Ideal và sự phân tích nguyên sơ

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ====== NGUYỄN THỊ MINH TOẠI IDEAL VÀ SỰ PHÂN TÍCH NGUYÊN SƠ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số HÀ NỘI - 2015 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Minh Toại – K37A Toán LỜI CẢM ƠN Sau thời gian nghiên cứu miệt mài, nghiêm túc với giúp đỡ tận tình thầy cô giáo bạn sinh viên, đến Khóa luận em đƣợc hoàn thành, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy cô giáo tổ Đại số, Khoa Toán, Trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội động viên giúp đỡ em suốt trình làm khóa luận Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn cô giáo hƣớng dẫn Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga tạo điều kiện tốt bảo tận tình để em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Do thời gian kiến thức có hạn nên vấn đề trình bày khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Vì em mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp thầy cô bạn sinh viên Một lần em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2015 Sinh viên Nguyễn Thị Minh Toại Giảng viên hướng dẫn: Ts Nguyễn Thị Kiều Nga Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Minh Toại – K37A Toán LỜI CAM ĐOAN Khóa luận kết thân em trình học tập nghiên cứu Bên cạnh em đƣợc quan tâm tạo điều kiện thầy cô giáo khoa Toán đặc biệt hƣớng dẫn tận tình Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga Trong nghiên cứu hoàn thành Khóa luận em có tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Vì em xin khẳng định đề tài “ Ideal phân tích nguyên sơ” trùng lặp với đề tài tác giả khác Hà Nội, tháng 05 năm 2015 Sinh viên Nguyễn Thị Minh Toại Giảng viên hướng dẫn: Ts Nguyễn Thị Kiều Nga Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Minh Toại – K37A Toán MỤC LỤC CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Vành, vành 1.2 Miền nguyên, trƣờng 1.3 Ideal vành thƣơng 1.4 Đồng cấu vành 1.5 Quan hệ thứ tự tập thứ tự 12 CHƢƠNG 2: IDEAL TRÊN VÀNH GIAO HOÁN 15 2.1 Các phép toán ideal 15 2.2 Ideal hữu hạn sinh 19 2.3 Ideal cực đại, ideal nguyên tố, ideal nguyên sơ 20 2.4 Mối liên hệ ideal cực đại, ideal nguyên tố, ideal nguyên sơ 35 2.5 Ideal đối cực đại 39 2.6 Ideal bất khả quy 44 2.7 Một số tập ideal 44 CHƢƠNG 3: SỰ PHÂN TÍCH NGUYÊN SƠ 52 3.1 Vành Noether 52 3.2 Sự phân tích nguyên sơ phân tích nguyên sơ cực tiểu 54 3.3 Sự phân tích nguyên sơ vành Noether 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO 61 Giảng viên hướng dẫn: Ts Nguyễn Thị Kiều Nga Nguyễn Thị Minh Toại – K37A Toán Khóa luận tốt nghiệp LỜI MỞ ĐẦU Đại số môn Toán học Nó không sở cho nhiều ngành Toán học khác mà có nhiều ứng dụng số ngành khoa học kĩ thuật Đại số đƣợc xây dựng phát triển từ cấu trúc đại số nhƣ: Nhóm, vành, trƣờng, modun,… Ideal khái niệm quan trọng Đại số Các lớp ideal đặc biệt ideal nguyên tố, ideal cực đại, ideal đối cực đại, ideal bất khả quy,… có vai trò quan trọng việc nghiên cứu Đại số giao hoán hình học đại số Đặc biệt, khái niệm ideal nguyên sơ phân tích nguyên sơ công cụ quan trọng đại số việc nghiên cứu tính chất lớp modun đặc biệt nhƣ modun Coher- Macaulay, modun Coher- Macaulay suy rộng… Nhƣng chƣơng trình đại học vấn đề đƣợc trình bày cách sơ lƣợc trừu tƣợng gây nhiều khó khăn cho việc tìm hiểu bạn đọc, đặc biệt sinh viên khoa Toán Đƣợc hƣớng dẫn giúp đỡ tận tình cô giáo - Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga với lòng yêu thích môn Đại số em mạnh dạn chọn đề tài: “Ideal phân tích nguyên sơ” để làm khóa luận tốt nghiệp mong muốn giúp ích cho bạn yêu thích môn Đại số có thêm tài liệu tham khảo Khóa luận đƣợc chia làm chƣơng:  Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị  Chƣơng 2: Ideal vành giao hoán  Chƣơng 3: Sự phân tích nguyên sơ Do hạn chế thời gian kiến thức thân nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Kính mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp thầy cô giáo bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn! Giảng viên hướng dẫn: Ts Nguyễn Thị Kiều Nga Nguyễn Thị Minh Toại – K37A Toán Khóa luận tốt nghiệp CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Vành, vành 1.1.1 Vành a) Định nghĩa: Cho X tập khác rỗng, X trang bị hai phép toán hai ngôi, gọi phép cộng phép nhân kí hiệu lần lƣợt (+), (.) X đƣợc gọi vành thỏa mãn điều kiện: i) X với phép cộng nhóm Abel ii) X với phép nhân nửa nhóm iii) Phép nhân phân phối phép cộng, tức với phần tử tùy ý x, y, z  X , ta có x( y  z )  xy  xz ( y  z ) x  yx  zx b) Chú ý +) Vành X gọi vành có đơn vị X vị nhóm nhân +) Vành X đƣợc gọi vành giao hoán phép nhân giao hoán +) Vành X đƣợc gọi vành giao hoán có đơn vị X vị nhóm nhân giao hoán +) Phần tử đơn vị phép cộng kí hiệu Gọi phần tử không vành +) Phần tử đơn vị phép nhân (nếu có), kí hiệu c) Ví dụ - Tập hợp số nguyên với phép cộng phép nhân thông thƣờng vành giao hoán có đơn vị gọi vành số nguyên Ta có vành số hữu tỉ , số thực , số phức (với phép toán cộng phép toán nhân số thông thƣờng) Giảng viên hướng dẫn: Ts Nguyễn Thị Kiều Nga Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Minh Toại – K37A Toán - Tập hợp số nguyên bội số nguyên n  cho trƣớc vành với phép cộng phép nhân thông thƣờng Vành vành giao hoán nhƣng đơn vị - Tập ma trận vuông cấp n (với phần tử số ) với phép cộng phép nhân ma trận vành có đơn vị Vành không giao hoán n  c) Tính chất Cho X vành +) x0   x , x  X +) Nếu vành có phần tử  +) (nx) y  nxy  x(ny) , x, y  X , n +) ( x  y) z  xz  yz 1.1.2 Vành điều kiện tương đương a) Định nghĩa: Giả sử X vành, A phận X ổn định với hai phép toán cộng nhân X , nghĩa x  y  A, xy  A với x, y  A Khi A vành X A với hai phép toán cảm sinh A vành b) Điều kiện tƣơng đƣơng Cho X vành, A phận khác rỗng X Các điều kiện sau tương đương: i) A vành X ii) x, y  A x  y  A, xy  A,  x  A iii) x, y  A x  y  A, xy  A c) Ví dụ +){0} X hai vành vành X Giảng viên hướng dẫn: Ts Nguyễn Thị Kiều Nga Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Minh Toại – K37A Toán +) Tập hợp m gồm số nguyên bội số nguyên m cho trƣớc vành vành số nguyên +) Vành đa thức [ x1, xn ] vành vành [ x1, , xn ] +) A vành giao hoán có đơn vị A vành vành đa thức A[ X ] Vành A[ X ] lại vành vành đa thức hai biến A[ X , Y ] 1.1.3 Đặc số vành Cho X vành có đơn vị 1, tồn số nguyên dƣơng n nhỏ cho n1  ta nói X có đặc số n , ngƣợc lại ta nói X có đặc số Đặc số X kí hiệu CharX Ví dụ: Vành số hữu tỉ có đặc số Vành lớp thặng dƣ modun có đặc số 1.1.4 Tập nhân đóng a) Định nghĩa Cho R vành có đơn vị Tập A đƣợc gọi tập nhân đóng R nếu: i)1 A ii) Với x, y  A xy  A b) Ví dụ Cho R vành giao hoán đơn vị 1, vành A R tập nhân đóng 1.2 Miền nguyên, trƣờng Trong toàn phần X vành giao hoán có đơn vị 1.2.1 Ước bội phần tử a) Định nghĩa: Cho X vành giao hoán, a, b  X , a gọi bội b hay a chia hết cho b , kí hiệu a b tồn c  X cho a  bc Khi ta nói b ƣớc a , kí hiệu b | a b)Ƣớc không: a  X , a  0, a đƣợc gọi ƣớc không tồn b  X , b  cho ab  Khi b gọi ƣớc không Giảng viên hướng dẫn: Ts Nguyễn Thị Kiều Nga Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Minh Toại – K37A Toán c) Phần tử khả nghịch Phần tử u  X đƣợc gọi phần tử khả nghịch u ƣớc 1, tức tồn v  X cho uv  d) Phần tử liên kết Với a, a '  X , ta nói a , a ' liên kết với tồn u khả nghịch cho a  ua ' a '  ua Kí hiệu: a ~ a ' a ' ~ a e) Ƣớc thực a đƣợc gọi ƣớc thực b a ƣớc b , a không khả nghịch a không liên kết với b g) Phần tử bất khả quy a  X phần tử bất khả quy a  , a không khả nghịch a ƣớc thực e) Phần tử nguyên tố Phần tử a  , không khả nghịch đƣợc gọi phần tử nguyên tố a uv a | u a | v 1.2.2 Miền nguyên a) Định nghĩa Một vành giao hoán X có đơn vị, có nhiều phần tử ƣớc đƣợc gọi miền nguyên b) Ví dụ: Vành số nguyên miền nguyên 1.2.3 Trường a) Định nghĩa Trƣờng miền nguyên phần tử khác không khả nghịch vị nhóm nhân Nhận xét: Nếu X trƣờng +) ( X ,+) nhóm Abel Giảng viên hướng dẫn: Ts Nguyễn Thị Kiều Nga Nguyễn Thị Minh Toại – K37A Toán Khóa luận tốt nghiệp +) ( X * ,.) nhóm Abel, X *  X \ 0 +) Phép nhân phân phối phép cộng b) Ví dụ Tập hợp số hữu tỉ với phép cộng phép nhân thông thƣờng trƣờng Ta có trƣờng số thực trƣờng số phức 1.2.4 Trường a) Định nghĩa Giả xử X trƣờng, A phận X ổn định hai phép toán X A trƣờng trƣờng X A với hai phép toán cảm sinh A trƣờng b) Điều kiện tƣơng đƣơng Giả sử A phận có nhiều phần tử trường X Các điều kiện sau tương đương: i) A trường X ii) Với x, y  A , x  y  A , xy  A ,  x  A , x 1  A x  iii) Với x, y  A , x  y  A , xy 1  A , y  c) Ví dụ +) X trƣờng trƣờng X Bộ phận 0 trƣờng X , theo định nghĩa trƣờng có phần tử +) Trƣờng số hữu tỉ thân trƣờng trƣờng số thực lại trƣờng trƣờng số phức , 1.3 Ideal vành thƣơng 1.3.1 Ideal a) Định nghĩa Cho A vành, I vành A Khi đó: Giảng viên hướng dẫn: Ts Nguyễn Thị Kiều Nga Nguyễn Thị Minh Toại – K37A Toán Khóa luận tốt nghiệp Bài Với I , J ideal vành giao hoán có đơn vị R Chứng minh I  I rằng: a) b) I  J  I J Lời giải: a) Ta có I  I nên Ngƣợc lại với y  k  I I suy tồn m để  y m   I  y  I k Từ (1) (2) suy (1) I I  I để y m  I suy tồn I  I (2) (đpcm) b) Với x  I  J tồn n để x n  I  J suy tồn a  I , b  J để xn  a  b  I  I Ta có:  nên I  J  I  J  J  J Suy IJ  I J Ngƣợc lại, với y  (3) J  I tồn m để y m  I  J Do tồn r  I , s  J cho y m  r  s r  I Vì  suy tồn k  , t   s  J để r k  I , st  J Khi ( y m )k t  (r  s)k t  r k t  1r k t 1s    k 1s k t  r k (r t  1r t 1s   t st )  st (t 1r k 1s   t k s k ) Suy ( y m )k t  y m(k t)  I  J  y  I  J Do I  J  IJ Từ (3) (4) suy (4) I  J  IJ Giảng viên hướng dẫn: Ts Nguyễn Thị Kiều Nga 47 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Minh Toại – K37A Toán Bài Cho R vành chính, p  R \ 0 Chứng minh mệnh đề sau tương đương: i) pR ideal cực đại R ii) pR ideal nguyên tố khác ideal không R iii) p phần tử nguyên tố R iv) p phần tử bất khả quy R Lời giải (iii) Vì ideal cực đại ideal nguyên tố p   pR  0 (iiiii) Giả sử p không phần tử nguyên tố R Khi tồn a, b  R : p | ab nhƣng a p, b p , tức ab  pR nhƣng a, b  pR Điều mâu thuẫn với giả thiết pR ideal nguyên tố Vậy điều giả sử sai, hay p phần tử nguyên tố R (iiiiv) Giả sử p phần tử nguyên tố R , ta chứng minh p phần tử bất khả quy Thật theo giả thiết, p phần tử nguyên tố R nên p không khả nghịch, p  p|a +) p phần tử nguyên tố nên p | ab  p|b (*) a | a ' +) Ta a, a '  R liên kết với  a ' | a Thật ta có a ~ a '  a  a ' u ( u phần tử khả nghịch) Nên a | a ' a ~ a '  a  a ' v  a | a ' ( v phần tử khả nghịch) Nên a ' | a Giảng viên hướng dẫn: Ts Nguyễn Thị Kiều Nga 48 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Minh Toại – K37A Toán a | a ' Ngƣợc lại, a, a '  R thỏa mãn  a '  au, a  a ' v Do a ' | a  a  ( R vành chính) a  auv  a(1  uv)    (1  uv)  Nếu a  a '  a ~ a ' Nếu a  a(1  uv)  suy uv  u, v phần tử khả nghịch Do a ~ a ' Từ (*) ta có p | a a | p nên p a liên kết với suy b khả nghịch Tƣơng tự p | b a phần tử khả nghịch Do ƣớc p phần tử khả nghịch liên kết với p suy p ƣớc thực Vậy p phần tử bất khả quy ivi) Giả sử p phần tử bất khả quy suy p không khả nghịch nên pR  R , rõ ràng pR ideal R Giả sử I ideal R cho pR  I  R Do R vành nên tồn a  R cho aR  I , a  p  I nên tồn b  R để p  ab p phần tử bất khả quy a  nên b phần tử khả nghịch Do p ~ a suy p | a  aR  pR Vậy aR  pR  I hay pR ideal cực đại R Bài Cho R vành không trường Khi tập tất ideal nguyên sơ R A  0 {pn R | p bất khả quy, n } Lời giải: +) Vì R vành nên R miền nguyên Suy R 0  R  0 ideal nguyên tố R Suy 0 ideal nguyên sơ (1) +) Theo tập 3, với p phần tử bất khả quy p phần tử nguyên tố  pR ideal cực đại R Ta có Giảng viên hướng dẫn: Ts Nguyễn Thị Kiều Nga p n R  pR Suy 49 Nguyễn Thị Minh Toại – K37A Toán Khóa luận tốt nghiệp p n R ideal nguyên sơ Mặt khác, R vành nên ideal nguyên sơ khác ideal R có dạng aR với a  0, a  Vì vành vành nhân tử hóa nên ta biểu diễn a dƣới dạng tích phần tử bất khả quy R Nếu a chia hết cho phần tử bất khả quy p q với p , q không liên kết pR qR hai ideal cực đại phân biệt Vì pR  qR p  uq , q  vp với u, v  R Suy p  uvp  uv  ( p  R miền nguyên) Suy u, v khả nghịch Điều mâu thuẫn với giả thiết p, q không liên kết Khi pR qR ideal nguyên tố cực tiểu aR Vì aR nguyên sơ nên M  pR ideal nguyên tố Do R vành nên M ideal cực đại Theo (2.4.4) M ideal nguyên tố cực tiểu aR (mâu thuẫn) Vậy aR đƣợc sinh lũy thừa dƣơng phần tử bất khả quy R (2) Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh Bài Cho X vành giao hoán, có đơn vị Chứng minh a) N ( X )  x  X | n  * , nx  0 ideal X b) Tập N ( X ) giao tất ideal nguyên tố X Lời giải: a) N ( X )  x  X | n  * , nx  0 ta có: +)  1.0   N ( X ) +) Với a, b  N ( X ) , n, m  * cho ma  0, nb  mn(a  b)  tức a  b  N ( X ) +) Với x  X ,a  N(X) , m  * cho ma  suy m(ax)  (ma) x  Do ax  N ( X ) Vành X giao hoán có đơn vị nên Giảng viên hướng dẫn: Ts Nguyễn Thị Kiều Nga 50 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Minh Toại – K37A Toán xa  ax  N ( X ) Vậy N ( X )  x  X | n  * , nx  0 ideal vành X b) Giả sử a  N ( X ) , n  cho a n   P với ideal nguyên tố P X Vì P ideal nguyên tố nên a  P Vậy N ( X ) tập giao tất ideal nguyên tố X Ngƣợc lại, a  N ( X ) Đặt S  a n | n  0 gọi A tập ideal X mà không giao với S Vì a  N ( X ) nên a n  0, n  nên 0  A Vậy A   Theo bổ đề Zorn ( A đƣợc thứ tự theo quan hệ bao hàm), A có phần tử cực đại P0 Ta chứng minh đƣợc P0 ideal nguyên tố X a  P0 Vậy N ( X ) giao họ tất ideal nguyên tố X Giảng viên hướng dẫn: Ts Nguyễn Thị Kiều Nga 51 Nguyễn Thị Minh Toại – K37A Toán Khóa luận tốt nghiệp CHƢƠNG 3: SỰ PHÂN TÍCH NGUYÊN SƠ 3.1 Vành Noether 3.1.1 Định nghĩa Một vành giao hoán có đơn vị đƣợc gọi vành Noether ideal hữu hạn sinh, tức tồn môt tập sinh gồm hữu hạn phần tử 3.1.2 Ví dụ Vành số nguyên vành Noether ideal dạng n  n với n Vậy ideal có hữu hạn sinh 3.1.3 Định lý A vành giao hoán có đơn vị, khẳng định sau tương đương: (i) A vành Noether (ii) Mỗi tập khác rỗng ideal A tồn phần tử cưc đại (iii) Với I1  I   I k  I k 1  môt dãy tăng ideal A tồn n để I n  I n1  I n2  tức dãy tăng ideal A dừng Chứng minh: (i)  (ii) Gọi F Là tập khác rỗng ideal A Giả sử I S họ tùy ý ideal lồng F Khi I S ideal A Vì A Noether nên tồn a1, a2 , , at  I để I   a1, a2 , , at  A Vì I S họ ideal lồng nên tồn  để a1, a2 , , at  I ,  a1, a2 , , at  A  I Bởi I  I nên I  I ; I  F vừa ideal chứa tất ideal họ I S Theo bổ đề Zorn F tồn phần tử cực đại Giảng viên hướng dẫn: Ts Nguyễn Thị Kiều Nga 52 Nguyễn Thị Minh Toại – K37A Toán Khóa luận tốt nghiệp (ii)  (iii) Giả sử I1  I   I k  I k 1  dãy tăng ideal A Từ (ii) suy họ I i i1 tồn phần tử cực đại, ta giả sử I n Do I n  I n1  nên I n  I n1  I n2  (iii)  (i) Giả sử trái lại A không vành Noether, A tồn ideal I không hữu hạn sinh Lấy a1  I a1 A thực chứa I , tồn a2  I \ a1 A ta có a1 A  (a1, a2 ) A  I Lặp lại vô hạn lần với ý I hữu hạn sinh ta đƣợc dãy vô hạn ideal thực lồng nhau: I1  I   I k  I k 1  điều mâu thuẫn với (iii) Suy điều giả sử sai Vậy A vành Noether 3.1.4 Định lý sở Hilbert Nếu A vành Noether vành đa thức A[x] vành Noether Chứng minh: Gọi I ideal khác ideal 0 A[x] , ta cần I hữu hạn sinh Thật vậy, giả sử trái lại I không hữu hạn sinh Khi tồn dãy vô hạn đa thức I có bậc tăng dần, xuất phát từ đa thức f1 có bậc thấp I , cho: f j 1  I \ f1, f , , f j có bậc thấp tất đa thức thuộc vào tập I \ f1, f , , f j , với j Gọi a j hệ số hạng tử bậc cao f j Giảng viên hướng dẫn: Ts Nguyễn Thị Kiều Nga 53 Nguyễn Thị Minh Toại – K37A Toán Khóa luận tốt nghiệp Vì A vành Noether nên ideal J  a1, a2 , , a j , ideal hữu hạn sinh Do tồn số nguyên dƣơng n đủ lớn để J  a1, a2 , , an Bây giả sử deg fi  mi , i  1, n J n1  bx d  đa thức có bậc d Do b  J nên b  1a1  2a2   nan Dễ thấy rằng: g  f n1  1 f1x d m1   n f n x d mn  I \ f1, f , , f n có deg g  deg f n1 Điều mâu thuẫn với cách chọn f n1 Mâu thuẫn chứng tỏ I hữu hạn sinh Vậy A[x] vành Noether 3.1.5 Hệ quả: Các khẳng định sau đúng: i) Nếu A vành Noether vành đa thức n biến A[ x1, x2 , , xn ] vành Noether ii) Nếu K trường vành K[x1, x , , x n ] Vành Noether 3.2 Sự phân tích nguyên sơ phân tích nguyên sơ cực tiểu 3.2.1 Định nghĩa a) Cho R vành giao hoán, I ideal R , I  R Một phân tích nguyên sơ I biểu diễn I thành giao hữu hạn ideal nguyên sơ R Tức I  Q1  Q2   Qn , Qi  Pi , i  1, n với Qi - nguyên sơ, 1,n b) Một phân tích nguyên sơ I I  Q1  Q2   Qn với Qi  Pi , i  1, n đƣợc gọi phân tích nguyên sơ cực tiểu I điều kiện sau thỏa mãn: i) Pi ideal nguyên tố khác R , i  1, n Giảng viên hướng dẫn: Ts Nguyễn Thị Kiều Nga 54 Nguyễn Thị Minh Toại – K37A Toán Khóa luận tốt nghiệp n ii) j  1, n : i 1 i j Qi  Q j c) Ta nói I ideal phân tích đƣợc R I có phân tích Qi  Pi , i  1, n nguyên sơ Giả sử I  Q1  Q2   Qn , Khi tập gồm n phần tử P , P , , P  n đƣợc gọi tập ideal nguyên tố liên kết I , kí hiệu Ass I AssR I Các phần tử Ass I đƣợc gọi ideal nguyên tố liên kết d) Ví dụ +) Trong vành d  p1  p2 có phân tích nguyên sơ , ideal d   pn n n d   pi với pi số nguyên i i 1 tố, i  1, n +) Trong vành Noether ideal có phân tích nguyên sơ 3.2.2 Định lý Mọi ideal phân tích vành giao hoán R có phân tích nguyên sơ cực tiểu Chứng minh: Cho I ideal thực vành giao hoán I  n i 1 Qi với Qi  Pi , i  1, n phân tích nguyên sơ I Nếu tồn hai Pi nhau, giả sử Pj , Pk với  j, k  n, j  k Theo (2.3.2,c) ta kết hợp Q j , Qk phân tích nguyên sơ để thu đƣợc phân tích nguyên sơ khác I với n  phần tử Cứ tiếp tục nhƣ đến Pi khác i  1, m, m  n Khi I  m i 1 Qi với i  1, m, m  n Giảng viên hướng dẫn: Ts Nguyễn Thị Kiều Nga 55 Nguyễn Thị Minh Toại – K37A Toán Khóa luận tốt nghiệp Xét lần lƣợt từ Qi đến Qn , I  m i 1 Qi nghĩa Q1  m i 2 Qi ta loại bỏ Q1 , ngƣợc lại ta chuyển sang xét Q2 Cứ tiếp tục nhƣ đến hết Qm , ta có I  t i 1 Qi , t  m cho với j  1, t : m i 1 i j Qi  Q j Nhận xét: Cho I ideal phân tích đƣợc vành giao hoán R , I  n i 1 Qi  Pi , i  1, n I  n i 1 Q 'i với Qi với Qi'  Pi ' , i  1, n ' phân tích nguyên sơ cực tiểu I n  n ' Pi i 1  Pi 'i 1 n n Hay số phần tử xuất phân tích nguyên sơ cực tiểu I không phụ thuộc vào lựa chọn cách phân tích 3.2.3 Định lý phân tích nguyên sơ Cho I  n i 1 Qi với Qi  Pi , i  1, n I  n i 1 Qi'  Pi ' , i  1, n Qi' với   phân tích nguyên sơ cực tiểu I Khi với i, i  1, n mà Pi ideal nguyên tố cực tiểu I Ta có Qi  Qi' Nói cách khác, phân tích nguyên sơ cực tiểu I , ideal nguyên sơ tương ứng với ideal nguyên tố độc lập I xác định I không phụ thuộc vào việc lựa chọn phân tích nguyên sơ cực tiểu Chứng minh: +) Nếu n  : Hiển nhiên +) Nếu n  : Cho Pi ideal nguyên tố cực tiểu I , tồn a  n j 1 j i Pj \ Pi Vì không, theo (2.3.2,d,(v)) tồn j : Pj  Pi với Giảng viên hướng dẫn: Ts Nguyễn Thị Kiều Nga 56 Nguyễn Thị Minh Toại – K37A Toán Khóa luận tốt nghiệp  j  n j  i Điều mâu thuẫn với giả thiết Pi ideal nguyên tố cực tiểu I Với j  1, n; j  i tồn h j  Cho t  cho a  Q j hj thỏa mãn t  Maxh1 , , hi 1 , hi 1 , , hn  a t  Pi  a t   n  Vì  I : a t    Q j : a t    j 1   n j 1 n i 1 Pi (Q j : a t )  Qi Nhƣ với số nguyên t đủ lớn  ta có  I : at   Qi ; i  1, n Tƣơng tự nhƣ ta có Qi'   I : at  với t đủ lớn   i  1, n   Vậy Qi  Qi' , i  1, n 3.3 Sự phân tích nguyên sơ vành Noether 3.3.1 Định lý Cho R vành giao hoán Noether Mọi ideal thực R biểu diễn dạng giao hữu hạn ideal bất khả quy R Chứng minh: Kí hiệu  tập ideal thực R mà phần tử  biểu diễn dƣới dạng giao hữu hạn ideal bất khả quy R Ta chứng minh    Thật vậy: Trƣớc hết chứng minh R vành giao hoán Noether tập khác rỗng ideal R chứa phần tử cực đại theo quan hệ bao hàm Giả sử tồn tập S tập mà phần tử ideal R phần tử cực đại Cho I1  S Do S phần tử cực đại nên tồn I  S : I1  I , tiếp tục nhƣ ta có dãy không dừng I1  I   I n  , n  1,2, Giảng viên hướng dẫn: Ts Nguyễn Thị Kiều Nga 57 Nguyễn Thị Minh Toại – K37A Toán Khóa luận tốt nghiệp Suy dãy tăng ideal R : I1  I   I n  , n  1,2, không dừng Điều trái với giả thiết R vành giao hoán Noether nên điều giả sử sai Vậy tập ideal R chứa phần tử cực đại theo quan hệ bao hàm Từ suy  có phần tử cực đại theo quan hệ bao hàm, giả sử I Khi I không ideal bất khả quy I  I  I , I khả quy I  Vì I ideal thực nên tồn I1 , I ideal R cho I  I1  I I  I1 , I  I ( I  ) Suy I1 , I ideal thực R I1 , I  I1 , I  nên I1 , I đƣợc biểu diễn dƣới dạng giao hữu hạn ideal bất khả quy Suy I  I1  I đƣợc biểu diễn nhƣ Điều mâu thuẫn với điều kiện I  hay điều giả sử sai Vậy    3.3.2 Định lý Cho R vành giao hoán Noether I ideal bất khả quy R Khi I ideal nguyên sơ Chứng minh: Ta có I R (theo định nghĩa ideal nguyên sơ) Giả sử a, b  R : ab  I , b  I Khi ( I : a)  ( I : a )   ( I : )  dãy tăng ideal R Do R vành Noether nên tồn n  : ( I : a n )  (I : a n1 ), i  Ta chứng minh I   I  a n +) Rõ ràng I   I  a n +) Cho r   I  a n  I  b   I  b  (1)    I  b   g , h  I ; c, d  R cho r  g  ca n  h  db   ga  ca n1   dba Giảng viên hướng dẫn: Ts Nguyễn Thị Kiều Nga 58 Nguyễn Thị Minh Toại – K37A Toán Khóa luận tốt nghiệp Do ab, g , h  I nên ca n1   dab  ga  I suy c   I : a n1    I : a n  Do r  g  ca n  I   I  a n Từ (1), (2) suy I  an  I  b   I  I  b   I (2) Do I bất khả quy, I  I  b ,  b  I  nên I  I  a n suy a n  I Nhƣ ab  I , b  I tồn n để a n  I Vậy I ideal nguyên sơ R 3.3.3 Định lý Cho I ideal thực vành giao hoán Noether R I có phân tích nguyên sơ có phân tích nguyên sơ cực tiểu Chứng minh: Suy từ hai định lý (3.3.1) (3.3.2) Giảng viên hướng dẫn: Ts Nguyễn Thị Kiều Nga 59 Nguyễn Thị Minh Toại – K37A Toán Khóa luận tốt nghiệp KẾT LUẬN Ideal khái niệm quan trọng Đại số Trong khóa luận “ Ideal phân tích nguyên sơ ” em nghiên cứu nội dung sau Nghiên cứu số lớp ideal đặc biệt vành giao hoán: ideal cực đại, ideal nguyên tố, ideal nguyên sơ, ideal đối cực đại, ideal bất khả quy Các tính chất ideal đồng thời nghiên cứu phân tích nguyên sơ ideal Tuy nhiên thời gian nghiên cứu không nhiều vốn kiến thức hạn chế nên nhiều tính chất ideal chƣa đƣợc đề cập đến Sự phân tích nguyên sơ ideal chƣa đƣợc nghiên cứu sâu Mặc thân dù cố gắng song khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Kính mong nhận đƣợc góp ý thầy cô bạn sinh viên để khóa luận đƣợc hoàn thiện Một lần em xin cám ơn hƣớng dẫn, giúp đỡ tận tình thầy cô tổ Đại số, đặc biệt Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga để em hoàn thành tốt khóa luận Em xin chân thành cám ơn! Giảng viên hướng dẫn: Ts Nguyễn Thị Kiều Nga 60 Nguyễn Thị Minh Toại – K37A Toán Khóa luận tốt nghiệp TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Tự Cƣờng (2003), Giáo trình Đại số đại, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Nguyễn Hữu Việt Hƣng (1999), Đại số đại cương, Nhà xuất Giáo dục Dƣơng Quốc Việt (2006), Một số cấu trúc Đại số đại, Nhà suất Đại học Sƣ phạm Dƣơng Quốc Việt (Chủ biên), Trƣơng Thị Hồng Thanh (2014), Cơ sở Đại số đại, Nhà suất Đại học Sƣ phạm Hoàng Xuân Sính (1998), Đại số đại cương, Nhà suất Giáo dục R Y Sharp (1990), Steps in commutative Algebra, Cambridge University press Serge Larg (1974), Đại số- phần I, II, III, dịch tiếng việt, Nhà suất đại học trung cấp chuyên nghiệp Giảng viên hướng dẫn: Ts Nguyễn Thị Kiều Nga 61 [...]... mãn J  I Khi đó J là ideal nguyên tố của R nếu và chỉ nếu ideal J / I là ideal nguyên tố của vành thương R / I Chứng minh: J là ideal nguyên tố của R khi và chỉ khi R R Suy ra vành) Mà R Vậy J J I I J R I J J là miền nguyên (theo hệ quả của định lý cơ bản của đồng cấu cũng là miền nguyên nên là ideal nguyên tố của R R I J cũng là miền nguyên I I (iii) Cho I là ideal của vành giao hoán R Kí hiệu... y  Rad ( I ) m Vậy Rad ( I ) là ideal nguyên tố d) Chú ý +) Cho A là ideal nguyên sơ của vành giao hoán R , khi đó P  A là ideal nguyên tố của R Ta nói A là P - nguyên sơ +) Ngoài ra, P là ideal nguyên tố nhỏ nhất của R chứa A từ đó ta có P là ideal nguyên tố cực tiểu duy nhất của A Chứng minh: A là ideal nguyên sơ nên 1 A  1 A  P, suy ra P là tập con thực sự của R Với mọi ab  A tồn tại n... là vành, I  A, I   Các điều kiện sau tương đương: i) I là ideal của A ii) Với mọi a, b  I thì a  b  I và x  A thì ax  I , xa  I c) Ví dụ: Cho vành A +) Vành A luôn có các ideal tầm thƣờng là ideal 0 và A +) Tập hợp m gồm các số nguyên là bội của một số nguyên m cho trƣớc là một ideal của vành các số nguyên d) Nhận xét i) Trong một vành giao hoán thì mọi ideal trái cũng là ideal phải và. ..  1, n b) Ideal chính X là một vành giao hoán, ideal chính của X là ideal sinh bởi tập gồm một phần tử của X Với a  X , B  a  ax | x  X   aX  Xa c) Ví dụ Vành có: +) 2,3,5  2 x  3 y  5z | x, y, z  Z  +) 3  3x | x  Z   3 +) X là trƣờng thì mọi ideal của X là ideal chính 2.3 Ideal cực đại, ideal nguyên tố, ideal nguyên sơ 2.3.1 Ideal cực đại a) Định nghĩa Ideal I của vành giao hoán... Ideal nguyên sơ a) Định nghĩa Cho A là ideal của vành giao hoán R , A gọi là ideal nguyên sơ của R nếu A thỏa mãn 2 điều kiện sau: i) A  R ii) Nếu xy  A, x  A thì tồn tại n để y n  A b) Ví dụ Giảng viên hướng dẫn: Ts Nguyễn Thị Kiều Nga 31 Nguyễn Thị Minh Toại – K37A Toán Khóa luận tốt nghiệp Trên vành giao hoán là ideal nguyên sơ của có p với p là số nguyên tố c) Định lý Cho I là ideal của vành... +) f là đơn cấu nếu và chỉ nếu f là đồng cấu vành và f là đơn ánh +) f là toàn cấu nếu và chỉ nếu f là đồng cấu vành và f là toàn ánh +) f là đẳng cấu nếu và chỉ nếu f là đồng cấu vành và f là song ánh +) Cho hai vành X , Y ta nói X đẳng cấu với Y nếu tồn tại một đẳng cấu vành f : X  Y Nếu vành X đẳng cấu với vành Y ta kí hiệu X  Y 1.4.2 Ví dụ +) Giả sử A là một vành con của vành X Đơn ánh chính... hoặc b  P Tập hợp số nguyên tố vô hạn nên có vô số ideal nguyên tố +) Trong một miền nguyên thì ideal không 0 là một ideal nguyên tố vì nếu ab  0 thì a  0 hoặc b  0 c) Phổ nguyên tố c1) Định nghĩa Cho R là vành giao hoán Phổ nguyên tố (hay gọi tắt là phổ) của R là tập tất cả các ideal nguyên tố của R Kí hiệu: Spec( R) c2) Ví dụ +) - vành giao hoán Spec  0, n , n là số nguyên tố } +) R là... Khóa luận tốt nghiệp +) I gọi là ideal trái của A nếu với mọi x  A, với mọi a  I , thì xa  I +) I gọi là ideal phải của A nếu với mọi x  A, với mọi a  I , thì ax  I +) I gọi là ideal của A nếu I vừa là ideal trái vừa là ideal phải của A Nhận xét +) Nếu A là vành không giao hoán thì ideal trái và ideal phải là phân biệt +) Nếu A là vành giao hoán thì ideal trái và ideal phải là trùng nhau b) Điều...  J và x  A Ta có a  b  (a1  a2 )  (b1  b2 )  I  J , ax  a1x  b1x  I  J , xa  xa1  xb1  I  J Vậy I  J là một ideal của A c) Ví dụ là vành giao hoán, I  2 và J  4 là hai ideal của vành Khi đó I  J  2 2.1.2 Tích các ideal a) Định nghĩa Nếu I , J là hai ideal của vành A thì tập n IJ  { aibi | n  1, ai  I , bi  J với mọi i  1, , n} 1 là một ideal của A Và đƣợc gọi là tích. .. nhất một ideal cực đại là ideal 0 vì trƣờng chỉ có hai ideal là 0 và K b) Định lý b1) Ideal I của vành A là một ideal cực đại nếu và chỉ nếu vành thương A  A là một trường I Chứng minh: Điều kiên cần: Giả sử I là ideal cực đại của A Ta chứng minh A / I là trƣờng Thật vậy, do A là vành giao hoán, có đơn vị nên A / I là vành giao hoán, có đơn vị Vậy A / I có ít nhất hai phần tử là 0  I và 1  I ... 2.6 Ideal bất khả quy 44 2.7 Một số tập ideal 44 CHƢƠNG 3: SỰ PHÂN TÍCH NGUYÊN SƠ 52 3.1 Vành Noether 52 3.2 Sự phân tích nguyên sơ phân tích nguyên sơ cực... Tức ideal nguyên sơ chƣa ideal nguyên tố ideal nguyên tố chƣa ideal cực đại A  n Nếu n số nguyên tố Chẳng hạn ta có A ideal n ideal nguyên tố +) Có 32 ideal nguyên sơ nhƣng không ideal nguyên. .. toán ideal 15 2.2 Ideal hữu hạn sinh 19 2.3 Ideal cực đại, ideal nguyên tố, ideal nguyên sơ 20 2.4 Mối liên hệ ideal cực đại, ideal nguyên tố, ideal nguyên sơ 35 2.5 Ideal