Đặc trưng một số lớp vành artin và vành noether

Luận văn

i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả viết chung với tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả trước khi đưa vào luận án. Các kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kì công trình nào khác. Tác giả Đinh Đức Tài ii LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Đinh Văn Huỳnh (Trường Đại học Ohio, Hoa Kỳ) và PGS.TS. Ngô Sỹ Tùng (Trường Đại học Vinh). Lời đầu tiên, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH. Đinh Văn Huỳnh, người Thầy nghiêm khắc và mẫu mực, đã định hướng nghiên cứu và hướng dẫn tận tình, chú đáo trong suốt thời gian tác giả thực hiện luận án này. Xin trân trọng gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS.TS. Ngô Sỹ Tùng, người đã thường xuyên quan tâm tạo mọi điều kiện thuận lợi, cùng với những lời động viên khích lệ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu. Trong quá trình hoàn thành luận án, tác giả đã nhận được nhiều ý kiến đóng góp quý báu của GS.TSKH. Nguyễn Tự Cường (Viện Toán học Việt Nam), PGS. TS. Nguyễn Tiến Quang (ĐHSP Hà Nội), GS.TS. Lê Văn Thuyết (ĐH Huế). Tác giả xin trân trọng cảm ơn. Xin chân thành cảm ơn sự góp ý và giúp đỡ của các nhà khoa học: PGS.TS. Nguyễn Thành Quang, PGS.TS. Lê Quốc Hán, TS. Chu Trọng Thanh, TS. Nguyễn Thị Hồng Loan đã dành cho tác giả trong quá trình viết và chỉnh sửa luận án. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn tới: Khoa Toán và khoa Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Vinh; Ban Giám hiệu trường Đại học Hà Tĩnh; Các thành viên trong nhóm xemina Lý thuyết Vành tại trường ĐH Vinh; iii Trung tâm Lý thuyết Vành và ứng dụng (CRA) thuộc khoa Toán (Trường Đại học Ohio - Hoa Kỳ) đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giả được sang thực tập, nghiên cứu trong khoảng thời gian 6 tháng hết sức quý báu (từ tháng 6 đến tháng 12 năm 2008). Cuối cùng, xin gửi tới gia đình, anh em, bạn bè, lời biết ơn chân thành về sự động viên, chia sẻ trong suốt thời gian qua. Cảm ơn sự hy sinh của vợ và hai con - chỗ dựa tinh thần vững chắc giúp tôi vượt qua mọi khó khăn hoàn thành luận án. Vinh, tháng 10 năm 2010 Đinh Đức Tài 1 MỤC LỤC Lời cảm ơn ii Mục lục 1 Bảng kí hiệu 3 Mở đầu 4 1 Kiến thức chuẩn bị 12 1.1. Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2. Môđun nội xạ, môđun xạ ảnh và các mở rộng . . . . . . . . 17 1.3. Vành Artin, vành Noether và các lớp vành liên quan . . . . 19 2 Vành CS - nửa đơn 23 2.1. Một số bổ đề cần thiết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2. Đặc trưng vành CS - nửa đơn . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3. Kết luận Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3 QF-vành 35 3.1. Một số bổ đề cần thiết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2. Đặc trưng QF-vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.3. Kết luận Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4 Điều kiện để một số lớp vành trở thành Noether 44 4.1. Một số bổ đề cần thiết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.2. Khi nào một V-vành là Noether . . . . . . . . . . . . . . . 48 2 4.3. Điều kiện để một vành đơn là Noether . . . . . . . . . . . 51 4.4. Khi nào một vành đơn là SI . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.5. Kết luận Chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Kết luận của luận án 61 Danh mục các công trình liên quan 62 Tài liệu tham khảo 62 3 BẢNG KÍ HIỆU Z : Vành các số nguyên Q : Trường các số hữu tỷ R : Trường các số thực C : Trường các số phức A ⊆ ⊕ B : A là hạng tử trực tiếp của B A  − B : A là môđun con cốt yếu của B A ∼ = B : A đẳng cấu với B A ⊕ B : Tổng trực tiếp của môđun A và môđun B ACC (DCC) : Điều kiện xích tăng (giảm) E(M) : Bao nội xạ của môđun M Soc(M) : Đế của môđun M End(M) :Vành các tự đồng cấu của môđun M u-dim(M) : Chiều Goldie của môđun M Ker(f), Im(f) : Hạt nhân, ảnh của đồng cấu f (tương ứng) M (I) : ⊕ i∈I M (tổng trực tiếp của I bản sao của M) M R ( R M) : M là một R-môđun phải (trái) M n (S) : Vành các ma trận vuông cấp n với các hệ tử trên S Mod-R: Phạm trù các R-môđun phải Rad(M) : Căn của môđun M J(R) : Căn Jacobson của vành R Z(M) : Môđun con suy biến của môđun M 4 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài 1.1. Trong đại số nói chung và lý thuyết vành nói riêng, đặc trưng tính Artin hoặc tính Noether của một lớp vành nào đó luôn là một trong những đề tài rộng và hấp dẫn đối với các nhà nghiên cứu cấu trúc vành. Từ định lý cấu trúc Wedderburn - Artin và các điều kiện tương đương, các lớp vành: CS- nửa đơn, QF- vành, V- vành và SI- vành đã xuất hiện và thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học. 1.2. Lớp vành CS-nửa đơn là một lớp vành mở rộng thực sự của lớp vành Artin nửa đơn và đó là lớp vành Artin hai phía. Các kết quả về lớp vành này cho đến những năm 1994 đã được giới thiệu trong [11]. Đặc trưng vành CS- nửa đơn thông qua tính CS (hoặc các điều kiện yếu hơn) trên lớp môđun hữu hạn sinh hoặc đếm được sinh (xem [38], [32]) là một trong những hướng nghiên cứu về lớp vành này được nhiều nhà nghiên cứu cấu trúc vành quan tâm. 1.3. Lớp QF- vành đã được Nakayama định nghĩa năm 1939, cuốn chuyên khảo [54] là một tuyển tập khá đầy đủ các kết quả liên quan đến lớp QF-vành, đồng thời phần nào đó nói lên sự quan tâm của các nhà nghiên cứu đối với lớp vành này. Trong lý thuyết QF- vành, giả thuyết Faith là một trong hai giả thuyết dành được sự quan tâm đặc biệt. Việc nghiên cứu góp phần làm sáng tỏ dần giả thuyết Faith là một đề tài hấp dẫn. 1.4. Lớp V- vành và lớp SI- vành là hai hướng mở rộng khác của lớp vành Artin nửa đơn. Đặc trưng tính Noether của lớp V- vành đã được 5 các nhà toán học quan tâm nghiên cứu từ những năm 1976 (xem [17], [11]) và cho đến nay, việc nghiên cứu lớp vành này vẫn là một đề tài thú vị. Khác với lớp V- vành, lớp SI- vành là trường hợp đặc biệt của lớp vành Noether. Trong lý thuyết SI- vành người ta đặc biệt quan tâm đến lớp vành đơn và do đó đặc trưng tính Noether của vành đơn như một cầu nối để thiết lập điều kiện cho một vành đơn là SI. Với các lý do như đã nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của mình là: Đặc trưng một số lớp vành Artin và Noether. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích chính của luận án đó là: 1. Đặc trưng một số lớp vành Artin (CS- nửa đơn, QF- vành) thông qua lớp các môđun trên chúng. 2. Đặc trưng tính Noether của lớp các V- vành và vành đơn, từ đó thu được kết quả mới trên SI- vành. 3. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là lớp các môđun thỏa mãn một số điều kiện hữu hạn nhất định. 4. Phạm vi nghiên cứu Nội dung của luận án chủ yếu tập trung nghiên cứu trên các lớp vành: CS- nửa đơn, QF- vành, V- vành, vành đơn và SI-vành. 5. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu của luận án là nghiên cứu lý thuyết. Sử dụng các kỹ thuật liên quan đến đế của môđun cũng như các kỹ thuật 6 khác đã được chúng tôi vận dụng trong mỗi chứng minh. 6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Ý nghĩa khoa học: Góp phần làm phong phú thêm các kết quả và sự hiểu biết về các lớp vành CS- nửa đơn, V- vành, SI- vành, vành Noether. Đặc biệt, các kết quả trên lớp QF- vành hy vọng phần nào đó sẽ góp phần làm sáng tỏ giả thuyết Faith. Ý nghĩa thực tiễn: Khi nghiên cứu về các lớp vành kể trên, luận án là một trong những tài liệu tham khảo cho các nhà nghiên cứu, học viên cao học và sinh viên. 7. Tổng quan và cấu trúc của luận án 7.1 Tổng quan luận án: Cùng với nhóm và trường, vành là một trong ba cấu trúc cơ bản nhất của đại số và có ứng dụng rộng rãi. Vì vậy việc nghiên cứu vành không chỉ thuần túy là do sự đam mê toán học mà còn được lôi cuốn bởi sự ứng dụng đa dạng của nó vào các ngành khoa học khác. Lý thuyết vành đã xuất hiện khoảng 120 năm nay và ngày càng phát triển một cách phong phú trong bối cảnh này. Mục đích chính của lý thuyết vành là mô tả cấu trúc của vành. Tuy nhiên, với định nghĩa trừu tượng của nó, chúng ta không thể đưa ra được điều gì nhiều hơn là các tính chất chung chung. Vì vậy, muốn nghiên cứu cấu trúc của vành một cách sâu sắc người ta phải đặt ra các điều kiện cụ thể và tìm cách mô tả chúng trên cơ sở các cấu trúc đã biết. Do sự đề xuất của các "điều kiện cụ thể" này mà đã xuất hiện nhiều lớp vành cơ bản như: vành Artin, vành Noether, vành Goldie, vành Frobenius, vành tựa Frobenius (QF - vành), vành hoàn chỉnh, v.v . Emil Artin là người đầu tiên đặt nền móng cho việc nghiên cứu cấu trúc vành. Năm 1928, ông đã chuyển định lý cấu trúc của Wedderburn đối với đại số hữu hạn chiều trên một trường đã cho với điều kiện các 7 đại số này không chứa iđêan lũy linh khác không, sang vành thuần túy. Để đạt được kết quả này, Artin đã rất sáng tạo bằng cách thay thế điều kiện hữu hạn chiều bởi điều kiện tối tiểu đối với iđêan một phía. Qua đó cũng đồng thời giải phóng được sự phụ thuộc của vành vào một trường đã cho. Đây là một trong những định lý cấu trúc hoàn chỉnh trong đại số nói chung và trong lý thuyết vành nói riêng. Có thể nói, định lý này đã mở đầu cho sự phát triển của lý thuyết vành một cách có hệ thống. Để ghi nhận công lao của Artin, người ta gọi kết quả này là định lý cấu trúc Wedderburn - Artin và gọi vành thỏa mãn điều kiện tối tiểu cho các iđêan một phía là vành Artin (phía đó). Khi vành Artin không chứa iđêan lũy linh khác không thì được gọi là vành Artin nửa đơn. Định lý Wedderburn - Artin phát biểu rằng: Một vành R là Artin nửa đơn khi và chỉ khi R là tổng trực tiếp hữu hạn một số vành các ma trận cấp hữu hạn trên các thể. Như vậy, theo định lý này, vành Artin nửa đơn đã được mô tả một cách triệt để qua một số hữu hạn các thể và hữu hạn các số nguyên dương (đó là hạng các ma trận). Nói rõ hơn, với hữu hạn các số nguyên dương n i và hữu hạn các thể S i , i = 1, 2 .k, đặt M n i (S i ) là vành các ma trận cấp n i trên thể S i và lập tổng trực tiếp vành: (1) R = M n 1 (S 1 ) ⊕ M n 2 (S 2 ) ⊕ . ⊕ M n k (S k ) thì R là vành Artin nửa đơn. Ngược lai, nếu S là vành Artin nửa đơn, Artin đã chứng minh được rằng S đẳng cấu với vành R có dạng (1). Định lý Wedderburn - Artin cho ta biết thêm rằng, điều kiện (1) tương đương với một trong những điều kiện sau đây: (2) R là tổng trực tiếp của các iđêan phải tối tiểu; (3) R là tổng trực tiếp của các iđêan trái tối tiểu; (4) Mọi R-môđun phải là nội xạ; (5) Mọi R-môđun trái là nội xạ; (6) Mọi R-môđun trái là xạ ảnh; (7) Mọi R-môđun phải là xạ ảnh.