tóm tắt luận án tiên sĩ đặc trưng một số lớp vành artin và vành noether

1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài 1.1. Trong đại số nói chung và lý thuyết vành nói riêng, đặc trưng tính Artin hoặc tính Noether của một lớp vành nào đó luôn là một trong những đề tài rộng và hấp dẫn đối với các nhà nghiên cứu cấu trúc vành. Từ định lý cấu trúc Wedderburn - Artin và các điều kiện tương đương, các lớp vành: CS- nửa đơn, QF- vành, V- vành và SI- vành đã xuất hiện và thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học. 1.2. Lớp vành CS-nửa đơn là một lớp vành mở rộng thực sự của lớp vành Artin nửa đơn và đó là lớp vành Artin hai phía. Đặc trưng vành CS- nửa đơn thông qua tính CS (hoặc các điều kiện yếu hơn) trên lớp môđun hữu hạn sinh hoặc đếm được sinh là một trong những hướng nghiên cứu về lớp vành này được nhiều nhà nghiên cứu cấu trúc vành quan tâm. 1.3. Lớp QF- vành đã được Nakayama định nghĩa năm 1939, cuốn chuyên khảo Nicholson là một tuyển tập khá đầy đủ các kết quả liên quan đến lớp QF-vành, đồng thời phần nào đó nói lên sự quan tâm của các nhà nghiên cứu đối với lớp vành này. Trong lý thuyết QF- vành, giả thuyết Faith là một trong hai giả thuyết dành được sự quan tâm đặc biệt. Việc nghiên cứu góp phần làm sáng tỏ dần giả thuyết Faith là một đề tài hấp dẫn. 1.4. Lớp V- vành và lớp SI- vành là hai hướng mở rộng khác của lớp vành Ar tin nửa đơn. Đặc trưng tính Noether của lớp V- vành đã được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu từ những năm 1976 và cho đến nay, việc nghiên cứu lớp vành này vẫn là một đề tài thú vị. 2 Khác với lớp V- vành, lớp SI- vành là trường hợp đặc biệt của lớp vành Noether. Trong lý thuyết SI- vành người ta đặc biệt quan tâm đến lớp vành đơn và do đó đặc trưng tính Noether của vành đơn như một cầu nối để thiết lập điều kiện cho một vành đơn là SI. Với các lý do như đã nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của mình là: Đặc trưng một số lớp vành Artin và Noether. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích chính của luận án đó là: 1. Đặc trưng một số lớp vành Artin (CS- nửa đơn, QF- vành) thông qua lớp các môđun trên chúng. 2. Đặc trưng tính Noether của lớp các V- vành và vành đơn, từ đó thu được kết quả mới trên SI- vành. 3. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là lớp các môđun thỏa mãn một số điều kiện hữu hạn nhất định. 4. Phạm vi nghiên cứu Nội dung của luận án chủ yếu tập trung nghiên cứu trên các lớp vành: CS- nửa đơn, QF- vành, V- vành, vành đơn và SI-vành. 5. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu của l uận án là nghiên cứu lý thuyết. Sử dụng các kỹ thuật liên quan đến đế của môđun cũng như các kỹ thuật khác đã đượ c chúng tôi vận dụng trong mỗi chứng minh. 3 6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Ý nghĩa khoa học: Góp phần làm phong phú thêm các kết quả và sự hiểu biết về các lớp vành CS- nửa đơn, V- vành, SI- vành, vành Noether. Đặc biệt, các kết quả trên lớp QF- vành hy vọng phần nào đó sẽ góp phần làm sáng tỏ giả thuyết Faith. Ý nghĩa thực tiễn: Khi nghiên cứu về các lớp vành kể trên, luận án là một trong những tài li ệu tham khảo cho các nhà nghiên cứu, học viên cao học và sinh viên. 7. Tổng quan và cấu trúc của luận án 7.1 Tổng quan luận án: Cùng với nhóm và trường, vành là một trong ba cấu trúc cơ bản nhất của đại số và có ứng dụng rộng rãi. Vì vậy việc nghiên cứu vành không chỉ thuần túy là do sự đam mê toán học mà còn được lôi cuốn bởi sự ứng dụng đa dạng của nó vào các ngành khoa học khác. Lý thuyết vành đã xuất hiện khoảng 120 năm nay và ngày càng phát triển một cách phong phú trong bối cảnh này. Mục đích chính của lý thuyết vành là mô tả cấu trúc của vành. Tuy nhiên, với định nghĩa trừu tượng của nó, chúng ta không thể đưa ra được điều gì nhiều hơn là các tính chất chung chung. Vì vậy, muốn nghiên cứu cấu trúc của vành một cách sâu sắc người ta phải đặt ra các điều kiện cụ thể và tìm cách mô tả chúng trên cơ sở các cấu trúc đã biết. Do sự đề xuất của các "điều kiện cụ thể" này m à đã xuất hiện nhiều lớp vành cơ bản như: vành Artin, vành Noether, vành Goldie, vành Frobenius, vành tựa Frobenius (QF - vành), vành hoàn chỉnh, v.v Emil Artin là người đầu tiên đặt nền móng cho việc nghiên cứu cấu trúc vành. Năm 1928, ông đã chuyển định lý cấu trúc của Wedderburn đối với đại số hữu hạn chiều trên một trường đã cho với điều kiện các đại số này không chứa iđêan lũy linh khác không, sang vành thuần 4 túy. Để đạt được kết quả này, Artin đã rất sáng tạo bằng cách thay thế điều kiện hữu hạn chiều bởi điều kiện tối tiểu đối với iđêan một phía. Qua đó cũng đồng thời giải phóng được sự phụ thuộc của vành vào một trường đã cho. Đây là một trong những định lý cấu trúc hoàn chỉnh trong đại số nói chung và trong lý thuyết vành nói riêng. Có thể nói, định lý này đã mở đầu cho sự phát triển của lý thuyết vành một cách có hệ thống. Để ghi nhận công lao của Artin, người ta gọi kết quả này là định lý cấu trúc Wedderburn - Artin và gọi vành thỏa mãn điều kiện tối tiểu cho các iđêan một phía là vành Artin (phía đó). Khi vành Artin không chứa iđêan lũy linh khác không thì được gọi là vành Artin nửa đơn. Định lý Wedderburn - Artin phát biểu rằng: Một vành R là Artin nửa đơn khi và chỉ khi R là tổng trực tiếp hữu hạn một số vành các ma trận cấp hữu hạn trên các thể. Như vậy, theo định lý này, vành Artin nửa đơn đã được mô tả một cách triệt để qua một số hữu hạn các thể và hữu hạn các số nguyên dương (đó là hạng các ma trận). Nói rõ hơn, với hữu hạn các số nguyên dương n i và hữu hạn các thể S i , i = 1, 2 k, đặt M n i (S i ) là vành các ma trận cấp n i trên thể S i và lập tổng trực tiếp vành: (1) R = M n 1 (S 1 )⊕M n 2 (S 2 )⊕ ⊕M n k (S k ) thì R là vành Artin nửa đơn. Ngượ c lai, nếu S là vành Artin nửa đơn, Artin đã chứng minh được rằng S đẳng cấu với vành R có dạng (1). Định lý Wedderburn - Artin cho ta biết thêm rằng, điều kiện (1) tương đương với một trong những điều kiện sau đây: (2) R là tổng trực tiếp của các iđêan phải tối tiểu; (3) R là tổng trực tiếp của các iđêan trái tối tiểu; (4) Mọi R-môđun phải là nội xạ; (5) Mọi R-môđun trái là nội xạ; (6) Mọi R-môđun trái là xạ ảnh; (7) Mọi R-môđun phải là xạ ảnh. 5 Như vậy, cấu trúc của vành Artin nửa đơn đã được đặc trưng bởi những điều kiện bên trong thông qua các iđêan và điều kiện bên ngoài thông qua các môđun. Điều này dẫn đến hai hướng nghiên cứu chính trong lý thuyết vành. Hướng thứ nhất: Nghiên cứu cấu trúc của vành thông qua các điều kiện nội tại (các iđêan một phía). Hướng thứ hai: Đặc trưng vành bằng các điều kiện bên ngoài (các môđun trên chúng). Gọi J là tổng các iđêan lũy linh của vành Artin R bất kỳ, khi đó vành thương R/J là một vành Artin nửa đơn. Từ đồng cấu tự nhiên R → R/J, người ta tìm được nhiều tính chất của R, đặc biệt là cấu trúc b ên trong của R đã được suy ra từ cấu trúc của R/J. Thí dụ, trong R/J mọi iđêan là hạng tử trực tiếp, vậy trong R iđêan nào là hạng tử trực tiếp? Đây là ý tưởng chủ yếu của hướng nghiên cứu thứ nhất. Những kết quả chính về hướng nghiên cứu này của vành Artin cho đến cuối những năm 1980 gồm: Định lý cấu trúc nhóm cộng đối với vành Artin của Fuchs- Szele, định lý tách đối với vành Artin của Szasz, định lý cấu trúc vành Artin với căn Jacobson của Kertesz- Widiger, định lý tách đối với MHR vành của Đinh Văn Huỳnh, định lý phân tích tổng quát đối với vành Artin hai phía của Đinh Văn Huỳnh và nhiều kết quả khác đối với vành compắc tuyến tính, một dạng tổng quát hóa vành Artin của Leptin (1955-1957). Một lớp con rất quan trọng và có nhiều tính chất đẹp đẽ của lớp vành Artin đó là lớp vành tựa Frobenius (gọi tắt là QF vành). Lớp vành này đã được Nakayama định nghĩa năm 1939 dựa trên đế và lũy đẳng nguyên thủy của vành Artin. Đối ngẫu với vành Artin là vành Noether, tức là vành thỏa mãn điều kiện tối đại cho các iđêan một phía, điều này tương đương với sự hữu hạn sinh của mỗi iđêan phía đó. Hướng nghiên cứu thứ hai bắt đầu với những kết quả cơ bản của 6 Matlis, Papp, Kushan về đặc trưng vành Artin và Noether qua các điều kiện nội xạ cụ thể của môđun trên chúng. Faith - Walker đã đặc trưng QF vành bằng sự liên quan của tính nội xạ và xạ ảnh: Vành R là QF khi và chỉ khi mọi R- môđun phải (trái) nội xạ là xạ ảnh, khi và chỉ khi mọi R -môđun phải (trái) xạ ảnh là nội xạ. Các điều kiện này thực sự yếu hơn các điều kiện (4), (5), (6) và (7) đã nêu trên. Ngoài ra, nhiều tác giả khác cũng đã tiếp cận nghiên cứu các khía cạnh khác nhau của QF vành. Các tác giả này bao gồm: Utumi, Osofsky, Harada, Oshiro, Armendariz, Đinh Văn Huỳnh, John Clark, N. V. Dung, Wisbauer, Nicholson, Yousif, Đặc biệt, các nghiên cứu của Đinh Văn Huỳnh trong những năm 1992-1995 đã làm cho người ta chú ý trở lại việc nghiên cứu QF vành. Đó là các kết quả nghiên cứu sử dụng các kỹ thuật mới như: đế bậc 2, điều kiện ACC đối với iđêan cốt yếu một phía, thay tính nội xạ bởi điều kiện yếu hơn. Trong lý thuyết QF vành có nhiều giả thuyết liên quan, tuy nhiên trong phạm vi nghiên cứu của mình, chúng tôi dành sự quan tâm đặc biệt cho giả thuyết Faith (Faith’s Conjecture):" Vành nửa nguyên sơ và nội xạ một phía là QF ". Những nghiên cứu của chúng tôi trong luận án này là sự tiếp tục và phát triển hướng nghiên cứu thứ hai. 7.2. Cấu trúc luận án: Nội dung của luận án được trình bày trong 4 chương. Trong chương 1, chúng tôi trình bày các khái niệm, định nghĩa. Đồng thời ở đây chúng tôi cũng liệt kê một số kết quả đã biết để tiện sử dụng cho các chứng minh sau này. Như chúng ta đã biết, điều kiện CS là một điều kiện nhẹ hơn tính nội xạ. Vì vậy, khi thay điều kiện "nội xạ" tr ong (4) bởi điều kiện "CS" chúng ta được một lớp vành rộng hơn lớp vành Artin nửa đơn. Lớp vành này được gọi là lớp vành CS-nửa đơn và cấu trúc của chúng đã được mô tả trong các công trình của Dung - Smith, Vanaja. Nội 7 dung của chương 2 giới thiệu các kết quả nghiên cứu đã đạt được về mô tả cấu trúc của lớp vành này. Trong Định lý 2.2.3, chúng tôi đã thiết lập một đặc trưng mới cho vành CS-nửa đơn thông qua các môđun hữu hạn sinh trên chúng. Trong chương 3, chúng tôi tập trung nghiên cứu đặc trưng của lớp QF vành. Một đặc trưng mới của lớp vành này thông qua tính chất CS của lớp vành nửa hoàn chỉnh, vành hoàn chỉnh và vành nguyên sơ đã được chúng tôi đưa ra trong Định lý 3.2.1, Định lý 3.2.2, Hệ quả 3.2.4 và Hệ quả 3.2.5. Như đã nói ở trên, giả thuyết Fai th nói rằng vành nửa nguyên sơ nội xạ một phía là QF, chúng tôi hy vọng những kết quả của chương này có thể giúp làm rõ một khía cạnh nào đấy trong việc chứng minh hoặc phản chứng minh giả thuyết này. Nội dung chính của chương 4 là các kết quả đặc trưng tính Noether của lớp V-vành và lớp các vành đơn. Để giải quyết câu hỏi mở của P. F. Smith (1991), Đinh Văn Huỳnh và S. Tariq Rizvi đã đưa ra điều kiện (℘) của môđun. Trong chương này, chúng tôi giảm nhẹ điều kiện (℘) thành (℘  ) để đặc trưng tính Noether của V- vành (Định lý 4.2.4). Ngoài ra chúng tôi đặc trưng tính Noether của vành đơn thông qua tính chất CS của các môđun xiclic suy biến trong phạm trù σ[M] (Định lý 4.3.3). Từ kết quả của Định lý 4.3.3, chúng ta có điều kiện để vành đơn là Noether (Hệ quả 4.3.4), hoặc mạ nh hơn là SI (Định lý 4.4.2, Hệ quả 4.4.3). Các điều kiện này tương tự như trong các kết quả của Đinh Văn Huỳnh, S. K. Jain và S. R. López-Permouth nhưng được thiết lập một cách tổng quát hơn nhiều thông qua phạm trù σ(M). Có thể nói rằng, ý tưởng của luận án này được xuất phát từ các điều kiện tương đương của định lý Wedderburn - Artin. Các lớp vành mà chúng tôi đề cập tới trong chương 2, 3 và 4 đều được khởi nguồn từ lớp vành Artin nửa đơn do vậy chúng liên hệ với nhau. 8 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong suốt luận án này, nếu không nói gì thêm, vành R luôn được hiểu là vành kết hợp, có đơn vị 1 = 0 và mọi R-môđun được xét là môđun unita phải hoặc trái. Một môđun con N R của M R được gọi là cốt yếu hay môđun con lớn (essential or large) trong M R , kí hiệu N  − M , nếu N R ∩ K = 0 với mọi môđun con K = 0 của M. Môđun con N R của M R được gọi là môđun con bé (small or superfluous) trong M R , kí hiệu N  M , nếu với mọi môđun K ⊆ M sao cho K + N = M thì K = M. Đế phải của M R , kí hiệu Soc(M R ), là tổng các môđun con đơn của M R , là giao của tất cả các môđun con cốt yếu của M. Nếu M R không chứa một môđun con đơn nào thì Soc(M R ) = 0. Căn của M R , kí hiệu Rad(M R ), là giao của tất cả các môđun con tối đại của M R , là tổng của tất cả các môđun con bé của M R . Cho R-môđun M R , ta định nghĩa chuỗi đế phải (socle series or Loewy series) Soc α (M R ) của M R là chuỗi các môđun con của M R : Soc 1 (M R ) ⊆ ⊆ Soc α (M R ) ⊆ thỏa mãn các điều kiện: ∗ Soc 1 (M R ) = Soc(M R ) là đế thứ nhất của M R ; ∗ Soc α (M R ) là đế thứ α của M R như là một môđun con của M R chứa Soc α−1 (M R ) sao cho: Soc α (M R ) / Soc α−1 (M R ) = Soc  M / Soc α−1 (M R )  ∗ Nếu α là một chỉ số tới hạn thì ta đặt Soc α (M R ) = ∪ β<α Soc β (M R ). 9 CHƯƠNG 2 VÀNH CS - NỬA ĐƠN Xuất phát từ một trong những đặc trưng của vành Artin nửa đơn: Vành R là Artin nửa đơn khi và chỉ khi mọi R-môđun phải (trái) là nội xạ. Thay thế điều kiện nội xạ bởi một điều kiện yếu hơn, ví dụ điều kiện CS, chúng ta có lớp vành mở rộng thực sự của lớp vành Artin nửa đơn và được gọi là lớp vành CS-nửa đơn. Vành R được gọi là CS-nửa đơn (CS-semisimple) phải (trái) nếu mọi M R (t.ư, R M ) là CS môđun. Cấu trúc của vành CS-nửa đơn đã được nghiên cứu bởi các tác giả Nguyễn Việt Dũng, P. F. Smith và N. Vanaja. Các tác giả đã chứng minh được lớp vành này chính là lớp vành Artin hai phía với J 2 = 0, bao nội xạ trái (phải) là xạ ảnh. Đồng thời đã đặc trưng được cấu trúc của nó thông qua các môđun (hoặc môđun xiclic) là tổng trực tiếp của một môđun nội xạ và một môđun nửa đơn, điều kiện trái và phải trong trường hợp này là đối xứng. Do đó, không sợ nhầm lẫn, chúng ta gọi lớp vành này là vành CS-nửa đơn. Năm 1996, Đinh Văn Huỳnh, S. T. Rizvi và M. F. Yousif đã đưa ra đặc tr ưng của lớp vành này thông qua tính chất CS của các môđun đếm được sinh. Tiếp theo, năm 2000, Đinh Văn Huỳnh và S. Tariq Rizvi đã đặc trưng lớp vành này bằng cách thay thế điều kiện CS bởi tổng trực tiếp của một môđun xạ ảnh và một môđun nửa đơn. Như một sự nghiên cứu tiếp nối các kết quả đó, trong chương này chúng tôi đưa ra một đặc trưng mới của lớp vành CS - nửa đơn thông qua tính tựa 10 liên tục của môđun hữu hạn sinh (Định lý 2.2.3, Hệ quả 2.2.5). Các kết quả chính của chương này đã được công bố trong bài báo số 1 (Section 3). 2.1 Một số bổ đề cần thiết Mục này giới thiệu các kết qủa đã biết có liên quan đến các chứng minh ở mục 2. 2. 2.2 Đặc trưng vành CS - nửa đơn 2.2.1 Định lý. (Huynh - Rizvi - Yousif) Vành R là CS-nửa đơn khi và chỉ khi mọi R-môđun phải (trái) đếm được sinh là CS. Tiếp theo hướng nghiên cứu này, Đinh Văn Huỳnh và S. T. Rizvi đã thay thế điều kiện CS bằng tổng trực tiếp của một môđun xạ ảnh và một môđun nửa đơn. Chúng ta có kết quả sau: 2.2.2 Mệnh đề. (Huynh - Rizvi) Các điều kiện sau tương đương trên vành R: (i) R là CS-nửa đơn; (ii) Mọi R-môđun phải là tổng trực tiếp của một môđun xạ ảnh và một môđun nửa đơn; (iii) Mọi R-môđun phải đếm được sinh là tổng trực tiếp của một môđun xạ ảnh và một môđun nửa đơn. Như một sự nghiên cứu tiếp nối, chúng tôi đưa ra một đặc trưng mới của lớp vành này trong định lý sau. 2.2.3 Định lý. Nếu mọi R-môđun phải hữu hạn sinh là tổng trực tiếp của một môđun tựa liên tục và một môđun nửa đơn thì R là một tổng trực tiếp các iđêan phải đều R i có độ dài bé hơn hoặc bằng 2, trong đó các R i có độ dài bằng 2 là nội xạ. Để chứng minh định lý này chúng ta cần bổ đề sau. [...]... hoàn chỉnh trái và vành nguyên sơ (Hệ quả 3.2.4, Hệ quả 3.2.5) 16 CHƯƠNG 4 ĐIỀU KIỆN ĐỂ MỘT SỐ LỚP VÀNH TRỞ THÀNH NOETHER Trong đại số nói chung và lý thuyết vành nói riêng, cùng với lớp vành Artin, lớp vành Noether được xem như một trong những lớp vành cơ bản, được nghiên cứu một cách rộng rãi và sâu sắc Đặc trưng tính Noether của một vành nào đó luôn là một trong những đề tài rộng và hấp dẫn đối... CHƯƠNG 3 QF-VÀNH Vành R được gọi là tựa Frobenius (quasi-Frobenius), kí hiệu là QF- vành, nếu R là Artin phải và trái, tự nội xạ phải và trái Lớp QF- vành là một lớp con rất quan trọng của lớp vành Artin Lớp vành này đã được Nakayama định nghĩa năm 1939 dựa trên đế và lũy đẳng nguyên thủy của vành Artin Nhiều nhà toán học trên thế giới đã tập trung nghiên cứu để tìm ra các điều kiện đặc trưng lớp vành này,... Vậy một câu hỏi đặt ra là: Với điều kiện nào thì một vành CS là vành liên tục? Định lý sau là một trong những câu trả lời cho vấn đề này 3.2.2 Định lý Giả sử R là một vành hoàn chỉnh trái sao cho R/J(R) là một vành đơn Khi đó R là vành liên tục phải nếu và chỉ nếu R là CS vành phải Từ định lý trên ta có một số hệ quả sau: 15 3.2.3 Hệ quả Giả sử R là một vành hoàn chỉnh trái sao cho R/J(R) đơn và u-dim(RR... cấu trúc vành Trong phạm vi nghiên cứu của mình, chúng tôi quan tâm đến việc đặc trưng tính Noether cho lớp vành đơn và lớp V -vành Từ đó, chúng tôi tìm cách thiết lập điều kiện cho lớp vành đơn là SI Để trả lời một câu hỏi mở về vành Noether, Đinh Văn Huỳnh và S Tariq Rizvi đã thiết lập một điều kiện kí hiệu là (℘): " Vành R được gọi là thỏa mãn điều kiện (℘) nếu mọi R-môđun phải xiclic là một tổng... phá Giả thuyết Faith: "Vành nửa nguyên sơ và nội xạ một phía là QF", một giả thuyết khá nổi tiếng trong lý thuyết QF - vành Đinh Văn Huỳnh là một trong những tác giả đã có nhiều kết quả nghiên cứu sâu sắc về đặc trưng QF vành thông qua lớp CS và (1 − C1) môđun Năm 1995, Đinh Văn Huỳnh đã chứng minh được một đặc trưng mới của lớp vành này thông qua tính chất đếm được Σ-CS của lớp vành nửa hoàn chỉnh Năm... ra được đặc trưng mới của lớp QF -vành thông qua tính chất đếm được Σ(1 − C1) của lớp vành liên tục có chiều Goldie hữu hạn (Định lý 3.2.1) 2 Đưa ra điều kiện mới để một vành CS phải là liên tục phải (Định lý 3.2.2) Từ đó thiết lập được điều kiện để một vành CS phải là tự nội xạ phải (Hệ quả 3.2.3) Đặc biệt, chúng ta có các đặc trưng mới của QF -vành thông qua tính chất CS, (1 − C1) của lớp vành hoàn... R các số hữu tỷ và các số thực Khi đó ta có R là vành thỏa mãn điều kiện mọi R-môđun phải xiclic đều phân tích được thành tổng trực tiếp của một môđun tựa liên tục và một môđun nửa đơn nhưng R chỉ là vành Artin phải, do đó nó không là vành CS- nửa đơn 2.2.7 Ví dụ Xét R = 2.3 Kết luận Chương 2 Trong chương này, chúng tôi đã đưa ra được một số kết quả sau: Một tiêu chuẩn mới của vành Artin qua lớp các... đó là vành đơn Chú ý rằng, T Y Lam đã chỉ ra ví dụ chứng tỏ tồn tại vành đơn nhưng không là Noether phải Mục đích thứ hai của chương này là thiết lập điều kiện để một vành đơn là Noether, từ đó thu được một đặc trưng của lớp SI -vành đơn Các kết quả chính ở chương này đã được công bố trong các bài báo 2 và 3 4.1 Một số bổ đề cần thiết Trước hết, chúng tôi nhắc lại một số định nghĩa, khái niệm và các... đơn và suy biến là nội xạ 4.2.4 Định lý Cho R là một GV - vành phải Nếu mọi R-môđun phải xiclic thực sự thỏa mãn điều kiện (℘ ), thì R là vành Noether phải 4.2.5 Hệ quả Cho R là V -vành phải Nếu mọi R-môđun phải xiclic thực sự đều thỏa mãn điều kiện (℘ ) thì R là tổng trực tiếp của một vành Artin nửa đơn và hữu hạn các V -vành Noether phải đơn có đế bằng không 4.3 Điều kiện để một vành đơn là Noether. .. Huỳnh và Ngô Sỹ Tùng đã mở rộng kết quả này bằng việc thay thế điều kiện đếm được Σ − CS bởi một điều kiện yếu hơn thực sự đó là điều kiện đếm được Σ(1 − C1) Như một sự nghiên cứu tiếp nối, trong chương này, chúng tôi sẽ chứng minh một số kết quả mới của các lớp vành QF thông qua các điều kiện CS và đặc trưng của nó cho các lớp vành hoàn chỉnh, nửa hoàn chỉnh là các lớp vành mở rộng thực sự của lớp vành . cứu Mục đích chính của luận án đó là: 1. Đặc trưng một số lớp vành Artin (CS- nửa đơn, QF- vành) thông qua lớp các môđun trên chúng. 2. Đặc trưng tính Noether của lớp các V- vành và vành đơn, từ đó thu. - Artin và các điều kiện tương đương, các lớp vành: CS- nửa đơn, QF- vành, V- vành và SI- vành đã xuất hiện và thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học. 1.2. Lớp vành CS-nửa đơn là một lớp vành. à đã xuất hiện nhiều lớp vành cơ bản như: vành Artin, vành Noether, vành Goldie, vành Frobenius, vành tựa Frobenius (QF - vành) , vành hoàn chỉnh, v.v Emil Artin là người đầu tiên đặt nền móng cho