x, MxRr ,, (vii) (r)x=r(x), MxRr ,, (viii) 1.x = x. 2.1.2 Ví dụ. Cho V là một không gian vectơ trên trờng K. Khi đó V là K-môđun hay V là môđun trên K. 2.2 Môđun con và môđun thơng. 2.2.1 Môđun con. 1) Định nghĩa. Cho M là một R- môđun, A là tập con khác rỗng của M. A đợc gọi là môđun con của M nếu với các phép toán cảm sinh của M thì A là một R-môđun. 2) Ví dụ. nZ (nN) là môđun con của Z- môđun Z 2.2.2 Môđun thơng. (1) Định nghĩa. Nếu A là môđun con của M xét tập M/A={x + A | xM} ta định nghĩa phép cộng: (x + A) + (y + A) = (x + y) + A và phép nhân với vô hớng: (x + A) = x + A. Khi đó với hai phép toán này M/A là một môđun và gọi là môđun thơng của môđun M theo môđun con A. (2) Ví dụ. Z/4Z = {z + 4Z | z Z}={0 + 4Z, 1 + 4Z, 2 + 4Z, 3 + 4Z}. 2.3 Định lí đồng cấu, đẳng cấu môđun. 2.3.1 Định lí đồng cấu môđun. Giả sử f: M N là một đồng cấu R- môđun. Khi đó: Imf M/kerf (đẳng cấu R- môđun). 2.3.2 Định lí đẳng cấu môđun. 6 Định lí 1. Cho M là một R- môđun, N và P là hai môđun con của M sao cho N P. Khi đó: PM / NP NM / / . Định lí 2. Giả sử M là một R- môđun. Cho N và P là hai môđun con của M. Khi đó ta có P PN + PNN / . 2.4 Dãy khớp ngắn các môđun. Một dãy khớp có dạng 0 M f M g M 0 (1) đợc gọi là dãy khớp ngắn. Chú ý rằng dãy (1) là dãy khớp ngắn khi và chỉ khi f đơn cấu, g gọi là toàn cấu và Imf = ker g. 2.5 Độ dài của môđun. 2.5.1 Định nghĩa. Cho M là một R- môđun và dãy các môđun con củaM: M = M 0 M 1 . M n = 0 (*) Khi đó dãy (*) gọi là có độ dài n và (*) đợc gọi là dãy hợp thành của môđun M nếu M i+1 /M i là môđun đơn. 2.5.2 Định lí. Nếu môđun M có dãy hợp thành. Khi đó mọi dãy hợp thành của M luôn có cùng độ dài. 2.5.3.Định lí. M có dãy hợp thành khi và chỉ khi M là môđun Artin và Noether. 2.5.4 Định nghĩa. Nếu M có dãy hợp thành có độ dài bằng n thì kí hiệu l R (M) = n gọi là độ dài của môđun M. 2.6 Một số khái niệm khác. 2.6.1 Linh hoá tử của môđun. Giả sử m là một R- môđun. Kí hiệu: ( ) MAnn R = {a R | aM = 0} = {a R | ax = 0, x M}. Khi đó ( ) MAnn R là một iđêan của R và đợc gọi là linh hoá tử của môđun M. Giả sử .Mx Kí hiệu ( ) xAnn R = {a R | ax = 0} Ta có ( ) xAnn R cũng là một iđêan của R. 2.6.2 Phần tử ớc của không. Cho M là một R- môđun. Phần tử aR đợc gọi là một - ớc của không của M nếu tồn tại x M, x 0 sao cho ax = 0. 2.6.3 Phần tử chính qui. Phần tử b R đợc gọi là phần tử chính qui của M nếu 7 b không phải là ớc của không của M. 2.7 Chiều Krull của môđun. Cho R là một vành giao hoán. Một dãy thực sự các iđêan nguyên tố của R : P 0 P 1 . P n đợc gọi là một xích nguyên tố có độ dài n. Cho P là một iđêan nguyên tố của R. Chặn trên của tất cả các xích nguyên tố của R với P 0 = P đợc gọi là độ cao P kí hiệu là ht(p). Ta có: ht(P) = Sup{độ dài xích nguyên tố của R, P 0 = P} Cho I là một iđêan của R.Ta định nghĩa: ht(I) = inf {ht(P) | P specR, P I}. Chặn trên của tất cả các xích nguyên tố trong R đợc gọi là chiều Krull của vành R, kí hiệu là dim R. Nh vậy dim R có thể vô hạn do ht(P) có thể vô hạn. Giả sử M là một R-môđun. Khi đó MAnn R R dim đợc gọi là chiều Knull của môđun M và kí hiệu là M R dim hoặc ( Mdim ) Đ3. Vành và môđun Noether 3.1 Môđun Noether 8 3.1.1 Định nghĩa. Cho M là một R-môđun. M đợc gọi là môđun noether nếu mọi dãy tăng các môđun con của M: A 1 A 2 . A n . đều phải dừng tức là tồn tại một số tự nhiên k sao cho A k = A k+1 . 3.1.2 Định lí đặc trng của môđun noether. Cho môđun M. Khi đó các điều kiện sau là tơng đơng: (1) Mọi dãy tăng các môđun con của M đều dừng. (2) Mọi tập con khác rỗng các môđun con của M đều có phần tử cực đại. (3) Mọi môđun con của M đều hữu hạn sinh. Chứng minh. (1) (2): Gọi S = {A i | A i là môđun con nào đó M}. Lấy A 1 S Nếu A 1 tối đại trong S điều phải chứng minh . Nếu A 1 không tối đại trong S thì sẽ tồn tại A 2 S mà A 1 A 2 . Lập luận A 2 nh A 1 có A 1 A 2 A 3 . Tiếp tục quá trình lập luận trên thì ta sẽ có một dãy tăng A 1 A 2 . A k . Và do M noether nên sẽ tồn tại một số tự nhiên k để A k = A k+1 = . Do đó A k tối đại trong S suy ra điều phải chứng minh. (2)(3): Lấy A là môđun con bất kì của M. Xét tập = {môđun con hữu hạn sinh của A}. Ta thấy là một tập các môđun con của M nên . Vì x A nên Rx , Rx là xyclic nên hữu hạn sinh: <x> = Rx = {rx | r R} Suy ra thoã mãn (ii) nên có phần tử tối đại là: <x 1 , x 2 , , x k > = C với x i A. ta cần chứng minh <x 1 , x 2 , , x k > = A. Ta sử dụng chứng minh phản chứng: Giả sử nếu <x 1 , x 2 , ., x k > A khi đó sẽ tồn tại a A mà a <x 1 , x 2 , ., x k >. Lấy B = <x 1 , x 2 , ., x k , a> C B điều này mâu thuẫn với tính tối đại của C do đó C = A hay là: <x 1 , x 2 , ., x k > = A. Vậy A hữu hạn sinh suy ra điều phải chứng minh . (3) (1): Lấy dãy tăng các môđun con của M nh sau: A 1 A 2 . A n . (a) 9 Gọi A = = 1i n A . Kiểm tra đợc A là môđun con của M theo (iii) nên ta có: A là hữu hạn sinh và A=<x 1 , x 2 , ., x k > Do (a) là dãy tăng nên tồn tại số tự nhiên n để x 1 , x 2 , ., x k A n . Suy ra <x 1 , x 2 , ., x k > A n A A n mà A = = 1i i A Do đó A n A suy ra A n = A tức là A n = A n+1 = . Vậy (a) dừng nên A noether suy ra điều phải chứng minh. 3.1.3 Ví dụ (1) Xét Z là Z- môđun thì Z là môđun noether. (2) V là không gian vectơ hữu hạn chiều thì V là môđun noether. 3.2 Vành Noether 3.2.1 Định nghĩa.Vành R đợc gọi là vành noether nếu mọi dãy tăng các iđêan trong R đều dừng, nghĩa là nếu I 0 I 1 . I n I n+1 . là dãy tăng các iđêan trong R thì tồn tại một số tự nhiên n sao cho I n = I n+1 = . Nh vậy vành R là noether nếu nó là một môđun noether trên chính nó. Chúng ta có thể nhận biết vành noether qua nhiều đặc trng khác nhau thể hiện qua định lí sau: 3.2.2 Định lí. Giả sử R là một vành khi đó các điều kiện sau là tơng đơng: (i) Mọi tập khác rỗng các iđêan trong vành R đều có phần tử tối đại. (ii) Mọi iđêan trong vành R đều hữu hạn sinh. (iii) Mọi dãy tăng các iđêan trong vành R đều dừng. 3.2.3 Một số ví dụ về vành noether Ví dụ 1. Vành các số nguyên Z là vành noether vì mọi iđêan của Z có dạng mZ (m Z) có nghĩa là mọi iđêan của Z đều hữu hạn sinh (Sinh bởi một phần tử). Ví dụ 2. Mọi trờng X đều là vành nother. Do trờng X bất kì chỉ có hai iđêan là {0} và X. Vậy dãy tăng các iđêan chỉ là {0} X ( dãy có hai phần tử ). Suy ra dãy dừng hoặc hai iđêan đều hữu hạn sinh vì {0} = <0> , X = <1>. 10