Bổ đề sau nêu lên sự nội xạ lẫn nhau giữa các môđun.
2.1.1 Bổ đề ([53], Proposition 2.10). Nếu M1 ⊕M2 là môđun tựa liên tục thì M1 và M2 nội xạ lẫn nhau.
Chiều Goldie hữu hạn là một điều kiện quan trọng trong giả thiết ở định lý chính của chương này. Các kết quả sau liên quan đến điều kiện về chiều Goldie hữu hạn của môđun và sẽ được chúng ta sử dụng trong kỹ thuật chứng minh.
2.1.2 Bổ đề ([11], Corollary 9.4). Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh. Giả sử rằng mọi môđun con xiclic của các môđun thương của M là tổng trực tiếp của một CS-môđun và một môđun có chiều Goldie hữu hạn. Khi đó mọi thương của M có chiều Goldie hữu hạn.
2.1.3 Bổ đề ([11], Proposition 5.9). Cho R-môđun M, kí hiệu Mclà bao M -nội xạ của môđun M. Các phát biểu sau là tương đương:
(a) M (hoặc Mc) có chiều Goldie hữu hạn;
(b) M có một môđun con cốt yếu là tổng trực tiếp hữu hạn các môđun con đều;
(c) Mọi môđun con (cốt yếu) có chiều Goldie hữu hạn;
(d) Mc là tổng trực tiếp hữu hạn các môđun con không phân tích được; (d) EndR(Mc) là vành nửa hoàn chỉnh.
MôđunMR được gọi là nửa Artin (semi Artinian) nếu mọi ảnh đồng cấu khác không của MR có đế cốt yếu. Vành R được gọi là nửa Artin phải (right semi Artinian) nếu R-môđun phải RR là nửa Artin môđun. Hay nói cách khác, vành R được gọi là nửa Artin phải nếu mọi R-môđun phải khác không có đế khác không. Chúng ta có định lý đặc trưng của môđun nửa Artin.
2.1.4 Bổ đề ([11], Proposition 3.12). Các điều kiện sau là tương đương cho môđun M:
(a) M là nửa Artin;
(b) Mọi ảnh đồng cấu khác không của M có đế cốt yếu; (c) Tồn tại dãy các môđun con
0 = M0 ⊆ M1 ⊆ ...⊆ Mα ⊆ Mα+1 ⊆ ... ⊆Mτ = M
sao cho Mα+1/Mα là nửa đơn, với mọi 0 6 α < τ và Mα = ∪