Môđun noether và sự phân tích nguyên sơ

-1- BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH HỒ VĂN LỘC MƠĐUN NOETHER VÀ SỰ PHÂN TÍCH NGUYấN S Chuyên ngành: I S V Lí THUYT S Mó s: 60.46.05 luận văn thạc sĩ toán học Ngi hƣớng dẫn khoa học TS NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN Nghệ An, 12 2011 -2- MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Một số tính chất vành môđun Noether 1.1 Định nghĩa tính chất 1.2 Địa phƣơng hóa mơđun Noether 14 1.3 Một số tính chất iđêan vành Noether 15 1.4 Tính Noether vành đa thức 18 1.5 Mối liên hệ tính Noether, Artin vành mơđun 23 Sự phân tích nguyên sơ môđun Noether 29 2.1 Môđun nguyên sơ phân tích nguyên sơ 29 2.2 Iđêan nguyên tố liên kết 38 Kết luận 50 Tài liệu tham khảo 51 -3- MỞ ĐẦU Nhằm mục đích chứng minh Định lí lớn Fermat, Ernst Kummer xem xét phƣơng trình Fermat lớp vành thực chứa vành số nguyên Trên lớp vành này, ông gặp phải tƣợng khơng phân tích phần tử thành nhân tử bất khả quy Đến khoảng kỷ XIX, Carl Friedrich Gauss Dirichle phân tích [] (với  nguyên thủy phần tử không khả nghịch vành bậc n đơn vị) thành nhân tử bất khả quy nói chung không Nhƣ vậy, Định lý Số học khơng cịn nhiều lớp vành số đại số Để khắc phục khó khăn đó, năm 1879, Richard Dedekin đƣa khái niệm iđêan, ông Heinrich Weber sử dụng khái niệm iđêan vành đa thức để nghiên cứu đƣờng cong đại số mở đầu cho Hình học Đại số đại Đặc biệt vào năm 1905, báo có tên “ Zur theorie der moduln und ideale” đƣợc cơng bố tạp chí Annalen, Emanuel Lasker đƣa khái niệm iđêan nguyên sơ chứng minh tồn phân tích nguyên sơ vành đa thức Đến năm 1921, báo “ Idealtheorie in ring bereichen”, Emmy Noether nghiên cứu môđun M thỏa mãn tính chất: dãy tăng mơđun M dừng (M mơđun Noether, nhƣ tên gọi sau này) chứng minh tồn phân tích ngun sơ mơđun N M; tức N biểu diễn đƣợc dƣới dạng N = Q1 Q2 Qr Qi mơđun pi-ngun sơ, i = 1, , r Định lý đƣợc biết đến với tên gọi Định lý Lasker - Noether, tổng quát hóa Định lý Số học Ý nghĩa hình học Định lý phân tích nguyên sơ cho iđêan là: Mỗi tập đại số afin phân tích thành hợp số hữu hạn tập đại số afin bất khả quy -4Mục đích Luận văn dựa vào tài liệu tham khảo để trình bày lại khái niệm số tính chất mơđun Noether vành giao hoán; đặc biệt tồn phân tích ngun sơ Với mục đích đó, Luận văn đƣợc chia làm chƣơng Chƣơng 1: Một số tính chất vành mơđun Noether Trong chƣơng chúng tơi trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất vành mơđun Noether, đặc biệt mối liên hệ với vành mơđun Artin Chƣơng 2: Sự phân tích nguyên sơ môđun Noether Trong chƣơng trình bày phân tích ngun sơ mơđun Noether iđêan vành Noether, iđêan nguyên tố liên kết mơđun Noether Luận văn đƣợc hồn thành trƣờng Đại học Vinh dƣới hƣớng dẫn tận tình, chu đáo, nghiêm khắc cô giáo, TS Nguyễn Thị Hồng Loan Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Tác giả trân trọng cảm ơn thầy cô giáo Bộ môn Đại số, Khoa Toán học Khoa Đào tạo Sau đại học thuộc Trƣờng Đại học Vinh tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ cho tác giả hoàn thành Luận văn nhƣ nhiệm vụ học tập nghiên cứu chƣơng trình đào tạo sau đại học Tác giả xin đƣợc cám ơn Trƣờng Đại học Sài Gòn, Ban giám hiệu Trƣờng THPT Nguyễn Hiền, đồng nghiệp, bạn học viên Cao học Khóa 17 gia đình tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả q trình học tập Mặc dù có nhiều cố gắng, nhƣng Luận văn không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Tác giả mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp thầy giáo bạn đọc để Luận văn ngày hoàn thiện Nghệ An, tháng 12 năm 2011 Tác giả -5- CHƢƠNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA VÀNH VÀ MƠĐUN NOETHER Lớp vành (tƣơng ứng môđun) Noether lớp vành (tƣơng ứng mơđun) quan trọng, mang đậm dấu ấn Hình học Số học Trong chƣơng này, chúng tơi trình bày định nghĩa số tính chất môđun vành Noether, số liên hệ tính Noether Artin vành mơđun Trong toàn Luận văn, vành đƣợc nhắc đến vành giao hốn có đơn vị ≠ 1.1 Định nghĩa tính chất 1.1.1 Định nghĩa (i) Cho R vành M R-môđun M đƣợc gọi R-môđun Noether dãy tăng R-môđun M: = M0  M1  M2  dừng, tức tồn số tự nhiên k cho Mn = Mk, n  k (ii) Cho R vành, R đƣợc gọi vành Noether R Rmôđun Noether 1.1.2 Định lý Cho R vành M R-môđun Khi điều kiện sau tương đương: (i) M R-môđun Noether; (ii) Mọi tập khác rỗng R-mơđun M có phần tử cực đại theo quan hệ bao hàm; (iii) Mọi R-môđun M hữu hạn sinh; (iv) Với họ mơđun {Mi}iI M ln tìm tập hữu hạn J I cho M  M iI i iJ j -6Chứng minh (i)  (ii) Chúng ta chứng minh phản chứng Giả sử ngƣợc lại, tồn tập hợp  ≠  gồm mơđun M mà khơng có phần tử cực đại Chọn M1   phần tử tùy ý,  khơng có phần tử cực đại nên tồn M2   M1  M2 Tiếp tục trình với ý  khơng có phần tử cực đại ta chọn đƣợc dãy tăng không dừng môđun M M1  M2  Mn  … Điều trái với giả thiết M R-môđun Noether Vậy ta có (ii) (ii)  (iii) Chúng ta cần R-môđun N tùy ý M hữu hạn sinh Chúng ta chứng minh phản chứng, giả sử tồn môđun N M vô hạn sinh Xét  tập hợp tất R-mơđun hữu hạn sinh N Vì   nên  ≠  Theo giả thiết, tồn  phần tử cực đại N’ Vì N’ hữu hạn sinh, nên tồn x  N \ N’ Từ suy R-môđun hữu hạn sinh N’ + xR   Điều trái với tính cực đại N’  N’ N’ + xR Vậy N hữu hạn sinh Vậy ta có (iii) (iii)  (iv) Đặt N   iI M i Rõ ràng N R-môđun M Theo giả thiết, N hữu hạn sinh, chẳng hạn N = x1R +…+ xnR, xi N, i Khi tồn phần tử i1, …, in I cho xj  Mij, j Từ suy N   j 1 M i j Vậy ta có (iv) n (iv)  (i) Xét R-môđun N =  n 1 Mn theo giả thiết tồn số tự  nhiên k cho N =  n1 Mn tức Mn = Mk, n  k.Vậy M R-môđun Noether k Vậy ta có (i)  1.1.3 Hệ Cho R vành Khi điều kiện sau tương đương: (i) Vành R vành Noether; (ii) Mọi dãy tăng iđêan R: -7a1  a2  …  an  … dừng, tức tồn số tự nhiên k cho an = ak, n  k; (iii) Mọi tập khác rỗng iđêan R có phần tử cực đại theo quan hệ bao hàm; (iv) Mọi iđêan R hữu hạn sinh Chứng minh Vì tập khác rỗng vành R R-môđun R-mơđun R iđêan R Do từ Định lý 1.1.2, Hệ đƣợc chứng minh  1.1.4 Ví dụ (i) Cho K trƣờng V không gian véctơ K Khi V khơng gian vectơ hữu hạn chiều K V K-môđun Noether Chứng minh () Cho V khơng gian vectơ n chiều trƣờng K Khi V K-môđun Lấy L0  L1  L2  …(1) dãy tăng K-môđun V Suy Li không gian V, vdim Li  n với i = 1, 2,…và vdimL0 < vdimL1 < vdimL2 (2) Khi đó, dãy (2) phải dừng n hữu hạn Do dãy (1) dừng suy V K-mơđun Noether () Chúng ta chứng minh phản chứng Giả sử ngƣợc lại, V không gian vectơ vô hạn chiều chứng minh V không Kmôđun Noether Thật vậy, tồn dãy vô hạn  wi i phần tử V, với số tự nhiên n họ  wi i 1 độc lập tuyến tính Với n n số tự nhiên n, đặt Ln   Kwi suy Ln hữu hạn chiều vdimLn = n Từ i 1 ta có dãy L1  L2  … Ln  Ln+1  … -8không dừng, suy V không K-môđun Noether điều trái giả thiết Vậy V không gian vectơ hữu hạn chiều  (ii) Mỗi vành vành Noether (iii) Vành số nguyên m vành Noether iđêan có dạng = iđêan sinh m (iv) Cho K trƣờng Khi K vành Noether K có iđêan = K = hữu hạn sinh (v) Cho K trƣờng, vành đa thức vô hạn biến R = K[x1, x2,…, xn, ] vành Noether, tồn dãy tăng iđêan sau R (x1)  (x1, x2) … (x1, x2 ,…, xn)  … không dừng 1.1.5 Nhận xét Vành vành Noether khơng phải vành Noether Thật K trƣờng nên R = K[x1, x2, …, xn, ] miền nguyên R có trƣờng thƣơng F coi R vành F Vì F trƣờng nên F vành Noether nhƣng vành R (theo Ví dụ 1.1.4) không vành Noether 1.1.6 Hệ Cho R vành dãy khớp ngắn R-môđun  M’ M  M’’ Khi M R-môđun Noether M’ M’’ R-mơđun Noether Chứng minh Khơng tính tổng qt ta giả thiết M’ mơđun M M” = M / M’ () Giả sử M R-mơđun Noether Vì M’ mơđun M nên môđun M’ mơđun M Do từ định nghĩa suy M’ R-môđun Noether Mỗi môđun M” = M / M’ có dạng K / M’ với K môđun M chứa M’ Giả sử Q0  Q1  Q2  … (1) dãy tăng tùy ý môđun M” Với i, tồn môđun Ki M, Ki  M’ cho Qi = Ki / M’ (1)  K0 / M’  K1 / M’  K2 / M’  … -9Ta thu đƣợc dãy tăng môđun M K0  K1  K2  … (2) Vì M R-mơđun Noether nên dãy (2) dừng, tức tồn số tự nhiên n cho Kt = Kn, t  n Do Kt / M’ = Kn / M’, t  n nên Qt = Qn, t  n suy (1) dừng Vậy M” R-môđun Noether () Giả sử M’ M” R-môđun Noether Giả sử M0  M1  M2  … (3) dãy tùy ý môđun M Ta nhận đƣợc dãy tăng sau môđun M’ M’  M1 M0 M’  M2 M’ … (4) nhận đƣợc dãy tăng sau môđun M”  M  M ' M'   M1  M ' M'   M  M ' M'  (5) Theo định lý đồng cấu dãy (5) đƣợc viết lại M0 M0 M '  M1  M1 M '  M2 M2 M '  (6) Vì M’ R-mơđun Noether nên dãy (4) dừng, tức tồn số tự nhiên n, cho Mk M’, k  n M’ = Mn Vì M” R-mơđun Noether nên dãy (5) dừng Do dãy (6) dừng nên dãy (3) dừng Vậy M R-môđun Noether 1.1.7 Hệ Cho R vành, M =  n M tổng trực tiếp họ hữu i 1 i hạn R-mơđun Khi M R-môđun Noether M1, M2, …, Mn R-môđun Noether Chứng minh Bằng phƣơng pháp quy nạp ta cần chứng minh hệ với n = tức chứng minh M1 M2 R-môđun Noether M1  M2 R-mơđun Noether Thật vậy, ta có dãy khớp ngắn  M1  M1  M2  M2  -10Do theo Hệ 1.1.6 suy điều cần chứng minh  1.1.8 Hệ Cho R vành Khi đó: (i) Mơđun mơđun thương R-môđun Noether M Rmôđun Noether (ii) Ảnh đồng cấu R-môđun Noether R-môđun Noether Chứng minh (i) Cho M R-môđun Noether, M’ R-mơđun M Khi dãy  M’  M  M / M’  dãy khớp ngắn Theo Hệ 1.1.6 có M’ M / M’ Rmôđun Noether (ii) Giả sử f : M  N đồng cấu R-môđun Ảnh đồng cấu f Imf = f(M)  M / Kerf Do theo (i) M R-môđun Noether nên M / Kerf R-môđun Noether Vậy Imf R-môđun Noether  Từ hệ ta có hệ sau 1.1.9 Hệ Cho R vành Noether, S vành f : R  S toàn cấu vành Khi S vành Noether 1.1.10 Mệnh đề Giả sử  tự đồng cấu vành R Khi đó: (i) Nếu R vành Noether tồn số tự nhiên n0 cho n  n0, Im  n  Ker  n   (ii) Nếu R vành Noether  toàn cấu  đẳng cấu Chứng minh (i) Ta có dãy tăng iđêan R Ker    Ker    Ker  n   Do R vành Noether nên tồn số tự nhiên n0 cho n  n0 Ker    Ker   Lấy x    Im   Ker   , ta có y  M với x =  n(y)  2n(y) =  n(x) = Do y  Ker    Ker   Suy x =  n(y) = Vậy Im   Ker    Ker  n0  Ker  n  Vậy n  n0, ta có n 2n n 2n n n n n -38là phân tích nguyên sơ iđêan a Chú ý phân tích khơng thu gọn Đặt q1’= q2 q2 = q3 = (x2, x3) q3 = (x22, x34, x2x3) Ta có q1 ' = (x2, x3) Khi a = q1 q 1’ q4 phân tích thu gọn a 2.1.22 Định lý Nếu N môđun thực R-môđun Noether M N có phân tích ngun sơ, có phân tích ngun sơ thu gọn Chứng minh Trƣớc hết ta chứng minh N biểu diễn đƣợc dƣới dạng giao hữu hạn môđun bất khả quy M Bằng phản chứng, ta giả sử trái lại N khơng thể phân tích đƣợc dƣới dạng giao hữu hạn môđun bất khả quy M gọi  tập tất mơđun M có tính chất Do N  , nên  ≠  M môđun Noether nên tồn phần tử cực đại N*   Vì N*   nên N* khả quy có biểu diễn N = Q1 Q2 với Q1 Q2 môđun thật chứa N* Nhớ N* cực đại k  nên Q1 Q2 nằm ngồi  Do Q1= h Q’j , Q2 = j 1 môđun bất khả quy, N* = h Q’j với Q’j j  k 1 Q’j, ta gặp phải mâu thuẫn j 1 Vậy N biểu diễn đƣợc dƣới dạng giao hữu hạn môđun bất khả quy M Bởi Bổ đề 2.1.16 ta nhận đƣợc chứng minh  Từ định lý ta có hệ sau 2.1.23 Hệ Nếu a iđêan thực vành Noether R a có phân tích ngun sơ, có phân tích ngun sơ thu gọn 2.1.24 Chú ý Phân tích nguyên sơ mơđun iđêan nói chung khơng Thật vậy, vành đa thức R = K[x1, x2] với K trƣờng, ta có q1 = (x1), q2 = (x1, x2), q2’ = (x12, x2) iđêan nguyên sơ Khi iđêan a = (x12, x1x2) có hai cách phân tích ngun sơ -39q22 = q1 a = q1 q2’ 2.2 Iđêan nguyên tố liên kết Để tìm hiểu yếu tố bất biến phân tích nguyên sơ, ngƣời ta cần biết đến lớp iđêan nguyên tố quan trọng đƣợc định nghĩa nhƣ sau 2.2.1 Định nghĩa Cho M R-môđun, iđêan nguyên tố p R đƣợc gọi iđêan nguyên tố liên kết M, tồn phần tử x  M để p = :R x = AnnR(x) Tập tất iđêan nguyên tố liên kết M ký hiệu AssR(M), Ass(M) nhƣ không cần thiết nhắc đến R Nhƣ AssR(M) = {p  SpecR   x  M, p = Ann(x)} 2.2.2 Nhận xét Phần tử x  M cho (0 : x) iđêan nguyên tố, x  2.2.3 Mệnh đề Iđêan nguyên tố p iđêan nguyên tố liên kết Rmôđun M tồn đơn cấu R-môđun từ R / p tới M Chứng minh () Giả sử p = Ann(x) với x  M, đồng cấu h : R  M a ax có Ker h = p Vì theo định lý đồng cấu mơđun, h cảm sinh R-đơn cấu từ R / p vào M () Giả sử h : R / p  M đơn cấu Đặt x = h(1 + p)  M, p  Ann(x) Ngƣợc lại, với a  Ann(x), ax = 0, h(a + p) = = h(p) Bởi h đơn cấu nên a  p, hay p  Ann(x) Vậy p = Ann(x)  Ass(M). 2.2.4 Nhận xét (i) Khi p = Ann(x) iđêan nguyên tố liên kết M, -40với ký hiệu nhƣ chứng minh Mệnh đề 2.2.3, ta có Im h = Rx, R / p  Rx (ii) Iđêan nguyên tố p iđêan nguyên tố liên kết M tồn N môđun M cho N  R / p 2.2.5 Hệ Nếu N mơđun R-mơđun M Ass(N)  Ass(M) Chứng minh Suy trực tiếp từ Định nghĩa 2.2.1  2.2.6 Mệnh đề Cho M R-mơđun Khi đó: (i) Nếu M = Ass(M) =  (ii) Nếu M ≠ R vành Noether Ass(M) ≠  (iii) Nếu p iđêan nguyên tố vành R Ass(R / p) = {p} Chứng minh (i) Hiển nhiên (ii) Đặt  = {Ann(x) / x  M, x ≠ 0} Do R vành Noether  ≠  nên tồn phần tử cực đại p = Ann(x0)   Rõ ràng p ≠ R Giả sử ab  p nhƣng a  p Khi ta có ax0 ≠ b(ax0) = abx0 = Điều dẫn đến Ann(ax0)   b  Ann(ax0)  Ann(x0) Do tính cực đại p , ta đƣợc p = Ann(x0) = Ann(ax0)  b Vậy p iđêan nguyên tố liên kết Do p  Ass(M) (iii) Ánh xạ đồng R / p đơn cấu nên p  Ass(R / p), Mệnh đề 2.2.3 Giả sử q  AssR(R / p), q = Ann(a + p) với a  R \ p Rõ ràng q  p Từ suy s  q a  p as  p Bởi p nguyên tố nên s  p Do q = p  -412.2.7 Mệnh đề Cho M R-môđun Đặt Z(M) = {a R \ x  M, x ≠ 0, ax = 0} tập tất ước M Khi Z(M)  p pAss(M) Hơn nữa, R vành Noether bao hàm thức trở thành đẳng thức Chứng minh Rõ ràng Z(M)  p Ta R vành Noether pAss(M) xảy bao hàm thức ngƣợc lại Thật vậy, a  Z(M) tồn x  M, x ≠ 0, để ax = Bởi Rx ≠ môđun vành Noether R nên theo Mệnh đề 2.2.6, tồn iđêan nguyên tố liên kết p = Ann(bx)  Ass(Rx)  Ass(M) Khi abx = nên a  p, a  p  p Vậy Z(M) = pAss(M) pAss(M) Định lý sau coi kết phân giải môđun hữu hạn sinh vành Noether 2.2.8 Định lý Cho M môđun khác 0, hữu hạn sinh vành Noether R tồn dãy môđun = M0  M1  …  Mn−1  Mn = M họ iđêan nguyên tố p1,…, pn R cho Mi M i 1  R p i với i = 1, …, n, đồng thời Ass(M)  {p1,…, pn} Chứng minh Ta xây dựng dãy môđun M nhƣ sau: trƣớc hết lấy M0 = Bởi M ≠ nên theo Mệnh đề 2.2.6, tồn phần tử p1  Ass(M) Với x1  M cho p1 = Ann(x1), ta đặt M1 = Rx1  R / p1 Nếu M1 ≠ M lại tìm đƣợc x2 = x2 + M1  M / M1 cho Ann  x2  = p2  Ass(M / M1) Khi -42đó lấy M2 = M1 + Rx2 , ta có M2 / M1 = R x2  R / p2 Quá trình dừng, M mơđun Noether, ta xây dựng đƣợc dãy môđun M = M0  M1  …  Mn−1  Mn = M thỏa mãn Mi / Mi−1  R / pi với pi  SpecR, i = 1,…, n Nhớ lại với j =1, …, n, ta có Ass(Mj )  Ass(Mj−1) Ass(R / pj) Ass(Mj / Mj−1) = Ass(Mj−1) = Ass(Mj−1) {pj} Từ suy Ass(M)  {p1, …, pn} Kết dƣới cho ta biết mối quan hệ iđêan nguyên tố liên kết với iđêan nguyên tố xuất phân tích ngun sơ thu gọn mơđun khơng 2.2.9 Định lý Cho M R-môđun khác 0, hữu hạn sinh vành r Noether R Khi = Qi phân tích nguyên sơ thu gọn i1 môđun 0, với Qi môđun pi-nguyên sơ (1  i  r) Ass(M) = {p1, …, pr} Chứng minh Giả sử p iđêan nguyên tố liên kết M Khi tồn phẩn tử khác khơng x  M cho p = Ann(x) Vì x ≠ nên cách đánh số lại cần thiết, ta tìm đƣợc  j  r cho x  j i1 Qi x  n i Q Do R vành Noether, từ p = r (Q ) ta suy tồn n  để p M i i M i i i i  j 1 r  Qi Lúc ( j n pi)x i1 i r Qi = Vì i1 n p i  p Điều dẫn đến i1 i j tồn pi  p với  i  j Bây p ≠ pi, tồn a  p \ pi Khi đồng cấu nhân phần tử a cho M / Qi -43- a : M / Qi  M / Qi không đơn cấu, ax = mà x  Qi Nhƣng a không lũy linh, a  pi, mâu thuẫn Vậy p = pi  {p1, …, pr} Ass(M)  {p1, …, pr} Tiếp tục ta cần chứng minh {p1, …, pr}  Ass(M) Chẳng hạn, ta p1  Ass(M) Do = Qi phân tích thu gọn nên tồn x  i1 r  r  Q \ i 2 i Q1 Lại Q1 môđun p1-nguyên sơ, nên tồn số tự nhiên n để p1n x  n1 Q1 pn1 x  Q1 Lấy y  p1 x \ Q1, ta chứng minh p1 = Ann(y) Rõ ràng p1  Ann(y) Ngƣợc lại, với a  Ann(y) ay =  Q1 Do y  Q1 nên a  rM(Q1) = p1 Vậy Ann(y)  p1, p1 = Ann(y)  Ass(M)  Nhƣ vậy, iđêan nguyên tố tƣơng ứng với phân tích nguyên sơ thu gọn môđun M không phụ thuộc vào phân tích thu gọn Để nhận đƣợc bất biến tƣơng tự mơđun N M, ta cần thay M môđun thƣơng M / N, nhƣ định lý dƣới 2.2.10 Định lý - Định nghĩa (Định lý tính nhất) Cho M môđun hữu hạn sinh vành Noether R Giả sử môđun N M có r phân tích ngun sơ thu gọn N = Qi, Qi mơđun i1 pi-nguyên sơ với i = 1,…, r Khi đó: (i) Tập hợp {p1, p2,…, pr} phụ thuộc vào N mà khơng phụ thuộc vào phân tích ngun sơ thu gọn N Hơn nữa, Ass(M / N) = {p1, p2,…, pr} gọi tập iđêan nguyên tố liên kết với N (ii) Trong phân tích nguyên sơ thu gọn trên, iđêan nguyên tố pi cực tiểu theo quan hệ bao hàm Ass(M / N) pi gọi iđêan -44nguyên tố cô lập (hay iđêan nguyên tố tối thiểu) N, Qi tương ứng với pi gọi thành phần cô lập N Qi xác định N (có mặt phân tích nguyên sơ N) Ngược lại, iđêan nguyên tố pi khơng cực tiểu Ass(M / N) pi gọi iđêan nguyên tố nhúng N, Qi tương ứng với pi gọi thành phần nhúng N Chứng minh (i) Từ N có phân tích nguyên sơ thu gọn N = r i1 Qi, ta suy R-mơđun M / N, mơđun có phân tích ngun sơ thu gọn = r i1 (Qi / N) với Qi / N pi-nguyên sơ Theo Định lý 2.2.9, ta có Ass(M / N) = {p1, p2,…, pr} nhận đƣợc chứng minh (ii) Giả sử chẳng hạn p1 cực tiểu, ta có với j = 2, …, r tồn aj  pj, aj  p1 Giả sử a = a2 …ar tích phần tử Khi a  p1 nhƣng với nj j = 2, …, r có a  pj nên tồn số nguyên dƣơng nj cho a M  Qj Do n = max{n2, n3,…,nr} suy anM  Qj với j = 2, …, r Đặt N1 = {x  M / anx  N} Chúng ta chứng minh Q1 = N1 nên Q1 xác định N Giả sử x  Q1 Khi anx  Q1 Qr = N, x  N1 Vậy Q1  N1 Đảo lại, giả sử x  N1 Khi anx  N hiển nhiên anx  Q1 Vì a  p1 nên a : M / Q1  M / Q1 đơn cấu an đơn cấu Suy x  Q1 Vậy N1  Q1 Do Q1 = N1 Định lý đƣợc chứng minh 2.2.11 Ví dụ (i) Xét vành số nguyên a = 588 =4 49 Cho iđêan a = 588 Ta có  -45= 22 72 Đặt q1 = 22 p2; q3 = 3 , q2 = 72 , q3 = Chúng ta có q1 = = p1; q2 = = = p3 nên qi iđêan pi-nguyên sơ với i =1, 2, Khi a = q1 q2 q3 (1) phân tích nguyên sơ thu gọn a Ass( / a) = {2 , , } = {p1, p2, p3} Do p1, p2, p3 iđêan nguyên tố cô lập AssR ( / a) nên q1, q2, q3 thành phần lập a Do phân tích (1) (ii) Xét vành đa thức biến trƣờng K R = K[x1, x2, x3] Cho iđêan a = (x12, x22 , x1x2x3 ) Khi đó, a = (x12, x22, x1x2) (x12, x22, x3) Đặt q1 = (x12, x22, x1x2), q2 = (x12, x22, x3) Chúng ta có q1 = (x1, x2) = p1, q2 = (x1, x2, x3) = p2 nên qi iđêan pi-nguyên sơ với i = 1, Khi a = q1 q2 phân tích nguyên sơ thu gọn a Ass(R / a) = {(x1, x2), (x1, x2, x3)} = {p1, p2} Do p1  p2 nên p1 iđêan nguyên tố cô lập Ass(R / a) q1 thành phần lập a Vậy q1 có mặt tất phân tích nguyên sơ thu gọn a Thật vậy, xét phân tích nguyên sơ thu gọn khác a a = (x12, x22, x1x2) Đặt q2’= (x12, x22, x32, x1x2x3) Khi đó, iđêan p2-nguyên sơ Vậy (x12, x22, x32, x1x2x3) q2 ' = (x1, x2, x3) = p2 nên q2’cũng -46a = q1 q2’ phân tích nguyên sơ thu gọn a mà q2  q2’ 2.2.12 Hệ Cho M môđun hữu hạn sinh vành Noether R Q R-môđun M Khi Q mơđun p-ngun sơ Ass(M / Q) = {p} Chứng minh () Nếu Q môđun p-nguyên sơ M thân Q phân tích ngun sơ thu gọn nó, theo Định lý 2.2.10 suy Ass(M / Q) = {p} () Nếu Ass(M / Q) = {p} theo Định lý 2.2.10, Q có phân tích ngun sơ thu gọn gồm thành phần thành phần p-nguyên sơ Do vậy, Q môđun p-nguyên sơ  2.2.13 Mệnh đề Cho M R-môđun hữu hạn sinh vành Noether R Khi p= Ann(M ) pAss(M) Chứng minh Ta xét trƣờng hợp M ≠ Khi mơđun M có phân tích ngun sơ thu gọn = r Qi, với Qi môđun pi- nguyên sơ, i1 Ass(M) = {p1, p2, , pr} Nếu a  AnnM tồn n để an M =  Qi với i = 1, 2, …, r Từ suy a  rM(Qi) với i = 1, 2, …, r, hay a  r r rM(Qi) = i1 pi Ngƣợc lại a  i1 r pi, a  pi với i = 1, 2, …, r i1 Khi với i tồn số nguyên dƣơng ni để a ni M  Qi Chọn n = max{n1, n2, …, nr}, suy anM  r Qi = 0, hay a  AnnM i1 Từ hệ ta có hệ sau  -472.2.14 Hệ Nếu R vành Noether p = pAss(R) Trong vành R, cho M R-môđun, tập hợp Ass(M) liên hệ gần gũi với tập hợp Supp(M) V(AnnM) đƣợc định nghĩa nhƣ sau 2.2.15 Định nghĩa (i) Cho M R-mơđun, tập hợp {p  Spec R | Mp ≠ 0} đƣợc gọi giá môđun M, ký hiệu SuppR M, SuppM không thiết nhấn mạnh vào R (ii) Cho a iđêan vành R, tập {p  Spec R | p  a} tập iđêan nguyên tố chứa a ký hiệu làV(a) Các mệnh đề định lý sau nhằm mô tả mối quan hệ tập hợp Ass(M), Supp(M) V(AnnM) 2.2.16 Mệnh đề Cho M R-mơđun Khi Ass(M)  Supp(M)  V(AnnM) Chứng minh Lấy p thuộc Ass(M), tồn x  M để p = Ann(x) Bây Mp = x = Do tồn a  p để ax = (mâu thuẫn) Vậy p  Supp(M) Ass(M)  Supp(M) Giả sử q  Supp(M), nhƣng Ann(M)  q Khi tồn a  Ann(M) \ q, ax = với x  M Điều dẫn đến x = với x  M, s  q Từ suy Mq = 0, ta gặp s phải mâu thuẫn Vậy Supp(M)  V(AnnM) 2.2.17 Định lý Nếu M R-môđun hữu hạn sinh V(AnnM) = Supp(M)  -48Chứng minh Giả sử M sinh phần tử x1, x2, …, xn giả sử trái lại V(AnnM)  Supp(M) Khi tồn p  V(AnnM) \ Supp(M) Từ Mp= 0, nên tồn si  S = R \ p để si xi = với i = 1, …, n Đặt s = s1 s2 …sn, s  S sxi = với i = 1, …, n Do s  Ann(M) (mâu thuẫn) Vậy V(AnnM)  Supp(M)  2.2.18 Hệ Nếu a iđêan vành R SuppR (R / a) = V(a) Chứng minh Xét R-mơđun R / a, ta có Ann(R / a) = a R / a R-môđun hữu hạn sinh Theo Định lý 2.2.17, ta suy ta SuppR(R / a) = V(a)  2.2.19 Định lý Cho M môđun hữu hạn sinh vành Noether R Khi phần tử cực tiểu hai tập Ass(M) Supp(M) Chứng minh Giả sử p phần tử cực tiểu Supp(M) Do Ann(M)  p, nên AnnM  p Áp dụng Mệnh đề 2.2.13 tồn iđêan nguyên tố q cực tiểu Ass(M), để q  p Cũng Mệnh đề 2.2.13 Ann(M)  q, tức q  Supp(M) Do p cực tiểu Supp(M), nên q = p Vậy p cực tiểu Ass(M) Ngƣợc lại lại giả sử p cực tiểu Ass(M) Theo Định lý 2.2.16, p  Supp(M) Do tồn q cực tiểu Supp(M) cho q  p Theo phần đầu chứng minh, q cực tiểu Ass(M) Từ suy p = q p cực tiểu Supp(M)  2.2.20 Nhận xét Với giả thiết Định lý 2.2.19 phần tử cực tiểu Supp(M) iđêan nguyên tố cực tiểu chứa Ann(M) Do từ Định lý 2.2.19 suy iđêan nguyên tố cực tiểu chứa Ann(M) iđêan nguyên tố liên kết M Hơn nữa, chúng thành phần lập mơđun M Và từ thấy tập thành phần cô -49lập mơđun N M khơng khác tập iđêan nguyên tố cực tiểu chứa iđêan Ann(M / N) = N : M 2.2.21 Hệ Cho M R-môđun khác 0, hữu hạn sinh vành Noether R Khi tồn dãy môđun = M0  M1  …  Mn = M họ iđêan nguyên tố p1,…, pn cho Mi M i 1  R p với i = i 1, 2, …, n, đồng thời Ass(M)  {p1,…, pn}  Supp(M) = V(AnnM) tập có phần tử cực tiểu Chứng minh Với i, Mi / Mi−1  R / pi, nên địa phƣơng hóa pi, ta đƣợc mơđun khác mơđun Do (Mi)pi ≠ 0, Mpi≠ 0, hay pi  Supp(M) ta có {p1,…, pn }  Supp(M) Bây áp dụng Định lý 2.2.8 ta có Ass(M)  {p1,…, pn} Theo Định lý 2.2.17 Định lý 2.2.19 ta nhận đƣợc chứng minh  2.2.22 Định lý Cho M R-môđun hữu hạn sinh vành Noether R Khi điều kiện sau tương đương: (i) M có độ dài hữu hạn; (ii) Mọi phần tử Ass(M) iđêan cực đại; (iii) Mọi phần tử Supp(M) iđêan cực đại Chứng minh (i)  (ii) Theo Hệ 2.2.21, ta có dãy M = M0  M1  …  Mn = Mi1 / Mi  R / pi, với pi iđêan nguyên tố (1  i  n) Ass(M)  {p1,…, pn} Với i = 1, 2, …, n, lR (R / pi) = lR (Mi1 / Mi) -50hữu hạn nên R / pi miền nguyên Artin Vì R / pi trƣờng Do pi iđêan cực đại với i = 1, 2, …, n Vậy phần tử Ass(M) iđêan cực đại (ii)  (iii) Theo Định lý 2.2.19, phần tử cực tiểu hai tập Ass(M) Supp(M) nhƣ nhau, phần tử cực tiểu Supp(M) iđêan cực đại Do đó, phần tử Supp(M) iđêan cực đại (iii)  (i) Theo Hệ 2.2.21, ta có dãy M = M  M1  …  M n = (*) Mi1 / Mi  R / pi, với pi iđêan nguyên tố (1 i  n) {p1 ,…, pn}  Supp(M) Do giả thiết R / pi trƣờng, tức R-môđun đơn với i = 1, 2, …, n Vì dãy (*) dãy hợp thành M nên M có độ dài hữu hạn  2.2.23 Hệ Cho M R-mơđun có độ dài hữu hạn vành Noether R Khi Ass(M) = Supp(M) Chứng minh Khi M có độ dài hữu hạn, tất phần tử Ass(M) Supp(M) iđêan cực đại (theo Định lý 2.2.22) Do đó, Ass(M) Supp(M) gồm phần tử cực tiểu Vì Ass(M) = Supp(M) (theo Định lý 2.2.19)  -51- KẾT LUẬN Dựa vào tài liệu tham khảo, Luận văn hồn thành cơng việc sau: Trình bày khái niệm số tính chất vành môđun Noether; đặc trƣng vành Noether qua môđun nội xạ (Định lý 1.1.14); bảo tồn tính Noether qua địa phƣơng hóa (Mệnh đề 1.2.2, Hệ 1.2.3); tính chất iđêan vành Noether (Định lý 1.3.1); tính Noether vành đa thức (Định lý 1.4.1, Định lý 1.4.6); mối liên hệ tính Noether tính Artin vành môđun (Định lý 1.5.6, Định lý 1.5.8) Trình bày định nghĩa, tính chất mơđun ngun sơ, iđêan ngun sơ; phân tích nguyên sơ môđun Noether iđêan vành Noether 3.Trình bày tập iđêan nguyên tố liên kết Ass(M), liên hệ phân tích ngun sơ R-mơđun N M Ass(M/N) (Định lý 2.2.10), mối quan hệ tập hợp Ass(M), Supp(M), V(AnnM) (Định lý 2.2.16, Định lý 2.2.17, Định lý 2.2.19) mối liên hệ với mơđun có độ dài hữu hạn (Định lý 2.2.22, Định lý 2.2.23) -52- TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Tự Cƣờng (2003), Giáo trình Đại số đại, NXB ĐHQG Hà Nội [2] Dƣơng Quốc Việt (2008), Cơ sở lý thuyết module, NXB Đại học sƣ phạm [3] Dƣơng Quốc Việt (2008), Lý thuyết chiều, NXB Đại học sƣ phạm Tiếng Anh [4] M F Atiyah and I.G Macdonal (1969), Introduction to Commutative Algebra, Reading, Mass [5] F Kasch (1982), Modules and Ring, (Translation and editing by D.A.R.Wallace), University of Stirling, Stirling, Scotland [6] S Lang (2002), Algebra, Springer -Verlag, New Yord, USA [7] R.Y Sharp (1990), Step in commutative algebra, Cambridge University Press ... sơ (*) đƣợc gọi phân tích nguyên sơ thu gọn, pi đôi phân biệt N biểu diễn qua giao họ thực {Q1, , Qr} Phân tích nguyên sơ (*) đƣợc gọi phân tích nguyên sơ tối tiểu, (*) một phân tích nguyên sơ. .. -môđun Noether p / -mơđun -30- CHƢƠNG SỰ PHÂN TÍCH NGUN SƠ CỦA MƠĐUN NOETHER Trong chƣơng chúng tơi trình bày phân tích ngun sơ mơđun Noether, iđêan nguyên tố liên kết môđun 2.1 Môđun nguyên sơ phân. .. nghĩa, tính chất mơđun nguyên sơ, iđêan nguyên sơ; phân tích nguyên sơ mơđun Noether iđêan vành Noether 3.Trình bày tập iđêan nguyên tố liên kết Ass(M), liên hệ phân tích ngun sơ R-mơđun N M Ass(M/N)