06 p<τ Lp với mọi chỉ số tới hạn σ ;
2.3Kết luận Chương
Trong chương này, chúng tôi đã đưa ra được một số kết quả sau:
? Một tiêu chuẩn mới của vành Artin qua lớp các môđun hữu hạn sinh thỏa mãn sự phân tích thành tổng trực tiếp của một môđun tựa liên tục và một môđun nửa đơn (Bổ đề 2.2.4).
? Từ tiêu chuẩn mới của lớp vành Artin, chúng tôi nhận được một sự phân tích của lớp vành trên đó các môđun thỏa mãn sự phân tích nói trên (Định lý 2.2.3), và từ đây thu được một đặc trưng mới của lớp
vành CS - nửa đơn (Hệ quả 2.2.5). Ngoài ra, chúng tôi cũng đã chỉ ra được ví dụ chứng tỏ kết quả của Định lý 2.2.3 sẽ không còn đúng nữa nếu chúng ta thay thế điều kiện "hữu hạn sinh" bởi điều kiện "xiclic".
CHƯƠNG 3
QF-VÀNH
Vành R được gọi là tựa Frobenius (quasi-Frobenius), kí hiệu là QF- vành, nếu R là Artin phải và trái, tự nội xạ phải và trái.
Lớp QF- vành là một lớp con rất quan trọng của lớp vành Artin. Lớp vành này đã được Nakayama định nghĩa năm 1939 dựa trên đế và lũy đẳng nguyên thủy của vành Artin (xem [47]). Nhiều nhà toán học trên thế giới đã tập trung nghiên cứu để tìm ra các điều kiện đặc trưng lớp vành này, nhiều tính chất của nó cũng đã được khám phá. Các kết quả về lớp vành này chúng ta có thể tìm thấy ở các tài liệu [11], [14], [15], [19], [40], [50] và [54]. Giả thuyết Faith: "Vành nửa nguyên sơ và nội xạ một phía là QF", một giả thuyết khá nổi tiếng trong lý thuyết QF - vành. Đinh Văn Huỳnh là một trong những tác giả đã có nhiều kết quả nghiên cứu sâu sắc về đặc trưng QF vành thông qua lớp CS và (1−C1) môđun. Năm 1995, Đinh Văn Huỳnh đã chứng minh được một đặc trưng mới của lớp vành này thông qua tính chất đếm được Σ-CS của lớp vành nửa hoàn chỉnh. Năm 1996, Đinh Văn Huỳnh và Ngô Sỹ Tùng đã mở rộng kết quả này bằng việc thay thế điều kiện đếm được Σ − CS bởi một điều kiện yếu hơn thực sự đó là điều kiện đếm được Σ(1−C1).
Như một sự nghiên cứu tiếp nối, trong chương này, chúng tôi sẽ chứng minh một số kết quả mới của các lớp vành QF thông qua các điều kiện CS và đặc trưng của nó cho các lớp vành hoàn chỉnh, nửa hoàn chỉnh là các lớp vành mở rộng thực sự của lớp vành nửa nguyên
sơ. Các kết quả của chương này đã được công bố trong [44] (Section 4). Để tiện theo dõi các chứng minh ở những tiết sau, trước hết chúng tôi giới thiệu một số kết quả đã biết được phát biểu dưới dạng các bổ đề.
3.1 Một số bổ đề cần thiết
Các kết quả về QF-vành đã được giới thiệu trong nhiều tài liệu khác nhau. Tuy nhiên, các kết quả sau đây chúng tôi chủ yếu tham khảo trong các tài liệu [11], [14], [15], [19], [40] và [54].
Trước hết, chúng ta có một số kết quả của Faith và Walker.
3.1.1 Bổ đề ([15], Theorem 24.20). Các điều kiện sau là tương đương trên vành R:
(a) R là QF vành;
(b) Mỗi R-môđun phải nội xạ là xạ ảnh; (c) Mỗi R-môđun phải xạ ảnh là nội xạ;
(d) R là vành tự nội xạ phải và thỏa mãn điều kiện ACC cho các linh hóa tử phải.
Tiếp theo là một kết quả liên quan tới các iđêan sinh bởi một lũy đẳng.
3.1.2 Bổ đề ([1], Proposition 17.18). Giả sử e, f là các lũy đẳng của vành R. Các phát biểu sau là tương đương:
(a) Re ∼= Rf;
(b) Re/J e ∼= Rf /J f;
(c) eR/eJ ∼= f R/f J;
(d) eR ∼= f R.
Chúng ta có một số tính chất của vành hoàn chỉnh và nửa hoàn chỉnh.
3.1.3 Bổ đề ([6], Lemma 6 ). Giả sử R là vành tựa liên tục phải với căn nguyên tố N(R).
(a) Nếu R là vành nửa hoàn chỉnh thì N(R) ⊆ Z(RR).
(b) Nếu R là vành hoàn chỉnh phải hoặc trái thì J(R) = Z(RR). Đặc biệt, nếu R là vành tựa liên tục phải và nửa hoàn chỉnh với
J(R) = N(R) thì R là liên tục phải.
Như chúng ta đã biết, nếu M = A⊕B là một môđun liên tục hoặc tựa liên tục thì A và B là các môđun nội xạ lẫn nhau. Nghĩa là A là
B-nội xạ và B là A- nội xạ. Điều này sẽ không còn đúng nếu chúng ta chỉ giả thiết rằng M = A⊕B là CS-môđun. Tuy nhiên, ta có kết quả sau:
3.1.4 Bổ đề ([11], Proposition 7.3). Giả sử A, B là các R-môđun đều với vành các tự đồng cấu là địa phương và M = A⊕B là CS môđun. Gọi C là một môđun con của A và f : C →B là một đồng cấu. Ta có: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
(a) Nếu f không thể mở rộng thành một đồng cấu từ A tới B thì f là đơn cấu và B nhúng được trong A.
(b) Nếu mọi đơn cấu f : B → A là đẳng cấu thì B là A-nội xạ. (c) Nếu B không nhúng được trong A thì B là A-nội xạ.
Một R-môđun N được gọi là sigma nội xạ (sigma tựa nội xạ, sigma CS, sigma (1−C1) ) nếuN(Λ) là môđun nội xạ (tựa nội xạ, CS, (1−C1)) và được kí hiệu lần lượt là Σ - nội xạ (Σ-tựa nội xạ, Σ−CS, Σ(1−C1)). Trong trường hợp Λ = N , ta gọi N(N) là đếm được Σ - nội xạ (đếm được Σ - tựa nội xạ, đếm được Σ−CS, đếm được Σ(1−C1)).
3.1.5 Định nghĩa. Vành R được gọi là nội xạ (tựa nội xạ, Σ - nội xạ, Σ - tựa nội xạ, Σ −CS, Σ(1−C1)) phải (hoặc trái) nếu RR (RR ) là môđun nội xạ (tựa nội xạ, Σ - nội xạ,Σ - tựa nội xạ,Σ−CS,Σ(1−C1)).
Kết quả sau là một đặc trưng của môđun đếm được Σ(1−C1) của Đinh Văn Huỳnh và S. T. Rizvi.
3.1.6 Bổ đề ([33], Proposition 2.5 ). Nếu M = ⊕ i∈I
Mi là một R-môđun phải trong đó mỗi Mi là các môđun đều thì M là liên tục và M(N) có tính chất (1−C1) nếu và chỉ nếu M là Σ tựa nội xạ.
Kí hiệu Mcvà Mc(N) lần lượt tương ứng là bao nội xạ của môđunM và môđun M(N). Bổ đề sau đây cho chúng ta thấy mối liên hệ giữa chúng.
3.1.7 Bổ đề ([11], Proposition 2.4 ). Cho M là một R-môđun. Các điều kiện sau là tương đương:
(1) Mc là Σ-M - nội xạ; (2) Mc(N) là M -nội xạ.
Như đã giới thiệu ở trên, vành R là QF nếu nó là Artin hai phía và tự nội xạ hai phía. Một trong những hướng nghiên cứu được các nhà toán học quan tâm đó là thay thế điều kiện Artin của vành R bởi các lớp vành mở rộng thực sự của nó như: vành hoàn chỉnh, vành nửa hoàn chỉnh, vành nguyên sơ, vành nửa nguyên sơ,..., hoặc thay thế điều kiện nội xạ của R bằng các điều kiện yếu hơn. Trong hướng nghiên cứu này, đáng chú ý nhất là giả thuyết Faith: "Vành nửa nguyên sơ và nội xạ một phía là QF". Đinh Văn Huỳnh là một trong những tác giả đã đặt cơ sở cho việc đặc trưng QF vành thông qua tính chất CS và (1−C1) của lớp các môđun trên chúng. Chúng ta có thể tham khảo thêm trong các tài liệu [43], [40], [6]. Để kết thúc tiết này chúng ta xét bổ đề sau:
3.1.8 Bổ đề ([6], Theorem 1). Nếu R là một vành tự nội xạ nửa hoàn chỉnh phải thì R là QF nếu và chỉ nếu mọi môđun con đều của RR(N)
được chứa trong một môđun con hữu hạn sinh.