-1- O TRƢỜN HUỲNH H NH – OT O HỌ V NH ỄM PHÚ SỰ PHÂN TÍ H Ù H N TỬ TRỰ T ẾP V MÔ UN TỰA L ÊN T LUẬN VĂN TH SĨ TO N HỌ N H AN – 12/ 2011 -2- O – TRƢỜN OT O HỌ V NH HUỲNH H NH ỄM PHÚC SỰ PHÂN TÍ H Ù H N TỬ TRỰ T ẾP V MÔ UN TỰA L ÊN T CHUYÊN NGÀNH: SỐ V LÝ THUYẾT SỐ MÃ SỐ: 60 46 05 LUẬN VĂN TH N ƢỜ HƢỚN SĨ TO N HỌ ẪN KHOA HỌ PGS TS N Ô SỸ TÙN N H AN – 12/ 2011 -3- M L Trang T T 13 14 Ci) 15 16 S – S 17 S 29 – T 17 31 36 37 -4- M ã ẦU ể ọ ợ ọ ý ấ q ã ợ q ă 977 E e e H j e) S S– ợ ể ẽ ã ọ ý ắ D ữ S– ý ấ Đặ Dũ R Wisbauer N q S– q H ỳ P F S ọ ã q ể “E e e ” Lớ ữ ă ũ e – e ể L ă continuous modules” ã ú ợ ấ “Some results on quasi – N Sỹ T ă 99 ấ ằ ì ặ D ă ” “S ể -5- L ă hai hƣơng Ki n thức s 1.1 T T 1.2 1.3 1.4 1.5 (Ci ) 1.6 hƣơng S – 2.1 S 2.2 S – 2.3 L ă ẫ ợ PGS TS N ắ T Sỹ T PGS.TS N q Đ ọ T Sỹ T ã ợ ì Đ T T ợ T T T ọ q B B B ữ ọ ọ B T B T ỏ ò ọ q H ì ọ L Đ Đ ọ ọ S Gò ã -6- ợ T L Q H PGS TS N TS N ễ T T ú T ỡ ỉ Hồ L Đ ọ L ễ T ú ã ì ọ q 7Đ Lý ì è T ỡ Đ q ã T Q ý ã ă ọ ặ PGS TS Q ý ì Q ắ L ấ ữ ã ọ ă ợ ì ọ ỏ ý N , tháng 12 ă -7- HƢƠN K ẾN THỨ ă này, R ể Trong HUẨN Ị ỉ ý R ì ) 1.1 Tích trực ti p Tổng trực ti p ịnh nghĩa 1.1.1 Tích trực ti p i) {M i / i I } R ọ tích Descarte Mi i I = {(ai ) / M i , i I } é é ợ (ai ) (bi ) (ai bi ) , (ai ), (bi ) M i iI (ai ) r (ai r ) , (ai ) M i , r R iI R ợ ợ Mi M Trong t ợ Mi ọ tích trực tiếp ọ { Ai / i I } ọ iI M ể I ĩ i I MI = Mi i I ii) R– Tổng trực ti p Cho {M i }I ý ọ ấ ỳ ỉ -8- M i = {( x1, x2 , , xn ) / n * iI Mi R– iI Mi , i I R– , xi M i i 1, n} ọ tổng trực tiếp : +) P é ( x1, x2 , , xm ) ( y1, y2 , , ym ) = ( x1 y1, x2 y2 , , xm ym ) +) T r ( x1, x2 , , xm ) (rx1, rx2 , , rxm ) Chú ý N ì Mi = ữ I iI Mi iii) Tổng trực ti p ợ ỏ ợ M ọ tổng trực tiếp {M i / i I } ọ iI ã (1) M M i ; i I (2) M j i I, i j M i 0, j I iv) Hạng tử trực ti p Cho A ợ ọ hạng tử trực tiếp B M M ý A M , n A M cho M A B A B 1.1.2 Tính chất Giả sử A mơđun M Ta có i) A M tồn B môđun M cho M A B; -9- A M tồn đồng cấu lũy đẳng f : M M ii) ( f f ) cho Im( f ) A 1.2 Môđun nội xạ 1.2.1 N A hai R ịnh nghĩa G i) ợ N ọ A – nội xạ ( A – injective) A , R X ấ f :X N ọ ợ ấ g: A N R j : X A R go j f , ii) N R A; iii) N ấ ú ợc gọi môđun nội xạ n u N A – n i x với ợ ọ tựa – nội xạ (quasi – injective) N N – 1.2.2 Một số tính chất mơđun nội xạ i) Giả sử môđun N A nội xạ Nếu B mơđun A mơđun N B nội xạ N A – nội xạ; B ii) Môđun N A nội xạ N aR nội xạ với a A (tiêu chuẩn Baer); iii) Môđun N Ai nội xạ N Ai nội xạ iI với i I ; iv) Môđun N Chứng minh A nội xạ N A nội xạ với - 10 - i) ỗ X ấ i: X B ỗ B ỗ ấ : X N , ta có: A jo i : X A R – X j: B A D ấ ấ , ú ấ h : A N cho ho ( joi) Đặ ho j : B N R – ấ oi (h j )o i ho ( joi) N B – i X j A B h N B ấ ấ X ỳ i: X B Gọ : A A A B ấ ồ ú ': X X B ấ B X , j : X A Vì N A – A , : X N B B B ấ ẹ ú ồ ấ : A N ỏ ' j Ta có B A ( B) [ j ( B)] o j ( B) o '( B) [ '( B)] (0) nên B Ker ( ) ã - 26 - 2.1.10 ổ đề Giả sử M (1 C1 ) mơđun Khi hạng tử trực tiếp M (1 C1 ) môđun Chứng minh G M U N N T N T U M Vì M (1 C1 ) 2.1.3 U ĩ M U M cho X M U X Vì U e N ì N N M N (U X ) U ( N X ) D 2.1.11 N U ổ đề Giả sử M M i tổng trực tiếp môđun iI M i (i I ), mơđun khác không M chứa môđun Chứng minh G ấ N J I ỳ M, ấ N M (J ) M (J ) Mi i J Lấ k I \ J ọ k : Mk M (J ) Mk Đặ Nk N (M k M ( J )) Từ N k B ấ é J , ta suy ì Nk M ( J ) nên có Nk k ( Nk ) M k Vì Nk ũ Mk N N k - 27 - ịnh lý Giả sử R vành M R môđun cho M 2.1.12 tổng trực tiếp môđun M i M Mi iI phân tích bù hạng tử trực tiếp Giả thiết M i không nhúng đẳng cấu thực vào M j với i, j thuộc I i j Khi đó, phát biểu sau tương đương i) M CS môđun; ii) M (1 C1 ) môđun; iii) M ( J ) M ( K ) nội xạ, tập K J I thỏa mãn điều kiện K J Chứng minh i) ii): H ể ii) iii): T e T M (K ) , k K G U ấ ), ể M ( J ) M ( J ) M k ỉ ấ ỳ ọ M k : U M ( J ) ấ Đặ X {x ( x) / x U } X M ( J ) T ấ m X M (J ) , ì x U cho m x ( x) m M ( J ) , x ( x) m M ( J ) Từ , ta có x ( x) m M ( J ) x U M k Suy x (vì K J ) - 28 - Do X M ( J ) nên X B B ú ẳ ấ ợ ì X Từ Mk 10, M j M k (1 C1 ) X ' cho X e X ' X ' M (J ) M k B ì M (J ) M k l ă 1) M ( J ) M k X ' M ( J ') ặ 2) M ( J ) M k X ' M ( J1) M k J ' J1 l N ă J ) M ( J ) M k X ' M ( J ') X ' M ( J ) M ( J ) M k ì X ' M ( J ') X ' M ( J ) hay M ( J ) X ' M ( J ) J J ' Từ Gọ ọ X ' M (J ) é M (J ) x M k , x ( x) ( x ( x)), x ( x) X ' Từ '( x) '[ ( x) ( x ( x))] ( x) ' ĩ N ă ) ọ k : X ' M ( J1) M k M k é Đặ A ( X ' M ( J1)) M ( J ) ọ ' Mk Khi ( x) M ( J ) - 29 - A0 N A M (J ) j J ọ [7, X ' A M ( J ) Từ Proposition 3.6], A X ' M ( J ) U M (J ) ặ M k M ( J ) U M (J ) X ' M ( J ), X ' M (J ) Mk M (J ) Mk M (J ) N X ' A Từ M k ( X ' A) suy M k ( X ' M ( J1)) ẫ ỏ có M j Ker ( k ) Mk B k (M j ) M k Từ ợ j J cho M j A ỉ M j k (M j ) ẫ ể Mj ể ú ẳ ấ Mk ú X ' M ( J1 ) M k X ' M ( J1) M j X ' M ( J ) J J1 { j} Đ ỏ ằ M (J ) M k X ' M (J2 ) ợ ỏ ) HomR (M k , M ( J )) B ằ A 0, ễ ấ M ( J1 ) , ì ta có M (J ) M k X ' M k Đ ỏ ằ J ỉ ẳ M (J ) M k M j M k X ' M k j ú - 30 - T ũ é k : X ' Mk Mk , é M j k (M j ) ì X ' M j ú Mk ũ k (M j ) M k M (J ) M k X ' M j , ) ) ợ ) ợ iii) ) G ấ A ỳ I cho A M ( J ) Dễ A M (J ) M Gọ J ể ợ ằ M Đặ K I \ J , k j ợ é M lên M ( K ) M ( J ) k Vì A Ker ( k ) 0, ấ A ( k A )1 Đặ j ( k A )1 : k ( A) M ( J ) ễ ể ợ ằ A {x ( x) / x k ( A)} B M (J ) M (K ) : M (K ) M ( J ) T ọ A ' { y ( y) / y M ( K )} A M ( J ) M Từ M (K ) A A' k ( A) M ( K ) A ể ợ A ' B ằ A k ( A) - 31 - Từ M A M (J ) , ĩ A M M CS 2.2 Sự phân tích bù hạng tử trực ti p 2.2.1 ịnh nghĩa Cho M R – S M M ợ ọ bù hạng tử trực tiếp ọ U ợ B cho M, M M U B 2.2.2 Hệ Nếu phân tích M M (1) bù hạng tử trực tiếp phân tích bù hạng tử trực tiếp Chứng minh Gi U M, ì M ) U M ợ B cho M M U e Đ ĩ B ì ) M 2.2.3 ổ đề Giả sử M M phân tích bù hạng tử trực tiếp Khi đó, tập J , phân tích - 32 - M ( J ) M J bù hạng tử trực tiếp Chứng minh G M ( J ) B U ì M nên U ũ M (J ) M K J cho M U M (K ) Từ M ( J ) M ( J ) M M ( J ) [U M ( K )] U M ( J ) M ( K ) Đặ I K J T M ( K ) M ( J ) M ( I ) T x M ( K ) M ( J ) x M ( K ) x M ( J ) (1) n ể ễ x x1 x2 xk M1 M M k M ( K ) x x j1 x j2 x jt M j1 M j2 M jt M ( J ) ì x xi x ji , ọ i 1, 2, , k ấ M M nên t k M i M ji , i 1, k Từ ĩ có {1, 2, , k} { j1, j2 , , jt } K J I M1 M M k M ( I ) suy x M ( I ) D Đ x M ( I ), ể ễ x xi1 xi2 xim M i1 M i2 M im M ( I ) N ì I K J nên i1, i2 , , im K J Từ M i1 M i2 M im M ( K ) M ( J ), - 33 - ĩ x xi1 xi2 xim M ( K ) M ( J ) ú I K J Từ ợ M ( I ) M ( K ) M ( J ), ã ) ú ú M ( J ) U M (I ) M ( J ) M J 2.3 Môđun tựa – liên tục ịnh nghĩa G 2.3.1 ọ R M ợ M tựa – liên tục (quasi – continuous) ỏ M C1 ) ( C3 ) 2.3.2 Mệnh đề Nếu M mơđun M mơđun tựa – liên tục 2.3.3 Mệnh đề Mỗi hạng tử trực tiếp môđun tựa – liên tục môđun tựa – liên tục Chứng minh G – M M T G N ỏ N (C1 ) (C3 ) e N A A ỏ M Vì M M ĩ 1.3 (C1 ) nên A M cho B M A B T e N N M N ( A B) A ( N B) ĩ B T N D A ì g N ỏ (C1 ) N , A B A B K , A ', B ' M cho M N K , N A A ' N B B ' - 34 - M A A' K , M B B ' K ĩ A B (C3 ) nên A B ũ M M cho M A B L Từ L ỏ M Vì M e N N M N ( A B L) A B ( N L), A B ũ ĩ N D N ỏ (C3 ) 2.3.4 – N ịnh lý Cho M R môđun phải Các phát biểu sau tương đương i) M môđun tựa – liên tục; ii) M X Y với hai môđun X Y mà chúng bù giao nhau; iii) f ( M ) môđun M với lũy đẳng f End E (M ); iv) E ( M ) Ei kéo theo M ( M Ei ) i I iI Chứng minh i) ii): Lấ X Y X , Y M X Y M M M mà M ỏ ỏ (C1 ), (C3 ) Từ X Y e M , M X Y ii) iii): Đặ A1 M f ( E (M )) A2 M (1 f )( E (M )), f End E (M ) A1 A2 T m f ( x) m (1 f )( y) x, y E T ì m M mà - 35 - m f ( x) y f ( y) f ( y) f ( y) (vì f f ) Gọ B1 A1 B2 bù gia A2 B1 mà B1 B2 0, B1 B2 are complement ech other Theo A2 ii) ta suy M B1 B2 Gọ B1 B2 >> B1 é M ( f )(M ) Lấ T ì f ( x) y ( x ) M , ( f )( x) y T (1 f )( x) M x, y M cho f ( x) A1 (1 f )( x) A2 ì B [(1 f )( x)] ( x) [ f ( x)] ( x) f ( x) Suy ( x) f ( x), M ( f )(M ) y Từ M e E (M ), ( f )(M ) E (M ) M ( f )(M ) ta suy ( f )(M ) 0, iii) ) Rõ f (M ) (M ) M ì ( M Ei ) M G ằ ì m Ei M T iF E ( M ) Ei E * ọ fi iF fi End ( E (M )) (i F ) ý m iI F I ữ E (M ) Ei (i F ) , é ì Ei fi ( E (M )) T e fi (M ) M , nên m fi (m) fi (m) ( M Ei ) iF iF iF V M ( M Ei ) , M ( M Ei ) iI iv) ) G T iI A M E ( M ) E ( A) E* ì M (M E ( A)) (M E* ) A e M E ( A) N M - 36 - ỏ (C1 ) Lấ M1 M T M1 , M M E (M ) E1 E2 E* , Ei E (M i ) (i 1, 2) ì M (M E1 ) (M E2 ) (M E* ) Từ M i M M i e (M Ei ) , ta có M i (M Ei ) (i 1, 2) D , ỏ M (C3 ) – M 2.3.5 Mệnh đề Nếu M1 M tựa – liên tục M M nội xạ lẫn Chứng minh ì ị ỉ M M minh M M1 M M1 M G M : X M ấ X Đặ B {x ( x) / x X } ta có B M Gọ M 1* bù giao (complement) T ì e Đ Gọ ý é B M2 3.4, ta có M M1* M M1* M M ỗ x X , ta có [ x ( x)] ( x) [ ( x)] ( x) ( x) D M1 2.3.6 Hệ Nếu M1 M tựa – liên tục M1 M , M M tựa – nội xạ M tựa – nội xạ M M tựa – liên tục - 37 - B ểý ằ Đ ý ta c ỉ M Mi iI M i (i I ) 2.1.12, 2.3.7 ý ì [6 T e e ] Đ ý : ịnh lý Giả sử R vành R môđun M tổng trực tiếp môđun M i M Mi iI cho phân tích M bù hạng tử trực tiếp Nếu M (1 C1) môđun M i không nhúng đẳng cấu thực vào M j với i, j thuộc I i j Khi đó, M môđun tựa – liên tục - 38 - KẾT LUẬN L ă ã H ấ M i) ; Tì ĩ ể ( 2.1.7) ); ĩ Trình bày – ể R Đ R ý 7), Đ ể ý ) - 39 - T T ẾN V L U THAM KHẢO T [1] Ngô Thúc Lanh (1995), Đại số (Giáo trình sau Đại học) N G ấ [2] N ễ T Q vành môđun, N [3] N Sỹ T N ễ D ấ G T (2001), Cơ sở Lý thuyết (1995), Một số lớp vành đặc trưng điều kiện liên tục lớp CS – môđun L PTS ọ T Lý) ĐHSP Vinh [4] D Q N ọ ) L N T ễ ă Đ T T (2009), Bài tập lý thuyết module, N Đặ Đì Hồ T ấ H Đ P Đ T ọ S T ẾN ANH [5] F W Anderson and K R Fuller (1974), Rings and Categorie of Modules, Graduate Texts in Math No 13, Springer – Verlag, NewYork, Heidelberg, Berlin [6] F Kasch, Modules and Rings (1982) (Translationand editing by D A R Wallace, University of Stirling, Stirling, Scotland), Copyright © 1982 by Academic Press Inc, (London) LTD [7] S H Mohamed and B J Muller (1990), Continuous and Discrete Modules, London Math Soc Lecture Notes Series 147, Cambridge Univ Press, Cambridge - 40 - [8] K Oshiro (1989), On Hadara rings I, II, III, Math J Okayama Univ 31, 161 – 178 [9] Ngo Sy Tung (1994), Some results on quasi – continuous modules, Acta Mathematica Vietnamica, volume 19, number 2, pp 13 – 17 [10] R Wisbauer (1991), Foundations of Rings and Modules, Gordon and Breach, Reading ... 2.2 Sự phân tích bù hạng tử trực ti p 2.2.1 ịnh nghĩa Cho M R – S M M ợ ọ bù hạng tử trực tiếp ọ U ợ B cho M, M M U B 2.2.2 Hệ Nếu phân tích M M (1) bù hạng tử. .. bù hạng tử trực tiếp phân tích bù hạng tử trực tiếp Chứng minh Gi U M, ì M ) U M ợ B cho M M U e Đ ĩ B ì ) M 2.2.3 ổ đề Giả sử M M phân tích bù hạng tử trực tiếp Khi... 2.3 Môđun tựa – liên tục ịnh nghĩa G 2.3.1 ọ R M ợ M tựa – liên tục (quasi – continuous) ỏ M C1 ) ( C3 ) 2.3.2 Mệnh đề Nếu M mơđun M mơđun tựa – liên tục 2.3.3 Mệnh đề Mỗi hạng tử trực tiếp môđun