7 Tổng quan và cấu trúc luận án
1.3Tương đương Morita
Trong tiết này, dựa trên những hiểu biết về lý thuyết tương đương Morita của các vành (xem [41]) và các vị nhóm (xem [40]), chúng tôi nghiên cứu lý thuyết tương đương Morita của các nửa vành. Khái niệm tương đương Morita của các nửa vành có thể được định nghĩa theo nhiều cách khác nhau. Chúng tôi sẽ tiếp cận khái niệm này theo cách dưới đây.
Định nghĩa 1.3.1. Nửa vành R được gọi là tương đương Morita với nửa vành
S, ký hiệu là R ≈ S, nếu tồn tại một vật sinh xạ ảnh RP ∈ |RM| của RM sao cho S ∼= End (
RP).
Ví dụ. Cho R là một nửa vành bất kỳ. Khi đó, nửa vành R là tương đương Morita với nửa vành Mn(R). Thật vậy, trước tiên, dễ thấy Mn(R)∼= End(
RRn) và RRn là một R-nửa môđun xạ ảnh hữu hạn sinh. Rõ ràng, tr(RRn) = R; do đó, theo Mệnh đề 1.2.7, RRn là vật sinh của phạm trù RM. Từ những điều này suy ra ngay R là tương đương Morita với Mn(R).
Mệnh đề 1.2.11 và Hệ quả 1.2.12 chỉ ra rằng Định nghĩa 1.3.1 có tính đối xứng, tức là, nếu thay thế vật sinh xạ ảnh RP ở trong Định nghĩa 1.3.1 bởi một vật sinh xạ ảnh PR ∈ |RM| của MR, thì ta nhận được một định nghĩa mới tương đương với định nghĩa nêu trên, và quan hệ ≈ trên phạm trù các nửa vành SRing là đối xứng; một cách hiển nhiên, ≈ là phản xạ. Bây giờ, ta sẽ chỉ ra ≈
là bắc cầu, và do đó, ≈ là một quan hệ tương đương trên SRing. Để làm điều này, ta cần thiết lập một số kết quả như sau.
Bổ đề 1.3.2. Cho một R-S-song nửa môđun P sao cho các S-S-song nửa môđun S và End (RP) là đẳng cấu như các S-S-song nửa môđun. Khi đó, các nửa vành S và End (RP) là đẳng cấu.
Chứng minh. Gọi α : S −→ End (RP) là một đẳng cấu giữa các S-S-song nửa môđun S và End (RP). Khi đó, tồn tại s1 ∈ S và f ∈ End (RP) sao cho
α(s1) =idP ∈ End (RP) và α(1S) =f, do đó, α(s) = f s = sf ∈ End (RP) và
α(s1s) = α(s1)s = idP s= s idP =sα(s1) = α(ss1) = s ∈ End (RP), ở đây tự đồng cấu s∈ End (RP) chỉ là phép nhân của các phần tử của P với s∈ S, với mọi s ∈ S. Vậy, α(s1) = f s1 = s1f = idP ∈ End (RP), và do đó, tương ứng
S 3 s 7−→ ss1f = s idP = s ∈ End (RP) xác định một đẳng cấu giữa các nửa vành S và End (RP).
Mệnh đề 1.3.3. Cho α0 : P ⊗S G −→ R và β0 : G⊗RP −→ S lần lượt là các R-R- và S-S-đẳng cấu, với các song nửa môđun hữu hạn sinh P ∈ |RMS|
và G ∈ |SMR| trên các nửa vành R và S. Khi đó, nửa môđun trái RP ∈ |RM|
là một vật sinh của RM, và tồn tại các đẳng cấu nửa vành S ∼= End (
RP) và R ∼= End (P
S), cũng như một S-R-đẳng cấu G ∼= P∗ = RM(RP,RR) giữa các S-R-song nửa môđun G và P∗.
Chứng minh. Vì
RMR(RP ⊗SGR,RRR) ∼=
SMR(SGR, SPR∗) (do Định lý 1.1.9), chúng ta có S-R-đồng cấu song nửa môđun
γ : SGR −→ SPR∗ được xác định bởi
p(γ(g)) =α0(p⊗g).
Khi đó, sử dụng Mệnh đề 1.2.8 và sơ đồ giao hoán
P ⊗S G 1−→P⊗γ P ⊗S P∗
α0 ↓ ↓α
R = R
,
ta đạt được RP ∈ |RM| là một vật sinh của RM và α là một đẳng cấu. Hơn nữa, áp dụng hàm tử G⊗R− lên sơ đồ giao hoán nói trên, và sử dụng Mệnh đề 1.2.4 và khẳng định β0 : G⊗RP −→ S là một đẳng cấu, ta nhận được γ cũng là một đẳng cấu. Áp dụng hàm tử G⊗R− lên sơ đồ giao hoán
(P ⊗SP∗)⊗RP 1P−→⊗β P ⊗SS α⊗1P ↓ ↓ ∼= R⊗RP −→ ∼ = P ,
sử dụng Mệnh đề 1.2.4 và khẳng định β0 : G ⊗R P −→ S là một đẳng cấu, ta được β : P∗ ⊗RP −→ S cũng là một đẳng cấu. Do đó, theo Định lí 1.2.9, (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
RP ∈ |RM| là một vật sinh xạ ảnh của RM.
Khi đó, áp dụng hàm tửP⊗S−lênS-S-song nửa môđunEnd(G⊗RP)cácS-
S-tự đồng cấu củaG⊗RP, sử dụng Mệnh đề 1.2.4 và đẳng cấuβ0 : G⊗RP −→S, cũng như áp dụng hàm tử P ⊗S(G⊗R−) lên S-S-song nửa môđun End (RP), và lại sử dụng Mệnh đề 1.2.4 và đẳng cấu α0 : P ⊗SG −→ R, ta thu được các
S-S-song nửa môđun G⊗RP và End (RP) là đẳng cấu. Từ đó, áp dụng Bổ đề 1.3.2 và S-S-đẳng cấu β0 :G⊗RP −→ S, chúng ta có S ∼= End (
RP) như các nửa vành; do đó, đồng nhất các nửa vành S và End (RP), sử dụng Mệnh đề 1.2.10, ta kết luận rằng R ∼= End (P
S) như các nửa vành.
Hệ quả 1.3.4. Cho R là một nửa vành tương đương Morita với nửa vành S theo vật sinh xạ ảnh RP ∈ |RM| của RM, và nửa vành S tương đương Morita với nửa vành T theo vật sinh xạ ảnh SM ∈ |SM| của SM. Khi đó, R là tương đương Morita với T theo vật sinh xạ ảnh R(P ⊗S M) ∈ |RM| của RM, và các T-R-song nửa môđun (P ⊗S M)∗ và M∗ ⊗S P∗ là đẳng cấu. Quan hệ tương đương Morita trên pham trù SRingcác nửa vành là một quạn hệ tương đương.
Chứng minh. Áp dụng Định lý 1.2.10, tồn tại các đẳng cấu song nửa môđun
αP : P ⊗SP∗ −→R và βP : P∗⊗RP −→ S, và αM : M ⊗T M∗ −→ S và βM : M∗⊗S M −→T, sử dụng điều này và Mệnh đề 1.2.4, ta có các đẳng cấu song nửa môđun
(P ⊗SM)⊗T (M∗⊗SP∗) ∼=R và (M∗⊗SP∗)⊗R(P ⊗S M) ∼=T.
Do đó, áp dụng Mệnh đề 1.3.3, chúng ta có điều cần phải chứng minh. Mục tiêu tiếp theo của tiết này là nghiên cứu ý nghĩa về mặt phạm trù của tương đương Morita. Trước hết, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm đã được biết trong lý thuyết phạm trù (xem, chẳng hạn, [7, Chapter 2] hoặc [46, Chapters 7 and 8]). Một cặp (α, β) gồm hai đồng cấu α, β : A −→ B trong phạm trù các
γ :B −→ C trong MR, ký hiệu là (α, β) =kerp (γ), nếu hình vuông giao hoán dưới đây A −→α B β ↓ ↓γ B −→ γ C
là một cái níu (pullback). Một đồng cấu γ : B −→ C được gọi là đối đẳng hóa (coequalizer) của một cặp gồm hai đồng cấu α, β : A −→ B trong MR, ký hiệu là γ = coeq (α, β), nếu γα = γβ, và với mỗi đồng cấu η : B −→ D sao cho ηα = ηβ, tồn tại duy nhất một đồng cấu δ : C −→ D sao cho η = δγ. Sơ đồ A
α ⇒
β
B −→γ C được gọi là khớp trái (khớp phải) nếu (α, β) = kerp (γ) (γ = coeq (α, β)), và khớp nếu nó đồng thời khớp trái và khớp phải. Hàm tử
F : MR −→ MS giữa các phạm trù nửa môđun MR và MS được gọi là khớp trái, khớp phải, vàkhớp nếu nó bảo toàn các sơ đồ khớp trái, khớp phải và khớp, một cách tương ứng.
Định lý dưới đây là một sự tương tự của Định lý Eilenberg-Watts trong phạm trù môđun (xem [12] và [54]) và Định lý Knauer trong phạm trù vị nhóm (xem [40, Theorem 3]); nó mô tả các hàm tử (hiệp biến) giữa các phạm trù nửa môđun có phù hợp phải.
Định lý 1.3.5. Với mỗi hàm tử F : MR −→ MS các phát biểu sau đây là tương đương:
(i) F có một phù hợp phải;
(ii) F là khớp phải và bảo toàn đối tích;
(iii) Tồn tại duy nhất (sai khác đẳng cấu tự nhiên) một R-S-song nửa môđun P ∈ |RMS| sao cho các hàm tử − ⊗R P : MR −→ MS và F là đẳng cấu tự nhiên, tức là, F ∼= − ⊗
RP.
Chứng minh.Các chiều (i)=⇒ (ii) và (iii)=⇒ (i) được suy ra từ [43, Theorem 5.5.1] và Định lý 1.1.9, một cách tương ứng.
(ii) =⇒ (iii). Đặt P := F(R) ∈ |MS|, khi đó hàm tử F cảm sinh một đồng cấu nửa vành
R ∼=M
đồng cấu này làm cho P trở thành một R-S-song nửa môđun, nghĩa là,
P ∈ |RMS|. Xét một nửa môđun bất kỳ X ∈ |RM| và một toàn cấu γ :
⊕iR X với một tổng trực tiếp ⊕iR nào đó trong MR. Vì MR là một phạm trù đầy đủ và đối đầy đủ (xem, chẳng hạn, [46, Sections 7.4, 8.4]), tồn tại hai đồng cấu α, β : A −→ ⊕iR sao cho (α, β) = kerp (γ). Hơn nữa, như đã biết, trong phạm trù MR, mỗi toàn cấu là một đối đẳng hóa của một cặp đồng cấu nào đó ([7, Proposition 2.5.7]), do đó, ta có thể giả thiết rằng γ = coeq (α, β); vì thế, với toàn cấu θ :⊕jR A, chúng ta nhận được sơ đồ khớp phải sau
⊕jR αθ ⇒ βθ (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
⊕iR γ X.
Áp dụng các hàm tử − ⊗RP và F lên sơ đồ trên, ta được một sơ đồ giao hoán trong MS
⊕jP ⇒ ⊕iP −→ X⊗RP
k k
⊕jF(R) ⇒ ⊕iF(R) −→ F(X) ,
với các hàng là các sơ đồ khớp phải. Điều này cảm sinh ra một đẳng cấu tự nhiên X ⊗RP ∼= F(X), vì thế, F ∼= − ⊗
RP.
Theo [43], một cấu xạ α : A −→ B trong một phạm trù P, được gọi là
toàn xạ nếu với bất kỳ hai cấu xạ β1, β2 : B −→ C thỏa mãn β1α = β2α suy ra β1 = β2. Trong hai phạm trù RM và MR, mỗi toàn cấu là toàn xạ (xem [18, Proposition 15.15]). Chiều ngược lại nói chung là không đúng. Chẳng hạn, xét phép nhúng chính tắc i : N −→ Z trong phạm trù NM ≡ M ≡ MN. Rõ ràng, i không là toàn cấu. Ta chứng minh i là toàn xạ: Thật vậy, giả sử
f1, f2 : Z −→ A là hai Z-đồng cấu sao cho f1i = f2i. Khi đó, f1(n) = f2(n) và
f1(−n) =−f1(n) =−f2(n) =f2(−n) với mọi n∈ N, do đó, f1 =f2 và i là toàn xạ. Tuy nhiên, ta có kết quả sau.
Bổ đề 1.3.6. Một toàn xạ θ trong phạm trù MR là một toàn cấu khi và chỉ khi θ =coeq (kerp (θ)).
Chứng minh. Bổ đề này được suy ra từ [7, Proposition 2.5.7] và khẳng định rằng: trong phạm trù MR, mỗi đối đẳng hóa là toàn cấu và mỗi toàn cấu là đối đẳng hóa của một cặp đồng cấu nào đó.
Bổ đề 1.3.7. Cho F : MR MS : G là một tương đương giữa các phạm trù nửa môđun MR và MS, và θ là một toàn cấu trong MR. Khi đó, F(θ) là một toàn cấu trong MS.
Chứng minh. Theo [43, Section 4.4, p. 93] ta suy ra hàm tử F vừa là phù hợp trái, vừa là phù hợp phải của G. Khi đó, nhờ [43, Theorem 5.5.1 và đối ngẫu của nó], hàm tử F bảo toàn các giới hạn và đối giới hạn; do đó, áp dụng Bổ đề 1.3.6, ta thu được điều cần phải chứng minh.
Mệnh đề và hệ quả dưới đây cho thấy các hàm tử tương đương giữa các phạm trù nửa môđun bảo toàn tính hữu hạn sinh và vật sinh.
Mệnh đề 1.3.8. Cho F : MR MS : G là một tương đương giữa các phạm trù nửa môđun MR và MS, và MR ∈ |MR| là một R-nửa môđun hữu hạn sinh. Khi đó, F(M) ∈ |MS| là một S-nửa môđun hữu hạn sinh.
Chứng minh. Trước hết, ta chứng minh F(RR) là một S-nửa môđun phải hữu hạn sinh. Thật vậy, tồn tại một toàn cấu θ : ⊕i∈IS F(R) với một tổng trực tiếp ⊕i∈IS nào đó trong MS, do đó, sử dụng Bổ đề 1.3.7, và [43, Theorem 4.4.1, Theorem 5.5.1 và đối ngẫu của nó], ta thu được sơ đồ giao hoán trong MR
G(⊕i∈IS) ∼= ⊕
i∈IG(S)
G(θ)↓ ↓π
G(F(R)) ∼= R ,
với π là một toàn cấu. Từ đạt được này, tồn tại một tập con hữu hạn J ⊆ I
và một phần tử a ∈ ⊕i∈JG(S) sao cho π(a) = 1. Hạn chế toàn cấu π lên
⊕i∈JG(S), ta có thể giả thiết π : ⊕n
i=1G(S) R, vì thế, ta có toàn cấu
⊕n
i=1S ∼= ⊕n
i=1F(G(S)) F(R), vì thế, F(R) là một S-nửa môđun phải hữu hạn sinh.
Vì M là một R-nửa môđun phải hữu hạn sinh, nên tồn tại một toàn cấu (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
⊕iR M trong MR. Khi đó, sử dụng Bổ đề 1.3.7 và [43, Theorem 4.4.1, Theorem 5.5.1 và đối ngẫu của nó], ta nhận được toàn cấu ⊕iF(R) F(M) trong MS, và vì F(R) là hữu hạn sinh, nên F(M) là hữu hạn sinh.
Từ Bổ đề 1.3.7 và Mệnh đề 1.3.8, chúng ta ngay lập tức nhận được kết quả sau.
Hệ quả 1.3.9. Cho F : MR MS : G là một tương đương giữa các phạm trù nửa môđun MR và MS, và MR ∈ |MR| là một vật sinh (hữu hạn sinh) của
MR. Khi đó, F(M) ∈ |MS| là một vật sinh (hữu hạn sinh) của MS.
Dùng Mệnh đề 1.1.5 và Bổ đề 1.3.7, ta chỉ ra các hàm tử tương đương giữa các phạm trù nửa môđun bảo toàn tính xạ ảnh và vật sinh xạ ảnh.
Bổ đề 1.3.10. Cho F : MR MS : G là một tương đương giữa các phạm trù nửa môđun MR và MS, và PR∈ |MR| là xạ ảnh. Khi đó, F(P) ∈ |MS| là xạ ảnh.
Chứng minh. Tồn tại một S-nửa môđun phải tự do F và một toàn cấu
α : F F(P) trong MS, và đồng cấu α cảm sinh ra toàn cấu G(α) :
G(F) G(F(P)) ∼= P trong M
R. Vì P là xạ ảnh, nên tồn tại một đơn cấu
β : G(F(P)) G(F) trong MR sao cho G(α)β = 1G(F(P)). Khi đó, áp dụng hàm tử F vào dãy G(F(P)) G(F) G(F(P)) = 1G(F(P)) và sử dụng [43, Theorem 4.4.1 ], ta thu được sơ đồ giao hoán trong MS
F(G(F(P))) F(G(F)) F(G(F(P))) = 1F(G(F(P)))
∼
=↓ ∼=↓ ∼=↓
F(P) F F(P) = 1F(P)
,
điều này chỉ ra rằng F(P) là một phép co của F; hay, F(P) là xạ ảnh. Kết hợp Hệ quả 1.3.9 và Bổ đề 1.3.10, ta được:
Mệnh đề 1.3.11. Cho F : MR MS : G là một tương đương giữa các phạm trù nửa môđun MR và MS. Khi đó, các hàm tử F và G bảo toàn vật sinh xạ ảnh.
Bây giờ ta sẽ xem tương đương Morita giữa các nửa vành có ý nghĩa gì về mặt phạm trù.
Định lý 1.3.12. Với hai nửa vành R và S, các điều kiện sau là tương đương: (i) R và S là tương đương Morita;
(ii) Hai phạm trù nửa môđun MR và MS là tương đương; (iii) Hai phạm trù nửa môđun RM và SM là tương đương.
vật sinh xạ ảnh RP ∈ |RM| của RM. Ta có P ∈ |RMS| và gọi Q = P∗ :=
RM(RP,RR) là S-R-song nửa môđun đối ngẫu của R-S-song nửa môđun P. Xem xét hợp thành của hai hàm tử−⊗RP :MR −→ MS và−⊗SQ =−⊗SP∗ :
MS −→ MR, sử dụng Mệnh đề 1.1.10 và Định lý 1.2.9, ta có sơ đồ giao hoán trong MR như sau
X ⊗RP ⊗SP∗ 1X ⊗α
−→ X ⊗RR −→∼= X γ ⊗1P ⊗1P∗ ↓ ↓γ ⊗1R ↓γ Y ⊗RP ⊗SP∗ 1Y−→⊗α Y ⊗RR −→∼= Y
với mọi γ :X −→ Y trong MR. Từ sơ đồ giao hoán này chỉ ra rằng hai hàm tử (− ⊗SP∗)◦ (− ⊗RP) : MR −→ MR và IdMR : MR −→ MR là đẳng cấu tự nhiên, nghĩa là, (− ⊗S P∗)◦ (− ⊗RP) ∼= Id
MR.
Một cách tương tự như trên và sử dụng Mệnh đề 1.2.10 và Hệ quả 1.2.11, ta đạt được đẳng cấu tự nhiên giữa các hàm tử (− ⊗RP)◦ (− ⊗S P∗) ∼=IdM
S, và tương đương phạm trù − ⊗RP : MR MS :− ⊗SP∗. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
(ii) =⇒ (i). Nếu F : MR MS : G là một tương đương giữa các phạm trù nửa môđun MR và MS, theo Định lý 1.3.5, F ∼= − ⊗
R P với R-S-song nửa môđun P = F(R) ∈ |MS| và G ∼= − ⊗
S Q với S-R-song nửa môđun
Q =G(S) ∈ |MR|. Sử dụng Mệnh đề 1.3.11, hai nửa môđun P =F(R) ∈ |MS|
và Q=G(S)∈ |MR| lần lượt là các vật sinh xạ ảnh của MS và MR, một cách tương ứng. Khi đó,
MS(P, P) =MS(F(R), P) ∼=M
R(R, G(P))∼= MR(R, G(F(R)))∼=M
R(R, R) ∼=R,
do đó, R là tương đương Morita với S.
(i) ⇐⇒ (iii) được chứng minh hoàn toàn tương tự như trên.
1.4 Kết luận Chương 1
Trong chương này, Luận án đã giải quyết được những vấn đề sau.
- Thiết lập điều kiện cần và đủ để một nửa môđun hữu hạn sinh là xạ ảnh (Mệnh đề 1.2.4, Mệnh đề 1.2.5), hoặc là một vật sinh (Mệnh đề 1.2.8).
- Nghiên cứu vật sinh xạ ảnh cho phạm trù nửa môđun và thu được một số tính chất về nó (Định lý 1.2.9, Mệnh đề 1.2.10, Hệ quả 1.2.11).
- Giới thiệu khái niệm tương đương Morita cho các nửa vành (Định nghĩa 1.3.1). Chứng minh quan hệ tương đương Morita là một quan hệ tương đương trong phạm trù nửa vành (Hệ quả 1.3.4). Mô tả được các hàm hiệp biến giữa các phạm trù nửa môđun có phù hợp phải (Định lý 1.3.5). Đặc trưng được tương đương Morita của các nửa vành thông qua phạm trù nửa môđun (Định lý 1.3.12).
Chương 2
BẤT BIẾN MORITA VÀ ÁP DỤNG
2.1 Nửa vành tự đồng cấu của vị nhóm giao hoán lũy đẳng