3.3.1. Định lý
Cho R là vành giao hoán Noether. Mọi ideal thực sự của R có thể biểu diễn dưới dạng giao của hữu hạn các ideal bất khả quy của R.
Chứng minh:
Kí hiệu là tập các ideal thực sự của R mà mỗi phần tử của đều không thể biểu diễn dƣới dạng giao hữu hạn các ideal bất khả quy của R. Ta chứng minh . Thật vậy:
Trƣớc hết chứng minh R là vành giao hoán Noether thì mọi tập khác rỗng các ideal của R đều chứa ít nhất một phần tử cực đại theo quan hệ bao hàm.
Giả sử tồn tại tập S là tập mà các phần tử là các ideal của R không có phần tử cực đại.
Cho I1S. Do S không có phần tử cực đại nên tồn tại I2S I: 1I2, tiếp tục nhƣ vậy ta có dãy không dừng I1 I2 ... In ...,n1,2,...
Suy ra dãy tăng các ideal của R: I1 I2 ... In ...,n1,2,... không dừng. Điều này trái với giả thiết R là vành giao hoán Noether nên điều giả sử là sai.
Vậy mọi tập các ideal của R đều chứa ít nhất một phần tử cực đại theo quan hệ bao hàm. Từ đó suy ra có phần tử cực đại theo quan hệ bao hàm, giả sử là I. Khi đó I không là ideal bất khả quy vì I I I, nếu I khả quy thì I.
Vì I là ideal thực sự nên tồn tại I I1, 2 là 2 ideal của R sao cho
1 2
I I I và I I I1, I2 ( do I ). Suy ra I I1, 2 cũng là các ideal thực sự của R và I I1, 2. I I1, 2 nên I I1, 2 đƣợc biểu diễn dƣới dạng giao của hữu hạn các ideal bất khả quy.
Suy ra I I1 I2 cũng đƣợc biểu diễn nhƣ vậy. Điều này mâu thuẫn với điều kiện I hay điều giả sử là sai. Vậy .
3.3.2. Định lý
Cho R là vành giao hoán Noether và I là ideal bất khả quy của R. Khi đó I là ideal nguyên sơ.
Chứng minh:
Ta có I R (theo định nghĩa ideal nguyên sơ). Giả sử ,a bR ab: I b, I . Khi đó 2
( : ) ( : ) ... ( : i) ...
I a I a I a là dãy tăng các ideal của R.
Do R là vành Noether nên tồn tại 1
: ( : n) ( : n ), n I a I a i Ta chứng minh n I I a I b . +) Rõ ràng n I I a I b (1)
+) Cho r I an I b g h, I c d; , R sao cho
1
n n
Do ab g h, , I nên can1 hadabgaI suy ra 1 : n : n c I a I a . Do đó n n r g ca I I a I b I. (2) Từ (1), (2) suy ra n I a I b I. Do I bất khả quy, , I I b bI nên n I I a suy ra n a I. Nhƣ vậy nếu abI b, I thì luôn tồn tại n để n
a I. Vậy I là ideal nguyên sơ của R.
3.3.3. Định lý
Cho I là ideal thực sự của vành giao hoán Noether R thì I có sự phân tích nguyên sơ và cũng có sự phân tích nguyên sơ cực tiểu.
Chứng minh:
KẾT LUẬN
Ideal là một khái niệm cơ bản và quan trọng của Đại số. Trong khóa luận “ Ideal và sự phân tích nguyên sơ ” em đã nghiên cứu những nội dung sau. Nghiên cứu một số lớp ideal đặc biệt trên vành giao hoán: ideal cực đại, ideal nguyên tố, ideal nguyên sơ, ideal đối cực đại, ideal bất khả quy. Các tính chất của các ideal này và đồng thời cũng nghiên cứu sự phân tích nguyên sơ của các ideal.
Tuy nhiên do thời gian nghiên cứu không nhiều và vốn kiến thức còn hạn chế nên còn nhiều tính chất của các ideal này chƣa đƣợc đề cập đến. Sự phân tích nguyên sơ của các ideal cũng chƣa đƣợc nghiên cứu sâu. Mặc bản thân dù đã rất cố gắng song khóa luận vẫn không tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong nhận đƣợc sự góp ý của thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận đƣợc hoàn thiện hơn.
Một lần nữa em xin cám ơn sự hƣớng dẫn, giúp đỡ tận tình của các thầy cô trong tổ Đại số, đặc biệt là của Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga để em hoàn thành tốt khóa luận này.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Nguyễn Tự Cƣờng (2003), Giáo trình Đại số hiện đại, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
2. Nguyễn Hữu Việt Hƣng (1999), Đại số đại cương, Nhà xuất bản Giáo dục.
3. Dƣơng Quốc Việt (2006), Một số cấu trúc cơ bản của Đại số hiện đại, Nhà suất bản Đại học Sƣ phạm.
4. Dƣơng Quốc Việt (Chủ biên), Trƣơng Thị Hồng Thanh (2014), Cơ sở Đại số hiện đại, Nhà suất bản Đại học Sƣ phạm.
5. Hoàng Xuân Sính (1998), Đại số đại cương, Nhà suất bản Giáo dục. 6. R. Y. Sharp (1990), Steps in commutative Algebra, Cambridge University press.
7. Serge Larg (1974), Đại số- phần I, II, III, bản dịch tiếng việt, Nhà suất bản đại học và trung cấp chuyên nghiệp.