Lớp vành và môđun tựa liên tục, tựa rời rạc và các trường hợp tổng quát của chúng tt

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG 2017 TÊN ĐỀ TÀI LỚP VÀNH VÀ MÔĐUN TỰA LIÊN TỤC, TỰA RỜI RẠC VÀ CÁC TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT CỦA CHÚNG MÃ SỐ: B2017-ĐN03-08 Chủ nhiệm đề tài: THS NGUYỄN VIẾT ĐỨC ĐÀ NẴNG, 6/2019 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG 2017 TÊN ĐỀ TÀI LỚP VÀNH VÀ MÔĐUN TỰA LIÊN TỤC, TỰA RỜI RẠC VÀ CÁC TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT CỦA CHÚNG MÃ SỐ: B2017-ĐN03-08 Xác nhận quan chủ trì Chủ nhiệm đề tài ThS Nguyễn Viết Đức ĐÀ NẴNG, 6/2019 DANH SÁCH THÀNH VIÊN THAM GIA ĐỀ TÀI ThS Nguyễn Viết Đức, Trường ĐHSP-ĐH Đà Nẵng PGS TS Trương Công Quỳnh, Trường ĐHSP-ĐH ĐN TS Phan Thế Hải, Trường CĐSP-Bà rịa Vũng Tàu Nguyễn Thị Thu Hà, Trường Đại học Cơng nghiệp TPHCM i THƠNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Thông tin chung: - Tên đề tài: Lớp vành môđun tựa liên tục, tựa rời rạc trường hợp tổng quát chúng - Mã số: B2017-ĐN03-08 - Chủ nhiệm: ThS Nguyễn Viết Đức - Cơ quan chủ trì: Trường Đại học Sư Phạm-Đại học Đà Nẵng - Thời gian thực (dự kiến): 24 tháng Mục tiêu: Mục tiêu đề tài nghiên cứu đặc trưng lớp môđun tựa liên tục, tựa rời rạc thông qua lớp môđun kết biết hệ kết đề tài Nghiên cứu đặc trưng vành QF thông qua lớp môđun bất biến đẳng cấu Từ đó, tiếp cận giả thuyết Faith vành QF Tính sáng tạo: Các kết đề tài làm rõ số kết lý thuyết vành mơđun góp phần làm phong phú thêm cấu trúc đại số Kết nghiên cứu: - Đưa đặc trưng vành QF thông qua lớp môđun bất biến đẳng cấu - Đặc trưng lớp lớp vành thông qua lớp môđun bất biến luỹ đẳng tổng quát - Đưa đặc trưng môđun đối bất biến luỹ đẳng tổng quát mối liên hệ chúng lớp môđun tựa xạ ảnh - Nghiên cứu tính chất môđun mở rộng CS Sản phẩm: báo khoa học • A Abyzov, L V Thuyet, Truong Cong Quynh, A A Tuganbaev, Modules which are coinvariant under idempotents of their covers, Siberian Mathematical Journal, 2019; DOI 10.33048/smzh.2060.01.001 • Truong Cong Quynh, M Tamer Kosan, L V Thuyet, On Automorphism-Invariant Rings with Chain Conditions, Vietnam Journal of Mathematics, DOI 10.1007/s10013-019-00336-8 • Truong Tri Dung, Truong Cong Quynh, On idempotent-semiprime rings, Journal of Science, The University of Danang - University of Science and Education, 26(05)2017, 1-4 ii Hiệu quả, phương thức chuyển giao kết nghiên cứu khả áp dụng: - Phương thức chuyển giao: Tư liệu đề tài chuyển giao cho học viên nghiên cứu sinh trường đại học học viên quan tâm đến kết đề tài - Địa ứng dụng: Các kết nghiên cứu tiền đề cho sinh viên bước đầu làm quen nghiên cứu chuyên ngành đại số lý thuyết số Cơ quan chủ trì Đà Nẵng, Ngày tháng năm 2019 Chủ nhiệm đề tài iii INFORMATION ON RESEARCH RESULTS General information: - Project title: On the classes quasi-continuous rings and quasi-discrete rings and their generalizations - Code number: B2017-ĐN03-08 - Coordinator: Nguyen Viet Duc - Implementing institution: Da Nang University of Education - Duration: years Objective(s): The goal of project study some characterizations of On the classes quasi-continuous rings and quasi-discrete rings via the classes of modules Then, some well-known are obtained from our results Study some properties of QF-rings via automorphism-invariant modules From this, we can study on Faith’s conjecture Creativeness and innovativeness: The results of the research to clarify some of the results of rings and modules theory and contribute the abundant algebraic structures Research results: - Characterizations of QF-rings via automorphism-invariant modules - Characterizations of rings via X -idempotent-invariant modules - Characterizations of rings via X -idempotent-coinvariant modules and the relationship between them and quasi-projective modules - Study some properties of general CS modules Products: papers • A Abyzov, L V Thuyet, Truong Cong Quynh, A A Tuganbaev, Modules which are coinvariant under idempotents of their covers, Siberian Mathematical Journal, 2019; DOI 10.33048/smzh.2060.01.001 • Truong Cong Quynh, M Tamer Kosan, L V Thuyet, On Automorphism-Invariant Rings with Chain Conditions, Vietnam iv Journal of Mathematics, DOI 10.1007/s10013-019-00336-8 • Truong Tri Dung, Truong Cong Quynh, On idempotent-semiprime rings, Journal of Science, The University of Danang - University of Science and Education, 26(05)2017, 1-4 Effects, transfer alternatives of reserach results and applicability: -Transfer method: the material of the subject shall be transferred to the students and phd students at universities and students interested in the results of the topic -Application Address: The results of the study will be the pretopic for the students to initially familiarize the study of the major algebra and number theory v MỞ ĐẦU Năm 1940, Baer đưa nghiên cứu nhóm aben chia được, nghĩa nhóm aben G gọi chia nG = G cho số nguyên dương n Các nhóm aben thực hạng tử trực tiếp nhóm aben mở rộng Kể từ đó, lớp nhóm aben chia nghiên cứu nhiều tác giả nhiều thuật ngữ khác Thuật ngữ, "nội xạ" lần nghiên cứu năm 1953 tác giả Eckmann Schopf: Rmôđun phải M gọi nội xạ cho R-môđun phải N đồng cấu f : K → M với K môđun N mở rộng đến đồng cấu g : N → M Trong nghiên cứu Eckmann Schopf chứng minh tính nội xạ tính chia nhóm aben trùng Năm 1956 Cartan Eilenberg đưa khái niệm đối ngẫu khái niệm nội xạ, khái niệm xạ ảnh Một R-mơđun phải M gọi xạ ảnh cho R-môđun phải N , đồng cấu f : M → N/K với K môđun N , nâng đến đồng cấu g : M → N Sau đó, khái niệm tựa nội xạ giới thiệu Johnson Wong trường hợp tổng quát khái niệm nội xạ, theo khái niệm tựa xạ ảnh giới thiệu Wu Jans Một số trường hợp tổng quát môđun tựa nội xạ đưa nghiên cứu nhiều tác giả Một trường hợp tổng quát quan trọng vành tựa nội xạ giới thiệu nghiên cứu loạt báo Y Utumi, ông đưa số điều kiện Ci (1 ≤ i ≤ 3) Các điều kiện sau mở rộng đến khái niệm môđun tựa liên tục môđun liên tục trường hợp tổng quát môđun tựa nội xạ Jeremy, Takeuchi Mohamed Bouhy Môđun M gọi thỏa mãn điều kiện C2 A B môđun M với A đẳng cấu với B với B hạng tử trực tiếp M A hạng tử trực tiếp M Mỗi môđun mà thỏa mãn điều kiện C2 thỏa mãn điều kiện C3, nghĩa A B hạng tử trực tiếp M A ∩ B = A + B hạng tử trực tiếp M Một môđun với điều kiện C2 (C3) gọi C2 (C3)-môđun Lớp C2-môđun C3- môđun nghiên cứu mở rộng kèm với điều kiện C1, nghĩa môđun cốt yếu hạng tử trực tiếp Các mơđun thỏa mãn điều kiện C1 gọi CS (các phần bù hạng tự trực tiếp) Các C2- mơđun gọi nội xạ trực tiếp nghiên cứu Nicholson Yousif Một môđun gọi liên tục vừa thỏa mãn điều kiện C1 C2 Và gọi tựa liên tục thỏa mãn điều kiện C1 C3 Môđun liên tục tựa liên tục đối ngẫu Oshiro, Mohamed Singh Một môđun M gọi thỏa mãn điều kiện D1 cho mơđun A M , tồn phân tích M = M1 ⊕ M2 với M1 môđun A A ∩ M2 đối cốt yếu M M gọi thỏa mãn điều kiện D2 cho môđun A M với M/A đẳng cấu với hạng tử trực tiếp M , A hạng tử trực tiếp M M gọi thỏa mãn điều kiện D3 A B hạng tử trực tiếp M với M = A + B, A ∩ B hạng tử trực tiếp M Trong trường hợp này, mơđun thỏa mãn điều kiện Di gọi Di- mơđun D1- mơđun gọi mơđun nâng theo Oshiro, D2- mơđun gọi xạ ảnh trực Nicholson D3- mơđun gọi ∩-xạ ảnh trực Clack, Wisbauer, Lomp, Vanaja Môđun gọi rời rạc (tựa rời rạc) thỏa mãn hai điều kiện D1, D2 (D1, D3) Môđun gọi rời rạc (tựa rời rạc) đưa Oshiro, Mohamed Singh tên gọi đối ngẫu liên tục (tựa nửa hoàn chỉnh) Hầu hết nghiên cứu C2-môđun C3-môđun kèm theo với điều kiện C1 CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, giới thiệu số khái niệm liên quan đến nội dung đề tài Sau số khái niệm kết tiêu biểu 1.1.2 Môđun nội xạ trường hợp tổng quát Môđun U gọi nội xạ theo M (hay U M -nội xạ) với đơn cấu ι : N −→ M đồng cấu f : N −→ U tồn đồng cấu g : M −→ U cho f = g · ι Môđun U gọi tự nội xạ U U -nội xạ Môđun U gọi nội xạ U M -nội xạ, với M ∈ Mod-R Cho môđun M , ta xét điều kiện sau: C1 : Với môđun A M , tồn hạng tử trực tiếp B M thỏa mãn A ≤e B C2 : Nếu môđun A M đẳng cấu với hạng tử trực tiếp M , A hạng tử trực tiếp M C3 : Nếu A B hai hạng tử trực tiếp M thỏa mãn A ∩ B = 0, A ⊕ B hạng tử trực tiếp M Môđun M thỏa mãn điều kiện C1 C2 gọi liên tục, mơđun M gọi tựa liên tục thỏa mãn điều kiện C1 C3 Môđun M gọi mở rộng (hay gọi CS) thỏa mãn điều kiện C1 Ta có quan hệ sau: C2 ⇒ C3 nội xạ ⇒ liên tục ⇒ tựa liên tục ⇒ mở rộng Các điều kiện đối ngẫu với điều kiện C1, C2 C3: (D1) Cho môđun A M , tồn hạng tử trực tiếp M1 M cho M = M1 ⊕ M2 M1 ≤ A, A ∩ M2 M2 (D2) Cho môđun A M mà M/A đẳng cấu với hạng tử trực tiếp M , A hạng tử trực tiếp M (D3) Nếu A B hai hạng tử trực tiếp M thỏa mãn A + B = M , A ∩ B hạng tử trực tiếp M Một môđun M gọi rời rạc (tương ứng, tựa rời rạc) M thỏa mãn (D1) (D2) (tương ứng, (D1) (D3)) 1.2 Môđun bất biến đẳng cấu khái niệm liên quan Định nghĩa 1.2.1 Một môđun N M gọi mơđun bất biến hồn toàn M α(N ) ≤ N với tự đồng cấu α M Định nghĩa 1.2.2 Một R-môđun phải M gọi bất biến đẳng cấu γ(M ) ≤ M với tự đẳng cấu γ E(M ) Định lý 1.2.3 Cho M môđun bất biến đẳng cấu Nếu End(M ) khơng có ảnh tồn cấu đẳng cấu với F2 , M tựa nội xạ Khi R vành giao hốn ta có kết sau Hệ 1.2.4 Cho R vành giao hốn khơng có ảnh tồn cấu đẳng cấu với F2 Nếu M mơđun bất biến đẳng cấu M tựa nội xạ Định nghĩa 1.2.5 Hai môđun M N gọi trực giao với không tồn đẳng cấu từ môđun M đến môđun N CHƯƠNG LỚP MÔĐUN TỰA LIÊN TỤC TỔNG QUÁT VÀ MỘT SỐ LỚP VÀNH LIÊN QUAN Trong chương nghiên cứu lớp môđun tựa liên tục tổng quát Một số tính chất chúng nghiên cứu Đồng thời nêu lên mối liên hệ lớp môđun tựa liên tục tổng quát lớp mơđun liên quan Ngồi ra, đặc trưng vành tựa Frobenius thông qua lớp môđun bất biến đẳng cấu nghiên cứu 2.1 Lớp môđun bất biến tự đồng cấu bao tổng quát môđun Chúng ta gọi môđun M X -bất biến đồng cấu (t.ứ, X - bất biến đẳng cấu) tồn X -bao u : M → X cho với tự đồng cấu (t.ứ, tự đẳng cấu) g X, tồn tự đồng cấu f : M → M cho uf = gu Từ khái niệm có khái niệm sau Định nghĩa 2.1.1 Cho M R-môđun phải Chúng ta gọi M X -bất biến luỹ đẳng tồn X -bao tổng quát u : M → X cho với tự đồng cấu luỹ đẳng g X, tồn tự đồng cấu f : M → M cho uf = gu; nghĩa biểu đồ sau giao hoán: u✲ M♣ X f ♣♣ ♣♣ ♣♣ ♣❄ M g u✲ ❄ X Nhận xét 2.1.2 (1) Giả sử M môđun X -bất biến luỹ đẳng Gọi u : M → X đơn cấu X -bao tổng quát g tự đồng cấu luỹ đẳng X Khi đó, tồn tự đồng cấu luỹ đẳng f M cho uf = gu Hơn nữa, f nhất, u đơn cấu Vì vậy, thiết lập ánh xạ ∇ : I(X) → I(M ) g → f tập hợp tự đồng cấu luỹ đẳng X tập hợp tự đồng cấu luỹ đẳng M (2) Nếu X lớp mơđun nội xạ, mơđun X -bất biến luỹ đẳng thực môđun tựa liên tục Ví dụ 2.1.3 (i) Nếu X = M od − R phạm trù R-mơđun phải, môđun X -bất biến luỹ đẳng (ii) Gọi M R-S song môđun cho M compact tuyến tính R-mơđun trái khơng tựa liên tục R-môđun phải (chẳng hạn, vành artin trái không tựa liên tục phải) cho X lớp R-mơđun phải nội xạ tinh Khi đó, M R-mơđun phải nội xạ tinh mơđun Điều chứng tỏ, tồn môđun X -bất biến luỹ đẳng mà không tựa liên tục (iii) Cho R vành địa phương X lớp R-môđun phải đối xoắn (cotorsion) Khi đó, bao đối xoắn R-mơđun phải quy khơng phân tích vậy, rõ ràng R môđun X -bất biến luỹ đẳng Tuy nhiên, R không thiết vành đối xoắn phải (iv) Cho R vành X = {X nội xạ | Im(f ) trực giao với Ker(f ), ∀f = f ∈ End(X)} Đặc biệt, chọn X = {X mơđun nội xạ khơng suy biến} Khi đó, R-môđun phải M X -bất biến luỹ đẳng M TS-môđun với điều kiện T3 Định nghĩa 2.1.4 Cho M R-môđun phải Chúng ta gọi M X -bất biến mở rộng (hay X -mở rộng) tồn X -bao tổng quát u : M → X cho với luỹ đẳng g ∈ End(X), tồn luỹ đẳng f : M → M cho g(X) ∩ u(M ) = uf (M ) Trong trường hợp này, có uf = guf ; nghĩa biểu đồ sau giao hoán M♣ f ♣♣ ♣♣ ♣♣ ♣❄ M uf ✲ X g u✲ ❄ X Trước hết có kết sau: Mệnh đề 2.1.5 Cho u : M → X đơn cấu X -bao tổng quát Nếu M môđun X -bất biến luỹ đẳng M X -bất biến mở rộng Bổ đề 2.1.6 Cho M môđun N hạng tử trực tiếp M Nếu M môđun X -bất biến luỹ đẳng N có X -bao tổng qt N môđun X -bất biến lũy đẳng Nếu M môđun X -bất biến rộng N có X -bao tổng quát bất biến tất tự đồng cấu lũy đẳng M N mơđun X -bất biến rộng Định lý 2.1.7 Giả sử u : M → X đơn cấu X -bao tổng quát Khi đó, điều kiện sau tương đương: M môđun X -bất biến lũy đẳng Nếu X = ⊕I Xi M = ⊕I (u−1 (Xi ) ∩ M ) Nếu X = X1 ⊕ X2 M = (u−1 (X1 ) ∩ M ) ⊕ (u−1 (X2 ) ∩ M ) Mệnh đề 2.1.8 Gọi u : M → Xlà đơn cấu X -bao tổng quát với u(M ) cốt yếu X Chúng ta xét điều kiện sau: M = U ⊕ V với U, V phần bù M môđun X -bất biến lũy đẳng Khi (1) ln ln suy (2) Hơn nữa, X môđun tựa liên tục M mơđun tựa liên tục có (2) ⇒ (1) Hệ 2.1.9 Cho M R-mơđun phải Khi đó, điều kiện sau tương đương M môđun tựa liên tục M = X ⊕ Y cho cặp môđun phần bù X Y f (M ) ≤ M với phần tử lũy đẳng f ∈ End(E(M )) Cho phân tích E(M ) = ⊕i∈Λ Ei E(M ) M = ⊕i∈Λ (M ∩ Ei ) Chúng ta lưu ý mơđun đóng M có dạng X ∩ M với X hạng tử trực tiếp E(M ) Từ lưu ý này, khái niệm sau: Định nghĩa 2.1.10 Gọi u : M → X X -bao tổng quát A môđun M A gọi X -đóng M tồn tự đồng cấu lũy đẳng g X cho A = u−1 (g(X)) ∩ M Định lý 2.1.11 Giả sử u : M → X đơn cấu X -bao tổng quát Khi đó, điều kiện sau tương đương: M môđun X -bất biến mở rộng Mỗi mơđun X -đóng M hạng tử trực tiếp M Chúng ta trường hợp đặc biệt định lý với C = I lớp môđun nội xạ, ta có hệ sau: Hệ 2.1.12 Cho M R-mơđun phải Khi đó, điều kiện sau tương đương: M mơđun mở rộng Mỗi mơđun đóng M hạng tử trực tiếp M Tiếp theo có kết lớp mơđun X -bất biến đồng cấu với môđun X -bất biến đẳng cấu lũy đẳng Định lý 2.1.13 Giả sử u : M → X đơn cấu X -bao tổng quát cho End(X) vành nửa quy Khi đó, điều kiện sau tương đương: M môđun X -bất biến đồng cấu M môđun X -bất biến đẳng cấu X -bất biến lũy đẳng 2.2 Vành tựa Frobenius thơng qua tính bất biến tự đồng cấu Trong phần xét X lớp mơđun nội xạ Từ đó, lớp mơđun X -bất biến đẳng cấu lớp môđun bất biến đẳng cấu môđun X -mở rộng môđun mở rộng Trước hết, nghiên cứu đặc trưng vành tựa Frobenius thông qua vành X -bất biến mở rộng hai phía Bổ đề 2.2.1 Cho R vành thỏa mãn điều kiện ACC linh hóa tử phải cho Soc(R R) cốt yếu RR Khi R vành nửa nguyên sơ với J(R) = Z(RR ) Từ bổ đề có Định lý 2.2.2 Cho vành R Khi phát biểu sau tương đương: R vành tựa Frobenius R vành X -bất biến mở rộng hai phía, thỏa mãn điều kiện ACC linh hóa tử phải cho Soc(R R) cốt yếu RR Hệ 2.2.3 Nếu vành R thỏa mãn điều kiện sau: thỏa mãn điều kiện ACC linh hóa tử phải cho Soc(R R) cốt yếu RR ; Soc(Re) Soc(eR) đơn với phần tử lũy đẳng địa phương e ∈ R, R vành tựa Frobenius Hệ 2.2.4 Cho vành R Khi phát biểu sau tương đương: R vành tựa Frobenius R vành X -bất biến lũy đẳng hai phía, thỏa mãn điều kiện ACC linh hóa tử phải cho Soc(R R) cốt yếu RR Một vành R gọi X -bất biến đẳng cấu phải RR môđun X -bất biến đẳng cấu Rõ ràng vành tự nội xạ X -bất biến đẳng cấu Tuy nhiên, chiều ngược lại khơng Chúng ta xem ví dụ sau: Ví dụ 2.2.5 Vành ∞ R = {(xn )n ∈ Z2 : hầu hết xn a ∈ Z2 trừ số hữu hạn} n=1 vành giao hoán X -bất biến đẳng không tự nội xạ Bổ đề 2.2.6 Giả sử R vành bất biến đẳng cấu phải Nếu r(x) = r(y) với x, y ∈ R suy Rx = Ry Tiếp theo có đặc trưng vành bất biến đẳng cấu phải thông qua điều kiện dây chuyền Định lý 2.2.7 Nếu R vành bất biến đẳng cấu phải thỏa mãn điều kiện ACC linh hóa tử phải R vành nửa nguyên sơ Mệnh đề 2.2.8 Cho R vành nửa hồn chỉnh Khi đó, R vành NCS phải R vành CS phải; trường hợp này, R vành X -bất biến mở rộng phải Một phần tử lũy đẳng e R gọi lũy đẳng địa phương End(eR) vành địa phương Định lý 2.2.9 Cho vành R thỏa mãn điều kiện ACC linh hóa tử phải Khi đó, điều kiện sau tương đương: R vành tựa Frobenius R vành X -bất biến đẳng cấu phải iđêan phải đóng R linh hóa tử R vành X -bất biến đẳng cấu phải NCS phải 10 R vành X -bất biến đẳng cấu phải iđêan phải đơn cốt yếu hạng tử trực tiếp RR R vành X -bất biến đẳng cấu phải với eR cho lũy đẳng địa phương e ∈ R Hệ 2.2.10 Các điều kiện sau tương đương với vành R cho: R vành tựa Frobenius R vành X -bất biến đẳng cấu phải thỏa mãn điều kiện ACC iđêan phải cốt yếu CHƯƠNG LỚP CÁC MÔĐUN TỰA RỜI RẠC TỔNG QUÁT Trong chương này, nghiên cứu trường hợp tổng quát môđun tựa rời rạc lớp mơđun X -đối bất biến luỹ đẳng Một số tính chất đặc trưng lớp môđun nghiên cứu Đồng thời đặc trưng số lớp vành thông qua điều kiện đối bất biến luỹ đẳng xem xét 3.1 Một số tính chất lớp mơđun X -đối bất biến luỹ đẳng Định nghĩa 3.1.1 Cho M R-môđun phải Chúng ta gọi M môđun X -đối bất biến luỹ đẳng tồn X -phủ tổng quát p : X → M cho với phần tử luỹ đẳng g ∈ End(X) tồn đồng cấu f : M → M cho f ◦ p = p ◦ g; nghĩa là, biểu đồ sau giao hoán X g ❄ X p ✲ M ♣♣ ♣♣ f ♣♣ ♣♣ ❄ p ✲ M 11 Ví dụ 3.1.2 (i) Nếu X = M od − R phạm trù R-mơđun phải, R-môđun phải X -đối bất biến luỹ đẳng (ii) Cho R vành hoàn chỉnh phải Nếu X lớp mơđun xạ ảnh mơđun X -đối bất biến luỹ đẳng thực môđun tựa rời rạc Từ định nghĩa trên, nghiên cứu tính chất mơđun X -đối bất biến luỹ đẳng Định lý 3.1.3 Cho p : X → M toàn cấu X -phủ tổng quát Khi đó, M X -đối bất biến luỹ đẳng Ker(p) bất biến qua tự đồng cấu luỹ đẳng X Từ kết thu kết quan trọng liên quan đến phân tích mơđun X -phủ tổng quát Hệ 3.1.4 Cho p : X → M toàn cấu X -phủ tổng quát Khi đó, điều kiện sau tương đương: M môđun X -đối bất biến luỹ đẳng Nếu X = ⊕I Xi Ker(p) = ⊕I (Xi ∩ Ker(p)) Nếu X = X1 ⊕X2 Ker(p) = (X1 ∩Ker(p))⊕(X2 ∩Ker(p)) Nếu e phần tử luỹ đẳng End(X) Ker(p) có phân tích Ker(p) = e(Ker(p)) ⊕ (1 − e)(Ker(p)) Tiếp theo nghiên cứu tổng trực tiếp môđun X -đối bất biến luỹ đẳng Tuy nhiên, để nghiên cứu tính chất này, chúng tơi đưa khái niệm tổng quát lớp môđun xạ ảnh tương hổ nhằm mục đích cho nghiên cứu Định nghĩa 3.1.5 Cho M1 , M2 môđun Chúng ta gọi M1 X -M2 -xạ ảnh tồn X -phủ p1 : X1 → M1 , p2 : X2 → M2 cho đồng cấu g : X1 → X2 tồn đồng cấu f : M1 → M2 cho p2 ◦ g = f ◦ p1 X1 g ❄ X2 p1 ✲ M1 ♣♣ ♣♣ f ♣♣ ♣♣ ❄ p2 ✲ M2 12 Nếu M X -M -xạ ảnh M gọi X -đối bất biến đồng cấu Mệnh đề 3.1.6 Cho p1 : X1 → M1 , p2 : X2 → M2 tồn cấu X -phủ tổng qt Khi đó, điều kiện sau tương đương: M1 M2 -X -xạ ảnh g(Ker(p1 )) ≤ Ker(p2 ) với g ∈ Hom(X1 , X2 ) Định lý 3.1.7 Giả sử M = M1 ⊕ M2 cho pi : Xi → Mi (i = 1, 2) p1 ⊕ p2 : X1 ⊕ X2 → M X -phủ tổng quát Nếu M môđun X -đối bất biến luỹ đẳng Mi X -Mj -xạ ảnh với i = j Hai R-môđun phải M1 , M2 gọi X -xạ ảnh tương hổ M1 X -M2 -xạ ảnh M2 X -M1 -xạ ảnh Bổ đề 3.1.8 Cho M1 , M2 môđun X -xạ ảnh tương hổ pi : Xi → Mi toàn cấu X -phủ tổng quát (i = 1, 2) Nếu X1 ∼ = X2 M1 ∼ = M2 Bổ đề 3.1.9 Giả sử M = ⊕ni=1 Mi R-môđun phải pi : Xi → Mi X -phủ tổng quát (i = 1, 2, n) Khi đó, điều kiện sau tương đương M1 ⊕ M2 ⊕ · · · ⊕ Mn X -đối bất biến đồng cấu Mi Mj X -xạ ảnh tương hổ với i, j ∈ {1, 2, , n} Từ kết có kết sau Hệ 3.1.10 Một môđun M môđun X -đối bất biến đồng cấu M n môđun môđun X -đối bất biến đồng cấu Hệ 3.1.11 M môđun X -đối bất biến đồng cấu M ⊕ M X -đối bất biến luỹ đẳng Một môđun M gọi vơ hạn hồn tồn (purely infinite) M M ⊕ M Và M gọi hữu hạn trực tiếp (directly finite) M không đẳng cấu với hạng tử trực tiếp N M mà N = M 13 Mệnh đề 3.1.12 Giả sử M môđun X -đối bất biến luỹ đẳng Gọi p : X → M tồn cấu X -phủ tổng qt Khi M vơ hạn hồn tồn X Nếu X hữu hạn trực tiếp M Nếu X đóng hạng tử trực tiếp X không hữu hạn trực tiếp M có phân tích M = M1 ⊕ M2 ⊕ M3 với M1 3.2 M2 = Môđun X -đối bất biến nâng Phần đưa khái niệm tổng quát khái niệm X -đối bất biến luỹ đẳng tổng quát hoá điều kiện D1 Định nghĩa 3.2.1 Cho M R-mơđun phải Chúng ta nói M môđun X -đối bất biến nâng tồn X -phủ tổng quát p : X → M thoả mãn điều kiện cho phần tử luỹ đẳng g ∈ End(X) tồn phần tử luỹ đẳng f End(M ) cho g(X) + Ker(p) = p−1 (f (M )) Kết sau rõ ràng Mệnh đề 3.2.2 Cho p : X → M toàn cấu X -phủ tổng quát Nếu M môđun X -đối bất biến luỹ đẳng M mơđun X -đối bất biến nâng Tiếp theo xét tính chất khác môđun X -đối bất biến nâng Mệnh đề 3.2.3 Cho M R-môđun phải N hạng tử trực tiếp M Nếu M mơđun X -đối bất biến nâng với tồn cấu X -phủ tổng quát p : X → M N có X -phủ N môđun X -đối bất biến nâng Một môđun N M gọi đối đóng M cho mơđun thực K N tồn môđun H M cho N + H = M K + H = M Một môđun M 14 gọi phần phụ cho mơđun N M tồn môđun L M với N + L = M N ∩ L L Từ định nghĩa mơđun đối đóng có bổ đề sau: Bổ đề 3.2.4 Gọi f : P → M phủ xạ ảnh với P môđun phần phụ N ≤ M Khi đó, N mơđun đối đóng M N = f (P ) với P hạng tử P Từ kết đến khái niệm sau: Định nghĩa 3.2.5 Gọi p : X → M X -phủ tổng quát M A môđun M A gọi mơđun X -đối đóng M tồn phần tử luỹ đẳng g X cho A = p(g(X)) Định lý 3.2.6 Giả sử p : X → M toàn cấu X -phủ tổng quát Khi đó, điều kiện sau tương đương: M X -đối bất biến nâng Mỗi mơđun X -đối đóng M hạng tử trực tiếp M 3.3 Các môđun X -rời rạc Trong phần phần cuối chương này, nghiên cứu khái niệmX -rời rạc đưa đặc trưng quy vành tự đồng cấu Hơn nữa, chúng tơi đưa tính chất liên quan đến lớp mơđun Trước hết có lưu ý sau: Cho M R-môđun phải với S = End(X) p : X → M X -phủ tổng quát M Khi đó, có đồng cấu vành Φ : End(M ) → S/J(S) xác định Φ(f ) = f¯ + J(S) với f¯ : X → X cho p ◦ f¯ = f ◦ p Đặt ∇(M ) = Ker(Φ) Vì vậy, ¯ : End(M )/∇(M ) → S/J(S) Do đó, có đơn cấu vành Φ ¯ ta đồng End(M )/∇(M ) với Im(Φ) giả sử End(M )/∇(M ) vành vành S/J(S) 15 Bổ đề 3.3.1 Các điều kiện sau tương đương với môđun tựa rời rạc M với phủ xạ ảnh p : P → M M rời rạc Mỗ toàn cấu đối cốt yếu M → M đẳng cấu Nếu e1 , e2 ∈ End(P ), e1 , e2 ∈ End(M ) luỹ đẳng với p ◦ ej = ej ◦ p (j = 1, 2) đồng cấu α, α cho hình hình sau giao hốn α đẳng cấu α đẳng cấu: α e1 (P ) ✲ e2 (P ) p p ❄ e1 (M ) α✲ ❄ e2 (M ) Từ bổ đề trên, gọi môđun M X -rời rạc nếu, M môđun X -đối bất biến luỹ đẳng Nếu e1 , e2 ∈ End(X), e1 , e2 ∈ End(M ) luỹ đẳng với p ◦ ej = ej ◦ p (j = 1, 2) đồng cấu α, α cho hình hình sau giao hốn α đẳng cấu α đẳng cấu: α✲ e1 (X) p e2 (X) p ❄ e1 (M ) α✲ ❄ e2 (M ) Trong toàn kết phần sau, X ký hiệu mơđun đóng đẳng cấu M môđun với 16 p : X → M toàn cấu X -phủ tổng quát cho S = End(X) vành nửa quy; nghĩa S/J(S) vành quy phần tử luỹ đẳng S/J(S) nâng modulo J(S) Mệnh đề 3.3.2 Giả sử M môđun X -đối bất biến luỹ đẳng Khi đó, luỹ đẳng End(M )/∇(M ) nâng modulo ∇(M ) Từ kết có kết phần này: Định lý 3.3.3 Giả sử M môđun X -rời rạc Khi đó, End(M ) vành nửa quy J(End(M )) = ∇(M ) Mệnh đề 3.3.4 Cho M môđun X -đối bất biến luỹ đẳng Khi đó, M mơđun X -rời rạc ∇(M ) = J(End(M )) End(M )/∇(M ) quy Hệ 3.3.5 Vành tự đồng cấu môđun X -rời rạc khơng phân tích địa phương Một vành R gọi vành clean phần tử x ∈ R viết dạng x = e + u với e phần tử lũy đẳng R u phần tử khả nghịch R Một R-môđun phải M gọi môđun clean End(M ) vành clean Tiếp theo chứng minh tính chất clean cho môđun X -rời rạc Kết sau giả sử End(X)/J(End(X)) vành nửa quy clean Định lý 3.3.6 Giả sử p : X → M toàn cấu X -phủ tổng qt Nếu M mơđun X -rời rạc M môđun clean 17 Kết luận Đề tài bao gồm kết sau đây: Đưa đặc trưng môđun bất biến luỹ đẳng thông qua bao nội xạ tổng quát không chúng (Định lý 2.1.7), Định lý 2.1.11 Đưa đặc trưng môđun X -mở rộng Định lý 2.1.13 Nghiên cứu đặc trưng vành tựa Frobenius thông qua điều kiện X -mở rộng (Định lý 2.2.2) Nghiên cứu đặc trưng vành tựa Frobenius thông qua điều kiện bất biến đẳng cấu (Định lý 2.2.9) Đặc trưng môđun X -đối bất luỹ đẳng (Định lý 3.1.3) Đặc trưng môđun X -đối bất biến nâng (Định lý 3.2.6) Đưa đặc trưng quan trọng tính quy môđun X -rời rạc (Định lý 3.3.3) Đưa đặc trưng tính clean mơđun X -rời rạc (Định lý 3.3.6) Đề tài đặt số vấn đề mở: Nghiên cứu đặc trưng vành mà môđun cyclic (iđêan) bất biến luỹ linh Nghiên cứu áp dụng lớp vành bất biến đẳng cấu lý thuyết vành tựa-Frobenius Trong thời gian tới, tiếp tục nghiên cứu để trả lời vấn đề nói 18 ... ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG 2017 TÊN ĐỀ TÀI LỚP VÀNH VÀ MÔĐUN TỰA LIÊN TỤC, TỰA RỜI RẠC VÀ CÁC TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT CỦA CHÚNG MÃ... CHƯƠNG LỚP MÔĐUN TỰA LIÊN TỤC TỔNG QUÁT VÀ MỘT SỐ LỚP VÀNH LIÊN QUAN Trong chương nghiên cứu lớp môđun tựa liên tục tổng quát Một số tính chất chúng nghiên cứu Đồng thời nêu lên mối liên hệ lớp môđun. .. môđun tựa liên tục tổng quát lớp mơđun liên quan Ngồi ra, đặc trưng vành tựa Frobenius thông qua lớp môđun bất biến đẳng cấu nghiên cứu 2.1 Lớp môđun bất biến tự đồng cấu bao tổng quát môđun Chúng