06 p<τ Lp với mọi chỉ số tới hạn σ ;
4.4Khi nào một vành đơn là S
4.4.1 Định nghĩa. Môđun M được gọi là SI-môđun nếu mọi môđun
M-suy biến là M-nội xạ.
Chú ý rằng, trong [65], Yousif đã định nghĩa khái niệm này: Môđun
M được gọi là SI-môđun nếu mọi môđun suy biến trong Mod-R là M- nội xạ. Như đã nhận xét trong 4.3, mọi môđun M-suy biến là suy biến trong Mod-R. Do đó chúng ta thấy điều kiện của Yousif đưa ra thực sự mạnh hơn định nghĩa trên. Tuy nhiên, trong trường hợp M = R thì hai khái niệm này là một. Trong luận án này, chúng ta hiểu khái niệm SI-môđun theo định nghĩa trên.
Kết quả tiếp theo liên quan đến SI-vành là định lý sau:
4.4.2 Định lý. Cho R là một vành đơn Goldie phải và Y là một R- môđun phải xiclic khác không. Nếu mọi môđun xiclic Y-suy biến trong
σ[Y] là tựa liên tục thì Y /E là nửa đơn với mọi môđun con cốt yếu
Chứng minh. Xét Soc(RR) là đế phải của R khi xem nó như là một
R-môđun trên chính nó. Chúng ta có hai khả năng có thể xảy ra: hoặc
Soc(RR) = 0, hoặc Soc(RR) 6= 0.
(?) Nếu Soc(RR) 6= 0 thì từ tính chất đơn của vành R ta có R =
Soc(RR) và do đó R là một vành Artin nửa đơn. Do đó phát biểu trên của định lý là hiển nhiên đúng.
(?) Bây giờ chúng ta xét khả năng còn lại: Soc(RR) = 0. Giả sử rằng
Y là một R-môđun phải xiclic khác không sao cho mọi môđun xiclic
Y-suy biến trong σ[Y] là tựa liên tục. Sử dụng kết quả của Định lý 4.3.3, ta có Y /Soc(Y) là Noether phải. Chúng ta sẽ chứng minh rằng: "(∗) Với mọi môđun con cốt yếu E ⊆ Y, ta có Y /E là môđun nửa đơn".
Trước hết chúng ta xét trường hợp X = Y /E là môđun Artin. Do
Soc(XR) có độ dài hữu hạn, sử dụng Bổ đề 4.1.7 chúng ta thấy rằng
X ⊕Soc(XR) là môđun xiclic. Từ X ⊕Soc(XR) ∈ σ[Y] và Y-suy biến, theo giả thiết của chúng ta thì nó là môđun tựa liên tục. Sử dụng kết quả của Bổ đề 2.1.1 chúng ta có Soc(XR) là X- nội xạ và do đó Soc(XR) là một hạng tử trực tiếp của X. Điều này chứng tỏ rằng X = Soc(XR), nghĩa là X là môđun nửa đơn mỗi khi nó là môđun Artin. Do đó để chứng minh (∗), chúng ta chỉ cần chứng minh rằng Y /E là môđun Artin với mọi môđun con cốt yếu E ⊆ Y.
Giả sử ngược lại rằng, với một môđun con cốt yếu E ⊆ Y, Y /E
không là môđun Artin. Từ YR là môđun Noether modulo đế của chính nó (Y /Soc(Y)), tồn tại một môđun con cốt yếuF ⊆ Y, với F là môđun con tối đại trong tất cả các môđun thỏa mãn điều kiện V = Y /F
không là môđun Artin. Nếu V không là môđun đều thì chúng ta có sự tồn tại của hai môđun con khác không V1, V2 ⊆ V, với V1 ∩ V2 = 0. Đặt Ui,(i = 1,2) là tạo ảnh của Vi trong Y qua đồng cấu chính tắc
Y → Y /F (= V). Từ tính chất tối đại của F ta có Y /Ui là môđun Artin. Điều này chứng tỏ rằng V (= Y /F) là một môđun Artin, mâu
thuẩn với giả sử trên của chúng ta. Do đó chúng ta có V là một môđun đều. Hơn thế nữa, với lý do tương tự và theo cách chọn F, chúng ta có
Soc(V) = 0.
Cũng theo cách chọn F, với mọi môđun con khác không T ⊆ V,
V /T là môđun Artin và do đó là môđun nửa đơn. Từ điều này, chúng ta có sự tồn tại của các môđun con T và U của môđun V với 0 6= T ⊆ U ⊆ V sao cho U/T là một tổng trực tiếp của hữu hạn các môđun đơn. Bây giờ chúng ta xét môđun Q = V ⊕ U. Do V là môđun xiclic và
Q/(0, T) ∼= V ⊕ (U/T), sử dụng kết quả của Bổ đề 4.1.7 chúng ta có Q/(0, T) là môđun xiclic. Chọn x ∈ Q sao cho (x+ (0, T)) là phần tử sinh của Q/(0, T), nghĩa là [xR+ (0, T)]/(0, T) =Q/(0, T). Hiển nhiên chúng ta có thể chọn x sao cho xR chứa (V,0). Do đó xR = V ⊕W, trong đó (0, W) = xR∩(0, U). Từ xR là môđun tựa liên tục chúng ta có W là V nội xạ. Từ xR không là môđun đều nên W 6= 0. Do đó U
chứa một môđun con khác không U0 thỏa mãn U0 là V-nội xạ. Khi đó,
U0 là một hạng tử trực tiếp của V. Điều này hoàn toàn mâu thuẩn với tính chất đều của V.
Như vậy, chúng ta đã chứng minh được điều kiện (∗): Với mọi môđun con cốt yếu E của Y, môđun thương Y /E là môđun Artin. Định lý được chứng minh.
Từ định lý ta có hệ quả sau: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
4.4.3 Hệ quả. Trên vành đơn R, các điều kiện sau tương đương: (i) Mọi R-môđun phải xiclic suy biến là tựa liên tục;
(ii) Tồn tại một R-môđun phải xiclic X với X 6= Z(X) sao cho mọi môđun xiclic X-suy biến trong σ[X] là tựa liên tục.
Trong trường hợp này, R là SI-vành phải.
Chứng minh. Hiển nhiên chúng ta có (i) ⇒ (ii). Ta phải chứng minh chiều ngược lại. Lập luận tương tự như trong phần chứng minh của Hệ quả 4.3.4 chúng ta có Mod-R = σ[X] và do đó ta có điều phải chứng
minh. Mặt khác, dưới điều kiện (i) hoặc (ii), sử dụng kết quả của Định lý 4.3.3 ta có R/E là nửa đơn với mỗi iđêan phải cốt yếu E ⊆ R. Kết hợp giả thiết R là vành không suy biến phải và Bổ đề 4.1.12, ta có R là SI-vành phải.
4.4.4 Nhận xét. 1) Khi xétM = R, trở lại vànhR ta thu được các kết quả thú vị của Đinh Văn Huỳnh - S. K. Jain và S.R. Lo’pez-Permouth trong [35], [36] như là các hệ quả. Tuy vậy cần nhấn mạnh rằng, trong trường hợp của chúng tôi đối tượng nghiên cứu rộng hơn nhiều vì trong mỗi môđun phép nhân không được định nghĩa. Do vậy, việc phát triển các kỹ thuật ở [35], [36] là rất cần thiết cho trường hợp chỉ xét về môđun. 2) Chúng tôi chưa biết liệu Định lý 4.3.3 và Định lý 4.4.2 vẫn đúng hay không khi bỏ điều kiện chiều Goldie phải hữu hạn của vành R.
4.5 Kết luận Chương 4
Trong Chương 4, chúng tôi tập trung nghiên cứu một số vấn đề sau: Khi nào một V- vành là Noether? Trên cơ sở kết quả của Đinh Văn Huỳnh và các tác giả trong [37] (Theorem C), chúng tôi tìm cách thay thế điều (℘) bởi điều kiện (℘0) yếu hơn. Đồng thời chúng tôi tìm cách thiết lập điều kiện để một vành đơn là Noether và từ đó suy ra các điều kiện cho vành đơn là SI-vành. Cụ thể như sau:
1. Thay thế điều kiện nội xạ hoặc Noether trong điều kiện (℘) (xem Theorem C, [37]) bởi điều kiện CS hoặc chiều Goldie hữu hạn. Kết quả thu được đó là Định lý 4.2.4, từ đó suy ra điều kiện để một
V-vành phải là Noether phải (Hệ quả 4.2.5).
2. Thiết lập điều kiện cho một vành đơn là Noether thông qua tính chất CS của các môđun xiclic suy biến trong phạm trù σ[M] (Định lý 4.3.3, Hệ quả 4.3.4).
3. Chứng minh một kết quả mới về SI- vành thông qua tính chất tựa liên tục của lớp các môđun xiclic Y- suy biến trong phạm trù σ[Y] (Định lý 4.4.2, Hệ quả 4.4.3).
KẾT LUẬN CỦA LUẬN ÁN
Trong luận án này, chúng tôi đã thu được những kết quả sau đây: 1. Đưa ra được tiêu chuẩn mới của lớp vành Artin và lớp vành CS- nửa đơn thông qua lớp môđun hữu hạn sinh thỏa mãn sự phân tích thành tổng trực tiếp của một môđun nửa đơn và một môđun tựa liên tục (Bổ đề 2.2.4, Định lý 2.2.3).
2. Đưa ra đặc trưng mới của lớp QF-vành thông qua các tính chất (1−C1), tính chất đếm được Σ-(1−C1) (Định lý 3.2.1, Hệ quả 3.2.4, Hệ quả 3.2.5).
3. Thiết lập được điều kiện mới để một CS-vành phải là vành liên tuc phải (Định lý 3.2.2). Từ đó chúng ta có kết quả mới của QF-vành từ lớp vành nguyên sơ.
4. Giảm nhẹ điều kiện nội xạ hoặc Noether trong điều kiện (℘) (xem Theorem C, [37]) bởi điều kiện CS hoặc chiều Goldie hữu hạn. Kết quả thu được đó là Định lý 4.2.4, từ đó đưa ra đặc trưng tính Noether của
V-vành phải (Hệ quả 4.2.5).
5. Thông qua tính chất CS của các môđun xiclic suy biến trong phạm trùσ[M], thiết lập được điều kiện mới để một vành đơn là Noether (Định lý 4.3.3, Hệ quả 4.3.4). Từ kết quả này, chúng tôi thu được kết quả mới trên lớp SI-vành (Hệ quả 4.4.3).
Các kết quả chính của luận án được công bố trong các bài báo [44], [45] và [46].