06 p<τ Lp với mọi chỉ số tới hạn σ ;
4.2Khi nào một V-vành là Noether
Năm 1979, P. F. Smith lần đầu tiên giới thiệu các kết quả về đặc trưng vành Noether thông qua sự phân tích của các môđun xiclic (hoặc hữu hạn sinh) trong [59]. Trong các công trình nghiên cứu theo hướng này (xem [4], [37], [57], [60]) chúng tôi đặc biệt quan tâm đến định lý sau đây:
4.2.1 Định lý ([37], Theorem C). Một vành R là Noether phải nếu và chỉ nếu mọi R-môđun phải xiclic là một tổng trực tiếp của một môđun xạ ảnh và một môđun Q, trong đó Q hoặc nội xạ hoặc là Noether.
Điều kiện trong định lý này được kí hiệu là (℘) (xem [37]). Chúng tôi làm nhẹ (℘) bởi tính chất sau: Một môđun C được gọi là thỏa mãn điều kiên (℘0) nếu C là tổng trực tiếp của một môđun xạ ảnh và một môđun
hạn.
Như chúng ta đã biết, đối với vành R có chiều Krull phải, mọi R- môđun phải xiclic có chiều Goldie hữu hạn. Điều này có nghĩa rằng, với mọi vành có chiều Krull phải đều thỏa mãn điều kiện (℘0) cho các môđun phải xiclic. Tuy nhiên, một vành R có chiều Krull phải không nhất thiết là vành Noether phải và do đó một vành thỏa mãn điều kiện (℘0) cho các môđun xiclic cũng chưa hẳn là vành Noether phải. Cụ thể ta có ví dụ sau:
4.2.2 Ví dụ. Xét vành các ma trận R = { a b0 a |a ∈ Z, b ∈ C(p∞)}. Khi đó, R là một vành giao hoán thỏa mãn điều kiện (℘0) nhưng không là vành Noether. Thật vậy, trước hết dễ dàng kiểm tra được R là một vành giao hoán. Đặt I = { 00 0b |b ∈ C(p∞)} ta thấy I ∼= C(p∞) như là một Z- môđun, nên I là Artin mà không Noether (vì I là một nhóm Aben và Artin đối với phép toán cộng nhưng không là Noether). Hơn nữa, chúng ta thấy rằng I là một iđêan của R với R/I ∼=
Z. Nhưng Z (xem như là Z- môđun trên chính nó) có chiều Krull bằng 1, trong khi đó I có chiều Krull bằng 0. Do đó R có chiều Krull bằng 1. Do I không là Noether như là một Z- môđun nên I không là Noether như là một
R- môđun. Suy ra R không là vành Noether. Mặt khác, từ R có chiều Krull nên mọi vành thương R modulo iđêan của nó có chiều Goldie hữu hạn. Do đó R thỏa mãn điều kiện (℘0).
Trong [31] đã giới thiệu khái niệm GV - vành như sau:
4.2.3 Định nghĩa. Vành R được gọi là GV - vành phải (right general- ized V-ring) nếu mọi môđun phải đơn và suy biến là nội xạ.
Chúng ta có một kết quả mới trên lớp GV- vành.
4.2.4 Định lý. Cho R là một GV - vành phải. Nếu mọi R-môđun phải xiclic thực sự thỏa mãn điều kiện (℘0), thì R là vành Noether phải.
Chứng minh. Xét R là vành sao cho mọi R-môđun phải đơn suy biến là nội xạ và giả sử thêm rằng mọi R-môđun phải xiclic thực sự thỏa mãn điều kiện (℘0). Xét E ⊆ R là một iđêan phải cốt yếu, và đặt M = R/E. Khi đó, mọi môđun khác không trong phạm trù σ[M] đều không chứa bất kỳ một môđun con xạ ảnh nào khác không. Theo giả thiết của chúng ta về vành R, mọi môđun đơn trong phạm trù σ[M] là nội xạ. Từ đó, theo điều kiện (℘0), mọi môđun xiclic trong σ[M] là CS-môđun hoặc là môđun có chiều Goldie hữu hạn. Điều này kết hợp Bổ đề 4.1.13 chứng tỏ rằng mọi môđun thương của M có chiều Goldie hữu hạn. Sử dụng kết quả của [31] ta có M là môđun Noether và do đó vành R/Soc(RR) là một vành Noether phải (theo Bổ đề 4.1.10).
Bây giờ chúng ta đặt Soc(RR) = ⊕i∈ASi, trong đó mỗi Si là một iđêan phải tối tiểu của R. Giả sử rằng, tập chỉ số A là một tập vô hạn. Hay nói cách khác, S(RR) có độ dài vô hạn. Chúng ta có thể phân chia tập A thành hai tập vô hạn phân biệt B và C sao cho A = B ∪C, và đặt K = ⊕i∈BSi. Khi đó, môđun thương R/K không thể đẳng cấu với
RR bởi vì trong trường hợp ngược lại ta sẽ có K là hạng tử trực tiếp của R. Điều này là không thể vì vành R chứa một đơn vị. Vậy R/K
là một R-môđun phải xiclic thực sự, theo giả thiết của định lý ta có
R/K thỏa mãn điều kiện (℘0) nên tồn tại sự phân tích: R/K = P ⊕J. Trong đó PR là xạ ảnh và JR là CS-môđun hoặc môđun có chiều Goldie hữu hạn. Chúng ta giả sử rằng JR là CS-môđun. Do J/Soc(JR) nhúng được trong R/Soc(RR) nên J/Soc(JR) là môđun Noether, hơn thế nữa chiều Goldie của J/Soc(JR) là hữu hạn. Sử dụng Bổ đề 4.1.5, Soc(JR) có độ dài hữu hạn. Như vậy, trong mọi trường hợp chúng ta đều có chiều Goldie của Soc(JR) là hữu hạn và do đó JR là môđun Noether. Điều này cũng chứng tỏ rằng Soc(PR) có độ dài hữu hạn. Đặt K1 là nghịch ảnh của J trong R qua đồng cấu chính tắc R → R/K. Khi đó chúng ta có R/K1 ∼= P và do đó R = P
1 ⊕ K1, với P1 ∼= P. Từ Soc(P
Soc(K1) có độ dài vô hạn chúng ta có P1 6= Soc(P1) và K1 6= Soc(K1). Do Soc(K1) có độ dài vô hạn nên chúng ta có thể lập luận tương tự trên và có K1 = P2 ⊕ K2, trong đó cả Soc(P2) và Soc(K2) đều có độ dài vô hạn. Như vậy, xét R như là một R-môđun phải, chúng ta có sự phân tích R = P1 ⊕P2 ⊕K2. Tiếp tục quá trình này cho đến hạng tử trực tiếp Ki, chúng ta có sự phân tích: RR = P1 ⊕P2 ⊕...⊕Pn ⊕Kn, trong đó Kn và mỗi Pi đều có độ dài vô hạn, với mỗi số nguyên dương
n. Từ điều này ta có Soc(Pi) 6= Pi và Soc(Kn) 6= Kn. Từ n là một số nguyên dương bất kỳ nên chúng ta có thể chọn n lớn hơn chiều Goldie của R/Soc(RR). Tuy nhiên, điều này là không thể bởi vì:
R/Soc(RR) ∼= (P
1/Soc(P1))⊕...⊕(Pn/Soc(Pn)) ⊕(Kn/Soc(Kn)) hiển nhiên có chiều Goldie ít nhất là n+ 1. Do đó, tập chỉ số A phải có hữu hạn phần tử, nghĩa là Soc(RR) có độ dài hữu hạn. Điều này chứng tỏ rằng R là vành Noether phải.
Carl Faith đã chứng minh rằng: mọi V-vành phải Goldie phải là tổng trực tiếp của hữu hạn các vành đơn (xem [17], Theorem 2). Kết hợp với kết quả của Định lý 4.2.4 nói trên chúng ta có kết quả sau:
4.2.5 Hệ quả. Cho R là V-vành phải. Nếu mọi R-môđun phải xiclic thực sự đều thỏa mãn điều kiện (℘0) thì R là tổng trực tiếp của một vành Artin nửa đơn và hữu hạn các V-vành Noether phải đơn có đế bằng không.