Tương đương Morita cho nửa vành và đặc trưng một số lớp nửa vành

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN GIANG NAM TƯƠNG ĐƯƠNG MORITA CHO NỬA VÀNH VÀ ĐẶC TRƯNG MỘT SỐ LỚP NỬA VÀNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC VINH - 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN GIANG NAM TƯƠNG ĐƯƠNG MORITA CHO NỬA VÀNH VÀ ĐẶC TRƯNG MỘT SỐ LỚP NỬA VÀNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 62.46.05.01 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TSKH NGUYỄN XUÂN TUYẾN PGS TS NGÔ SỸ TÙNG VINH - 2011 i Mục lục Lời cam đoan iii Lời cảm ơn iv Mở đầu Lý chọn đề tài 1 Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu 4 Phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn Tổng quan cấu trúc luận án 7.1 Tổng quan luận án 7.2 Cấu trúc luận án Chương TƯƠNG ĐƯƠNG MORITA 11 1.1 Kiến thức chuẩn bị 11 1.2 1.3 Vật sinh xạ ảnh Tương đương Morita 18 26 1.4 Kết luận Chương 33 Chương BẤT BIẾN MORITA VÀ ÁP DỤNG 35 2.1 Nửa vành tự đồng cấu vị nhóm giao hoán lũy đẳng 35 2.2 Bất biến Morita 43 2.3 Áp dụng 50 2.4 Kết luận Chương 55 ii Chương TÍNH ĐƠN CỦA MỘT SỐ LỚP NỬA VÀNH 56 3.1 Nửa vành thứ tự dàn 56 3.2 Nửa vành nửa đơn cô lập 61 3.3 Nửa vành đầy đủ tương đẳng không tầm thường 68 3.4 Kết luận Chương 82 Chương ĐẶC TRƯNG ĐỒNG ĐIỀU CỦA NỬA VÀNH 83 4.1 Nửa vành nửa đơn nửa vành cô lập 83 4.2 Nửa vành nửa đơn cộng quy 95 4.3 Kết luận Chương 101 Kết luận Luận án 102 Các công trình liên quan đến Luận án 103 Tài liệu tham khảo 104 iii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết nêu luận án hoàn toàn trung thực chưa công bố công trình khác Trần Giang Nam iv Lời cảm ơn Luận án hoàn thành hướng dẫn nghiêm khắc đầy trách nhiệm PGS TSKH Nguyễn Xuân Tuyến PGS TS Ngô Sỹ Tùng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến với thầy Nguyễn Xuân Tuyến thầy Ngô Sỹ Tùng Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới GS Yefim Katsov, Department of Mathematics and Computer Science Hanover College, Hanover, IN 47243-0890, USA cộng tác viết báo chung giúp đỡ to lớn trao đổi tài liệu, thảo luận toán có liên quan Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới TS Jens Zumbr¨agel, Claude Shannon Institute, University College Dublin, Ireland cộng tác viết báo chung Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới GS TSKH Ngô Việt Trung, GS TSKH Nguyễn Tự Cường, GS TSKH Lê Tuấn Hoa PGS TSKH Phùng Hồ Hải, tạo điều kiện cho tác giả học tập viện Toán học Hà Nội Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Khoa Toán học Khoa Sau đại học - Trường Đại học Vinh tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình làm nghiên cứu sinh Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Trường Đại học Đồng Tháp nói chung Khoa Toán học - Trường Đại học Đồng Tháp nói riêng, nơi tác giả công tác giảng dạy từ năm 2007 tới Tác giả xin gửi lời cảm ơn giúp đở bạn, anh Seminar Lý thuyết vành môđun Trường Đại học Vinh, PGS TS Ngô Sỹ Tùng chủ trì Tác giả xin chân thành cảm ơn tất bạn bè thân hữu động viên khích lệ tác giả học tập hoàn thành luận án Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn đến Bố, Mẹ, hai em người thân minh yêu thương, cổ vũ, động viên, chăm lo chu tác giả an tâm học tập nghiên cứu Trần Giang Nam Mở đầu Lý chọn đề tài Khái niệm nửa vành giới thiệu Vandiver [52] vào nằm 1934, tổng quát hóa khái niệm vành không giao hoán theo nghĩa không đòi hỏi tính đối xứng phép cộng Kể từ đó, nửa vành quan tâm nghiên cứu phương diện lý thuyết lẫn áp dụng Nhiều tính chất áp dụng nửa vành trình bày số tài liệu [17], [18], [21] Luận án quan tâm đến khái niệm nửa vành tổng quát hóa khái niệm vành có đơn vị không giao hoán theo nghĩa nói Một phương pháp để nghiên cứu đối tượng toán học người ta tìm cách đưa đối tượng khác dễ nghiên cứu đối tượng Chẳng hạn, để nghiên cứu hình hình học người ta thường cắt chúng siêu phẳng nghiên cứu siêu diện Điều tiến hành cách tương tự cho nửa vành, siêu phẳng thay quan hệ tương đẳng siêu diện nửa vành thương tương ứng Với nửa vành R, tồn tương đẳng ρ R cho nửa vành thương R/ρ tương đẳng không tầm thường (hoặc tương đẳng-đơn); nghĩa là, R/ρ có hai tương đẳng tầm thường Do đó, theo nghĩa đó, nghiên cứu nửa vành tương đẳng không tầm thường giúp ta hiểu phần cấu trúc nửa vành R Lưu ý với tương đẳng ρ nửa vành R, lớp tương đương 0ρ phần tử theo quan hệ ρ, iđêan R; ngược lại, với iđêan I R, cảm sinh tương đẳng Bourne ≡I R Nói cách khác, ta có hai tương ứng ρ −→ 0ρ I −→ ≡I ánh xạ từ tập tương đẳng R đến tập iđêan R ngược lại Từ đây, theo nghĩa đó, ta hiểu nửa vành tương đẳng không tầm thường R thông qua việc nghiên cứu dàn iđêan nó; chẳng hạn, R vành, hai ánh xạ song ánh (chúng ánh xạ ngược nhau), đó, vành R tương đẳng không tầm thường và R hai iđêan (khi đó, R gọi vành đơn) Khẳng định nói chung không cho nửa vành Vì thế, nửa vành chứa iđêan tầm thường, gọi iđêan không tầm thường, iđêan-đơn Cấu trúc nửa vành giao hoán tương đẳng iđêan không tầm thường mô tả Cụ thể, năm 1988, Sidney S Mitchell - Paul B Fenoglio chứng minh nửa vành giao hoán tương đẳng không tầm thường trường, nửa vành Boole B := {0, 1} ([44, Theorem 3.2]); dễ dàng thấy nửa vành giao hoán iđêan không tầm thường nửa trường Gần đây, năm 2001, R El Bashir - J Hurt - A Janˇcaˇrík - T Kepka mở rộng hai kết cho nửa vành giao hoán không đòi hỏi phần tử không phần tử đơn vị (xem [4, Theorem 10.1 Theorem 11.2]) Xin nói thêm, tính tương đẳng, iđêan không tầm thường nửa vành giao hoán không đòi hỏi phần tử không phần tử đơn vị quan tâm số tác giả, chẳng hạn [26], [27], [29], [28], Việc nghiên cứu cấu trúc nửa vành không giao hoán tương đẳng iđêan không tầm thường khó khăn Đối với nửa vành tương đẳng không tầm thường, năm 2004, C Monico mô tả nửa vành (không đòi hỏi phải chứa phần tử không đơn vị) hữu hạn tương đẳng không tầm thường (xem [45, Theorem 4.1]); mô tả không đầy đủ Sau đó, năm 2008, J Zumbragel phân loại nửa vành (không đòi hỏi phần tử đơn vị) hữu hạn tương đẳng không tầm thường (xem [56, Theorem 1.7]) Hơn nữa, nửa vành tương đẳng không tầm thường nghiên cứu số tác giả, chẳng hạn, [5], [14], [15], [25], Tuy nhiên, việc mô tả cách đầy đủ nửa vành tương đẳng không tầm thường chưa làm Đối với nửa vành iđêan không tầm thường, năm 1957, Bourne Zassenhaus mô tả cấu trúc nửa vành nửa đơn iđêan không tầm thường không chứa iđêan phía lũy linh khác không; cụ thể hơn, nửa vành nửa vành ma trận nửa thể (xem [8, Theorem 1]) Năm 1967, Steinfeld - Wiegandt [57] kết cho nửa vành nửa đơn iđêan không tầm thường Sau đó, năm 1977, Stone [48] mở rộng kết cho nửa vành mà nhúng vào vành Năm 1984, Weinert nghiên cứu tính iđêan không tầm thường cho nửa vành ma trận ([55, Theorem 4.1]) nửa vành nửa nhóm ([55, Theorem 4.3]) Khái niệm nửa vành mà Weinert xem xét không đòi hỏi phần tử đơn vị Tính đến thời điểm tại, việc phân loại nửa vành iđêan không tầm thường câu hỏi mở Một cách khác để nghiên cứu đối tượng toán học người ta cố gắng hiểu cách tác động lên đối tượng khác Nói cách khác, hiểu đối tượng toán học nhờ vào phạm trù biểu diễn Lý thuyết biểu diễn (lý thuyết môđun) nhóm, vành đại số soi sáng nhiều thông tin cấu trúc chúng Việc dùng phạm trù biểu diễn thích hợp để đặc trưng cấu trúc nửa vành nghiên cứu số nhà toán học T S Fofanova, E B Katsov, Y Katsov, M Takahashi, H J Weinert, Phạm trù biểu diễn nửa vành gọi phạm trù nửa môđun Cũng giống trường hợp vành (xem [42]), vị nhóm (xem [39]), dàn phân phối (xem [16]), khái niệm nửa môđun thường sử dụng để đặc trưng nửa vành xạ ảnh, phẳng nội xạ Ở khái niệm nửa môđun xạ ảnh nội xạ định nghĩa theo cách thông thường, nửa môđun trái G gọi phẳng (đơn-phẳng) hàm tử − ⊗R G bảo toàn giới hạn ngược hữu hạn (bảo toàn tính đơn cấu đồng cấu) Mọi nửa môđun xạ ảnh phẳng; chiều ngược lại không Năm 2002, O Sokratova tính xạ ảnh tính phẳng nửa môđun nửa vành giao hoán cộng lũy đẳng phân biệt (xem [47, Theorem 3.4]) Năm 2004, Katsov mở rộng kết cho nửa vành cộng quy sau: Nếu R nửa vành cộng quy cho tồn đồng cấu nửa vành từ R lên B, tính xạ ảnh tính phẳng nửa môđun R phân biệt (xem [33, Theorem 5.11]); hệ rút từ khẳng định là: tính xạ ảnh tính phẳng nửa môđun nửa vành giao hoán cộng quy R tương đương R vành hoàn chỉnh (xem [33, Corollary 5.12]) Đồng thời, Y Katsov phát biểu giả thuyết đây: Giả thuyết ([33, Conjecture]) Tính xạ ảnh tính phẳng nửa môđun nửa vành cộng quy R tương đương R vành hoàn chỉnh Đối với nửa môđun, tính phẳng suy tính đơn-phẳng, chiều ngược lại nói chung không Năm 1978, Bulman-Fleming McDonwell B-nửa môđun trái A phẳng A đơn-phẳng, và A nửa dàn phân phối (xem [10, Theorem 3.1]) Năm 1986, E B Katsov mở rộng kết cho nửa môđun Đại số Boole hữu hạn (xem [59, Theorem 2]) Gần nhất, năm 2004, Y Katsov chứng minh khẳng định nửa môđun Đại số Boole (xem [32, Theorem 3.2]) Đồng thời, Y Katsov nêu toán sau: Bài toán ([32, Problem 3.9]) Mô tả lớp nửa vành cho tính phẳng tính đơn-phẳng nửa môđun chúng tương đương Tính đến thời điểm này, giả thuyết toán nêu chưa có lời giải Mặt khác, việc dùng nửa môđun nội xạ để nghiên cứu nửa vành quan tâm (xem [1], [23], [30]), nhận kết đáng ý sau: năm 1994, H Wang nửa môđun nửa vành cộng lũy đẳng nhúng vào nửa môđun nội xạ ([53, Theorem]) Năm 1997, Y Katsov mở rộng kết cho nửa vành cộng quy ([30, Theorem 4.2]) Năm 2008, S N Il’in chứng minh nửa vành thỏa mãn điều kiện Baer nửa môđun nhúng vào nửa môđun nội xạ vành ([23, Theorem 3]) Cuối cùng, J Ahsan - M Shabir - H J Weinert [1] đặc trưng nửa vành quy von Neumann thông qua nửa môđun cyclic p-nội xạ Nói chung, kết theo hướng Với lí nêu trên, chọn đề tài “Tương đương Morita cho nửa vành đặc trưng số lớp nửa vành” làm đề tài luận án tiến sĩ Những vấn đề sau đề tập trung nghiên cứu: (1) Mô tả cấu trúc nửa vành tương đẳng không tầm thường nửa vành iđêan không tầm thường; (2) Dùng nửa môđun phẳng, xạ ảnh, nội xạ để nghiên cứu nửa vành nửa đơn, đặc biệt hướng đến giải giả thuyết toán nêu Y Katsov Mục đích nghiên cứu Mục đích Luận án đặc trưng tính đơn, tương đẳng không tầm thường iđêan không tầm thường cho lớp nửa vành chứa iđêan phía tối tiểu xạ ảnh, nửa vành cô lập phía, nửa vành đầy đủ nửa vành thứ tự dàn; đặc trưng nửa vành nửa đơn thông qua nửa môđun phẳng, xạ ảnh, nội xạ; đồng thời, trả lời giả thuyết ([33, Conjecture]) toán ([32, Problem 3.9]) nêu Y Katsov cho nửa vành nửa đơn cộng quy Đối tượng nghiên cứu Nửa vành tương đẳng không tầm thường, nửa vành iđêan không tầm thường, nửa vành đơn nửa vành nửa đơn Phạm vi nghiên cứu Đại số kết hợp Lý thuyết nửa vành nửa môđun Phương pháp nghiên cứu Sử dụng tương đương Morita để nghiên cứu vấn đề đặt Luận án Ý nghĩa khoa học thực tiễn Mở rộng lý thuyết tương đương Morita cho phạm trù nửa vành Mô tả cấu trúc nửa vành tương đẳng không tầm thường, nửa vành iđêan không tầm thường, nửa vành đơn nửa vành nửa đơn cho số lớp nửa vành data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN GIANG NAM TƯƠNG ĐƯƠNG MORITA CHO NỬA VÀNH VÀ ĐẶC TRƯNG MỘT SỐ LỚP NỬA VÀNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 62.46.05.01... cách tương tự cho nửa vành, siêu phẳng thay quan hệ tương đẳng siêu diện nửa vành thương tương ứng Với nửa vành R, tồn tương đẳng ρ R cho nửa vành thương R/ρ tương đẳng không tầm thường (hoặc tương. .. [1] đặc trưng nửa vành quy von Neumann thông qua nửa môđun cyclic p-nội xạ Nói chung, kết theo hướng 4 Với lí nêu trên, chọn đề tài Tương đương Morita cho nửa vành đặc trưng số lớp nửa vành