06 p<τ Lp với mọi chỉ số tới hạn σ ;
3.2Đặc trưng QF-vành
Năm 1995, Đinh Văn Huỳnh đã đưa ra đặc trưng mới của QF-vành thông qua tinh chất đếm được Σ-CS của lớp vành nửa hoàn chỉnh:"Vành
R là QF nếu và chỉ nếu R là vành nửa hoàn chỉnh, đếm được Σ-CS phải và thỏa mãn điều kiện J(R) không chứa iđêan phải xạ ảnh khác không" (xem [43], Corollary 2). Năm 1996, Đinh Văn Huỳnh và Ngô Sỹ Tùng đã mở rộng kết quả trên cho trường hợp đếm được Σ(1−C1). Theo hướng nghiên cứu này chúng tôi đã chứng minh được định lý sau đây:
3.2.1 Định lý. Trên vành R với chiều Goldie phải hữu hạn, các điều kiện sau là tương đương:
(i) R là QF vành;
(ii) RR là liên tục và đếm được Σ(1−C1).
Chứng minh. (i) ⇒(ii) Hiển nhiên .
(ii) ⇒ (i) Từ điều kiện R là vành liên tục và có chiều Goldie hữu hạn, ta có sự phân tích R = R1 ⊕... ⊕ Rn, trong đó các Ri là các iđêan phải đều. Theo giả thiết (ii) của định lý, RR là đếm được Σ(1−C1) nên
RR(N) có tính chất (1−C1). Sử dụng kết quả của Bổ đề 3.1.6 ta có R là Σ-tự nội xạ và do đó R là tự nội xạ phải. Đặc biệt chúng ta có R/J(R) là vành chính quy von Neumann và tự nội xạ phải. Nếu R/J(R) có một tập vô hạn các phần tử lũy đẳng trực giao khác không thì từ tính chất nội xạ của R sẽ cho chúng ta thấy rằng R không thể có chiều Goldie phải hữu hạn. Từ đó ta có, với mỗi tập hợp các phần tử lũy đẳng trực giao trong R/J(R)có hữu hạn phần tử. Điều này chứng tỏ rằng R/J(R) là vành Artin và do đó R/J(R) là vành nửa hoàn chỉnh. Như vậy chúng ta có, R là vành tự nội xạ, nửa hoàn chỉnh và R(RN) có tính chất (1−C1). Sử dụng Bổ đề 3.1.8 ta có R là QF vành.
Xin được nhắc lại rằng, R là vành hoàn chỉnh trái nếu R thỏa mãn điều kiện DCC cho các iđêan chính phải. Trong trường hợp này R/J(R) là vành Artin và J(R) là T-lũy linh.
Như chúng ta đã biết, nếu một vành R là liên tục phải (hoặc trái) thì R là CS phải (hoặc trái) nhưng chiều ngược lại trong trường hợp
tổng quát là không hoàn toàn đúng (xem [53], [54]). Vậy một câu hỏi đặt ra là: Với điều kiện nào thì một vành CS là vành liên tục? Định lý sau là một trong những câu trả lời cho vấn đề này.
3.2.2 Định lý. Giả sử R là một vành hoàn chỉnh trái sao cho R/J(R) là một vành đơn. Khi đó R là vành liên tục phải nếu và chỉ nếu R là CS vành phải.
Chứng minh. Điều kiện cần là hiển nhiên.
Ta chỉ cần chứng minh nếu R là vành hoàn chỉnh trái, CS vành phải và thỏa mãn điều kiện R/J(R) là một vành đơn thì R là vành liên tục phải. Thật vậy, lấy e, f ∈ R là các lũy đẳng nguyên thủy. Do R/J(R) là một vành Artin đơn nên eR/eJ(R) ∼= f R/f J(R) như một R-môđun
phải. Sử dụng kết quả của Bổ đề 3.1.2, xét eR và f R như các R-môđun phải ta có eR ∼= f R. Chúng ta lưu ý rằng eRe (∼= End
R(eR)) là vành địa phương.
Giả sử rằng R là vành CS phải. Nếu u − dim(RR) = 1 thì RR là môđun đều do đó RR là tựa liên tục. Như vậy ta có vành R tựa liên tục phải, nửa hoàn chỉnh và J(R) =N(R). Sử dụng Bổ đề 3.1.3 ta có R là vành liên tục phải.
Nếu u − dim(RR) ≥ 2. Do R là CS vành phải nên ta có sự phân tích: RR = e1R⊕e2R⊕...⊕enR. Trong đó, mỗi eiR là đều và mỗi ei là một lũy đẳng nguyên thủy. Lấy e = ei. Theo kết quả chứng minh trên,
eR ∼= e
iR với mọi i ∈ {2,3, ..., n}. Ta có eR⊕eR là CS.
Xét đơn cấu ϕ : eR → eR. Ta sẽ chứng minh ϕ là một toàn cấu. Giả sử ϕ(eR) 6= eR. Đặt N1 = ϕ(eR). Khi đó N1 là môđun con thực sự của eR. Do N1 ∼= eR, N
1 chứa một môđun con thực sự N2 với N2 ∼= eR.
Tiếp tục quá trình này chúng ta có dãy giảm ngặt vô hạn
N1 ⊃ N2 ⊃ ...⊃ Ni ⊃...
các iđêan phải chính Ni của R trong eR. Nhưng theo giả thiết trên, R
mãn điều kiện tối tiểu cho các iđêan chính phải nên điều này là không thể xảy ra.
Do đó ϕ(eR) = eR. Điều này chứng tỏ rằng mọi đơn cấu ϕ : eR → eR
là đẳng cấu. Như vậy chúng ta có M = eR ⊕ eR là CS, trong đó eR
đều, vành các tự đồng cấu của nó EndR(eR) ∼= eRe là địa phương, hơn
nữa mọi đơn cấu ϕ : eR → eR đều là đẳng cấu do đó nó thỏa mãn giả thiết của Bổ đề 3.1.4. Vậy eR là tựa nội xạ phải. Mặt khác ta lại có
RR = e1R⊕e2R⊕...⊕enR ∼= eR⊕eR⊕...⊕eR là tổng trực tiếp hữu (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
hạn các môđun tựa nội xạ phải. Do đó ta có R là vành tự nội xạ phải, suy ra R là vành liên tục phải.
Từ định lý trên ta có một số hệ quả sau:
3.2.3 Hệ quả. Giả sử R là một vành hoàn chỉnh trái sao cho R/J(R) đơn và u-dim(RR) ≥ 2. Khi đó vành R là tự nội xạ phải nếu và chỉ nếu R là vành CS phải.
Chứng minh. Điều kiện cần là hiển nhiên vì ta đã có lược đồ:
Nội xạ ⇒ Tự nội xạ ⇒ Liên tục ⇒ Tựa liên tục ⇒ CS.
Điều kiên đủ chứng minh hoàn toàn tương tự định lý trên cho trường hợp u-dim(RR) ≥ 2.
Từ hai kết quả trên chúng ta có đặc trưng mới của QF vành qua điều kiện cốt yếu của các môđun con trên chính nó.
3.2.4 Hệ quả. Giả sử R là một vành hoàn chỉnh trái sao cho R/J(R) đơn. Các điều kiện sau tương đương:
(a) R là QF vành;
(b) R(RN) là Σ(1−C1) môđun.
Chứng minh. Điều kiện cần: Do R là QF nên nó là trái và phải tựa nội xạ. Sử dụng kết quả của Bổ đề 3.1.7 ta có R(RN) là tựa nội xạ và do đó nó là Σ(1−C1).
Điều kiện đủ: Từ giả thiết ta có đế phải củaR cốt yếu và chiều Goldie của R/J(R) là hữu hạn. Sử dụng điều kiện (1−C1) cho R ta thấy R
có chiều Goldie phải hữu hạn. Từ đó chúng ta có thể quy nạp để chứng minh rằng R là CS vành phải. Hơn thế nữa, chúng ta có RR ⊕RR cũng là CS môđun. Sử dụng kết quả của Hệ quả 3.2.3 ta có R là vành tự nội xạ phải.
Vậy chúng ta có R là vành hoàn chỉnh trái nên nó là vành nửa hoàn chỉnh đồng thời thỏa mãn các điều kiện: R là vành tự nội xạ phải và
RR(N) là Σ-(1−C1) môđun, áp dụng kết quả của Bổ đề 3.1.8 ở trên ta có
R là QF vành.
3.2.5 Hệ quả. Giả sử R là vành nguyên sơ thỏa mãn điều kiện ACC cho các linh hóa tử phải. Vành R là QF nếu và chỉ nếu R chứa một lũy đẳng nguyên thuỷ e sao cho eR⊕eR là CS môđun.
Chứng minh. Điều kiện cần là hiển nhiên vì R là QF nên nó là tự nội xạ do đó R là CS. Vậy eR⊕eR là CS môđun vì nó là nội xạ.
Ta chỉ cần chứng minh điều ngược lại. Giả sửRcó chứa một lũy đẳng nguyên thủy e sao cho eR⊕eR là CS. Xét đơn cấu ϕ :eR → eR. Ta sẽ chứng minh ϕ là một toàn cấu. Giả sử ϕ(eR) 6= eR. Đặt N1 = ϕ(eR). Khi đó N1 là môđun con thực sự của eR. Do N1 ∼= eR nên N
1 lại có chứa một môđun con thực sự N2 với N2 ∼= eR. Tiếp tục quá trình này
chúng ta có dãy giảm ngặt vô hạn
N1 ⊃ N2 ⊃ ...⊃ Ni ⊃...
các iđêan chính phải Ni của R trong eR. Nhưng theo giả thiết trên, R
là vành hoàn chỉnh trái. Sử dụng kết quả của Bổ đề 1.3.5(e) ta thấy R
phải thỏa mãn điều kiên tối tiểu cho các iđêan chính phải nên điều này là không thể xảy ra. Do đó ϕ(eR) = eR, điều này chứng tỏ rằng mọi đơn cấu ϕ : eR → eR là đẳng cấu. Theo Bổ đề 3.1.4, eR là môđun tựa nội xạ. Hơn nữa, với mỗi ei là lũy đẳng nguyên thủy R = e1R⊕e2R⊕...ekR
(Do R/J(R) là vành đơn Artin nên eJ(R) ∼= eRe, theo Bổ đề 3.1.2 ).
Vậy vành R tự nội xạ phải.
Như vậy R là vành tự nội xạ và thỏa mãn điều kiện ACC cho các linh hóa tử phải. Sử dụng Bổ đề 3.1.1(d), R là QF vành.
3.3 Kết luận Chương 3
Các kết quả chúng tôi đã đạt được trong chương 3 là: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
1. Đưa ra được đặc trưng mới của lớp QF-vành thông qua tính chất đếm được Σ(1−C1) của lớp vành liên tục có chiều Goldie hữu hạn (Định lý 3.2.1).
2. Đưa ra điều kiện mới để một vành CS phải là liên tục phải (Định lý 3.2.2). Từ đó thiết lập được điều kiện để một vành CS phải là tự nội xạ phải (Hệ quả 3.2.3). Đặc biệt, chúng ta có các đặc trưng mới của QF-vành thông qua tính chất CS,(1−C1) của lớp vành hoàn chỉnh trái và vành nguyên sơ (Hệ quả 3.2.4, Hệ quả 3.2.5).
CHƯƠNG 4
ĐIỀU KIỆN ĐỂ MỘT SỐ LỚP VÀNH TRỞ THÀNH NOETHER
Trong đại số nói chung và lý thuyết vành nói riêng, cùng với lớp vành Artin, lớp vành Noether được xem như một trong những lớp vành cơ bản, được nghiên cứu một cách rộng rãi và sâu sắc. Đặc trưng tính Noether của một vành nào đó luôn là một trong những đề tài rộng và hấp dẫn đối với các nhà nghiên cứu cấu trúc vành. Trong phạm vi nghiên cứu của mình, chúng tôi quan tâm đến việc đặc trưng tính Noether cho lớp vành đơn và lớp V-vành. Từ đó, chúng tôi tìm cách thiết lập điều kiện cho lớp vành đơn là SI.
Để trả lời một câu hỏi mở về vành Noether, Đinh Văn Huỳnh và S. Tariq Rizvi đã thiết lập một điều kiện kí hiệu là (℘): " Vành R được gọi là thỏa mãn điều kiện (℘) nếu mọi R-môđun phải xiclic là một tổng trực tiếp của một môđun xạ ảnh và một môđun Q, trong đó Q hoặc nội xạ hoặc Noether" (xem [37]) và đã chứng minh được rằng: Mỗi vành R
sao cho mọi iđêan phải chính thỏa mãn điều kiện (℘) là Noether phải. Trong chương này, trước hết chúng tôi làm nhẹ (℘) thành (℘0) (xem 4.2) để thu được tính Noether của V-vành.
Vành R được gọi là SI-vành phải nếu mọi R-môđun suy biến phải là nội xạ. Khái niệm SI vành lần đầu tiên được đưa ra bởi Goodearl trong [23]. Đây là một hướng mở rộng khác của vành Artin nửa đơn khi hạn chế tính nội xạ trên môđun suy biến. Các kết quả nghiên cứu về lớp vành này chúng ta có thể tham khảo thêm trong các tài liệu [23], [29],
[35] và [39]. Theo Goodearl một vành không suy biến phải R là SI phải khi và chỉ R = K⊕R1⊕...⊕Rn. Trong đó, K/Soc(K) là nửa đơn, mỗi
Ri là vành Noether đơn và tương đương Morita với SI miền. Trong lý thuyết SI vành, người ta đặc biệt quan tâm vành với đế bằng không. Vì vậy, theo định lý của Goodearl chúng ta có thể giả thiết đó là vành đơn. Chú ý rằng, trong [[51], Trang 43], T. Y. Lam đã chỉ ra ví dụ chứng tỏ tồn tại vành đơn nhưng không là Noether phải. Mục đích thứ hai của chương này là thiết lập điều kiện để một vành đơn là Noether, từ đó thu được một đặc trưng của lớp SI-vành đơn. Các kết quả chính ở chương này đã được công bố trong [45] và [46].
4.1 Một số bổ đề cần thiết
Trước hết, chúng tôi nhắc lại một số định nghĩa, khái niệm và các kết quả đã biết có liên quan.
4.1.1 Định nghĩa. Vành R được gọi là V-vành phải (trái) nếu mọi
R-môđun phải (tư. trái) đơn là nội xạ.
Một môđun xiclic được gọi là môđun xiclic thực sự (proper cyclic) nếu nó không đẳng cấu với R.
Chúng ta có kết quả sau của B.L. Osofsky.
4.1.2 Bổ đề ([57], Corollary 5). Vành R là SI vành phải nếu mọi R- môđun xiclic phải suy biến là nội xạ.
VànhR được gọi làPCI-vành phải nếu mọi R-môđun phải xiclic thực sự là nội xạ. Từ kết quả trên chúng ta thấy rằng, nếu trên vành R mọi môđun xiclic suy biến là nội xạ thì mọi môđunsuy biến là nội xạ. Chính từ kết quả này, Đinh Văn Huỳnh đã ghi chú rằng, đối với các miền hai khái niệm SI và PCI là trùng nhau. Khái niệm miền (domain) ở đây chúng ta luôn hiểu là một miền thực sự (proper domain). Nghĩa là nó là một vành R khác không (không là thể) thỏa mãn ∀a, b ∈ R, ab = 0
khi và chỉ khi a = 0 hoặc b = 0. Chúng ta cũng đã biết, nếu D là một miền SI phải thì D là Noether phải, di truyền phải và đơn sao cho: với mọi iđêan phải C khác không của D, ta có D/C là nửa đơn (xem [10], Proposition 9.13).
Để tiện theo dõi, chúng tôi giới thiệu một số bổ đề sẽ được sử dụng cho các chứng minh ở các tiết sau.
Trước hết chúng ta có điều kiện về chiều Goldie hữu hạn cho các môđun thông qua tính CS của các môđun xiclic.
4.1.3 Bổ đề ([57], Theorem 1). Giả sử M là một môđun xiclic. Nếu mọi môđun xiclic trong σ[M] là CS thì M có chiều Goldie hữu hạn.
Đinh Văn Huỳnh đã tìm ra được bổ đề thú vị sau đây và kỹ thuật chứng minh của nó có rất nhiều ứng dụng trong nghiên cứu cấu trúc vành và môđun.
4.1.4 Bổ đề ([11], Lemma 5.14). Nếu với mọi môđun con cốt yếu của môđunM, môđun thương M/K có chiều Goldie hữu hạn thìM/Soc(MR) có chiều Goldie hữu hạn.
Kết quả sau cho chúng ta thấy chiều Goldie của các môđun hữu hạn sinh.
4.1.5 Bổ đề ([11], Lemma 9.1). Cho M là một CS-môđun hữu hạn sinh. Nếu M có chứa một tổng trực tiếp vô hạn các môđun khác không
N = ⊕NNi, thì môđun thương M/N không có chiều Goldie hữu hạn.
Sự hữu hạn của chiều Goldie đưa đến điều bất ngờ cho vành đơn trong kết quả sau:
4.1.6 Bổ đề ([26], Theorem 2). Một vành đơn R là vành Goldie phải khi và chỉ khi R có chiều Goldie phải hữu hạn.
Kết quả sau của J. T. Stafford và được làm rõ hơn trong ([35], Lemma 3.1). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
4.1.7 Bổ đề. Cho M là một môđun suy biến trên một vành đơn Goldie phải R nhưng không là Artin. Nếu M = aR ⊕ bR, trong đó a, b ∈ M
sao cho bR có độ dài hữu hạn, thì M = (a+bx)R, với x ∈ R. Đặc biệt, trong trường hợp này M là R-môđun xiclic.
Một đặc trưng của môđun Noether thông qua tính chất nội xạ của các môđun đơn trong σ[M] đã được đưa ra trong kết quả sau.
4.1.8 Bổ đề ([31]). Giả sử M là một R-môđun sao cho mọi môđun thương của M có chiều Goldie hữu hạn. Nếu mọi môđun đơn trong
σ[M] là M-nội xạ, thì M là môđun Noether.
Kết quả sau về môđun một chuỗi được chứng minh bởi Osofsky năm 1990.
4.1.9 Bổ đề ([11], Corollary 7.4). Cho M là một môđun một chuỗi có sự phân tích duy nhất thành chuỗi M ⊃ U ⊃ V ⊃ 0. Khi đó, môđun
M ⊕(U/V) không là CS- môđun.
Theo Armendariz [3] và Huỳnh - Dũng - Wisbauer [11] ta có kết quả sau:
4.1.10 Bổ đề ([11], Lemma 5.15). (1) Môđun M thỏa mãn điều kiện ACC cho các môđun con cốt yếu nếu và chỉ nếu M/Soc(M) là môđun Noether.
(2) Môđun M thỏa mãn điều kiện DCC cho các môđun con cốt yếu nếu và chỉ nếu M/Soc(M) là môđun Artin.
Tiếp theo, chúng tôi giới thiệu kết quả của J. Clark và Đinh Văn Huỳnh trong [7].
4.1.11 Bổ đề ([7], Lemma 2). Cho A là một iđêan phải khác không bất kỳ của vành đơn R. Khi đó, với một số tự nhiên n∈ N, tồn tại các phần tử x1, x2, ..., xn ∈ R sao cho RR = x1A+x2A+...+xnA. Hay nói cách khác, RR đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của An.
Kết quả sau của K.R. Goodearl.
4.1.12 Bổ đề ([23], Proposition 3.1). Trên vành không suy biến phải
R, các phát biểu sau là tương đương: (a) R là SI-vành phải;
(b) Mọi R-môđun phải suy biến là nửa đơn;
(c) R/I là nửa đơn với mọi iđêan cốt yếu I của R.
Chúng ta kết thúc tiết này bằng kết quả sau.
4.1.13 Bổ đề. Cho M là một môđun xiclic. Nếu mọi môđun xiclic trong phạm trù σ[M] hoặc là CS-môđun hoặc là môđun có chiều Goldie hữu