06 p<τ Lp với mọi chỉ số tới hạn σ ;
4.3Điều kiện để một vành đơn là Noether Trước hết chúng ta xét ví dụ sau:
Trước hết chúng ta xét ví dụ sau:
4.3.1 Ví dụ ([51], Trang 43). Cho D là một thể và đặt V = ⊕i≥1eiD
là một D-không gian véctơ phải. Gọi E = End(VD) và I là iđêan của E
gồm các tự đồng cấu có hạng hữu hạn. Đặt R = E/I, ta có R là một vành đơn nhưng không là Noether trái.
Ví dụ trên cho chúng ta thấy rằng, tồn tại những vành đơn nhưng không là Noether. Trong phần này, chúng tôi tìm cách thiết lập điều kiện để một vành đơn là Noether.
Chúng ta có định nghĩa về môđun M-suy biến trong phạm trù σ[M].
4.3.2 Định nghĩa. Cho MR là một môđun. Một môđun X được gọi là
M-suy biến nếu tồn tại một môđun A∈ σ[M] có chứa một môđun con cốt yếu E sao cho X ∼= A/E.
Lưu ý rằng, lớp các môđun M-suy biến khép kín đối với các môđun con, các môđun thương, các tổng trực tiếp và các mở rộng cốt yếu. Do đó, nếu X là môđun M-suy biến thì mọi môđun trong σ[X] cũng là
M-suy biến. Trong trường hợp N = R chúng ta có sự đồng nhất tính chất suy biến của các môđun trong phạm trù M od-R. Như chúng ta đã biết, khái niệm M-suy biến nghĩa là suy biến trong phạm trù σ[M], một phạm trù con đầy đủ của phạm trù M od-R. Theo nghĩa nào đó, khái niệm M-suy biến chặt hơn khái niệm suy biến vì mọi môđun M-suy biến là suy biến, nhưng các môđun suy biến không nhất thiết là M-suy biến.
Kết quả chính của phần này là định lý sau:
4.3.3 Định lý. Cho M là một môđun phải xiclic trên vành đơn Goldie phảiR. Nếu mọi môđun xiclicM-suy biến trongσ[M]là CS, thì M/Soc(M) là môđun Noether.
Chứng minh. Giả sử M là một môđun phải xiclic trên vành đơn Goldie phải R. Khi đó chúng ta có hai khả năng xảy ra: hoặc Soc(RR) = 0 hoặc Soc(RR) 6= 0.
Trường hợp Soc(RR) 6= 0, do R là vành đơn nên ta có Soc(RR) = R. Điều này có nghĩa là R là vành đơn Artin. Trong trường hợp này chúng ta có M là môđun Noether. Hơn nữa, M còn là một môđun Artin.
Đặt E là một môđun con cốt yếu của M. Khi đó, N = M/E là một môđun xiclic M-suy biến trong phạm trù σ[M]. Do tính chất M-suy biến nên mọi môđun xiclic trong σ[N] ⊆ σ[M] là CS môđun. Sử dụng kết quả của Bổ đề 4.1.3 chúng ta thấy N có chiều Goldie hữu hạn. Đặt
α là một chỉ số. Xét chuỗi đế phải của N: S1(NR), S2(NR), ..., Sα(NR). Nếu α là một chỉ số tới hạn thì Sα = ∪β<αSβ.
Khi đó, với môđun con S = ∪αSα của N ta có V = N/S là một môđun có đế bằng không.
Từ V là một môđun xiclic, M-suy biến và V ∈ σ[N] nên V cũng là một CS môđun. Kết hợp Bổ đề 4.1.3 ta có V có chiều Goldie hữu hạn. Điều này chứng tỏ rằng V là một tổng trực tiếp của hữu hạn các môđun con đều. Do đó, không mất tính tổng quát, chúng ta có thể giả sử rằng V là một môđun đều. Xét U là một môđun đơn, M-suy biến trong phạm trù σ[M]. Đặt T = U ⊕V, sử dụng kết quả của Bổ đề 4.1.7 ta có T là một môđun xiclic M-suy biến trong σ[M]. Do đó, theo giả thiết của định lý, T là CS môđun.
Theo nhận xét trên, V = N/S là một môđun có đế bằng không, V
là môđun đơn, do đó chúng ta hiển nhiên có Soc(TR) = U. Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh rằng U là V-nội xạ.
Xét A là một môđun con khác không bất kỳ củaV và đặtf : A →U
là một đồng cấu môđun. Chúng ta định nghĩa tậpB = {a−f(a)|a ∈ A}. Khi đó, do T là CS môđun nên B được chứa cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp B∗ ⊆ T, nghĩa là chúng ta có sự tồn tại của một môđun con
C ⊆ T sao cho: T = B∗ ⊕C. Nhưng, B∗ ∩ U = 0 và Soc(TR) = U là một môđun con bất biến đầy đủ nên chúng ta phải có U ⊆C. Từ U là hạng tử trực tiếp của T nên U đóng trong T. Hơn nữa, theo cách đặt
T chúng ta có chiều Goldie của T bằng 2, do đó C là một môđun đều. Điều này cho chúng ta thấy U = C, và do đó T = B∗ ⊕U.
Chúng ta có thể kiểm tra được rằng π0 là một mở rộng của f từ V
vào U, do đó U là V- nội xạ. Hơn nữa, chúng ta có thể kết luận rằng: mọi môđun đơn trong σ[V] là V-nội xạ. Mặt khác, sử dụng Bổ đề 4.1.7 chúng ta thấy rằng, mọi môđun thương của V có chiều Goldie hữu hạn. Do đó, từ kết quả của Bổ đề 4.1.8 ta có V là môđun Noether.
Từ kết quả chứng minh trên, V = N/S là một môđun Noether. Để chứng minh tính Noether của N, ta cần chứng minh S là một R-môđun Noether. Chúng ta sẽ chứng minh tính Noether của SR thông qua một điều kiện tương đương khác đó là: SR có độ dài hữu hạn.
Từ S1 và mỗi Sα+1/Sα đều có độ dài hữu hạn nên ta có S = S2. Nếu S2 6= S3 thì chúng ta có sự tồn tại của một phần tử y ∈ S3 sao cho
yR * S2. Chúng ta có thể chọn y sao cho (yR +S2)/S2 là một môđun đơn. Từ yR là CS môđun, chúng ta có:
yR = H1 ⊕H2 ⊕ · · · ⊕Hm.
Trong đó, mỗi Hi (i = 1,2,· · · , m) là các môđun đều. Theo cách chọn của y nói trên, tồn tại một Hi nào đó, giả sử là H1, sao cho H1 * S2. Hơn nữa, từ H1/Soc(K1) là CS môđun, chúng ta có sự tồn tại của hữu hạn các môđun con K1, K2,· · · , Kt của H1 sao cho: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
H1/Soc(H1) = K1/Soc(H1)⊕K2/Soc(H1)· · · ⊕Kt/Soc(H1). Trong đó, mỗi Kj/Soc(H1)(j = 1,2,· · · , t), hoặc là môđun đơn, hoặc là môđun đều và `[Kj/Soc(H1)] = 2. Điều này cho phép chúng ta khẳng định rằng, tồn tại một Kj nào đó, giả sử là K1, thỏa mãn
`(K1/Soc(H1)) = 2. Từ H1 là một môđun đều nên chúng ta có K1
là một môđun một chuỗi và có sự phân tích duy nhất thành chuỗi
Soc(H1) ⊂K ⊂ K1. Mặt khác, chúng ta chú ý rằng K1 là môđun xiclic, sử dụng Bổ đề 4.1.7 ta có K1 ⊕H/Soc(H1) là môđun xiclic. Hơn nữa
K1⊕H/Soc(H1) là một môđun M-suy biến. Theo giả thiết của định lý ta có K1⊕H/Soc(H1) là CS môđun. Tuy nhiên, điều này hoàn toàn mâu
thuẩn với kết quả của Osofsky (Bổ đề 4.1.9). Như vậy, K1⊕H/Soc(H1) không thể là CS môđun. Từ mâu thuẩn này chúng ta có S2 = S3, và do đó S = S2 có độ dài hữu hạn. Kết quả này cho phép chúng ta kết luận
N là môđun Noether.
Cuối cùng, chúng ta sẽ chứng minh M/Soc(M) là môđun Noether. Theo kết quả chứng minh trên, với mỗi môđun con cốt yếu E của M, ta có M/E là môđun Noether. Hay nói cách khác, M thỏa mãn ACC cho các môđun con cốt yếu. Sử dụng kết quả của Bổ đề 4.1.10(1) ta có
M/Soc(M) là môđun Noether. Định lý đã được chứng minh.
Môđun con suy biến của R-môđun phải suy biến M được kí hiệu là
Z(M), là tập hợp các phần tử x ∈ M sao cho linh hóa tử phải rR(x) của phần tử x ∈ M là một iđêan phải cốt yếu trong R. Từ kết quả của định lý chúng ta có hệ quả sau.
4.3.4 Hệ quả. Trên vành đơn R, các điều kiện sau là tương đương: (i) Mọi R-môđun phải xiclic suy biến là CS;
(ii) Tồn tại một R-môđun phải xiclic X với X 6= Z(X) sao cho mọi môđun xiclic X-suy biến trong σ[X] là CS.
Trong trường hợp này, R là vành Noether phải.
Chứng minh. Ta thấy, chiều (i) ⇒ (ii) là hiển nhiên. Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh (ii) ⇒ (i). Giả sử trên vành đơn R điều kiện (ii) được thỏa mãn. Nếu Soc(RR) 6= 0 thì R là vành Artin nửa đơn và do đó phát biểu (i) là hiển nhiên đúng. Chúng ta chỉ cần quan tâm đến trường hợp
Soc(RR) = 0. Trong trường hợp này, chúng ta có sự tồn tại của x ∈ X
sao choX = xR. Từ giả thiết X 6= Z(X) ta thấy iđêan linh hóa tử rR(x) trong R không là iđêan phải cốt yếu của R. Do X = xR ∼= R
R/rR(x) nên X chứa một môđun con xiclic khác không Y mà Y đẳng cấu với một iđêan phải chính của R. Do đó, Y là môđun không suy biến và
Soc(YR) = 0. Hiển nhiên chúng ta có σ[Y]⊆ σ[X]. Sử dụng kết quả của Bổ đề 4.1.11 chúng ta thấy RR đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của
Yk, k là một số nguyên dương nào đó. Từ RR đẳng cấu với một vật của phạm trù σ[Y] ⊆ σ[X], chúng ta có σ[X] = M od-R, ta có (ii) ⇒ (i).
Trong trường hợp vành đơn R thỏa mãn điều kiên (ii) chúng ta có
Soc(YR) = 0. Với mỗi môđun con cốt yếu E ⊆ Y, áp dụng điều kiên (ii) cho phạm trù σ[Y /E] chúng ta thấy rằng (Y /E)R có chiều Goldie hữu hạn theo Bổ đề 4.1.3. Sử dụng Bổ đề 4.1.4 ta có Y /Soc(Y) (= Y) có chiều Goldie hữu hạn. Đăc biệt, R có chứa một iđêan phải đều nên
R là vành Goldie phải theo kết quả của Bổ đề 4.1.6. Bây giờ chúng ta áp dụng kết quả của Định lý 4.3.3 thấy rằng YR là môđun Noether. Như vậy, R là một vành Noether phải như là một hạng tử trực tiếp của
Yk.