Các trường hợp tổng quát của vành và mô đun giả nội xạ

Header Page of 126 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG BÁO CÁO TÓM TẮT TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHCN CẤP ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TÊN ĐỀ TÀI CÁC TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT CỦA VÀNH VÀ MÔĐUN GIẢ NỘI XẠ MÃ SỐ: Đ2012-03-25 Chủ nhiệm đề tài: TS TRƯƠNG CÔNG QUỲNH ĐÀ NẴNG, 11/2012 Footer Page of 126 Header Page of 126 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG BÁO CÁO TÓM TẮT TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHCN CẤP ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TÊN ĐỀ TÀI CÁC TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT CỦA VÀNH VÀ MÔĐUN GIẢ NỘI XẠ MÃ SỐ: Đ2012-03-25 Xác nhận quan chủ trì Chủ nhiệm đề tài TS Trương Công Quỳnh ĐÀ NẴNG, 11/2012 Footer Page of 126 Header Page of 126 DANH SÁCH THÀNH VIÊN THAM GIA ĐỀ TÀI Ths Phan Hồng Tín, Trường CĐCN Huế CN Phan Chí Dũng, Đại học Sư phạm-ĐH Đà Nẵng Footer Page of 126 Header Page of 126 THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Thông tin chung: - Tên đề tài: Các trường hợp tổng quát vành môđun giả nội xạ - Mã số: Đ2012-03-25 - Chủ nhiệm: TS Trương Công Quỳnh - Cơ quan chủ trì: Trường Đại học Sư Phạm-Đại học Đà Nẵng - Thời gian thực hiện: 01/2012-12/2012 Mục tiêu: Đưa trường hợp tổng quát lớp môđun giả nội xạ nghiên cứu tính chất áp dụng lớp môđun Làm sáng tỏ thêm cấu trúc lớp vành nửa đơn Artin, tựa Frobenius, Nơte Ngoài kết mở rộng kết biết Tính sáng tạo: Các kết ứng dụng lý thuyết vành môđun Kết nghiên cứu: i) Chúng nghiên cứu cấu trúc lớp vành môđun giả c-nội xạ Kết thu vành Artin nửa đơn tổng trực tiếp họ môđun giả c-nội xạ giả c-nội xạ ii) Chúng nghiên cứu cấu trúc lớp vành môđun giả c*-nội xạ Kết thu môđun giả c*-nội xạ thỏa điều kiện C2 Hơn nữa, M môđun giả c*-nội xạ vành thương End(M )/J(End(M )) vành qui iii) Nghiên cứu lớp môđun (m,n)-nội xạ bé Chúng chứng minh R vành tựa Frobenius R giả c*-nội xạ phải FP-nội xạ bé trái thỏa điều kiện ACC linh hóa tử phải Sản phẩm: báo khoa học Hiệu quả, phương thức chuyển giao kết nghiên cứu khả áp dụng: Footer Page of 126 Header Page of 126 - Phục vụ công tác NCKH đào tạo sau đại học Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng, Đại học Huế - Tăng cường hợp tác nghiên cứu khoa học cán thuộc trường Đại học Đà Nẵng, Ngày Cơ quan chủ trì Footer Page of 126 tháng năm 2012 Chủ nhiệm đề tài Header Page of 126 INFORMATION ON RESEARCH RESULTS General information: - Project title: On generalizations of pseudo injective rings and modules - Code number: Đ2012-03-25 - Coordinator: Ph.D Truong Cong Quynh - Implementing institution: Da Nang University of Education - Duration: from 1/2012 to 12/2012 Objective(s): Given some generalizations of pseudo injective modules and study some properties and applications of them Some characterizations of semisimple-Artinian rings, quasi- Frobenius rings and Noetherian rings via them are studied On the other hand, some well-knowns are obtained Creativeness and innovativeness: Some results are new and application in module and ring theory Research results: i) We study pseudo c-injective modules The main result is that a ring is semisimple-Artinian if and only if direct sum of a family pseudo c-injective modules is pseudo c-injective module ii) We study pseudo c*-injective modules The main results are that a pseudo c*-injective module satisfies C2 Moreover, if M is pseudo c*-injective module then End(M)/J(End(M)) is regular iii) We study (m,n)-small injective We show that a ring R is quasi Frobenius if and only if R right pseudo c*-injective, left FPsmall injective and satisfies ACC on right Products: papers Effects, transfer alternatives of reserach results and applicability: - For research science persons and education of post graduate - Coporations of research sciences persons about rings and modules in universities Footer Page of 126 Header Page of 126 MỞ ĐẦU Như biết lớp môđun nội xạ có vai trò quan trọng lý thuyết vành môđun lý thuyết đại số đồng điều Hơn nữa, trường hợp tổng quát lớp môđun thu hút nhiều tác giả nước quan tâm nghiên cứu Năm 1966, Singh Jain đưa khái niệm môđun giả nội xạ, trường hợp tổng quát môđun tựa nội xạ Một số đặc trưng cấu trúc lớp môđun tác giả nhiều tác giả khác quan tâm nghiên cứu Năm 1975, Teply tìm phản ví dụ chứng tỏ lớp môđun giả nội xạ mở rộng thực lớp môđun tựa nội xạ Năm 2005, Dinh tiếp tục nghiên cứu tìm điều kiện để môđun giả nội xạ tựa nội xạ Tiếp tục công việc Dinh tác giả Jain, Er, Alahmadi nghiên cứu số tính chất khác lớp môđun giả nội xạ với điều kiện yếu Chẳng hạn, họ chứng minh môđun tổng trực tiếp môđun tựa nội xạ môđun giả nội xạ Tuy nhiên kết Dinh chứng minh cho môđun không suy biến Ngoài tác giả chứng minh môđun tựa nội xạ giả nội xạ tổng trực tiếp hai vành môđun mở rộng Hiện nay, có nhiều vấn đề mở liên quan đến mở rộng trường hợp tổng quát môđun giả nội xạ áp dụng chúng lý thuyết vành cổ điển đề xuất cần giải Vì vấn đề nghiên cứu đề tài cần thiết, thời khả thi Mục đích nghiên cứu đề tài là: Nghiên cứu trường hợp tổng quát môđun giả nội xạ tính chất khác lớp môđun Đặc biệt, nghiên cứu mối liên hệ chúng vành tự đồng cấu đồng thời nghiên cứu áp dụng chúng vào lớp vành nửa đơn, Artin, Vì chọn đề tài “Các trường hợp tổng quát vành môđun giả nội xạ” Như biết môđun tựa nội xạ, giả nội xạ có nhiều đặc trưng áp dụng chúng vào lớp vành tựa Frobenius Tuy nhiên, đề tài tập trung nghiên cứu vành tựa Frobenius thông qua mở rộng vành môđun giả nội xạ Cấu trúc đề tài chia thành chương Footer Page of 126 Header Page of 126 Chương trình bày khái niệm kết biết để sử dụng cho chương sau Trong Chương 2, nghiên cứu tính chất lớp môđun mở rộng môđun giả nội xạ Đó lớp môđun mở rộng điều kiện lớp môđun đóng Chương chia làm hai phần Phần thứ nghiên cứu lớp môđun M mà môđun đóng A M đơn cấu từ A đến M mở rộng đến tự đồng cấu M Môđun có tính chất gọi môđun giả c-nội xạ Một số tính chất nghiên cứu Kết phần đưa kết vành Artin nửa đơn thông qua tổng trực tiếp hai môđun giả c-nội xạ giả c-nội xạ Định lý 2.1.7 Phần thứ hai chương xét tính chất môđun M mà môđun A M đẳng cấu đến môđun đóng M , đơn cấu từ A đến M mở rộng đến tự đồng cấu M Môđun có tính chất gọi môđun giả c*-nội xạ Các kết mục chứng minh môđun giả c*-nội xạ thỏa điều kiện C2 Định lý 2.2.6 Một môđun liên tục môđun CS giả c*-nội xạ Hệ 2.2.8 Các đặc trưng vành tựa Frobenius thông qua lớp môđun giả c*-nội xạ nghiên cứu Định lý 2.2.15 Cuối đưa tính qui vành thương vành tự đồng cấu môđun giả c*-nội xạ Định lý 2.2.16 Trong chương 3, nghiên cứu trường hợp tổng quát môđun nội xạ bé môđun (m, n)-nội xạ Đó lớp môđun (m, n)-nội xạ bé Chúng nghiên cứu tính chất lớp môđun (m, n)-nội xạ bé Một số tiêu chuẩn để môđun trở thành môđun (m, n)-nội xạ bé Định lý 3.1.3, Định lý 3.1.8 Ngoài điều kiện để môđun vành (m, n)-nội xạ bé (m, n)-nội xạ Định lý 3.2.2, vành matrận vuông (1,1)-nội xạ bé Định lý 3.2.4 Hơn đưa đặc trưng vành tựa Frobenius thông qua lớp vành giả c*-nội xạ FP-nội xạ bé với điều kiện dây chuyền Định lý 3.2.8 Footer Page of 126 Header Page of 126 CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, giới thiệu số khái niệm liên quan đến nội dung đề tài Sau số khái niệm kết tiêu biểu 1.1.2 Môđun nội xạ trường hợp tổng quát Môđun U gọi nội xạ theo M (hay U M -nội xạ) với đơn cấu ι : N −→ M đồng cấu f : N −→ U tồn đồng cấu g : M −→ U cho f = g · ι Môđun U gọi tự nội xạ U U -nội xạ Môđun U gọi nội xạ U M -nội xạ, với M ∈ Mod-R Một cách để kiểm tra môđun có nội xạ hay không, thường dùng tiêu chuẩn sau: Tiêu chuẩn Baer (để kiểm tra tính nội xạ môđun): Môđun N nội xạ với iđêan phải I R, đồng cấu f : I −→ N tồn đồng cấu f¯ : RR −→ N cho f¯ι = f , ι : I → RR đơn cấu tắc Nhờ tiêu chuẩn Baer này, nhiều nhà toán học định nghĩa lớp môđun F-nội xạ, P-nội xạ, AGP-nội xạ Môđun N gọi P-nội xạ (F-nội xạ) với iđêan phải (t.ư, hữu hạn sinh) I R, đồng cấu f : I −→ N mở rộng thành đồng cấu g : RR −→ N Môđun N gọi GP-nội xạ với = a ∈ R, tồn số tự nhiên n cho an = đồng cấu f : an R −→ N mở rộng đến đồng cấu g : RR −→ N Môđun N gọi nội xạ đơn với iđêan phải đơn I R, đồng cấu f : I −→ N mở rộng đến đồng cấu g : RR −→ N Khái niệm F-nội xạ, P-nội xạ, GP-nội xạ nội xạ đơn mở rộng khái niệm nội xạ Ta có quan hệ sau: nội xạ ⇒ F-nội xạ ⇒ P-nội xạ ⇒ GP-nội xạ ⇒ nội xạ đơn Định nghĩa 1.1.1 Vành R gọi tự nội xạ phải (t.ư, F-nội xạ phải, P-nội xạ phải, GP-nội xạ phải, tự nội xạ đơn phải) RR Footer Page of 126 Header Page 10 of 126 môđun nội xạ (t.ư, F-nội xạ, P-nội xạ, GP-nội xạ, nội xạ đơn) Một R-môđun phải M gọi giả nội xạ (giả nội xạ cốt yếu) với môđun A (t.ư, môđun cốt yếu A) M , đơn cấu f : A → M mở rộng đến đồng cấu f¯ : M → M Vành R gọi giả nội xạ phải (giả nội xạ cốt yếu phải) RR giả nội xạ (t.ư, giả nội xạ cốt yếu) 1.2 Vành tựa Frobenius tổng quát Định nghĩa 1.2.2 Vành R gọi tựa Frobenius (hay gọi QF) vành Artin (phải trái), tự nội xạ (phải trái) Sau đây, giới thiệu số đặc trưng lớp vành Bằng cách giảm nhẹ tính nội xạ giảm nhẹ điều kiện dây chuyền ta có đặc trưng sau (xem Nakayama (1939), Ikeda (1951, 1952), Eilenberg (1956), Faith (1966), Osofsky (1966), Bj¨ork (1970), Faith-Huynh (2002) Nicholson-Yousif (2003)) Định lý 1.2.3 Cho vành R Khi điều kiện sau tương đương: (1) R vành tựa Frobenius (2) R vành Noether phải trái, tự nội xạ phải trái (3) R thỏa mãn điều kiện ACC linh hóa tử phải trái, tự nội xạ phải trái (4) R vành Noether phải trái, rl(T ) = T với iđêan phải T , lr(L) = L với iđêan trái L (5) R vành F-nội xạ phải thỏa mãn điều kiện ACC linh hóa tử phải Một mở rộng thực lớp vành tựa Frobenius lớp vành giả Frobenius Định nghĩa 1.2.4 Vành R gọi giả Frobenius phải (hay gọi PF phải) R-môđun phải trung thành vật sinh Mod-R Footer Page 10 of 126 10 Header Page 11 of 126 CHƯƠNG MÔĐUN THỎA ĐIỀU KIỆN MỞ RỘNG DƯỚI LỚP MÔĐUN CON ĐÓNG Trong chương nghiên cứu lớp môđun mà đơn cấu từ môđun đóng (đẳng cấu với môđun đóng) đến mở rộng đến tự đồng cấu môđun Lớp môđun mở rộng thực lớp môđun giả nội xạ Từ đặc trưng đưa tính chất vành Artin nửa đơn, vành tựa Frobenius 2.1 Môđun giả c - nội xạ Trong phần nghiên cứu tính chất môđun mà đơn cấu từ môđun đóng đến mở rộng đến tự đồng cấu môđun 2.1.1 Định nghĩa tính chất Định nghĩa 2.1.1 Cho M, N môđun Môđun N gọi giả M - c - nội xạ Một môđun M gọi lànếu môđun đóng A M đơn cấu f từ A → N mở rộng đến đồng cấu g từ M → N Một môđun M gọi giả c - nội xạ M giả M - c nội xạ Một vành R gọi giả c - nội xạ phải RR giả c - nội xạ Tiếp theo, đưa số đặc trưng môđun giả M - c - nội xạ Nhưng trước hết, giới thiệu định nghĩa sau: Cho M R - môđun phải S = EndR (M ) vành tự đồng cấu Một môđun X M gọi bất biến đầy M với ∀s ∈ S, ta có s(X) ≤ X Ký hiệu: X ≤f M Bổ đề 2.1.2 Cho M, N hai môđun Khi đó, (1) Nếu N giả M - c - nội xạ A hạng tử trực tiếp Footer Page 11 of 126 11 Header Page 12 of 126 N A giả M - c - nội xạ (2) Nếu N giả M - c - nội xạ B môđun đóng M N giả B - c - nội xạ (3) Nếu M giả c - nội xạ A giả c - nội xạ với môđun đóng bất biến đầy A M (4) Giả sử M M N N Nếu N giả M - c - nội xạ N giả M - c - nội xạ N giả M - c - nội xạ N giả M - c - nội xạ Từ định nghĩa môđun CS, có: Mệnh đề 2.1.3 Môđun M CS R - môđun giả M - c - nội xạ Mệnh đề sau điều kiện cần đủ cho môđun giả M - c nội xạ Mệnh đề 2.1.4 Cho M, N hai môđun, X = M ⊕ N πM : X → M phép chiếu tắc Các điều kiện sau tương đương: (1) N giả M - c - nội xạ (2) Mỗi môđun K X, πM (K) môđun đóng M với K ∩ M = K ∩ N = 0, tồn C ≤ X cho K ≤ C N ⊕ C = X Với M ⊕ N môđun giả c - nội xạ có kết sau: Định lý 2.1.5 Nếu M ⊕ N môđun giả c - nội xạ N M c - nội xạ 2.1.2 Áp dụng lớp môđun giả c - nội xạ vào lớp vành nửa đơn Trước hết, có ví dụ chứng tỏ tổng trực tiếp môđun giả c - nội xạ không giả c - nội xạ Ví dụ 2.1.6 Giả sử p nguyên tố nguyên, M1 = Z /p Z M2 = Z /p3 Z Khi đó, M1 , M2 môđun giả c - nội xạ (bởi đều) Nhưng M1 ⊕ M2 giả c - nội xạ Footer Page 12 of 126 12 Header Page 13 of 126 Chúng ta có câu hỏi đặt là: Khi tổng trực tiếp hai môđun giả c - nội xạ giả c - nội xạ Định lý sau câu trả lời kết mục Định lý 2.1.7 Cho R vành Khi đó, điều kiện sau tương đương: (1) R nửa đơn Artin (2) Mỗi tổng trực tiếp hai môđun giả c - nội xạ giả c nội xạ (3) Mỗi môđun giả c - nội xạ nội xạ (4) Bất kì tổng trực tiếp họ môđun giả c - nội xạ giả c - nội xạ Hệ 2.1.8 Các điều kiện sau tương đương vành R: i) R vành nửa đơn Artin ii) Tổng trực tiếp hai môđun giả c - nội xạ nội xạ 2.2 Vành môđun giả c∗ - nội xạ Trong phần nghiên cứu tính chất môđun mà đơn cấu từ môđun đẳng cấu với môđun đóng đến mở rộng đến tự đồng cấu môđun 2.2.1 Định nghĩa, tính chất Tiếp theo, tiếp tục nghiên cứu trường hợp đặc biệt môđun giả M - c - nội xạ, môđun giả c∗ nội xạ Trước hết, có định nghĩa sau: Định nghĩa 2.2.1 Cho M, N môđun Môđun N gọi giả M - c∗ - nội xạ môđun A M đẳng cấu đến môđun đóng M , đơn cấu từ A → N mở rộng đến đồng cấu từ M → N Môđun M gọi giả c∗ - nội xạ M giả M - c∗ - nội xạ Vành R gọi giả c∗ - nội xạ phải RR giả c∗ - nội xạ Chúng ta có mối liên hệ sau: Footer Page 13 of 126 13 Header Page 14 of 126 M - nội xạ → M - c - nội xạ ↓ ↓ giả M - nội xạ → giả M - c∗ - nội xạ → giả M - c - nội xạ Ví dụ 2.2.2 i) Đặt M = Z ⊕ Z Z - môđun Vì vậy, MZ CS giả M - c - nội xạ Nhưng M không giả M - c∗ - nội xạ Thật vậy, đặt A = {(2n, 0) ∈ M | n ∈ Z } B = {(n, n) ∈ M | n ∈ Z } Do đó, B môđun đóng M A B Chúng ta xác định f : A → B f (2n, 0) = (n, n) với n ∈ Z Khi đó, f đơn cấu Giả sử g : M → M mở rộng f Khi đó, g(1, 0) = (x, y) với x, y ∈ Z f (2, 0) = g(2, 0) = (2x, 2y) (1, 0) = (2x, 2y) Hay = 2x (mâu thuẫn) Vậy, M không giả RR - c∗ - nội xạ ii) Giả sử IR = Z Khi đó, RR giả RR - c - nội xạ không giả RR - c∗ - nội xạ iii) Giả sử D miền P CI phải miền nguyên Gọi E(D) bao nội xạ D Khi đó, E(D)/D nửa đơn, E(D) môđun lớn M chứa D Hơn nữa, M D môđun liên tục phải không giả nội xạ Vậy, M giả c∗ - nội xạ không nội xạ Với định nghĩa nêu trên, có tích chất sau: Mệnh đề 2.2.3 Cho M R - môđun Các điều kiện sau tương đương: (1) M nội xạ (2) M giả N - c∗ - nội xạ cho R - môđun N (3) M giả N - c - nội xạ cho R - môđun N Bổ đề 2.2.4 Cho M, N hai môđun Khi đó, (1) Nếu N giả M - c∗ - nội xạ A hạng tử trực tiếp N A giả M - c∗ - nội xạ (2) Nếu N giả M - c∗ - nội xạ B môđun đóng M N giả B - c∗ - nội xạ (3) Nếu M giả M - c∗ - nội xạ A môđun đóng bất biến đầy hoàn toàn M A giả c∗ - nội xạ Footer Page 14 of 126 14 Header Page 15 of 126 Với tính chất trên, có đặc trưng môđun M - c∗ - nội xạ: Mệnh đề 2.2.5 Cho M, N hai môđun, X = M ⊕ N Các điều kiện sau tương đương: (1) N giả M - c∗ - nội xạ (2) Mỗi môđun K X, K đẳng cấu đến môđun đóng M với K ∩ M = K ∩ N = 0, tồn C ≤ X cho K ≤ C N ⊕ C = X Chú ý môđun giả c - nội xạ thỏa mãn điều kiện C2 xem Ví dụ 2.2.2 Nhưng với môđun giả c∗ - nội xạ, có kết sau: Định lý 2.2.6 Nếu M môđun giả c∗ - nội xạ M thỏa mãn điều kiện C2 Trong Định lý 2.2.6, môđun M CS môđun giả M - c - nội xạ Hơn nữa, môđun giả M - c∗ - nội xạ có định lý sau: Định lý 2.2.7 Môđun M liên tục R - môđun giả M - c∗ - nội xạ Hệ 2.2.8 Môđun M liên tục M môđun CS giả c∗ - nội xạ Chúng ta có mối liên hệ sau: giả nội xạ giả c∗ - nội xạ → C2 nội xạ → tựa nội xạ liên tục a v | a ∈ F , v ∈ V } với F a không gian vectơ V dimV = vành giao hoán, địa phương, Artin C2 không giả c∗ - nội xạ Ví dụ 2.2.9 Xét vành R = { Footer Page 15 of 126 15 Header Page 16 of 126 Bổ đề 2.2.10 Nếu M môđun giả c∗ - nội xạ môđun M đẳng cấu đến môđun đóng M môđun đóng M Với M ⊕ N môđun giả c∗ - nội xạ có kết sau: Định lý 2.2.11 Nếu M ⊕ N môđun giả c∗ - nội xạ N M - nội xạ Hệ 2.2.12 Với số nguyên n ≥ 2, M n giả c∗ - nội xạ M tựa nội xạ Hệ 2.2.13 Cho vành R, điều kiện sau tương đương: (1) R Artin nửa đơn (2) Mỗi R-môđun phải có hệ sinh đếm giả c∗ - nội xạ 2.2.2 Vành tự đồng cấu môđun giả c∗ - nội xạ Trước hết xét tổng trực tiếp môđun môđun giả c∗ - nội xạ Định lý 2.2.14 Giả sử M = ⊕i∈I Mi , Mi Khi đó, M liên tục M giả c∗ - nội xạ Từ định nghĩa tính chất nêu trên, có đặc trưng vành tựa Frobenius: Định lý 2.2.15 Cho vành R Khi đó, điều kiện sau tương đương: (1) R vành tựa Frobenius (2) Mỗi R-môđun phải nội xạ giả c∗ - nội xạ (3) R(N) giả RR - c∗ - nội xạ (4) R −CS đếm với chiều Goldie hữu hạn RR giả c∗ - nội xạ Như biết, M môđun giả nội xạ S = End(M ), S/J(S) vành quy Von Neumann J(S) = W (S) = {s ∈ S | Ker(s) ≤e M } Trong phần tiếp theo, chứng minh kết cho môđun giả c∗ - nội xạ Footer Page 16 of 126 16 Header Page 17 of 126 Định lý 2.2.16 Giả sử M môđun giả c∗ - nội xạ S = End(M ) Khi đó, S/J(S) vành quy Von Neumann J(S) = W (S) = {s ∈ S | Ker(s) ≤e M } Hệ 2.2.17 Nếu R vành giả c∗ - nội xạ R/J(R) vành quy Von Neumann J(R) = Z(RR ) Hệ 2.2.18 Giả sử MR vành giả c∗ - nội xạ phải S = End(M ) Khi đó, điều kiện sau tương đương: (1) S vành hoàn chỉnh phải (2) Với dãy vô hạn s1 , s2 , ∈ S dãy Ker(s1 ) ≤ Ker(s2 s1 ) ≤ dừng Bổ đề 2.2.19 Giả sử M R môđun phải S = End(MR ) Khi đó, (1) lS (A(M )) = lS (A), với A ⊆ S với A(M ) = s(M ) s∈A (2) lS (rM )(lS (A))) = lS (A) với A ⊆ S Giả sử ∅ = A ⊂ S = End(M ) Đặt: Kerf = {m ∈ M | f (m) = 0, ∀f ∈ A} KerA = f ∈A Nếu X ≤ M X = KerA, cho ∅ = A ⊂ S X gọi M - linh hóa tử Mệnh đề 2.2.20 Giả sử MR môđun giả c∗ - nội xạ với S = End(MR ) Nếu MR thỏa ACC M - linh hóa tử, S nửa nguyên sơ Hệ 2.2.21 Nếu R vành - c∗ - nội xạ phải thỏa mãn ACC linh hóa tử phải R nửa nguyên sơ Môđun M gọi hữu hạn trực tiếp không đẳng cấu đến hạng tử trực tiếp thực M Hoặc tương đương f g = 1M kéo theo gf = 1M , với f, g ∈ End(M ) Footer Page 17 of 126 17 Header Page 18 of 126 Mệnh đề 2.2.22 Môđun M giả c∗ - nội xạ hữu hạn trực tiếp tự đơn cấu đẳng cấu Hệ 2.2.23 Vành R giả c∗ - nội xạ phải hữu hạn trực tiếp đơn cấu RR → RR đẳng cấu CHƯƠNG MỘT TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT CỦA MÔĐUN NỘI XẠ BÉ VÀ (M, N )-NỘI XẠ Trong chương xét trường hợp tổng quát môđun nội xạ bé môđun (m, n)-nội xạ Các đặc trưng chúng nghiên cứu Đồng thời chứng minh đặc trưng vành tựa Frobenius thông qua lớp vành vành giả c*-nội xạ Để thuận tiện việc dùng ký hiệu, toàn chương ký hiệu J = J(R) 3.1 Các tính chất môđun (m, n)-nội xạ bé Trong phần giới thiệu khái niệm môđun (m, n)-nội xạ bé nghiên cứu tính chất Định nghĩa 3.1.1 Một R-môđun phải M gọi (m, n)-nội xạ bé , cho R-đồng cấu từ môđun n-sinh J m (hoặc Jm ) đến M mở rộng đến đồng cấu từ Rm (hoặc Rm ) đến M Một vành R gọi (m, n)-nội xạ bé nếu, RR (m, n)-nội xạ bé Ví dụ 3.1.2 i) Z (m, n)-nội xạ bé Z-môđun, nhiên không (m, n)-nội xạ n x ii) Giả sử R = { | n ∈ Z, x ∈ Z2 } Khi R vành n x giao hoán J = Sr = { | x ∈ Z2 } Khi R nội xạ bé 0 Footer Page 18 of 126 18 Header Page 19 of 126 không tự nội xạ Vậy R (m, n)-nội xạ bé Dễ dàng thấy R không (1, n)-nội xạ iii) Đặt R = F [x1 , x2 , ], với F trường xi thỏa mãn điều kiện sau: x3i = với i, xi xj = cho tất i = j, x2i = x2j cho tất i j Khi R vành giao hoán, nửa nguyên sơ Chúng ta có R (1, n)-nội xạ, R vành tự nội xạ Vậy R vành nội xạ bé Tiếp theo xét tính chất môđun (m, n)-nội xạ bé Mệnh đề 3.1.3 Các điều kiện sau tương đương R-môđun phải M : (1) M (m, n)-nội xạ bé; (2) lM n rRn (α1 , α2 , , αm ) = M α1 + M α2 + · · · + M αm cho tập m-phần tử {α1 , α2 , , αm } J n Mệnh đề 3.1.4 Các điều kiện sau tương đương R-môđun phải M : (1) M (m, n)-nội xạ bé; (2) M (m, 1)-nội xạ bé lM n (I ∩ K) = lM n (I) + lM n (K), với I K môđun (Jm )R cho I + K n-sinh; (3) M (m, 1)-nội xạ bé lM n (I ∩ K) = lM n (I) + lM n (K), với I K môđun (Jm )R cho I xyclic K (n − 1)-sinh (nếu n = 1, K = 0) Một đặc trưng khác môđun (m, n)-nội xạ bé: Mệnh đề 3.1.5 Các điều kiện sau tương đương R-môđun phải M : (1) M (m, n)-nội xạ bé; (2) Nếu m = (m1 , m2 , , mn ) ∈ M n A ∈ J m×n thỏa mãn điều kiện rRn (A) ≤ rRn (m), m = yA cho y ∈ M m Footer Page 19 of 126 19 Header Page 20 of 126 Hệ 3.1.6 Một R-môđun phải M (m, n)-nội xạ bé cho A ∈ J m×n , lM n rRn (A) = M m A Hệ 3.1.7 Một vành R vành (m, n)-nội xạ bé phải M R-môđun trái Nếu dãy Rm → J n →R M → khớp, M môđun không xoắn Một đặc trưng vành (m, n)-nội xạ bé Định lý 3.1.8 Các điều kiện sau tương đương cho vành R: (1) R (m, n)-nội xạ bé phải; (2) lRn (BRn ∩ rRn (A)) = lRn (B) + Rm A for all A ∈ J m×n B ∈ Rn×n ; (3) Nếu rRn (A) ≤ rRn (B) với A ∈ J m×n B ∈ Rm×n , Rm B ≤ Rm A Mệnh đề 3.1.9 Các điều kiện sau tương đương R-môđun phải M : (1) M (m, n)-nội xạ bé (2) Cho môđun n-sinh I J m f ∈ Hom(I, M ), (g, h) pushout (f, i) biểu đồ giao hoán sau (với i đơn cấu tắc) i✲ I Rm f g ❄ M h✲ ❄ P tồn α ∈ Hom(P, M ) cho αh = idM Môđun đối ngẫu môđun P ký hiệu P ∗ = Hom(P, R) Mệnh đề 3.1.10 Các điều kiện sau tương đương vành R: (1) R vành (m, n)-nội xạ bé phải; (2) Nếu I môđun đối cốt yếu m-sinh R-môđun trái xạ ảnh n-sinh P , I = lP rP ∗ (I) Footer Page 20 of 126 20 Header Page 21 of 126 3.2 Môđun (m, n)-nội xạ bé lớp môđun khác Trong phần nghiên cứu lớp vành môđun (m, n)nội xạ bé lớp môđun khác Mệnh đề 3.2.1 Các điều kiện sau tương đương vành R cho: (1) Mỗi môđun n-sinh J m xạ ảnh; (2) Mỗi môđun thương môđun (m, n)-nội xạ bé (m, n)nội xạ bé; (3) Mỗi môđun thương môđun (m, n)-nội xạ bé (m, n)nội xạ bé; (4) Mỗi môđun thương môđun nội xạ bé (m, n)-nội xạ bé; (5) Mỗi môđun thương môđun nội xạ (m, n)-nội xạ bé Một câu hỏi tự nhiên đặc môđun (m, n)-nội xạ bé (m, n)-nội xạ? Trước hết có kết sau: Định lý 3.2.2 Giả sử R vành nửa qui Khi M (m, n)-nội xạ bé M (m, n)-nội xạ Hệ 3.2.3 Cho R vành nửa qui Khi R (m, n)-nội xạ bé phải R (m, n)-nội xạ phải Định lý 3.2.4 Các điều kiện sau tương đương cho vành R: (1) R vành (m, n)-nội xạ bé phải với m, n ∈ N (2) Rn×n vành (1, 1)-nội xạ bé phải với n ∈ N Một môđun MR FP-nội xạ cho môđun hữu hạn sinh K môđun tự F đồng cấu từ K đến M mở rộng đến đồng cấu từ F đến M Các tác giả NicholsonYousif chứng minh R FP-nội xạ phải R (m, n)-nội xạ với m, n ∈ N Từ Định lý 3.2.4 có khái niệm sau: Footer Page 21 of 126 21 Header Page 22 of 126 Định nghĩa 3.2.5 Một môđun M FP-nội xạ bé R vành (m, n)-nội xạ bé phải với m, n ∈ N Rõ ràng ta có R FP-nội xạ phải FP-nội xạ bé phải Tuy nhiên chiều ngược lại không trường hợp tổng quát Từ Định lý 3.2.2 Định lý 3.2.4 có : Hệ 3.2.6 Cho R vành nửa qui Khi R FP-nội xạ phải R FP-nội xạ bé phải Mệnh đề 3.2.7 Nếu R vành Kasch phải FP-nội xạ bé phải, R FP-nội xạ bé trái Cuối đưa đặc trưng vành tựa Frobenius thông qua lớp vành giả c*-nội xạ (m, n)-nội xạ bé Định lý 3.2.8 Các điều kiện sau tương đương vành R cho: (1) R vành tựa Frobenius (2) R vành giả c*-nội xạ phải, FP-nội xạ bé trái thỏa điều kiện ACC linh hóa tử phải KẾT LUẬN Đề tài bao gồm kết sau đây: Đưa đặc trưng vành Artin nửa đơn thông qua lớp môđun giả c-nội xạ (Định lý 2.1.7) Một môđun giả c*-nội xạ thỏa điều kiện C2 (Định lý 2.2.6) Đặc trưng vành tựa Frobenius thông qua lớp môđun giả c*-nội xạ nghiên cứu (Định lý 2.2.15) Nghiên cứu tính qui vành thương vành tự đồng cấu môđun giả c*-nội xạ (Định lý 2.2.16) Nghiên cứu trường hợp tổng quát môđun nội xạ bé môđun (m, n)-nội xạ đưa đặc trưng lớp môđun (Định lý 3.1.8, Định lý 3.2.4) Footer Page 22 of 126 22 Header Page 23 of 126 Đưa đặc trưng vành tựa Frobenius thông qua lớp vành giả c*-nội xạ FP-nội xạ bé với điều kiện dây chuyền Định lý 3.2.8 Footer Page 23 of 126 23 ... hai mô un giả c - nội xạ giả c nội xạ (3) Mỗi mô un giả c - nội xạ nội xạ (4) Bất kì tổng trực tiếp họ mô un giả c - nội xạ giả c - nội xạ Hệ 2.1.8 Các điều kiện sau tương đương vành R: i) R vành. .. mô un thương mô un (m, n) -nội xạ bé (m, n )nội xạ bé; (3) Mỗi mô un thương mô un (m, n) -nội xạ bé (m, n )nội xạ bé; (4) Mỗi mô un thương mô un nội xạ bé (m, n) -nội xạ bé; (5) Mỗi mô un thương mô un... trúc lớp vành mô un giả c* -nội xạ Kết thu mô un giả c* -nội xạ thỏa điều kiện C2 Hơn nữa, M mô un giả c* -nội xạ vành thương End(M )/J(End(M )) vành qui iii) Nghiên cứu lớp mô un (m,n) -nội xạ bé Chúng