Tương đương morita cho nửa vành và đặc trưng một số lớp nửa vành

Luận văn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN GIANG NAM TƯƠNG ĐƯƠNG MORITA CHO NỬA VÀNH VÀ ĐẶC TRƯNG MỘT SỐ LỚP NỬA VÀNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC VINH - 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN GIANG NAM TƯƠNG ĐƯƠNG MORITA CHO NỬA VÀNH VÀ ĐẶC TRƯNG MỘT SỐ LỚP NỬA VÀNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 62.46.05.01 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC 1. PGS. TSKH. NGUYỄN XUÂN TUYẾN 2. PGS. TS. NGÔ SỸ TÙNG VINH - 2011 i Mục lục Lời cam đoan iii Lời cảm ơn iv Mở đầu 1 1 Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3 Đối tượng nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 Phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7 Tổng quan và cấu trúc luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7.1 Tổng quan luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7.2 Cấu trúc của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Chương 1. TƯƠNG ĐƯƠNG MORITA 11 1.1 Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Vật sinh xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3 Tương đương Morita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.4 Kết luận Chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Chương 2. BẤT BIẾN MORITA VÀ ÁP DỤNG 35 2.1 Nửa vành tự đồng cấu của vị nhóm giao hoán lũy đẳng . . . . . 35 2.2 Bất biến Morita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3 Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.4 Kết luận Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 ii Chương 3. TÍNH ĐƠN CỦA MỘT SỐ LỚP NỬA VÀNH 56 3.1 Nửa vành được sắp thứ tự dàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.2 Nửa vành nửa đơn cô lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.3 Nửa vành đầy đủ không có tương đẳng không tầm thường . . . 68 3.4 Kết luận Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Chương 4. ĐẶC TRƯNG ĐỒNG ĐIỀU CỦA NỬA VÀNH 83 4.1 Nửa vành nửa đơn và nửa vành cô lập . . . . . . . . . . . . . . 83 4.2 Nửa vành nửa đơn cộng chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.3 Kết luận Chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Kết luận của Luận án 102 Các công trình liên quan đến Luận án 103 Tài liệu tham khảo 104 iii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả viết chung với tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các kết quả nêu trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ một công trình nào khác. Trần Giang Nam iv Lời cảm ơn Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc và đầy trách nhiệm của PGS. TSKH. Nguyễn Xuân Tuyến và PGS. TS. Ngô Sỹ Tùng. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến với thầy Nguyễn Xuân Tuyến và thầy Ngô Sỹ Tùng. Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới GS. Yefim Katsov, Department of Mathematics and Computer Science Hanover College, Hanover, IN 47243-0890, USA vì sự cộng tác viết bài báo chung và giúp đỡ to lớn trong trao đổi tài liệu, thảo luận những bài toán có liên quan. Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới TS. Jens Zumbr¨agel, Claude Shannon Institute, University College Dublin, Ireland vì sự cộng tác viết bài báo chung. Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới GS. TSKH. Ngô Việt Trung, GS. TSKH. Nguyễn Tự Cường, GS. TSKH. Lê Tuấn Hoa và PGS. TSKH. Phùng Hồ Hải, đã tạo điều kiện cho tác giả học tập tại viện Toán học Hà Nội. Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Khoa Toán học và Khoa Sau đại học - Trường Đại học Vinh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình làm nghiên cứu sinh. Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Trường Đại học Đồng Tháp nói chung và Khoa Toán học - Trường Đại học Đồng Tháp nói riêng, nơi tác giả đã công tác và giảng dạy từ năm 2007 tới nay. Tác giả xin gửi lời cảm ơn sự giúp đở của các bạn, anh trong Seminar Lý thuyết vành và môđun tại Trường Đại học Vinh, do PGS. TS. Ngô Sỹ Tùng chủ trì. Tác giả xin chân thành cảm ơn tất cả các bạn bè thân hữu luôn động viên và khích lệ tác giả học tập và hoàn thành luận án. Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn đến Bố, Mẹ, hai em và những người thân của minh luôn yêu thương, cổ vũ, động viên, chăm lo chu đáo để tác giả an tâm học tập và nghiên cứu. Trần Giang Nam 1 Mở đầu 1 Lý do chọn đề tài Khái niệm nửa vành được giới thiệu bởi Vandiver [52] vào nằm 1934, là tổng quát hóa khái niệm vành không giao hoán theo nghĩa không đòi hỏi tính đối xứng của phép cộng. Kể từ đó, nửa vành được quan tâm nghiên cứu cả về phương diện lý thuyết lẫn áp dụng. Nhiều tính chất và áp dụng của nửa vành đã được trình bày trong một số tài liệu như [17], [18], [21]. Luận án này quan tâm đến khái niệm nửa vành như là một tổng quát hóa khái niệm vành có đơn vị không giao hoán theo nghĩa nói trên. Một phương pháp để nghiên cứu đối tượng toán học là người ta tìm cách đưa nó về các đối tượng khác dễ hơn và nghiên cứu các đối tượng này. Chẳng hạn, để nghiên cứu các hình hình học người ta thường cắt chúng bởi các siêu phẳng và nghiên cứu các siêu diện. Điều này cũng được tiến hành một cách tương tự cho các nửa vành, ở đây các siêu phẳng được thay thế bằng các quan hệ tương đẳng và các siêu diện chính là các nửa vành thương tương ứng. Với mỗi nửa vành R, luôn tồn tại một tương đẳng ρ trên R sao cho nửa vành thương R/ρ là không có tương đẳng không tầm thường (hoặc là tương đẳng-đơn); nghĩa là, R/ρ chỉ có hai tương đẳng tầm thường. Do đó, theo một nghĩa nào đó, nghiên cứu nửa vành không có tương đẳng không tầm thường giúp ta hiểu một phần nào cấu trúc của nửa vành R. Lưu ý rằng với mỗi tương đẳng ρ trên nửa vành R, lớp tương đương 0 ρ của phần tử 0 theo quan hệ ρ, là một iđêan của R; ngược lại, với mỗi iđêan I của R, nó cảm sinh một tương đẳng Bourne ≡ I trên R. Nói cách khác, ta có hai tương ứng ρ −→ 0 ρ và I −→ ≡ I lần lượt là ánh xạ từ tập các tương đẳng trên R đến tập các iđêan của R và ngược lại. Từ đây, theo một nghĩa nào đó, ta cũng có thể hiểu được nửa vành không có tương đẳng không tầm thường R thông qua việc nghiên cứu dàn các iđêan của nó; chẳng hạn, khi R là một vành, hai ánh xạ trên là các song ánh (chúng là các ánh xạ ngược của nhau), do đó, vành R là không có tương đẳng không tầm thường nếu và chỉ nếu 0 và R chỉ là hai iđêan của nó (khi đó, R được gọi là vành đơn). Khẳng định này nói chung không còn đúng cho các nửa vành. Vì thế, nửa vành chỉ chứa các iđêan tầm thường, được gọi là không có iđêan không tầm thường, hay là iđêan-đơn. 2 Cấu trúc của các nửa vành giao hoán không có tương đẳng và iđêan không tầm thường đã được mô tả. Cụ thể, năm 1988, Sidney S. Mitchell - Paul B. Fenoglio chứng minh được rằng các nửa vành giao hoán không có tương đẳng không tầm thường chỉ là các trường, hoặc là nửa vành Boole B := {0, 1} ([44, Theorem 3.2]); dễ dàng thấy rằng các nửa vành giao hoán không có iđêan không tầm thường chỉ là các nửa trường. Gần đây, năm 2001, R. El Bashir - J. Hurt - A. Janˇcaˇrík - T. Kepka đã mở rộng hai kết quả trên cho nửa vành giao hoán không đòi hỏi phần tử không và phần tử đơn vị (xem [4, Theorem 10.1 và Theorem 11.2]). Xin nói thêm, các tính không có tương đẳng, iđêan không tầm thường của nửa vành giao hoán không đòi hỏi phần tử không và phần tử đơn vị vẫn còn được quan tâm bởi một số tác giả, chẳng hạn [26], [27], [29], [28], . Việc nghiên cứu cấu trúc của các nửa vành không giao hoán không có tương đẳng và iđêan không tầm thường là khó khăn hơn. Đối với nửa vành không có tương đẳng không tầm thường, năm 2004, C. Monico đã mô tả các nửa vành (không đòi hỏi phải chứa phần tử không và đơn vị) hữu hạn không có tương đẳng không tầm thường (xem [45, Theorem 4.1]); nhưng sự mô tả này là không đầy đủ. Sau đó, năm 2008, J. Zumbragel chỉ mới phân loại được các nửa vành (không đòi hỏi phần tử đơn vị) hữu hạn không có tương đẳng không tầm thường (xem [56, Theorem 1.7]). Hơn nữa, các nửa vành không có tương đẳng không tầm thường bất kỳ đã được nghiên cứu bởi một số tác giả, chẳng hạn, [5], [14], [15], [25], . Tuy nhiên, việc mô tả một cách đầy đủ nửa vành không có tương đẳng không tầm thường vẫn chưa làm được. Đối với nửa vành không có iđêan không tầm thường, năm 1957, Bourne - Zassenhaus đã mô tả được cấu trúc của nửa vành nửa đơn không có iđêan không tầm thường và không chứa các iđêan một phía lũy linh khác không; cụ thể hơn, các nửa vành này chỉ là các nửa vành ma trận trên các nửa thể (xem [8, Theorem 1]). Năm 1967, Steinfeld - Wiegandt [57] chỉ ra rằng kết quả này vẫn đúng cho nửa vành nửa đơn không có iđêan không tầm thường. Sau đó, năm 1977, Stone [48] mở rộng kết quả trên cho nửa vành mà nó có thể nhúng được vào một vành nào đó. Năm 1984, Weinert nghiên cứu tính không có iđêan không tầm thường cho nửa vành ma trận ([55, Theorem 4.1]) và nửa vành nửa nhóm ([55, Theorem 4.3]). Khái niệm nửa vành mà Weinert xem xét là không đòi hỏi phần tử đơn vị. Tính đến thời điểm hiện tại, việc phân loại các nửa vành không có iđêan không tầm thường vẫn là một câu hỏi mở. Một cách khác để nghiên cứu đối tượng toán học là người ta cố gắng hiểu cách nó tác động lên các đối tượng khác. Nói cách khác, chúng ta có thể hiểu được đối tượng toán học nhờ vào phạm trù các biểu diễn của nó. Lý thuyết biểu diễn (lý thuyết môđun) của nhóm, vành và đại số có thể soi sáng nhiều thông tin về cấu trúc của chúng. Việc dùng phạm trù những biểu diễn thích hợp để đặc trưng cấu trúc nửa vành cũng đã được nghiên cứu bởi một số nhà toán học như T. S. Fofanova, E. B. Katsov, Y. Katsov, M. Takahashi, H. J. Weinert, . Phạm trù biểu diễn của nửa vành được gọi là phạm trù nửa môđun. Cũng giống 3 như các trường hợp của vành (xem [42]), vị nhóm (xem [39]), dàn phân phối (xem [16]), các khái niệm nửa môđun thường được sử dụng để đặc trưng nửa vành là xạ ảnh, phẳng và nội xạ. Ở đây khái niệm nửa môđun xạ ảnh và nội xạ được định nghĩa theo cách thông thường, còn nửa môđun trái G được gọi là phẳng (đơn-phẳng) nếu hàm tử − ⊗ R G bảo toàn giới hạn ngược hữu hạn (bảo toàn tính đơn cấu của các đồng cấu). Mọi nửa môđun xạ ảnh là phẳng; chiều ngược lại là không đúng. Năm 2002, O. Sokratova đã chỉ ra rằng tính xạ ảnh và tính phẳng của các nửa môđun trên nửa vành giao hoán cộng lũy đẳng là phân biệt (xem [47, Theorem 3.4]). Năm 2004, Katsov mở rộng kết quả này cho các nửa vành cộng chính quy như sau: Nếu R là một nửa vành cộng chính quy sao cho tồn tại một đồng cấu nửa vành từ R lên B, thì tính xạ ảnh và tính phẳng của các nửa môđun trên R là phân biệt (xem [33, Theorem 5.11]); hệ quả rút ra từ khẳng định này là: tính xạ ảnh và tính phẳng của các nửa môđun trên nửa vành giao hoán cộng chính quy R là tương đương khi và chỉ khi R là một vành hoàn chỉnh (xem [33, Corollary 5.12]). Đồng thời, Y. Katsov còn phát biểu giả thuyết dưới đây: Giả thuyết. ([33, Conjecture]) Tính xạ ảnh và tính phẳng của các nửa môđun trên một nửa vành cộng chính quy R là tương đương khi và chỉ khi R là một vành hoàn chỉnh. Đối với các nửa môđun, tính phẳng suy ra tính đơn-phẳng, nhưng chiều ngược lại nói chung là không đúng. Năm 1978, Bulman-Fleming và McDonwell chỉ ra rằng một B-nửa môđun trái A là phẳng khi và chỉ khi A là đơn-phẳng, và khi và chỉ khi A là một nửa dàn phân phối (xem [10, Theorem 3.1]). Năm 1986, E. B. Katsov mở rộng kết quả này cho các nửa môđun trên Đại số Boole hữu hạn (xem [59, Theorem 2]). Gần đây nhất, năm 2004, Y. Katsov chứng minh được rằng khẳng định trên vẫn còn đúng đối với các nửa môđun trên các Đại số Boole bất kỳ (xem [32, Theorem 3.2]). Đồng thời, Y. Katsov cũng nêu ra bài toán sau: Bài toán. ([32, Problem 3.9]) Mô tả lớp của các nửa vành sao cho tính phẳng và tính đơn-phẳng của các nửa môđun trên chúng là tương đương. Tính đến thời điểm này, giả thuyết và bài toán nêu trên vẫn chưa có lời giải. Mặt khác, việc dùng nửa môđun nội xạ để nghiên cứu nửa vành cũng đã được quan tâm (xem [1], [23], [30]), và nhận được những kết quả đáng chú ý sau: năm 1994, H. Wang chỉ ra rằng mỗi nửa môđun trên nửa vành cộng lũy đẳng đều nhúng được vào nửa môđun nội xạ nào đó ([53, Theorem]). Năm 1997, Y. Katsov mở rộng kết quả này cho nửa vành cộng chính quy ([30, Theorem 4.2]). Năm 2008, S. N. Il’in chứng minh được rằng các nửa vành thỏa mãn điều kiện Baer và mọi nửa môđun trên đó đều nhúng được vào nửa môđun nội xạ chỉ là các vành ([23, Theorem 3]). Cuối cùng, J. Ahsan - M. Shabir - H. J. Weinert [1] đã đặc trưng được nửa vành chính quy von Neumann thông qua các nửa môđun cyclic p-nội xạ. Nói chung, các kết quả theo hướng này vẫn còn ít. 4 Với các lí do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài “Tương đương Morita cho nửa vành và đặc trưng một số lớp nửa vành” làm đề tài luận án tiến sĩ. Những vấn đề sau của đề tại được tập trung nghiên cứu: (1) Mô tả cấu trúc của nửa vành không có tương đẳng không tầm thường và nửa vành không có iđêan không tầm thường; (2) Dùng các nửa môđun phẳng, xạ ảnh, nội xạ để nghiên cứu nửa vành nửa đơn, đặc biệt là hướng đến giải quyết giả thuyết và bài toán nêu trên của Y. Katsov. 2 Mục đích nghiên cứu Mục đích của Luận án là đặc trưng các tính đơn, không có tương đẳng không tầm thường và không có iđêan không tầm thường cho các lớp nửa vành chứa iđêan một phía tối tiểu xạ ảnh, nửa vành cô lập một phía, nửa vành đầy đủ và nửa vành sắp thứ tự dàn; đặc trưng nửa vành nửa đơn thông qua các nửa môđun phẳng, xạ ảnh, nội xạ; đồng thời, trả lời giả thuyết ([33, Conjecture]) và bài toán ([32, Problem 3.9]) nêu trên của Y. Katsov cho nửa vành nửa đơn cộng chính quy. 3 Đối tượng nghiên cứu Nửa vành không có tương đẳng không tầm thường, nửa vành không có iđêan không tầm thường, nửa vành đơn và nửa vành nửa đơn. 4 Phạm vi nghiên cứu Đại số kết hợp. Lý thuyết nửa vành và nửa môđun. 5 Phương pháp nghiên cứu Sử dụng tương đương Morita để nghiên cứu những vấn đề đặt ra của Luận án. 6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Mở rộng lý thuyết tương đương Morita cho phạm trù nửa vành. Mô tả cấu trúc nửa vành không có tương đẳng không tầm thường, nửa vành không có iđêan không tầm thường, nửa vành đơn và nửa vành nửa đơn cho một số lớp nửa vành