Đặc trưng một số lớp vành và môđun thông qua điều kiện tổng trực tiếp

Các ký hiệu Các ký hiệu đợc đa ra trong luận văn chủ yếu dựa theo Anderson- Fuller [1]; Nguyễn Việt Dũng, Đinh Văn Huỳnh, Smith và Wisbauer [4]; Faith [5]; Mohamed - Muller[17], Wisbauer [18]. N M : N là môđun con của M N e M : N là môđun con cốt yếu của M N M : N là hạng tử trực tiếp của M i Ii M : Tổng trực tiếp các môđun M i Mod - R : Phạm trù các R- môđun phải [N] : Phạm trù con đầy của Mod - R gồm các môđun con của các môđun sinh bởi N. J(R) : Căn Jacobson của R. Soc(M) : Đế của môđun M r(M) : Linh hoá tử của môđun M r(m) : Linh hoá tử của phần tử m Z R (M): Môđun con suy biến của M l(M) : Độ dài môđun M : Kết thúc chứng minh 1 Mở đầu Trong các lớp môđun, lớp môđun nội xạ và lớp môđun xạ ảnh đợc xem nh hai cột trụ trong nghiên cứu lý thuyết môđun và lý thuyết vành. Các kết quả về chúng không những đóng vai trò rất quan trọng trong lý thuyết vành và môđun mà còn là công cụ trực tiếp để nghiên cứu đại số đồng điều, tôpô đại số, đại số giao hoán. . . Vì vai trò đặc biệt quan trọng của chúng nên vấn đề mở rộng các lớp môđun này đợc rất nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Trong khoảng 30 năm qua lớp môđun nội xạ đã đợc mở rộng theo nhiều hớng khác nhau và một hớng quan trọng là đa ra các lớp môđun tựa nội xạ, liên tục, tựa liên tục, CS - môđun và (1 - C 1 ) - môđun. Các kết quả theo hớng này đã đợc N.V.Dung - D.V. Huynh - Smith - Wisbauer tổng kết lại trong quyển sách nổi tiếng Extending modules của họ (Xem [4]). Sau khi quyển sách này ra đời nhiều nhà toán học vẫn tiếp tục quan tâm đến lớp môđun CS và đạt đợc nhiều kết quả thú vị (xem [2] ,[3], [10], [11] ,[12] ,[13] ,[14]). Một trong những hớng nghiên cứu quan trọng của lý thuyết vành và môđun là đặc trng chúng thông qua tổng trực tiếp các vành và các môđun. Những vấn đề theo hớng này đợc trình bày trong bất kỳ quyển sách nào về vành và môđun (Xem [1],[4],[17],[18]). Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu các lớp vành qua các điều kiện tổng trực tiếp của một môđun tựa liên tục (tơng ứng CS) và xạ ảnh; và nghiên cứu tổng trực tiếp của các CS - môđun (tơng ứng (1 - C 1 ) - môđun). Đề tài gồm 3 chơng trong đó chơng 1 dành cho việc trình bày các khái niệm cơ sở. Chơng 2. Vành kiểu 0. Xuất phát điểm của chơng này là từ các bài báo mới của H.Q.Dinh, D.V.Huynh, S.T.Rizvi (Xem [2], [13], [14]) trong đó các tác giả đã nghiên cứu các lớp vành mà các môđun phải trên nó là tổng trực tiếp của một môđun tựa liên tục (tơng ứng CS) và một môđun xạ ảnh. Các tác giả đã gọi các lớp 2 vành đó là vành thoả mãn điều kiện (*), (**), * - nửa đơn. Trong đó các tác giả đã tìm thấy một sự phân tích vành * - nửa đơn thành tổng trực tiếp 3 idean phải thoả mãn tính chất có trong bổ đề 2.1.2.4. Từ mối liên hệ bất ngờ giữa khái niệm * - nửa đơn và CS - nửa đơn vành các tác giả đã đề xuất khái niệm vành kiểu 1 và vành kiểu 2. Sau khi xem xét định nghĩa vành kiểu 1 và vành kiểu 2, chúng tôi thấy rằng có thể bỏ bớt một vài điều kiện và dẫn đến sự tổng quát của hai lớp vành đó. Chúng tôi định nghĩa lớp vành tổng quát đó là vành kiểu 0 và tìm kiếm một số tính chất của lớp vành này. Một số kết quả là sự tơng tự giữa các kết quả đã có trong [2] nhng đợc chuyển tải qua lớp vành kiểu 0. Các kết quả chính của chơng này là các định lý 2.2.5, 2.2.7, mệnh đề 2.2.3, và một số hệ quả. Chơng 3. Tổng trực tiếp CS - môđun và (1 - C 1 ) - môđun. Xuất phát điểm của chơng này là từ các bài báo của A.Hamanci, M.A.Kamal, B.J.Muller, P.F.Smith (xem [9], [15], [16], [17]) trong đó các tác giả đã nghiên cứu tổng trực tiếp của các môđun liên tục (tơng ứng tựa liên tục) và nghiên cứu tổng trực tiếp của các môđun CS (tơng ứng (1 - C 1 )) cho các miền nguyên giao hoán không xoắn. Tiếp tục theo hớng đó chúng tôi áp dụng những kết quả mới của H.Q. Dinh, D.V. Huynh, S.K.Jain, S.R.López- Permouth, P.F.Smith và đạt đợc một số kết quả tơng tự cho các lớp vành Artin, nửa Artin và V - vành, PCI - vành. Các kết quả chính của chơng này là các định lý 3.2.2, 3.2.14, mệnh đề 3.2.7, 3.2.9 và một số hệ quả. Luận văn đợc thực hiện tại Trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn tận tình của PGS.TS. Ngô Sỹ Tùng. Nhân dịp này, chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hớng dẫn, ngời đã dành cho chúng tôi sự chỉ bảo tận tình nghiêm khắc và đầy lòng nhân ái. Chúng tôi cũng xin bày tỏ lời cảm ơn tới GS. TS. Nguyễn Quốc Thi, PGS. TS. Nguyễn Quý Di, PGS.TS. Lê Quốc Hán, TS. Nguyễn Thành Quang đã giúp đỡ, giảng dạy và tạo nhiều điều kiện học tập trong quá trình theo học tại lớp Cao học IX Đại số. Chúng tôi cũng xin bày tỏ lời cảm ơn tới ban chủ nhiệm khoa Sau đại học, khoa Toán đã tạo điều kiện học tập trong nhiều năm qua. Chúng tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới 3 TS. Chu Trọng Thanh, học viên Đinh Đức Tài đã tạo điều kiện về tài liệu trong thời gian thực hiện luận văn. Chúng tôi xin cảm ơn tới bạn bè đồng nghiệp trong lớp Cao học IX Đại số và lớp Cao học IX Toán đã có nhiều sự động viên giúp đỡ trong quá trình 3 năm học tập vừa qua. Cuối cùng do năng lực còn nhiều khiếm khuyết nên không thể tránh khỏi những sai sót, chúng tôi mong nhận đợc những sự chỉ bảo của quý thầy cô và các bạn Tác giả. 4 Chơng 1. Khái niệm cơ bản C hơng này chúng tôi sẽ đa ra những định nghĩa và kết quả cơ bản liên quan đến luận văn. Các khái niệm, tính chất cơ bản và ký hiệu chúng tôi chủ yếu dựa theo Anderson - Fuller [1]; Dung - Huynh - Smith và Wisbauer [4]; Faith [5]; Mohamed - Muller [17]; Wisbauer [18]. Các vành luôn luôn đợc giả thiết là vành kết hợp, các môđun trên một vành luôn luôn đợc hiểu là các môđun phải unita (nếu không nói gì thêm). 1.1. Môđun con cốt yếu và môđun con đóng Định nghĩa 1.1.1. Cho R là một vành và M là một R - môđun phải. Xét N là môđun con của M. (a) Môđun con N đợc gọi là cốt yếu (essential) trong M và ký hiệu N e M, nếu với mọi môđun con K M, K 0 thì K N 0. Nếu N là môđun con cốt yếu của M, ta sẽ nói rằng M là mở rộng cốt yếu (essential extension) của N. (b) Môđun con N đợc gọi là đóng (closed) trong M nếu N không có một mở rộng cốt yếu thực sự. Nói khác đi N gọi là đóng trong M nếu với mọi môđun con K của M mà N e K thì K = N. (c) Môđun con K của M đợc gọi là bao đóng (closure) của môđun con N trong M nếu K là môđun con tối đại trong M sao cho N là cốt yếu trong K. Tính chất 1.1.2. Cho vành R và M, N là các R - môđun phải với N M (a) Bao đóng của một môđun con N trong M luôn tồn tại (Xem [17, trang 19]). (b) Nếu N đóng trong K, K đóng trong M thì N đóng trong M (Xem [17, trang 20]). 1.2. Môđun nội xạ và môđun xạ ảnh. 5 Định nghĩa 1.2.1. Cho vành R và M là R - môđun phải. (a) R - môđun phải N đợc gọi là M - nội xạ (injective) nếu với mọi môđun con X của M và mọi đồng cấu f: X N thì có thể mở rộng tới đồng cấu f*: M N thoả mãn f = f*i với i: X M là phép nhúng. * Môđun M đợc gọi là tựa nội xạ (quasi-injective) nếu M là M - nội xạ * Môđun N đợc gọi là nội xạ (injective) nếu N là M - nội xạ với mọi R - môđun phải M. (b) R - môđun phải N đợc gọi là M - xạ ảnh(projective) nếu với mọi môđun thơng M/X và với mọi đồng cấu f: N M/X thì tồn tại đồng cấu h: N M thoả mãn ph = f với p : M M/X là phép chiếu. * Môđun M đợc gọi là tựa xạ ảnh (quasi-projective) nếu M là M - xạ ảnh * Môđun N đợc gọi là xạ ảnh (projective) nếu N là M - xạ ảnh với mọi R - môđun phải M. Tính chất 1.2.1. Cho M, N là các môđun phải. Ta có: (a) Nếu N là M - nội xạ thì mọi đơn cấu f: N M là chẻ ra, tức dãy khớp ngắn: 0 N f M p M/f(N) 0 thoả mãn f (N) M. (b) Nếu N là M xạ ảnh thì mọi dãy khớp ngắn: 0 P f M g N 0 là chẻ ra, tức f(P) M. 6 N X f M f* i N M/X h p f M (c) Trong luận văn chúng tôi còn sử dụng các tính chất về môđun nội xạ và xạ ảnh đợc trình bày trong [1], [4], ]17], [18]. Định nghĩa 1.2.3. (a) Bao nội xạ (injective hull) của R - môđun phải N, ký hiệu E (N) là một môđun nội xạ và là mở rộng cốt yếu của N. (b) Các R - môđun phải M và N đợc gọi là nội xạ lẫn nhau (relatively injective) nếu M là N - nội xạ và N là M - nội xạ. Tính chất 1.2.4. ([18]) Bao nội xạ E (N) luôn tồn tại với mọi N. 1.3. CS - môđun, Môđun liên tục, môđun tựa liên tục Cho M là R - môđun phải. Ta xét các điều kiện sau: (C 1 ) Mọi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M. (C 2 ) Nếu A và B là các môđun con của M đẳng cấu với nhau và A là hạng tử trực tiếp của M thì B cũng là hạng tử trực tiếp của M. (C 3 ) Nếu A và B là các hạng tử trực tiếp của M và AB = 0 thì A B cũng là hạng tử trực tiếp của M. Định nghĩa 1.3.1: (a) Một môđun M đợc gọi là CS - môđun (hay Extending), nếu M thoả mãn (C 1 ) (b) Một môđun M đợc gọi là liên tục (continuous) nếu M thoả mãn các điều kiện (C 1 ) và (C 2 ). (c) Một môđun M đợc gọi là tựa liên tục (quasi-continuous) nếu M thoả mãn các điều kiện (C 1 ) và (C 3 ). (d) Một vành R gọi là CS - vành (tơng ứng liên tục, tựa liên tục) phải nếu R R là CS - môđun (tơng tứng liên tục, tựa liên tục), (ở đây R đợc coi là R - môđun phải trên chính nó và ký hiệu R R ). Tơng tự ta có các khái niệm CS - vành trái, vành liên tục trái, vành tựa liên tục trái. Nếu R có tính chất hai phía thì ta có các khái niệm CS - vành, vành liên tục, vành tựa liên tục. Tính chất 1.3.2. 7 (a) M thoả mãn (C 2 ) thì cũng thoả mãn (C 3 ) (xem [17, Proposition 2.2]). Từ đó ta có phép kéo theo sau đây là đúng: Nội xạ tựa nội xạ liên tục tựa liên tục CS (b) Trong luận văn chúng tôi còn sử dụng các tính chất về môđun và vành liên tục, tựa liên tục đợc trình bày trong [17], [18]. (c) Trong luận văn chúng tôi cũng sử dụng các tính chất về môđun và vành CS đợc trình bày trong [4], [17]. 1.4. Môđunđều và chiều Uniform (chiều Goldie) Định nghĩa1.4.1. (a) Cho R là vành, một R - môđun phải U đợc gọi là đều (hay Uniform) nếu U 0 và A B 0 đối với mọi môđun con khác không A, B của U. (b) Một môđun M trên vành R gọi là có chiều uniform (chiều đều, chiều Goldie) hữu hạn nếu không tồn tại một tổng trực tiếp vô hạn các môđun khác không trong M. Số hạng tử khác không lớn nhất của các tổng trực tiếp các môđun con của M đợc gọi là số chiều uniform của M và ký hiệu là udim (M) (hay Gdim M). Trong trờng hợp ngợc lại ta nói M có chiều uniform vô hạn (c) Giả sử R là một vành, ta gọi chiều uniform phải của R là chiều uniform của R R và chiều uniform trái của R là chiều uniform của R R . Tính chất 1.4.2. ([18]) (a) Nếu môđun M có chiều uniform hữu hạn thì mọi môđun con của M có chiều uniform hữu hạn. (b) Cho A là môđun con của M nếu A và M/A có chiều uniform hữu hạn thì M có chiều uniform hữu hạn. (c) Tổng trực tiếp hữu hạn các môđun có chiều uniform hữu hạn là một môđun có chiều uniform hữu hạn. (d) Nếu A e B thì B có chiều uniform hữu hạn khi và chỉ khi A có chiều uniform hữu hạn. 8 1.5. Các điều kiện ACC và DCC. Định nghĩa 1.5.1. (a) Cho X là một tập hợp sắp thứ tự bởi (tơng ứng ) ta nói X thoả mãn điều kiện chuỗi tăng (tơng ứng giảm) nếu mọi chuỗi tăng. X 1 X 2 X 3 . . . (tơng ứng X 1 X 2 X 3 . . .) Tồn tại chỉ số n sao cho X n = X n + 1 = X n + 2 =. . . Điều kiện chuỗi tăng (tơng ứng giảm) đợc ký hiệu là ACC(ascending chain condition) (tơng ứng DCC(descending chain condition)). Môđun M đợc gọi là Artin (tơng ứng Noether) nếu tập hợp các môđun con của nó thoả mãn DCC (tơng ứng ACC) theo quan hệ bao hàm. (c) Vành R đợc gọi là Artin phải (tơng ứng Noether) nếu R R là môđun Artin (tơng ứng Noether). (d) Định nghĩa tơng tự cho vành Artin trái (tơng ứng Noether). Tính chất 1.5.2. ([1]) (a) Mọi môđun con và môđun thơng của môđun Artin (tơng ứng Noether) là môđun Artin (tơng ứng Noether). (b) Các phải biểu sau đây đối với môđun M là tơng đơng: (i) M là môđun Artin (tơng ứng Noether). (ii) Mọi môđun thơng (tơng ứng môđun con) của M là hữu hạn đối sinh (tơng ứng hữu hạn sinh). (iii) Mọi họ khác rỗng các môđun con của M chứa phần tử tối tiểu (tơng ứng tối đại). (c) Nếu R là vành Artin phải thì R là Noether phải. Định nghĩa 1.5.3. Cho một R - môđun phải M xét chuỗi hữu hạn (nếu có): 0 = M 0 M 1 . M k = M sao cho M j + 1 /M j là môđun đơn (j = 0, ., k - 1) Khi đó ta nói M có độ dài hữu hạn và số k (là một bất biến) đợc gọi là độ dài của môđun M. Ký hiệu l (M). Tính chất 1.5.4.([1]) Cho M là R - môđun phải. Các mệnh đề tơng đơng: 9 (a) M có độ dài hữu hạn (b) M là Noether và Artin. 1.6. Môđun suy biến Định nghĩa 1.6.1. Cho M là một R - môđun phải và m M. (a) Tập hợp r R (m) = {r R: mr = 0} đợc gọi là linh hoá tử của phần tử m và viết gọn r(m). Tập hợp r R (M) = {r R: mr = 0 m M} đợc gọi là linh hoá tử của môđun M và viết gọn r(M) (b) Cho R là một vành và S là tập con khác rỗng của vành R. Linh hoá tử phải của S trong R là: r (S) = {xR: sx = 0 s S} Linh hoá tử trái của S trong R là: l (s) = {x R: xs = 0 s S} (c) Cho một R - môđun phải M. Tập hợp: Z R (M) = {x M: r R (x) e R} đợc gọi là môđun con suy biến của M. Nếu Z R (M) = M ta nói rằng M là môđun suy biến và nếu Z R (M) = 0 ta nói M là môđun không suy biến. (d) Cho một vành R. Ta gọi idean suy biến phải của R là: Z r (R) = {x R: r (x) e R} Ta gọi idean suy biến trái của R là: Z l (R) = {x R: l (x) e R} Định nghĩa 1.6.2. (a) Cho C là một phạm trù và D là phạm trù con của nó. D đợc gọi là phạm trù con đầy của C nếu với mọi vật A, B D luôn có Hom D (A, B) = Hom C (A, B). 10