1 Bộ giáo dục đào tạo Tr-ờng đại học vinh Lê thị xinh Về môđun tựa liên tục Luận văn thạc sĩ toán học Nghệ an 2011 MC LỤC Trang Mục lục Danh mục ký hiệu v ch cỏi vit tt Lời nói đầu Chƣơng 1: Kiến thức 1.1.Định nghĩa ví dụ 1.2.Một số tính chất mơđun cèt yÕu Chƣơng 2: 2.1 Một số tính chất mơđun tựa liên tơc 15 2.2 Một số tính chất lớp CS-môđun (1-C1)-môđun 18 Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 31 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU A B: Tổng trực tiếp môđun A môđun B Mi: Tổng trực tiếp môđun Mi với tập số I iI Mi: tổng môđun Mi, iI iI N M: N môđun môđun M N e M: N môđun cốt yếu môđun M N M: N hạng tử trực tiếp môđun M Z : vành số nguyên (là Z-môđun Z) : nhóm cộng số hữu tỷ (là z-mơđun ) Z(M): môđun suy biến M HomR(A,B): tập tất đồng cấu từ môđun A đến môđun B : kết thúc chứng minh Lêi nãi đầu Trong trình phát triển toán học, vấn đề nghiên cứu lớp môđun đà đ-ợc nhiều nhà toán học quan tâm đà đạt đ-ợc nhiều kết sâu sc Năm 1960, Utumi đà nhận xét, vành quy liên tục mở rộng vành quy tựa nội xạ, ông đà suy rộng khái niệm liên tục, tựa liên tục cho vành Mohamed Bouhy đà suy rộng khái niệm liên tục vành cho môđun Năm 1977, Charttes A.W Hajarnavis đà đ-a khái niệm Extending Module (còn gọi CS - môđun) Sự đời lớp CS-môđun đà có ứng dụng quan trọng việc nghiên cứu lý thuyết vành Đặc biệt Đinh Văn Huỳnh, P.F.Smith, Nguyễn Việt Dũng ng-ời nghiên cứu đạt đ-ợc nhiều kết CS- môđun Lp mụun tựa liên tục mở rộng lớp môđun liên tục nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu.Dựa vào tài liệu [3] tài liệu [5] luận văn tập trung hệ thống lại khái niệm số tính chất lớp mơđun tựa liên tục,đó lý chúng tơi chän ®Ị tài Về môđun tựa liên tục Lun c chia làm hai chương cïng với phần mở đầu, kết luận, danh mục c¸c ký hiệu tài liệu tham kho Chng 1.Kiến thức Trình by nh nghĩa, vÝ dụ c¸c tÝnh chất cã liên quan n lun Chng Về môđun tựa liên tục Trình by mt s tính cht ca môun tựa liên tục, lp CS-môun, (1-C1)môun v c trng ca môun ta liên tục bi tính cht (1-C1)- môun Lun văn th¸ng năm 2011, thực hoàn thành trường Đại học Vinh s hng dn ca PGS.TS.Ngô S Tùng Tác gi xin c by t lòng bit n chân thnh sâu sc n thy giáo hng dn PGS.TS Ngô Sỹ Tùng, ngi à trc tip ng viên, dìu dt tn tình, ch bo nghiêm túc sut trình hc tập, nghiªn cứu hồn thành luận văn, gióp cho tác gi t tin hn trình c lp s¸ng tạo, tu dưỡng rÌn luyện khả tập dt nghiên cu khoa hc Trong trình hc viết luận văn, t¸c giả nhận giúp tn tình ca thy giáo cô giáo tổ Đại số trường Đại học Vinh Cũng dịp này, t¸c giả xin cảm ơn đến PGS.TS Nguyễn Quý Dy, PGS.TS Nguyễn Thành Quang ,TS Nguyễn Thị Hồng Loan,TS Mai Văn T- ,TS Đào Thị Thanh Hà thy giáo, cô giáo khoa Toán, Khoa Sau đại học trường Đại học Vinh c¸c bạn lp cao hc khoá 17 chuyên ngành Đại số Lý thuyết số, ó nguồn ng viên v giúp đỡ để luận văn hồn thành đóng kế hoạch Cui cùng, kh nng nhiu hn ch nên không tránh nhng sai sót, tác gi rt mong nhn c nhng góp ý chân tình ca quý thy giáo, cô giáo tt c bn Nghệ An, th¸ng 10 năm 2011 T¸c giả CHƢƠNG KiÕn thức Trong luận văn vành đ-ợc hiểu vành kết hợp, có đơn vị môđun môđun phải unita vành cố định R không nói thêm 1.1 Một số định nghĩa ví dụ 1.1.1 nh ngha môđun cèt yÕu Cho m«đun M N M M«đun N gọi cốt yếu M, ký hiệu N e M, N K vi mi môun khác không K ca M Nu N l môđun ct yu ca M, th× ta nãi M mở rộng cốt yếu N vÝ dụ: M«đun M e M víi môđun M; n Z e Z , n (xét Z -môđun) 1.1.2 nh ngha môđun ®Ịu M«đun U gọi U bt k môun A v B khác U th× A B 0, hay mi môđun khác không ca U l môđun ct yu U Nhận xét Môđun môđun môđun môđun Ví dụ: a) Z -m«đun Z víi A, B Z th× A = n Z , B = m Z , với m, n ®ã A B=[m,n] Z 0, ([m,n] bội số chung nhỏ m, n) b) Z -môđun ( môđun vành Z : Nhóm cộng số hữu tỉ) Vì giả sử A, B tån t¹i m a A; B ta cã: k b a b am = bm ka m m a suy ra: am A B; am (v× bm A; ka B) k k b 1.1.3 nh ngha môđun đóng Cho môđun M v N M Môđun N đc gi l óng M nu N không cã mở rộng cèt yÕu thực M Nãi kh¸c N gọi đãng M nu vi mi môđun K ca M mà N e K th× K=N VÝ dụ: A v B l hai môđun ca M thoả mÃn M=A B môđun A môđun B l đóng M 1.1.4 nh ngha môđun nội xạ, tựa nội xạ Cho hai môđun A v M, môđun M ®ược gọi A-nội xạ (A-injective) với mäi X môđun A v vi mi đng cu môđun f: X M tồn mt ®ồng cấu m«®un g: A M cho biểu đồ giao hoán g.i = f (i) phép nhóng ®ång nhÊt) i X f A g M NÕu M A- nội xạ, với môđun phải A vành R ta nói môđun M nội xạ Môđun M đc gi l ta ni x (quasi-injective) M M- nội xạ VÝ dụ: i) Z -môđun nội xạ ii) Z -môđun Z không ni x 1.1.5 nh ngha môđun liên tục, tựa liên tục, CS-môđun, (1-C1)-môđun * Các điều kiện (Ci), i = 1, 2, 3; (1-C1) Cho môđun M, xét iu kin sau: (C1) Mi môđun ca M l cốt yếu hạng tử trực tiếp M Nói cỏch khỏc, mi môđun M l mt hạng tử trực tiếp M (C2) Nếu M1 M2 l cỏc môđun ca M đng cu vi M1 hạng tử trực tiếp M M2 hạng tử trực tiếp M (C3) Nếu mơđun M1, M2 cđa M mµ M1 vµ M2 hạng tư trực tiếp M M1 M2 = M1 M2 hạng tử trực tiếp M (1-C1) Mọi môđun M cốt yếu hạng tử trực tiếp M * Định ngha Môđun M c gi l CS-mụun (Extending) nu M thỏa mãn điều kiện (C1) Môđun M gọi (1-C1)-môđun M thỏa mãn điều kiện (1-C1) Môđun M gọi liên tục (continuous) M thỏa mãn điều kiện (C1) (C2) Môđun M gọi tựa liên tục (quasi-continuous) M thỏa mãn iu kin (C1) v (C3) Mệnh đề: Nếu môđun M thoả mÃn điều kiện (C2) thoả mÃn điều kiÖn (C3) Chøng minh: ThËt vËy M1 M nên M =M1 M 1, với M1* môđun M Xét phép chiếu : M1 M1* M1* x1* x1+ x1* * Ta chøng minh M1 M2 = M1 M2 (1) LÊy x1+ x (M1 M2) x2 M2 M x2 =m1+m1* (M1 M1*) ( x2) = m1 x1 + x2 = x1 + m1 + m1 =(x1+ m1)+ m1 (M1 + M2) * * * (x1 +m1) M1, m1*= (x2) M2 (M1 M2) (M1 M2) LÊy y1 + (y2) (M1 + (M2)) v× y2 M2 y2 = k1+k1* (M1 M1*) * k1 = y2-k1 y1 + (y2)= y1 +k1 = y1 +y2 – k1 * = (y1- k1) + y2 (M1 M2) (do (y1- k1) M1, y2 M2) (M1 M2) (M1 M2) M1 M2 = M1 M2 * Ta cã Ker = M1 mµ M1 M2= M2 : đơn cấu (M2) M2 mà M2 M (M2) M * Ta chØ cÇn chøng minh (M1 M2) M (1) ta cã M= (M2) N M = M 1 M1 Do (M2) M (a) víi N M (b) tõ (a) dïng luËt Mo®ular ®èi víi M 1 ta cã: M 1 = (M2) +(N M 1 ) thay M 1 vµo (b) ta cã: M = (M2) M1 (N M 1 ) ( (M2) M1) M Ta cã c¸c phÐp kéo theo sau lớp môđun Nội xạ Tựa nội xạ Liên tục Tựa liên tục CS (1- C1) Chiều ng-ợc lại dÃy kéo theo nói chung không đúng(đà cã c¸c vÝ dơ trong[5]) 1.1.6 Định nghĩa tỉng trùc tiÕp Môđun A gọi tổng trực tiếp họ môđun (Ai i I) điều kiện sau thỏa mãn: (1) A = Ai ; iI (2) A j Ai 0, j I i j 10 1.1.7 nh ngha môđun không phân tích đ-ợc Một môđun M đ-ợc gọi không phân tích đ-ợc tr-ờng hợp khác không hạng tử trực tiếp không tầm th-ờng 1.1.8 nh ngha hạng tử trực tiếp địa ph-ơng Mt h {Ai i I} cỏc mụun M gọi hạng tử trực tiếp địa phương M Ai tổng trực tiếp Ai hạng tử trực tiếp M iI iJ với tập hữu hạn J ca I 1.2 Một số tính chất môđun cốt yếu 1.2.1 Mệnh đề Cho M R-môđun, đó: a) Với N môđun M N e M x M , xR N b) NÕu K N, N M th× K e M K e N vµ N e M c) NÕu Ai e Bi, i = 1, n , Ai, Bi M th× n i1 n n Ai e Bi Đặc biệt, Ai e M th× i1 Ai e M i1 d) Víi K N, N M NÕu N/K e M/K th× N e M e) NÕu f: B C đồng cấu môđun A e C th× f -1(A) e B f) Cho M= Mi, A = Ai, Ai vµ Mi môđun M, i I, ®ã iI iI Ai e Mi, i I Khi tồn Chứng minh: a) * Điều kiện cần xR Mi vµ Ai Mi e iI iI iI 18 M (f - )M= ThËt vËy: LÊy x, y M: (f - )(x) = y Khi ®ã f(x) = y + (x) M f(x) A1 (V×(1-f)(x) = x ’ f(x) A2) (1-f)(x) = (x)- f(x) = (x)= f(x) = f(x) (do f(x) A1) y = Do M e E(M) vµ (f - )(M) E(M) (f - )(M)= f(M)= (M) M (iii) (iv) Chøng minh : M (M Ei) iI LÊy m M v× M E(M) = Ei m E1 E2+ +Ek ( k) ViÕt E(M) = E1 E2+ Ek E* LÊy phÐp chiÕu fi : E(M) Ei th× fi2= fi vµ Ei = fi (E(M)) fi(M) M m = m1+ m2 + +mk = f1(m) + + fi(m) (do fi lµ phÐp chiÕu) = fi(m) (M Ei) iI m (M Ei) M (M Ei) mµ iI iI (M Ei) M nªn iI M = (M Ei) iI (iv) (i) LÊy A M viÕt E(M) = E(A) E* M=(M E(A)) (M E) A e (M E(A)) Do M tho¶ m·n (C1) lÊy M1, M2 M vµ M1 M2 = E(M) = E1 E2 E’ víi Ei = E(Mi) (i =1, 2) nªn M =( M E1) (M E2) ( M E) Từ Mi M Mi e (M Ei), Mi = M Ei (i = 1, 2) M tựa liên tục 2.1.4 Mệnh đề: Nếu M1 M2 tựa liên tục M1 M2 nội xạ t-ơng đối ( tức M1 M2-nội xạ M2 M1- nội xạ) 2.1.5 Mệnh đề cho môđun n Mi tựa liên tục Mi Mj tựa liên tục i < j n i1 2.1.6 Mệnh đề cho môđun Mi tựa liên tục Mi tựa liên tục Mj-nội xạ i j iI 19 2.2 Mét sè tÝnh chÊt cña lớp CS-môđun (1-C1)-môđun 2.2.1 H qu Cho mụun M Nếu M CS-mơđun M (1-C1)-mơđun Chứng minh: Giả sử M CS-môđun theo định nghĩa CS-môđun, môđun M cốt yếu hạng tử trực tiếp M Do vậy, môđun cốt yếu hạng tử trực tiếp M, từ dẫn đến M (1-C1)-mơđun theo Định nghĩa 1.1.5 2.2.2 Bổ đề Giả sử M mơđun (i) Cho A mơđun tùy ý M Nếu A đóng hạng tử trực tiếp M A đóng M (ii) Mọi hạng tử trực tiếp M đóng M Chứng minh: (i) Giả sử M=M1 M2 A đóng M1, ta chứng minh A đóng M Thật vậy, xét phép chiếu : M1 M2 M1 Giả sử A e B M ta chứng minh A = B Ta có: A M1 suy A M1 = A đơn cấu Do A = (A) e (B) M1 Vì A đóng M1 nên (B) =A B 1 B B Suy (1- )B B = mà ta có A e B suy (1- )(B)= Hay B= (B) M1 Do A đóng M1 nên ta có A = B Vậy A đóng M (ii) Giả sử A hạng tử trực tiếp M ta có M = A B Lấy N M cho A e N A B e N B Từ e N B suy N B = A ta có Ker( ) = B mà N B = nên Xét phép chiếu : A B N ker( )=0 B đơn cấu Vì N nhúng đơn cấu vào môđun A mà A N A=N Vậy A đóng M 20 2.2.3 Hệ Hạng tử trực tiếp (1-C1)-môđun (1-C1)-môđun Chứng minh: Giả sử A M hay M=A B suy A đóng M ta chứng minh A (1-C1)–môđun Thật vậy, lấy môđun T đóng A Do A đóng M nªn T đóng M Mà M (1-C1)-mơđun nên T M M = T K với K M Mặt khác M= A B T A, suy tồn môđun C= A K M thỏa mãn (A K) T={0}, suy (A K) +T=A A =(A K) T hay A = C T T A, A (1-C1)-mơđun 2.2.4 Bổ đề Nếu M (1-C1)-mơđun, mơđun đóng M (1-C1)-mơđun Chứng minh : Giả sử N mơđun đóng M U mơđun đóng N (Do mơđun A đóng mơđun B mà mơđun B đóng mơđun C mơđun A đóng mơđun C) Khi U đóng M Vì M (1-C1)-môđun nên U hạng tử trực tiếp M nghĩa M=U X với X môđun M Vì U N nên theo luật Mo®ular ta có N=U (X N) Như U hạng tử trực N suy N (1-C1)-mơđun 2.2.5 HƯ qu¶ Gi¶ sư M= Mi với tất Mi Nếu M iI (1-C1)- môđun môđun đóng khác không M chứa môđun hạng tử trực tiếp M Chng minh: Giả sử A môđun đóng khác không M Khi ®ã theo Bỉ ®Ị 2.2.4, A chøa m«®un ®Ịu khác không U Gọi V bao đóng U A Vì A đóng M nên V môđun đóng M Do M 21 (1-C1)- môđun nên V hạng tử trực tiếp M Vậy A chứa môđun h¹ng tư trùc tiÕp cđa M 2.2.6 Mệnh đề Giả sử M (1-C1)-môđun X U mơđun đóng M, X hạng tử trực tiếp M U môđun Khi X U hạng tử trực tiếp M Chứng minh: Vì A hạng tử trực tiếp M m=x M1 với M1 môđun M Gọi : M M1 phép chiếu tự nhiên Giả sử V mở rộng cốt yếu (U) M1, U X =0 U đơn cấu nên ta có (U) U, (U) mơđun Như V mơđun đóng M1 Do M1 hạng tử trực tiếp M, M (1-C1)-mơđun nªn M1 (1-C1)-môđun Ta thấy 1 (V) 1 ( (U) X U (v× (X) = 0) Ta chứng minh 1 (V) X U Thật vậy, lấy x 1 (V) (x) V mà x =x’+m1 với x’ X, m1 M1, (x) = m1 V Từ suy x = x’+m1 X V hay X U 1 (V) X V (*) Ta chứng minh X U cốt yếu X V Thật vậy, gọi Z =(X U) V Lấy x + u X U, u Theo (*) ta có x +u X V hay x + u = x’+ v, v = x – x’+ u v u nên suy Z Bởi V nên Z e V, từ ta có X Z e X V Nhưng (X Z) (X U) nên (X U) e (X V) Theo giả thiết X U đóng nên X U=X V Vì M =X M1 V hạng tử trực tiếp M1 nên M =X V M2 với M2 môđun M1 Suy X V hạng tử trực tiếp M nghĩa X U hạng tử trực tiếp M 22 2.2.7 Mệnh đề Giả sử M M M M1 M2 (1-C1)mơđun Khi M (1-C1)-môđun môđun đóng K M hạng tử trực tiếp M, K M K M Chứng minh: * Điều kiện cần Gi s M l (1-C1)-mụun Lỳc K mơđun đóng M thỏa mãn K M1 = K M2 = rõ ràng ta có K hạng tử trc tip ca M * Điều kiện đủ Ngc li, mơđun đóng K cđa M, với K M1 = K M2 = 0, hạng tử trực tiếp M, ta chứng minh M (1-C1)-môđun Giả sử L môđun đóng M Khi tồn phần bù H L cho L M2 e H, ta có H đóng M Theo giả thiết H M = nên M=H H’ víi H’ mơđun M Theo luật mo®ular ta có L=H (L L’) Hơn L H’ đóng L, L đóng M, nên L H’ đóng M Vì vậy, theo giả thiết (L H’) M2 L H hạng tử trực tiếp H’, nghĩa H’=(L H) X với X môđun H’ Mà M=H H’suy M=H (L H’) X =L M hay L hạng tử trực tiếp M Vậy M (1-C1)-môđun 2.2.8 Bổ đề Cho M1 M2 môđun M M M Khi M2 M1 nội xạ với môđun N M cho N M , tồn môđun M’ M cho M M M ' N M Chng minh: * Điều kiện cần Gi s môđun N M, với N M2 = 0, tồn môđun M’ M cho M M M ' N M’ Cho L M1 g:L M2 đồng cấu 23 Đặt H ={x - g(x) / x L} Khi H mơđun M H M2 = Theo giả thiết tồn môđun H’ M cho M = M2 H’và H H’ XÐt phÐp chiÕu chÝnh t¾c : M2 H’ M2, M : M1 M2 với x L ta có: (x) = [x - g(x)+ g(x)] = (x – g(x)) + g(x) = g(x) Như mở rộng g M1 Vậy M2 l M1 ni x * Điều kiện đủ Ngc li, M2 M1 nội xạ, gọi i phép chiếu tự nhiên i : M Mi Xét biểu đồ giao hốn sau, 1 N; 2 N Do M2 M1 nội xạ nên tồn đồng cấu : M1 M2 cho N M1 M2 Đặt M’= {x + (x)/ x M1} Khi ®ã, víi x N, x = x1+ x2 víi x1 M1, x2 M2 Ta cã x = x1+ (x1+ x2) = x1+ (x1 + x2) = x1+ (x1) (x1+ x2) = x1 VËy x2 M’, hay N M’ (1) LÊy y M’+M2 th× cã y1 M1 cho y =y1 + (y1) y1 = y - (y1) M2 ®ã y1 M1+M2 = 0, vËy y1 = hay y = Nh- vËy M’ M2 = (2) Bây lấy phần tử x M, ta có x = x1 + x2 víi x1 M1, x2 M2 Khi ®ã x = x1 + (x1) + x2 - (x1) ®ã, x1 + (x1) M’, x2 - (x1) M2 VËy x M’ M2, hay M M’+M2 Tõ (1), (2) vµ (3) ta cã M =M’ M2 vµ N M’ (3) 24 2.2.9 Bổ đề Cho R vành M R-môđun cho M M M M n tổng trực tiếp hữu hạn môđun Mi với i=1,2,…,n, M i , i 1, , n họ môđun nội xạ lẫn Khi M (1-C1)-mơđun Mi (1-C1)-môđun với i = 1,2,…,n Chứng minh: * Điều kiện cần Theo Hệ 2.2.3, ta thấy M (1-C1)-mơđun Mi (1-C1)mơđun, i = 1, 2, , n * Điều kiện đủ Ngc lại, giả thiết Mi, với i = 1, 2, …, n (1-C1)-môđun nội xạ lẫn nhau, ta chứng minh M (1-C1)-môđun phương pháp qui nạp theo n Ta cần chứng minh cho trường hợp n =2 Giả sử M = M1 M2 Gọi K mơđun đóng M Vì M1và M2 hạng tử trực tiếp M nên K M1 = K M2 = Khơng làm tính tổng qt ta giả sử K M2 = Khi đó, M2 M1- nội xạ nên theo Bổ đề 2.2.7, tồn môđun L M cho M = L M2 K L Đặt : M1 M2 M1 phép chiếu tự nhiên Với phần tử xL tồn x1M1, x2M2 cho x = x1 + x2 Khi ta có (x) = (x1+x2) = x1 Cho (x) = ( x1 + x2) = x1 = x = + x2, L M2= nên x = x2=0 hay ker ( L) = Như L đơn cấu Bây ta xét phần tử x1' M1 Vì M=L M2 nên tồn x2' M2, x ' L cho x1' = x ' + x2' x ' = x1' - x2' Khi ( x ' ) = ( x1' - x2' )= x1' hay L toàn cấu Vậy L đẳng cấu hay L M1 25 Gọi K’ môđun M1 mà K K’ Vì K mơđun đóng M nên K đóng L điều dẫn đến K’ đóng M1 Do M1 (1-C1)-môđun nên K’ M1, nghĩa M1= K ' U’ Gọi U môđun L mà U U’ Ta chứng minh L = K U Thật vậy, lấy phần tử x(U K) L Khi đó, nên L (x) L (U K) ( L (U) L L đẳng cấu (K)) = U ' K’= hay x = Vậy U K = Bây lấy phần tử xL x2' U’ cho L L (x) = x ' M1 Khi có x1' K’, (x) = x ' = x1' + x2' Điều dẫn đến tồn phần tử x1K, x2U cho x1' = L (x1), x2' = L (x2) Như L(x) = x ' = x1' + x2' = L (x1) + L (x2) = L (x1+x2) hay x = x1 +x2 Vậy L= K U Khi ta có M = L M2 = K U M2 hay K M Hay M (1-C1)- môđun 2.2.10 MƯnh §Ị Giả sử R-là vành, M R-mơđun vµ M M M M n thoả mÃn điều kiện sau: (a) Mi l môun u, i=1, 2, , n (b) Sự phân tích cđa M M M M n lµ sù ph©n tÝch bï hạng tử trực tiếp (c) Với i j n , đơn cấu Mi Mj đẳng cấu, phát biểu sau tương đương (i) M (1-C1)-môđun (ii) M i M j (1-C1)-môđun với i j n 26 Chứng minh: (i) (ii) hiển nhiên theo Hệ 2.2.3 (ii) (i) Giả sử môđun A =Mi Mj (1-C1)-môđun với i j n Gọi K Mi (K môđun đều) f : K Mj đồng cấu Đặt U = {x – f(x): x K} Mi Mj, U K (do phép chiếu tự nhiên : Mi Mj Mi có (U)=K) môđun A Lấy y U Mj tồn x K cho y = x – f(x), suy x = y + f(x) Mj K= Do y = dẫn đến U Mj = Bởi A (1-C1)-mơđun nên tồn mơđun U’ A U e U’ Do phân tích bù hạng tử trực tiếp nên có: A= U’ Mi A= U’ Mj Trường hợp 1: A= U’ Mi Gọi i phép chiếu từ U’ Mi đến Mi gọi i Mi Khi U e U’ nên U’ đóng A U’ Mj = Như đơn cấu, từ giả thiết suy đẳng cấu Điều có nghĩa A= U’ Mj Mj Ta gọi j Mj , j : phép chiếu tắc Khi với x K, x = f(x) +(x-f(x)), f(x) Mj x – f(x) U’ [ f ( x) x f x ] Từ ta có x i Mi x i i Mi f x Mi i Mi x f x f x Có nghĩa mở rộng f hay Mj Mi- nội xạ Trường hợp 2: A= U’ Mj gọi j : U’ Mj Mj phép chiếu gọi j Mj Khi x Mi, x = x – f(x) + f(x) f(x) Mj x – f(x) U’ Từ ta có (x) = [(x - f(x)) + f(x)] = f(x), nghĩa mở rộng f hay Mj Mi - nội xạ Như vậy, môđun Mi(1 i n) nội xạ lẫn áp dụng Bổ đề 2.2.9 ta có M (1-C1)-mơđun 27 2.2.11 Mênh đề Giả sử R- vnh v M l mt R-môun M= M i iI thoả mÃn điều kiện sau: (a) Mi c¸c mơđun , i I (b) Sự phân tích cđa M= M i phân tích bù hạng tử trực tiếp iI (c) Với i,j I, i j, Mi khụng nhúng đẳng cấu đ-ợc thực vào Mj, ú cỏc phỏt biu sau tương đương (i) M CS –môđun (ii) M l (1-C1)-mụun (iii) M(J) M(K)- nội xạ, với K, J lµ tËp cđa I cho J K= Chøng minh: (i) (ii) Lµ hiển nhiên (ii) (iii) Để chứng minh M(J) M(K)- nội xạ, [8, Mệnh đề 1.5] ta cần chứng minh M(J) Mk- nội xạ với k K Giả sử U môđun bất kú cđa Mk vµ : U M(J) lµ mét ®ång cÊu Ta gäi X = {x - (x): x U} DÔ thÊy X M(J)= 0, X nhúng đẳng cấu đ-ợc vào Mk X môđun Bởi hệ 2.1.3 Mj Mk (1-C1) - môđun Từ tồn môđun X’ cho X e X’ vµ X’ lµ hạng tử trực tiếp M(J) Mk Bởi M(J) Mk phân tích bù hạng tử trực tiếp có hai khả xảy ra: 1) M(J) Mk= X’ M(J’) 2) M(J) Mk = X’ M(J1 ) Mk Trong ®ã J, J1 tập J Nếu khả 1) xảy ta có M(J) Mk = (X’ M(J’)) (X’ M(J)) (M(J) Mk) X M(J’) = X’ M(J) hay M(J) = X’ M(J) Tõ ®ã ta cã J = J’ 28 Gọi phép chiếu từ X M(J) đến M(J) vµ ' M k Khi ®ã mäi x Mk x = (x) + (x - (x)) ®ã (x) M(J) x - (x) X Từ ta có ' (x) = ' [ (x) + (x - (x))] = (x) nghÜa lµ ' mở rộng Nếu khả 2) xảy ra, gọi k : X M(J1) Mk Mk lµ phÐp chiÕu tù nhiên Giả sử A = (X M(J1)) M(J) NÕu A 0, gi¶ sư A M(J) víi mäi j J Khi ®ã bëi [4, Mệnh đề 3.6] A môđun cốt yếu M(J) Tõ ®ã (X’ A) e (X’ M(J)) Mặt khác (U M(J)) e (Mk M(J)) vµ (U M(J)) (X’ M(J)), vËy X’ M(J) e (Mk M(J)) Tõ ®ã suy X’ A cèt yÕu Mk M(J) Nh-ng ®ã Mk (X’ A) vµ suy Mk (X’ M(J1)) không đ-ợc Mâu thuẫn chứng tỏ tån t¹i mét chØ sè j J cho Mj A = Khi dễ dàng thấy r»ng Mj Ker k = vµ dÉn đến Mj k (Mj) môđun Mk Bởi giả thiết Mj nhúng đẳng cÊu thùc sù vµo Mk, vËy k (Mj) =Mk Tõ ®ã chóng ta cã X’ M(J1) Mk = X’ M(J1) Mj = X’ M(J2) J2 = J1 j Điều ®ã chøng tá r»ng M(J) Mk =(X’ M(J2) sử dụng chứng minh nh- tr-ờng hợp 1) ta chøng tá cã mét më réng thuéc HomR(Mk, M(J)) BÊy giê ta gi¶ sư r»ng A = 0, dễ thấy M(J1) = vËy chóng ta cã: M(J) Mk =X’ Mk §iỊu ®ã chøng tá r»ng tËp J chØ cã mét phân tử, chẳng hạn j M(J) Mk =Mj Mk =X’ Mk Ta còng xÐt phÐp chiÕu k : X’ Mk Mk, X ' M j Mj k (Mj) môđun cđa Mk, nh- vËy chóng ta cịng cã k (Mk) = Mk, từ M(J) Mk =X Mj lại đ-a tr-ờng hợp (1) Vậy (ii) (iii) đ-ợc chứng minh 29 (iii) (i) Giả sử A môđun đóng M Gọi J tập tối đại I cho A M(J) = DƠ kiĨm tra đ-ợc (A M(J)) e M Giả sử K = I - J vµ K , J phép chiếu từ M lên M(K) M(J) t-ơng ứng Bởi A Ker K 0, K A đơn cấu nên tồn ( K A ) Giả sử = J ( K A )-1: K (A) M(J) Khi dễ dàng kiểm tra ®-ỵc A ={x + (x): x K (A)} Bởi giả thiết M(J) M(K)- nội xạ, tồn :M(K) M(J) mở rộng Ta gäi A’= {y + (y):y M(K)} Tõ tÝnh cèt yÕu cña A M(J) M ta kiểm tra đ-ợc K (A) cốt yếu M(K) từ A cốt yếu A Bởi A đóng ta phải có A = A K (A) = M(K) Từ ®ã suy r»ng M = A M(J), nghÜa A hạng tử trực tiếp M M môđun CS 2.2.12 Định lý Cho M = M i tổng trực tiếp môđun ®Ịu cho sù iI ph©n tÝch ®ã cđa M bù hạng tử trực tiếp Nếu M (1- C1)- môđun Mi không nhúng đẳng cấu thực vào Mj, i jI M môđun tựa liên tục Chng minh: Suy trực tiếp từ định lý 2.2.11 2.2.13 Định lý Cho P l mt môun x nh vnh liên tc phi nửa hoàn chỉnh Khi P l môun ta liên tục P (1-C1)-m«đun Chứng minh: * Điều kiện cần Giả sử R l mt vnh liên tc phi nửa hoàn chỉnh v P l mt môun phải x nh R-môun phi Bởi R nửa hoàn chỉnh R chứa tập đầy đủ luỹ đẳng trực giao {e1,e2,,en} v R= e1R enR vành tự đồng cÊu End(eiR) vành địa phương V× R liên tc phi nên dễ thấy eiR l môun u v không nhỳng đ-ợc thực vo ejR với i, j n 30 Theo [5.Theorem 7.11] chóng ta cã P= Pi với I vi mi iI Pi l đẳng cu với eiR thuộc {e1R,e2R,,enR} Pi l mt môun u v kh«ng thể nhúng vào Pj với i,jI Vậy P l (1-C1)-môun, nu P l môun ta liên tc * Điều kiện đủ Giả sử P l (1-C1)-môun Chỳng ta chứng minh P= Pi phân tích iI bự hạng tử trc tip u Giả sử U l hạng tử trc tip u ca P x U, x Khi tồn tập hữu hạn F vủa I cho x Pi Vì U đều, nên xR iF môđun cốt yếu U Mặt khác xR P(I-F) = 0, ®ã U P(I-F) = Tõ U nhúng đẳng cấu vào đ-ợc Pi Gọi V môđun Pi mà U V Ta iF iF gi¶ sư F = {1, ,n} với n số nguyên d-ơng bé mà V P1 Pn Đối với j {1, ,n}, gi¶ sư j : P1 Pn Pj lµ phÐp chiÕu tù nhiên Dễ n kiểm tra đ-ợc Ker ( j V j tổng quát ta suy đ-ợc Ker( ) = Từ V không tính V ) = ®ã V P2 Pn = Điều chứng tỏ V nhúng đẳng cấu đ-ợc vào P1 Nh-ng U V, nên U nhúng đẳng cấu đ-ợc vào P1 Bởi giả thiết U hạng tử trực tiếp P, U R-môđun xạ ảnh Vì U tồn ekR thuộc {e1R,e2R,,enR} cho U ekR Hơn ekR không nhúng đẳng cấu thực vào P1 ®ã (U) = P1 Tõ ®ã ta cã P = U Pi , nghĩa phân 1iI tích P = Pi bù hạng tử trực tiếp Theo nh lớ 2.2.11, P l môun ta iI liên tc 31 KẾT LUẬN Luận văn tìm hiểu h thng húa trình bày số kt qu sau: Ch-ơng : - Định nghĩa ví dụ môđun liên tục, môđun tựa liên tục, CS-môđun - Một số tính chất chứng minh môđun cèt yÕu Ch-¬ng : - Mét sè tÝnh chất môđun tựa liên tục - Một số tính chất chứng minh lp CS-mụun v (1-C1)-mụun, đặc tr-ng môđun tựa liên tục tính chất (1-C1)- môđun 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO TiÕng ViÖt [1] Nguyễn Tiến Dũng (2005), Tổng trực tiếp (1-C1)-m«đun, Luận văn thc s toỏn hc, Đại học Vinh [2] Lờ Thị Quỳnh Nga (2005), (1-C1)-m«đun m«đun kh«ng suy biến, Luận thc s toỏn hc, Đại học Vinh [3] Ngô Sỹ Tùng (1995), Một số lớp vành đặc tr-ng điều kiện liên tục lớp CS - môđun, LuËn ¸n phã tiÕn sü khoa häc To¸n - Lý TiÕng Anh [4] Anderson F.W and Fuller K.R (1974), Rings and Categories of Modules, [5] Springer-Verlag,New York-Heidelberg-Berlin [5] Mohamed S.H and Muller B.J (1990), Continuous and Discrete Modules, London Math.Soc,Cambridge ... 2.1.2 Hệ Hạng tử trực tiếp môđun tựa liên tục môđun tựa liên tục 2.1.3 Định lý Cho M môđun Khi điều kiện sau t-ơng đ-ơng (i) M tựa liên tục (ii) M = X Y X, Y hai môđun M bï giao lÉn (iii) fM... với môđun phải A vành R ta nói môđun M nội xạ Môđun M đc gi l ta ni x (quasi-injective) M M- nội xạ VÝ dụ: i) Z -môđun nội xạ ii) Z -môđun Z không ni x 1.1.5 nh ngha môđun liên tục, tựa liên tục, ... đà nhận xét, vành quy liên tục mở rộng vành quy tựa nội xạ, ông đà suy rộng khái niệm liên tục, tựa liên tục cho vành Mohamed Bouhy đà suy rộng khái niệm liên tục vành cho môđun Năm 1977, Charttes