06 p<τ Lp với mọi chỉ số tới hạn σ ;
2.2Đặc trưng vành CS-nửa đơn
Các kết quả về lớp vành CS-nửa đơn cho đến cuối năm 1994 đã được tập hợp và giới thiệu trong cuốn chuyên khảo Extending Modules ([11], Theorem 13.5).
Năm 1996, các tác giả Đinh Văn Huỳnh, S. T. Rizvi và M. F. Yousif đã đưa ra đặc trưng của lớp vành CS-nửa đơn thông qua tính CS của lớp môđun đếm được sinh. Khía cạnh nào đó có thể nói rằng, đây là công cụ tiện lợi hơn giúp chúng ta kiểm tra vành CS-nửa đơn. Thay vì
kiểm tra tính CS cho tất cả các R-môđun, chúng ta chỉ cần kiểm tra tính CS đối với lớp môđun đếm được sinh.
2.2.1 Định lý ([38], Theorem 7). Vành R là CS-nửa đơn khi và chỉ khi mọi R-môđun phải (trái) đếm được sinh là CS.
Tiếp theo hướng nghiên cứu này, Đinh Văn Huỳnh và S. T. Rizvi đã thay thế điều kiện CS bằng tổng trực tiếp của một môđun xạ ảnh và một môđun nửa đơn. Chúng ta có kết quả sau:
2.2.2 Mệnh đề ([32], Proposition 6). Các điều kiện sau tương đương trên vành R:
(i) R là CS-nửa đơn;
(ii) Mọi R-môđun phải là tổng trực tiếp của một môđun xạ ảnh và một môđun nửa đơn;
(iii) Mọi R-môđun phải đếm được sinh là tổng trực tiếp của một môđun xạ ảnh và một môđun nửa đơn.
Như một sự nghiên cứu tiếp nối, chúng tôi đưa ra một đặc trưng mới của lớp vành này trong định lý sau.
2.2.3 Định lý. Nếu mọi R-môđun phải hữu hạn sinh là tổng trực tiếp của một môđun tựa liên tục và một môđun nửa đơn thì R là một tổng trực tiếp các iđêan phải đều Ri có độ dài bé hơn hoặc bằng 2, trong đó các Ri có độ dài bằng 2 là nội xạ.
Để chứng minh định lý này, trước hết chúng ta chứng minh bổ đề sau. Một đặc trưng mới của vành Artin thông qua lớp môđun hữu hạn sinh thỏa mãn sự phân tích thành tổng trực tiếp của một môđun tựa liên tục và một môđun nửa đơn.
2.2.4 Bổ đề. Nếu mọi R-môđun phải (trái) hữu hạn sinh là tổng trực tiếp của một môđun tựa liên tục phải (trái) và một môđun nửa đơn thì vành R là Artin phải (trái).
Chứng minh. Giả sử ngược lại, R không là vành Artin phải. Theo giả thiết, mọi R-môđun phải hữu hạn sinh M đều phân tích được: M =
M1 ⊕M2. Trong đó M1 là môđun tựa liên tục, M2 là môđun nửa đơn. Sử dụng kết quả của Bổ đề 9.4 ([21]) ta có mọi xiclic R-môđun phải có chiều Goldie hữu hạn.
Đặt Soc1(RR) ⊆ Soc2(RR) ⊆ ... ⊆ Socα(RR) ⊆ ... là chuỗi các đế phải của R-môđun phải R, với mỗi Soci(RR) là đế thứ i của môđun RR. Đặt S = ∪
i Soci(RR).
* Nếu R = S, sử dụng Bổ đề 2.1.4 điều kiện (c) ta có R là nửa Artin phải. Do đó, trong trường hợp này, mọi R-môđun phải xiclic có đế cốt yếu độ dài hữu hạn. Sử dụng Bổ đề 2.1.5 ta suy ra R là Artin phải. Điều này mâu thuẫn với giả sử trên, vậy ta phải có R 6= S.
* Với R 6= S ta có thể đặt T = R/S. Do S = ∪
i Soci(RR) nên T là một vành với đế phải bằng không. Hơn nữa, ta chú ý rằng vành thương của R có thể xem như một R-môđun xiclic, do đó nó là R-môđun hữu hạn sinh. Vậy mọi vành thương của R đều thỏa mãn giả thiết của Bổ đề 2.2.4, hay T thỏa mãn giả thiết của Bổ đề 2.2.4. Điều này có nghĩa là: mọi T-môđun phải hữu hạn sinh đều là tổng trực tiếp của một môđun tựa liên tục phải và một môđun nửa đơn. Ta xét T ⊕ T như một T- môđun, ta có Soc(T ⊕T)R = 0, vì T = R/S với S = ∪
i Soci(RR). Theo giả thiết ta có T ⊕ T = U0 ⊕ V0, trong đó U0 là môđun tựa liên tục phải và V0 là môđun nửa đơn, kết hợp với kết quả chứng minh trên:
Soc(T ⊕T)R = 0 nên V0 = 0 . Do đó ta có T ⊕T là môđun tựa liên tục, áp dụng Bổ đề 2.1.1 ta có T là T-nội xạ phải, hay T là vành tự nội xạ phải.
* Nếu với mỗi iđêan phải khác không U của T sao cho T /U nửa đơn thì T /U là môđun Artin. Như vậy ta có: T là vành tự nội xạ do đó nó là vành liên tục, hơn nữa với mỗi iđêan phải U 6= 0 ta có T /U là Artin nên với mọi iđêan cốt yếu U∗ của T ta có T /U∗ là môđun Artin. Điều
này cho chúng ta thấy rằng T thỏa mãn điều kiện RCM (xem 2.1). Vậy
T thỏa mãn giả thiết của Bổ đề 2.1.6 nên ta có T là vành Artin, suy ra
Soc(TR) là một môđun con cốt yếu của T. Từ đó dẫn đến mâu thuẫn với Soc(TR) = 0.
Như vậy, ta có sự tồn tại của một iđêan phải U khác không sao cho
T /U không là nửa đơn. Ta có T /U là một T-môđun xiclic và T là vành thỏa mãn giả thiết của bổ đề trên. Do đó, với iđêan U này ta có sự phân tích T /U = V ⊕Y. Trong đóV là môđun nửa đơn, Y là môđun tựa liên tục khác không. Sử dụng Bổ đề 2.1.2 ta có T /U có chiều Goldie hữu hạn. Do đó, chúng ta có thể giả sử rằng Y không chứa hạng tử trực tiếp đơn.
Mặt khác ta có, Soc(TR) = 0 và Soc(Y ⊕T)R là một môđun con bất biến đầy đủ của Y ⊕ T nên chúng ta có Soc(Y ⊕ T)R phải được chứa trong Y. Theo lập luận trên, Y không chứa hạng tử trực tiếp đơn nên
Y ⊕T cũng không chứa hạng tử trực tiếp đơn haySoc(Y ⊕T)R = 0. Hơn nữa, Y ⊕T là T-môđun hữu hạn sinh, theo giả thiết ta có Y ⊕T phải là môđun tựa liên tục. Sử dụng kết quả của Bổ đề 2.1.1, ta có Y là T-nội xạ. Như vậy ta có, mọi T-môđun xiclic T/U đều phân tích được thành tổng trực tiếp của một môđun nửa đơn V và một môđun nội xạ Y (vì chúng ta đã chứng minh Y là T-nội xạ, nghĩa là nội xạ trên vành T). Sử dụng kết quả của Định lý 13.5 ([11]) ta có T là vành CS-nửa đơn phải và do đó T là vành Artin phải. Mâu thuẩn với giả thiết Soc(TR) = 0. Điều này cho thấy rằng giả sử R 6= S là không đúng, do đó ta phải có
R = S. Vậy ta có R là vành Artin phải. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Chứng minh. Định lý 2.2.3 :
Ta cần chứng minh: Trên vành R, nếu mọi R-môđun phải hữu hạn sinh là tổng trực tiếp của một môđun tựa liên tục và một môđun nửa đơn thì R là tổng trực tiếp các iđêan phải đều Ri với l(Ri) 6 2. Đặc biệt, nếu l(Ri) = 2 thì Ri là nội xạ.
Bước 1. Trước hết chúng ta sẽ chứng minh,R = R1⊕R2⊕....⊕Rn
là tổng trực tiếp các iđêan đều. Thật vậy, chúng ta biểu diễn R =
R1 ⊕ R2 ⊕... ⊕Rn. Trong đó mỗi Ri là một môđun địa phương. Đặc biệt, mỗi Ri là một môđun không phân tích được. Sử dụng điều kiện (a) của định lý chúng ta thấy rằng Ri đều.
Bước 2. Tiếp theo chúng ta sẽ chứng minh l(Ri) 6 2. Đặc biệt, nếu
l(Ri) = 2 thì Ri là nội xạ.
* Nếu Ri là đơn thì Ri là nội xạ và l(Ri) = 1 . Ta có điều phải chứng minh.
* Ngược lại, giả sử Ri không là môđun đơn. Kí hiệu E(Ri) là bao nội xạ của Ri. Ta sẽ chứng minh l(E(Ri)) ≤ 2 và E(Ri) =Ri nên Ri là nội xạ. Thật vậy, giả sử l(E(Ri)) > 2. Do R là vành Artin, E(Ri) có chứa hai môđun con U ⊂ V, trong đó l(U) = 2 và l(V) = 3. Từ U, V là các môđun đều có độ dài hữu hạn nên cả U và V là các môđun tựa liên tục. Sử dụng kết quả của các Bổ đề 2.1.9 và Bổ đề 2.1.10 ta có vành các tự đồng cấu của cả U và V là địa phương. Điều này cho phép chúng ta sử dụng định lý Krull - Schmidt (Bổ đề 2.1.11) để thấy rằng U ⊕V không chứa hạng tử trực tiếp đơn. Mặt khác ta có U ⊕V là hữu hạn sinh, sử dụng giả thiết ta có U ⊕V là tựa liên tục. Do đó, theo kết quả của Bổ đề 2.1.1 ta có U là V - nội xạ, suy ra U là một hạng tử trực tiếp của V, mâu thuẫn tính chất đều của V. Điều này chứng tỏ rằng l(E(Ri)) = 2. Theo giả sử trên, Ri không đơn nên E(Ri) = Ri. Hay nói cách khác, Ri
là nội xạ và có độ dài 2.
Từ định lý ta có hệ quả sau, một đặc trưng mới của lớp CS - vành.
2.2.5 Hệ quả. Vành R là CS - nửa đơn khi và chỉ khi mọi R-môđun phải hữu hạn sinh là một tổng trực tiếp của một môđun tựa liên tục và một môđun nửa đơn.
dụng Định lý 13.5 ([11]) ta có mọi R môđun hữu hạn sinh là tổng trực tiếp của một môđun nội xạ và một môđun nửa đơn do đó ta có điều phải chứng minh.
Điều kiện đủ: Giả sử trên vành R, mọi R-môđun phải hữu hạn sinh là tổng trực tiếp của một môđun tựa liên tục và một môđun nửa đơn. Từ kết quả của Định lý 2.2.3 ta có R là một tổng trực tiếp các iđêan phải đều Ri có độ dài bé hơn hoặc bằng 2, trong đó nếu l(Ri) = 2 thì Ri là nội xạ. Áp dụng Định lý 13.5 ([11]) ta có R là vành CS - nửa đơn.
2.2.6 Nhận xét. Một câu hỏi được đặt ra đó là: Kết quả của định lý còn đúng hay không nếu chúng ta thay thế điều kiện "mọi R-môđun phải hữu hạn sinh " ở giả thiết bằng điều kiện " mọi R-môđun phải xiclic"? Câu trả lời là "không", ví dụ sau đây sẽ cho chúng ta thấy rõ điều này. 2.2.7 Ví dụ. Xét R = Q R 0 R
trong đó Q, R lần lượt là trường các số hữu tỷ và các số thực. Khi đó ta có R là vành Artin phải. Đặt:
A = Q R 0 0 , B = 0 0 0 R .
Ta cóA là iđêan phải đều, B là iđêan phải tối tiểu của R và R = A⊕ B. Nhưng R không là Artin trái. Hơn nữa, chúng ta có u-dim(RR) = 2. Xét X là một R-môđun phải xiclic. Chúng ta sẽ chứng minh rằng X
là tổng trực tiếp của một môđun tựa liên tục và một môđun nửa đơn. Thật vậy, với một iđêan phải C nào đó của R, ta có X ∼= R/C. Ta có
hai trường hợp sau:
* Trường hợp 1. Nếu C = 0 thì X ∼= R = A⊕B là tổng trực tiếp của
môđun liên tục A và môđun nửa đơn B. Điều phải chứng minh.
* Trường hợp 2. Nếu C 6= 0. Do C là một iđêan phải của R, hơn nữa ta có u-dim(RR) = 2 nên u-dim(CR) chỉ có thể bằng 1 hoặc bằng 2.
chứng minh.
Nếu u-dim(CR) = 1. Chúng ta có hai khả năng: hoặc C ∩A = 0 hoặc C ∩A 6= 0.
Khả năng 1. Với C ∩A = 0 ta có R = A⊕C do đó R/C ∼= A,
suy ra X ∼= A là một môđun tựa liên tục.
Khả năng 2. Với C ∩ A 6= 0 ta có R/A không suy biến và C là một môđun đều nên C ⊆ A. Do đó R/C ∼= (A/C)⊕B là tổng trực tiếp
của các môđun con đơn. Vậy X ∼= R/C là nửa đơn.
Qua ví dụ trên chúng ta thấy rằng: Tồn tại vành R thỏa mãn điều kiện mọi R-môđun phải xiclic đều phân tích được thành tổng trực tiếp của một môđun tựa liên tục và một môđun nửa đơn nhưng R chỉ là vành Artin phải, do đó nó không là vành CS- nửa đơn. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
2.2.8 Nhận xét. Năm 2002, S. Plubtieng trong Theorem 10 ([58]) đã giới thiệu một đặc trưng mới của vành Artin thông qua điều kiện tương tự cho lớp R-môđun đếm được sinh. So sánh với kết quả của Bổ đề 2.2.4 ở trên, chúng ta thấy rằng điều kiện "đếm được sinh" là quá mạnh.
Theo kết quả của Theorem 5 ([32]): Nếu mọi R-môđun phải đếm được sinh là tổng trực tiếp của một môđun xạ ảnh và một CS môđun thì
R là Artin phải. Như vậy Lemma 3 ([58]) là một hệ quả trực tiếp của kết quả này.