bộ giáo dục đào tạo tr-ờng đại học vinh lª ngäc tuÊn mét sè tÝnh chÊt môđun tựa liên tục luận văn thạc sĩ toán học Vinh - 2009 Bộ giáo dục đào tạo tr-ờng đại học vinh lê ngọc tuấn số tính chất môđun tựa liên tục Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mà số: 60.46.05 Luận văn thạc sỹ toán học Ng-ời h-ớng dẫn khoa häc: pgs.ts ng« sü tïng vinh - 2009 Mơc lơc Trang Danh mơc c¸c ký hiƯu Mở đầu Ch-ơng Những kiến thức së 1.1 Môđun cốt yếu, môđun đóng 1.2 Môđun CS, môđun liên tục, môđun tựa liên tục, môđun nội xạ 1.3 Môđun đều, môđun chiều (chiỊu uniform) 1.4 Vµnh QF vµ vµnh nưa hoµn chØnh 1.5 Mét sè tÝnh chÊt vỊ h¹ng tư trùc tiÕp Ch-ơng CS - môđun (1- C1) - môđun 2.1 Mét sè tÝnh chất (1- C1) - môđun 2.2 Mét sè tÝnh chÊt CS - môđun .12 Ch-ơng Một số tính chất môđun tựa liên tục 18 3.1 Bï h¹ng tư trùc tiÕp ®Òu 18 3.2 Một số tính chất môđun tựa liên tôc 19 KÕt luËn .24 Tài liệu tham khảo .25 Danh môc ký hiệu Các ký hiệu đ-ợc sử dụng luận văn chủ yếu theo S H Mohamed - B J Muller [8], F W Anderson - K R Fuller [3], N V Dung - D V Huynh - P F Smith - R Wisbauer [4], D W Sharpe - P Vamos [9] Sau số ký hiệu ®-ỵc sư dơng nhiỊu nhÊt K M : K môđun M M : K K môđun bé M K e M : K môđun cốt yếu M u dim M : Chiều (chiều Goldie) môđun M : l (M ) K M : M iI i E (M ) Độ dài môđun M K hạng tử trực tiếp M : Tổng trực tiếp môđun Mi, víi i I : Bao néi xạ môđun M Mở đầu Có hai h-ớng để nghiên cứu lý thuyết vành H-ớng thứ sử dụng nội tính chất thông qua lớp iđêan h-ớng thứ hai đặc tr-ng vành qua tính chất lớp xác định môđun chúng Theo h-ớng thứ hai, lớp môđun nội xạ trụ cột nghiên cứu lý thuyết môđun lý thuyết vành Vì thế, lớp môđun có nhiều mở rộng Một mở rộng môđun tựa liên tục Các khái niệm liên tục tựa liên tục đà đ-ợc Utumi định nghĩa vành vào năm 1960 Những khái niệm đà đ-ợc mở rộng môđun Jereny (1971), Takeuchi (1972), Mohamed Bouhy (1977) Kể từ đó, lớp môđun đà đ-ợc nghiên cứu nhiều tác giả khác phát triển thành lý thuyết phong phú Vào năm 1977, Chatters Hajanravis lần đ-a khái niệm CS - môđun (đây lớp môđun mở rộng tựa liên tục), đời lớp CS - môđun đà có ứng dụng quan trọng nghiên cứu lý thuyết vành Vào năm 1988, Kamal Muller đà đ-a khái niệm (1- C1) môđun nhằm mục đích nghiên cứu vành Nơte Năm 1994, Ngô Sỹ Tùng sử dụng lớp môđun để đặc tr-ng vành QF Nói thêm rằng, lớp (1- C1) môđun mở rộng thực CS - môđun nghiên cứu lớp (1- C1) môđun để đặc tr-ng lớp vành đ-ợc tác giả n-ớc quan tâm Xuất phát từ h-ớng nghiên cứu d-íi sù h-íng dÉn cđa PGS.TS Ng« Sü Tïng chóng tập trung nghiên cứu số lớp môđun tựa liên tục Cụ thể quan tâm đến tính liên tục, (1- C1) sử dụng chúng để đặc tr-ng vành Luận văn trình bày ba ch-ơng Ch-ơng 1: Những kiến thức sở Nội dung ch-ơng nhắc lại số khái niệm sở lý thuyết môđun hệ thống hoá kiến thức sở vành Ch-ơng 2: CS - Môđun (1 - C1) - môđun Ch-ơng trình bày số kết (1- C1) - môđun CS môđun Ch-ơng 3: Một số tính chất môđun tựa liên tục Ch-ơng nghiên cứu điều kiện để tổng trực tiếp họ môđun tựa liên tục tựa liên tục điều kiện để môđun (1C1) tựa liên tục Hơn nữa, quan tâm đến việc sử dụng lớp môđun tựa liên tục, (1- C1) để đặc tr-ng vành Luận văn đ-ợc thực d-ới tr-ờng Đại Học Vinh, d-ới h-ớng dẫn PGS.TS Ngô Sỹ Tùng Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, kính trọng đến thầy, ng-ời đà trực tiếp giảng dạy, bảo tận tình suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Tôi xin cm n NCS Trần Giang Nam đà óng góp nhiu ý kin b ích trình hon thnh lun Qua luận văn xin đ-ợc cảm ơn thầy cô giáo khoa toán, khoa Đào Tạo Sau Đại Học - Tr-ờng Đại Học Vinh đà giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành luận văn Mặc dù đà nhiều cố gắng nh-ng thật khó tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tác giả mong nhận đ-ợc ý kiến góp ý thầy cô giáo bạn đọc Vinh, tháng 11 năm2009 Tác giả Lê ngọc Tuấn Ch-ơng 1: Những kiến thức sở Trong ch-ơng xét vành kết hợp, có đơn vị môđun môđun phải unita Các môđun môđun phải đ-ợc xét vành R Vì R- môđun phải M đ-ợc nói gọn môđun M 1.1 Môđun cốt yếu, môđun đóng 1.1.1 Định nghĩa i) Cho A môđun môđun M A đ-ợc gọi môđun cốt yếu (essential) M với môđun X cđa M ta lu«n cã A X Trong tr-ờng hợp ta nãi M lµ mét më réng cèt yÕu ( essential extention) A đ-ợc ký hiệu A e M ii) Mét më réng cèt yÕu M cña A đ-ợc gọi mở rộng cốt yếu thực (properessential extention) M A iii) Môđun A đ-ợc gọi đóng (closed) M A kh«ng cã më réng cèt yÕu thùc sù M Nói khác đi, A đ-ợc gọi đóng M với môđun B M mà A e B B = A iv) Môđun B M đ-ợc gọi bao đóng (closure) môđun A M B môđun tối đại M cho A cốt yếu B v) Môđun B M đ-ợc gọi bé (small) M (hay đối cốt yếu) M vµ ký hiƯu B M , nÕu mäi môđun L M, L M B + L M, nãi c¸ch kh¸c nÕu B + L = M L = M 1.1.2 Mệnh đề Cho vành R M, N, K R - môđun phải với K N M i) Bao đóng môđun N M tồn tại, ii) Nếu K đóng N N đóng M K đóng M 1.1.3 Tính chất i) Nếu môđun M có dÃy môđun A B C A M B C e e ii) Nếu môđun M có dÃy môđun A B C B C A C 1.2 Môđun CS, môđun liên tục, môđun tựa liên tục, Môđun nội xạ 1.2.1 Các ®iỊu kiƯn C1, C2, C3 Cho M lµ mét R - môđun phải Ta xét điều kiện sau C1 Mọi môđun M cốt yếu hạng tử trực tiếp M Nói cách khác, môđun đóng M hạng tử trùc tiÕp cđa M C NÕu A vµ B môđun M đẳng cấu với A hạng tử trực tiếp M B hạng tử trực tiếp M C3 Nếu A B h¹ng tư trùc tiÕp cđa M cho = hạng tử trực tiếp M 1.2.2 Định nghĩa i) Một môđun M đ-ợc gọi CS - môđun (hay extending), M thoả mÃn điều kiện (C1) ii) Một môđun M đ-ợc gọi tựa liên tục (quasi-continuous), M thoả mÃn điều kiện (C1) (C3) 1.2.3 Định nghĩa Cho A M R - môđun Khi đó, (1) Môđun A đ-ợc gọi M - nội xạ (M - injective) môđun K M đồng cấu f : K A , có R - đồng cấu f * : M A cho f f *i Trong i phép chiếu tắc (2) Môđun A đ-ợc gọi tựa nội xạ hay tù néi x¹ (quasi - injective, self injective) nÕu A A - nội xạ (3) Môđun A đ-ợc gọi nội xạ (injective) A M - nội xạ, môđun M 1.3 Môđun đều, môđun chiều (chiều uniform) 1.3.1 Định nghĩa Cho R vành, R - môđun phải khác không M đ-ợc gọi với hai môđun khác không A, B M ta lu«n cã A B Nãi cách khác, M M môđun khác không M cốt yếu M Nhận xét Môđun môđun môđun môđun 1.3.2 Định nghĩa i) Một môđun M vành R gọi có chiều (hay chiều Uniform) hữu hạn không tồn tổng trực tiếp vô hạn môđun khác không M M đ-ợc gọi có chiều vô hạn tr-ờng hợp ng-ợc lại Ng-ời ta đà chứng minh đ-ợc môđun M có chiều hữu hạn số hạng tử lớn tổng trực tiếp môđun con, mµ cèt yÕu M lµ mét sè bÊt biÕn, số đ-ợc gọi chiều M ký hiƯu lµ udim(M) ii) Cho R lµ mét vµnh tuỳ ý, ta gọi chiều phải R chiều RR chiều trái R chiều RR 1.3.3 Mệnh đề Cho M R - môđun N môđun cđa M i) NÕu N e M, th× M có chiều hữu hạn N có chiều hữu hạn tr-ờng hợp udimM = udimN Ng-ợc lại, M có chiều hữu hạn udimM = udimN, N e M ii) NÕu M = M1 Mn, udimM = udimM1 + + udimMn iii) Giả sử N M/N đồng thời có chiều hữu hạn Khi M có chiều hữu hạn udimM udimN + udimM/N iv) NÕu M cã chiỊu ®Ịu hữu hạn môđun M có chiều hữu hạn 1.4 Vành QF vành nửa hoàn chỉnh 1.4.1 Vành QF a) Định nghĩa Vành R đ-ợc gọi vành QF R vành Artin phải trái thoả mÃn điều kiện r (l ( A)) A, l (r ( A)) A , với iđêan phải A iđêan trái A R b) Định lý Các mệnh đề sau t-ơng đ-ơng vành R: (1) R QF; (2) Mỗi R - môđun phải nội xạ xạ ảnh; (3) Mỗi R - môđun phải xạ ảnh nội xạ; (4) Mỗi R - môđun phải xạ ảnh tựa liên tục; (5) R Artin phải trái, tự nội xạ phải trái; (6) R vành liên tục phải trái Artin phải trái 1.4.2 Định nghĩa Một vành R gọi nửa hoàn chỉnh R - môđun phải hữu hạn sinh có phủ xạ ảnh 1.5 Một số tính chất hạng tử trực tiếp 1.5.1 Mệnh đề Hạng tử trực tiếp môđun thỏa mÃn (C1) môđun thỏa mÃn (C1) Chứng minh Cho M môđun thỏa mÃn (C1) Giả sử N hạng tử trực tiếp M U môđun đóng N Khi U môđun đóng M Do M tháa m·n (C1), vËy U lµ hạng tử trực tiếp M, nghĩa M U X , với X môđun ®ã cđa M Khi ®ã, bëi v× N M Theo luật môđunla ta có: N M N U N U Vậy U hạng tử trực tiếp N Hay N môđun thoả mÃn (C1) 1.5.2 Mệnh đề Hạng tử trực tiếp môđun thỏa mÃn (C2) môđun thỏa mÃn (C2) Chứng minh Gọi M môđun thỏa mÃn (C2) N hạng tư trùc tiÕp cđa M Ta cÇn chøng minh N thỏa mÃn (C2) Thật vậy, giả sử A hạng tử trực tiếp N B môđun cña N cho A B ta chøng minh B hạng tử trực tiếp N Do A hạng tử trực tiếp N nên N A X , với môđun X N Do N hạng tử trực tiếp M nên N Y M với Y môđun M Vì M N Y A X Y A X Y 13 Chøng minh Gäi U môđun tối đại M, U đóng M Do M (1 - C1) - môđun nên U hạng tử trực tiÕp cđa M, nghÜa lµ M = U U’ với môđun U M Từ giả thiết Hệ 2.1.3 dẫn đến U (1 - C1) - môđun với chiều hữu hạn Bằng quy nạp chiều Hệ 2.1.3 dẫn đến U tổng trực tiếp hữu hạn môđun Vậy M tổng trực tiếp hữu hạn môđun 2.1.6 Bổ đề Cho R vành tuỳ ý R - môđun M (1 - C1) - môđun Khi môđun N đóng M có chiều hữu hạn, N hạng tử trực tiếp M Chứng minh Gọi U môđun đóng N Khi U đóng M (Bổ đề 2.1.2) Từ giả thiết suy U hạng tử trực tiếp M, nghĩa là, M = U U, với môđun U ®ã cđa M Do U N nªn N = U (N U) luật môđunla Do U hạng tử trực tiếp N, hay N cã (1 - C1) Khi ®ã theo Bỉ ®Ị 2.1.5 ta có phân tích N thành tổng trực tiếp hữu hạn N N1 N2 Nn Trong Ni (1 i n) Tiếp theo ta quy nạp theo n sử dụng Bổ đề 2.1.4 ta có đ-ợc N hạng tử trực tiếp M 2.1.7 Định lý Cho R vành Một R - môđun M (1 - C1) - môđun với chiều hữu hạn hai điều kiện sau đ-ợc thoả mÃn: (i) M tổng trực tiếp hữu hạn môđun đều, (ii) Mọi hạng tử trực tiếp M có chiều (1 - C1) - môđun Chứng minh Giả sử M (1 - C1) - môđun với chiều hữu hạn khác không Khi dễ thấy rằng, có (i) Bổ đề 2.1.5 sử dụng hệ 2.1.3 ta có (ii) Ng-ợc lại, giả sử M thoả mÃn (i), (ii) Đặt M M1 M n n số nguyên d-ơng Mi môđun với i n Gọi V 14 môđun đóng M Giả sử V M tồn số i n cho V Mi = Không làm tính tổng quát ta cho i =1 Đặt M=M2 Mn Thì tồn môđun K đóng M cho V M1 K Khi ®ã K = M1 (K M) luật môđunla e Mặt khác, K M đóng K nên dẫn đến đóng M Nh- vËy K M’ ®ãng M’ Bằng phép quy nạp theo chiều đều, (K M) M, dẫn đến K M Mặt khác, K có chiều nên theo (ii), K (1- C1) - môđun Bởi V đóng M nên V đóng, K, V K Hay V M VËy M lµ (1 - C1) - môđun 2.2 Một số tính chất CS - môđun 2.2.1 Định nghĩa Môđun M đ-ợc gọi CS - môđun môđun M cèt u mét h¹ng tư trùc tiÕp cđa M Chứng minh t-ơng tự nh- Mệnh đề 2.1.2, ta nhận đ-ợc kết sau 2.2.2 Mệnh đề Một môđun M CS - môđun, môđun đóng M hạng tử trực tiếp M 2.2.3 Mệnh đề Cho R vành Một R - môđun M = M1 M2 tổng trực tiếp môđun đơn môđun có độ dài Khi M CS - môđun Chứng minh Thật vậy, giả sử môđun M = M1 M2 với M1 môđun đơn môđun M2 có độ dài (khi M có độ dài 3) Gọi K môđun đóng M, từ M1 môđun đơn nên K M1 = hc K M1 = M1 Ta xÐt hai tr-êng hỵp: Tr-êng hỵp K M1 = M1, rõ ràng K M Tr-ờng hợp K M1= Gäi : M1 M2 M2 lµ phÐp chiÕu vµ gäi = K Khi với phần tử x K: x = x1+ x2 víi x1 M1, x2 M2 Cho (x) = dẫn đến (x1+x2) = (x1) + (x2) = x2 = 0, K M1 = nên suy 15 x1= hay x = VËy đơn cấu nh- ta có K (K) M2 Do K M (cã l (M) = 3) nªn l (K) NÕu l ( K ) l (M ) đơn cấu đẳng cấu vµ nh- vËy ta cã K (K) = M2 hay M = M1 K Điều cho thÊy K M NÕu l ( K ) 1(K môđun đơn) K (K) M2 Vì l ( M ) nên nhK M2 = th× dƠ thÊy M = K M2 (vì không từ K M2 M dÉn ®Õn l (K M2) = < l (M) = 3, m©u thuÉn), hay K M NÕu K M2 th× K = (K) M2 Do K ®ãng M nên dẫn đến K đóng M2 Mặt khác, M2 CS - môđun, suy K M2 M, hay K M VËy M lµ CS - môđun Ví dụ Cho p số nguyên tố Z - môđun M = ( Z / Z p ) ( Z / Z p ) CS - môđun Chứng minh M phân tích đ-ợc thành tổng trực tiếp M = M1 M2 hai môđun đều, M1 = ( Z / Z p ) môđun đơn M2 = ( Z / Z p ) môđun có l (M ) Do M CS - môđun Nhận xét Mệnh đề 2.2.3 không tr-ờng hợp M tổng trực tiếp môđun đơn môđun có độ dài lớn Chúng đ-a ví dụ sau để chứng tỏ điều Ví dụ Z - môđun M (Z 2Z) (Z 8Z) không (1 - C1) - môđun Chứng minh Ta có (Z 2Z) (Z 8Z) Z - môđun xyclic nên chúng môđun Chúng ta chứng minh môđun K Z(1 2Z,2 8Z) đóng M nh-ng không hạng tư trùc tiÕp cđa M ThËt vËy, râ rµng r»ng môđun có dạng Z(0 2Z, i 8Z) với i 0, ,7 môđun Z(1 2Z,0 8Z) không chứa môđun K Ta xét môđun Ki Z(1 2Z, i 8Z) víi i 0, ,7 16 Ta cã K6 Z(1 2Z,6 8Z) K ( chó ý K K ) V× (1 2Z,2 8Z) K6 vµ (1 2Z,6 8Z) K K1 = K5 = K7 vµ K K1 , v× (1 2Z,5 8Z),(1 2Z,7 8Z) K1 (1 2Z,1 8Z),(1 2Z,7 8Z) K5 (1 2Z,1 8Z) K7 , phần tử (1 2Z,1 8Z) K1 T-ơng tự, môđun K3 Z(1 2Z,3 8Z) vµ K4 Z(1 2Z,4 8Z) không chứa môđun K phần tử (1 2Z,1 8Z) K3 vµ (1 2Z,1 8Z) K4 VËy K môđun đóng M Tuy nhiên K không hạng tử trực tiếp M M có hạng tử trực tiếp M1 (Z 8Z) , M (Z 2Z) Do M không (1 - C1) - môđun Từ Mệnh đề 2.1.2 Mệnh đề 2.2.2 ta thấy: Mọi CS - môđun (1 - C1) - môđun Nh-ng điều ng-ợc lại nói chung không đúng, mệnh đề thiết lập điều kiện để (1 - C1) - môđun CS - môđun 2.2.4 Mệnh đề Cho M môđun với chiều hữu hạn Khi M CS - môđun (1 - C1) - môđun Chứng minh Nếu M CS - môđun hiển nhiên (1 - C1) - môđun Ng-ợc lại, giả sử M (1 - C1) - môđun N môđun đóng M Ngay ta có N hạng tử trực tiếp M Bổ đề 2.1.6 Vậy M CS - môđun 2.2.5 Định lý Giả sử R vành M R - môđun cho M = Mi iI tổng trực tiếp môđun Mi, phân tích M bù hạng tử trực tiếp Giả thiết Mi không nhúng đẳng cấu đ-ợc thực vào Mj, i j I Khi phát biểu sau t-ơng đ-ơng: (i) M CS - môđun, 17 (ii) M (1- C1) - môđun, (iii) M(J) M(K) - nội xạ, tập K J cña I cho K J = Chứng minh (i) (ii) hiển nhiên (ii) (iii) Để chứng minh M(J) M(K) - nội xạ, [8, Mệnh đề 1.5] ta cần chứng minh M(J) Mk - nội xạ với k K Giả sử U môđun bất kú cđa Mk vµ : U M(J) lµ mét ®ång cÊu Ta gäi X x ( x) : x U DÔ thÊy X M(J) = 0, X nhúng đẳng cấu đ-ợc vào Mk X môđun Bởi Hệ 2.1.3 Mj Mk (1 - C1) - môđun Từ tồn môđun X cho X e X X hạng tử trưc tiÕp cđa M(J) Mk Bëi v× M(J) Mk phân tích bù hạng tử trực tiếp hai khả xẩy ra: 1) M(J) Mk = X’ M(J’) hc 2) M(J) Mk = X M(j1) Mk, Jvà J1 tập J Nếu khả 1), xảy ta có M(J) Mk = X’ M(J’) X’ M(J) M(J) Mk X M(J) = X M(J) hay M(J) = X’ M(J) Tõ ®ã ta cã J = J’ Gäi lµ phÐp chiÕu tõ X M(J) đến M(J) gọi , = M k Khi ®ã mäi x Mk, x = (x) + (x- (x)) ®ã (x) M(J) vµ x - (x) X’ Tõ ®ã ta cã , ( x) , ( x) ( x ( x)) ( x) , nghÜa lµ , lµ mở rộng Nếu khả 2) xảy Khi ®ã gäi k : X’ M(J1) Mk Mk phép chiếu tự nhiên Giả sö A = (X’ M(J1)) M(J) NÕu A 0, giả sử A M(J) víi mäi j J Khi ®ã bëi [4, MƯnh đề 3.6] A môđun cốt yếu M(J) Từ (X A) khác (U M(J)) e e (X’ M(J) MỈt (Mk M(J) vµ (U M(J) (X’ M(J)), Do vËy 18 (X’ M(J)) e (Mk M(J)) Tõ ®ã suy X’ A cèt yÕu Mk M(J) Nh-ng ®ã Mk (X’ A) vµ suy Mk (X’ M(J1)) đ-ợc Mâu thuẩn chứng tá tån t¹i mét chØ sè j J cho Mj A = Khi dễ dàng thÊy r»ng M j Ker k vµ dÉn ®Õn Mj k ( M j ) môđun Mk Bởi giả thiết Mj nhúng đẳng cấu thực vào Mk, vËy k ( M j ) = Mk Tõ ®ã chóng ta cã X’ M(J1) Mk= X’ M(J1) Mj = X’ M(J2), ®ã J2 = J1 j Điều chứng tá r»ng M(J) Mk=X’ M(J2) vµ sư dơng chøng minh nh- tr-êng hỵp 1) ta chøng tá cã mét më réng thuéc HomR(Mk,M(J)) B©y giê ta giả sử A = 0, dễ thấy rằngM(J 1) = có: M(J) Mk = X Mk Điều chứng tỏ tập J có phần tử, chẳng hạn j M(J) Mk = Mj Mk = X’ Mk Ta còng xÐt phÐp chiÕu k : X’ Mk Mk, X Mj = M j k ( M j ) lµ môđun Mk, nh- có k ( M j ) = Mk Vµ tõ ®ã M(J) Mk = X’ Mj l¹i ®-a tr-ờng hợp 1) Vậy (ii) (iii) đ-ợc chứng minh (iii) (i) Giả sử A môđun ®ãng bÊt kú cđa M Gäi J lµ tËp tối đại I cho A M(J) = Dễ kiểm tra đ-ợc (A M(J)) M e Giả sử K = I - J K , J phép chiếu từ M lên M(K) M(J) t-ơng ứng Bởi A Ker K = 0, vËy K A đơn cấu nên tồn ( K A)-1 Gi¶ sư 19 J ( K A )1 : K ( A) M ( J ) Khi dễ dàng kiểm tra đ-ợc A x ( x) : x K ( A) Bởi giả thiết M(J) M(K) - nội xạ, tồn : M(K) M(J) lµ më réng cđa Ta gäi A’ y ( y) : y M ( K ) Tõ tÝnh cèt yÕu A M(J) M ta kiểm tra đ-ợc r»ng K (A) lµ cèt yÕu M(K) vµ tõ ®ã A cèt yÕu A’ Bëi A ®ãng ta phải có A = A K (A) = M(K) Tõ ®ã suy r»ng M = A M(J), nghĩa A hạng tử trực tiếp M M môđun CS 20 Ch-ơng 3: Một số tính chất môđun tựa liên tục Trong mục trình bày khái niêm bù hạng tử trực tiếp số tính chất môđun tựa liên tục Những vấn đề trình bày mục đ-ợc tập hợp chủ yếu từ số kết có tài liƯu [2], [3], [10] 3.1 Bï h¹ng tư trùc tiÕp 3.1.1 Định nghĩa Một phân tích M = Mi đ-ợc gọi bù hạng tử trực tiếp iI đều, với hạng tử trực tiếp U cđa M, tån t¹i tËp J I cho M = U ( Mj) iI 3.1.2 Hệ Nếu phân tích M = iI Mi bù hạng tử trực tiếp, phân tích bù hạng tử trực tiếp 3.1.3 Mệnh đề Giả sử M = Mi phân tích bù hạng tử trực tiếp đều, iI tập J I, phân tích M(J) = Mj bù hạng tử jJ trực tiếp Chứng minh Giả sử U hạng tử trực tiếp M(J) Bởi M(J) hạng tử trực tiếp M Do U hạng tử trực tiếp M Khi giả thiết tồn tËp K cña I cho M = U M(K) Từ đó, luật môđunla, ta có M ( J ) U M ( K ) M ( J ) (1) Gäi K J , ta sÏ chøng minh r»ng M(K) M(J) = M( ) ThËt vËy nÕu x M(K) M(J), tồn sù biĨu diƠn x = x1+ + xk M1 Mk M(K) x x j1 x jt M j1 M jt M ( J ) 21 Vì phân tích x M = Mi, ®ã t = k vµ xi = x iI ji , i 1, , k vµ nghÜa lµ M i M ji , i 1, , k Tõ ®ã ta cã 1, , k j1, , jt K J Do vËy M1 M k M () vµ suy x M () Ng-ợc lại x M () , ®ã, cã sù biĨu diƠn x x1 xm M 1 M m M () Nh-ng K J 1, , m K J Tõ ®ã M 1 M m M ( K ) M ( J ) NghÜa lµ chóng ta cã x x1 xm M ( K ) M ( J ) VËy chóng ta chứng minh đ-ợc M () M ( K ) M ( J ) ®ã K J Từ (1), ta có M ( J ) U M () , vµ M(J) = Mj phân tích bù hạng tử trùc jJ tiÕp ®Ịu 3.2 Mét sè tÝnh chÊt cđa môđun tựa liên tục Theo [8, Mệnh đề 2.7], hạng tử trực tiếp môđun tựa liên tục liên tục Tuy nhiên tổng trực tiếp môđun tựa liên tục không thiết tựa liên tục Chẳng hạn, cho vành R xác định nh- sau: F R= 0 F F F ë F tr-ờng Cho A = 0 F vµ B = F 0 F , ta cã A vµ B R - môđun tựa liên tục Tuy nhiên, R = A B không tựa liên tục Vì Định lý sau đây, trình bày điều kiện để tổng trực tiếp môđun tựa liên tục tựa liên tục 3.2.1 Định lý Cho M : họ môđun tựa liên tục Khi điều kiện sau t-ơng đ-ơng: 22 i) M M tựa liên tục, ii) M lµ M - néi x¹, Chøng minh i) ii) Điều đ-ợc suy từ [8, Mệnh đề 2.10] ii) i) Sử dụng [8, Định lý 2.8] cần phải eM M luỷ đẳng e End E(M) Do eM e(M ) eM , Chóng ta cÇn chøng minh r»ng eM M , (*) Cố định Từ M M nội xạ , [8, Mệnh đề 1.5] nên M M - nội xạ Đặt N1= M N2= M Khi N1,N2 nội xạ lẫn N1 tựa liên tục Cho E1, E2 lần l-ợt bao nội xạ M, a a N1,N2 Khi ®ã E E1 E2 e 11 12 eij : E j Ei Vì N2 a21 a22 N1 nội xạ theo [8, Bổ đề 1.13] nên ta có e21N1 N2 ; Và ta cịng dƠ thÊy r»ng EN1 e11N1 e21N1 e11N1 N2 Do ®ã ®Ĩ chøng minh ®iỊu kiƯn (*) ta chØ cÇn chøng minh e1N1 M ta cã e = e2 ; e11 e112 e21e21 ; đặt a = a11; b = 1- e11 ®ã ab = ba = a - a2 =e12e21 End E1, đặt K = Ker ab , ta cã aK bK = vµ aK Ker b Ker ab = K ®ã K = aK bK E1 nội xạ nên tồn phần tử luỷ đẳng trực giao f, g End E1 cho E1 = f(E1) g(E1), aK f(E1) bK g(E1) Khi fK = f(aK bK) = faK = aK Do ®ã K f ( E1 ) fK aK K fE1 vµ K fE1 aK Kerb , a bfE1 đơn cấu Vì E1 nội xạ, nên tồn EndE1 cho bf abf V× N1 tựa liên tục, N1 N2 nội xạ lẫn [8, Định lý 2.8, Bổ đề 1.13] nên nhận đ-ợc 23 bfN1 abfN1 abN1 e12e21N1 e12 N N1 , t-ơng tự chứng minh đ-ợc agN1 N1 Khi đó, aN1 a( f g ) N1 afN1 agN1 (1 b) fN1 agN1 N1 , ®ã e11N1 = aN1 N1 M Chúng ta đà biết rằng, môđun tựa liên tục (1 - C1) - môđun Tuy nhiên, điều ng-ợc lại nói chung không Các kết sau đây, trình bày điều kiện để (1- C1) - môđun tựa liên tục áp dụng Định lý 3.2.1 Định lý 2.2.5 ta nhận đ-ợc kết sau đây: 3.2.2 Hệ Cho M M i tổng trực tiếp môđun cho phân iI tích M bù hạng tử trực tiếp Nếu M (1- C1) - môđun Mi không nhúng đẳng cấu thực vào Mj i j I M môđun tựa liên tục 3.2.3 Định lý Cho R vành liên tục phải nửa hoàn chỉnh P R - môđun phải xạ ảnh Khi P môđun tựa liên tục P (1- C1) - môđun Chứng minh Giả sử R vành nửa hoàn chỉnh liên tục phải P môđun phải xạ ảnh R Bởi R nửa hoàn chỉnh, theo [5, Định lý 22.23], R chứa tập đầy đủ luỹ đẳng trực giao e1, , en vµ R e1R en R , vành tự đồng cấu End(eiR) địa ph-ơng Bởi R liên tục phải nên dễ thấy eiR không nhúng đ-ợc thực vào e iR i, j 1, , n Mặt khác [3, Định lý 27.11] chóng ta cã P= Pi , iI (1) 24 tập I Pi đẳng cấu với ejR thuộc e1R, , en R Pi không nhúng đ-ợc vào Pj với i j thuộc I Bây giả sử P môđun tựa liên tục, rõ ràng P (1 - C1) môđun Ng-ợc lại P (1- C1) - môđun, ta chứng minh phân tích P (1) bù hạng tử trực tiếp Giả sử U hạng tử trực tiếp P x U, x Khi tồn tập hữu hạn F I cho x Pi Bởi iF U đều, nên xR môđun cốt yếu U Mặt khác xR P (I - F) = 0, ®ã U P(I - F) = từ U nhúng đẳng cấu đ-ợc vào Pi Gọi V iF môđun mà U V Ta gi¶ sư F = 1, ,n víi n số nguyên Pi iF d-ơng bé mµ V P1 Pn Pj phép chiếu tự nhiên Ta dễ dàng kiểm tra ®-ỵc r»ng n Ker ( j V ) j Từ V đều, không tính tổng quát ta suy đ-ợc Ker (1 V ) V P2 Pn §iỊu chứng tỏ V nhúng đẳng cấu vào đ-ợc P1 Nh-ng bëi v× U V , v× vËy U nhúng đẳng cấu đ-ợc vào P1 Bởi giả thiết U hạng tử trực tiếp P, U R - môđun xạ ảnh Bởi U tồn ekR thuộc e1R, , en R cho U ek R Hơn ekR không đẳng cấu thực vào P1 (U ) P1 Tõ ®ã ta cã P U ( Pi ) Nghĩa 1iI phân tích P Pi bù hạng tử trực tiếp bù Từ áp dụng Định lý 3.1.4 ta iI đ-ợc P môđun tựa liên tục, Định lý đ-ợc chứng minh 25 áp dụng Định lý 3.2.3, sau thu đ-ợc đặc tr-ng vành QF thông qua lớp (1- C1) - môđun 3.2.4 Hệ Mét vµnh nưa hoµn chØnh R lµ QF nÕu vµ R liên tục phải R - môđun phải xạ ảnh (1 - C1) - môđun 26 KếT LUậN Trong luận văn này, hệ thống lại cố kết lớp môđun (1- C1), CS tựa liên tục Cụ thể, đà hệ thống chứng minh chi tiết công việc sau: Điều kiện cần đủ để môđun với chiều hữu hạn (1- C1), (Định lý 2.1.7) Một số điều kiện cần đủ để tổng trực tiếp họ môđun CS, (Định lý 2.2.5) Trình bày điều kiện cần đủ để tổng trực tiếp họ môđun tựa liên tục tựa liên tục, (Định lý 3.2.1) Một số điều kiện để môđun (1 - C1) tựa liên tục (Định lý 3.2.3, Hệ 3.2.2) 27 Tài liệu tham kh¶o TiÕng ViƯt [1] N T Quang, N D Thn, (2001), Cơ sở lý thuyết môđun vành, NXBGD, Hà Nội [2] Ngô Sỹ Tùng (1995), Một số lớp vành đặc tr-ng điều kiện liên tục lớp CS - môđun, Luận án Phó Tiến Sỹ khoa học Toán - Lý, Tr-ờng Đại học Vinh Tiếng Anh [3] Anderson F W, Fuller K R (1974), Rings and Categories of Modules, Springer - Verlag, New York - Heidelberg - Berlin [4] Ng.V Dung, D.V Huynh, Smith P.F Wisbauer R.(1994), Extending Modules, Pitman, London [5] Faith C Algebra (1976) Ring Theory, Springer - Verlag, Berlin Newyork [6] A Harmanci and P F Smith, (1993), Finite direct sums of CSmodules, Houston J Math 19, 523 - 532 [7] Mohamed S.H and Bouhy T (1977), Continuous Modules, Arabian J Sci Eng 2, 107 - 122 [8] Mohamed S.H and Muller B.J (1990) Continuous and Discrete Modules, London, Math Soc Lecture note series 147, Cambridge Univ Press [9] D W Sharpe and P Vamos(1972) , Injective Modules, Cambridge Univ Press [10] Ngo Sy Tung (1994), Some results on quasi- continous modules, Acta Mathematica Vietnamica, Vol.19(2), pp 13-17 ... jJ tiếp 3.2 Một số tính chất môđun tựa liên tục Theo [8, Mệnh đề 2.7], hạng tử trực tiếp môđun tựa liên tục liên tục Tuy nhiên tổng trực tiếp môđun tựa liên tục không thiết tựa liên tục Chẳng hạn,... Hạng tử trực tiếp môđun liên tục (tựa liên tục) môđun liên tục (tựa liên tục) 11 Ch-ơng 2: CS - môđun (1- C1) - môđun Trong mục trình bày khái niệm CS - môđun (1- C1) môđun số tính chất chúng Những... - môđun tựa liên tục Tuy nhiên, R = A B không tựa liên tục Vì Định lý sau đây, trình bày điều kiện để tổng trực tiếp môđun tựa liên tục tựa liên tục 3.2.1 Định lý Cho M : họ môđun tựa liên