Về môđun cohen macaulay suy rộng chính tắc và một số quỹ tích không cohen macaulay trên vành noether địa phương tt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN LƯU PHƯƠNG THẢO VỀ MƠĐUN COHEN-MACAULAY SUY RỘNG CHÍNH TẮC VÀ MỘT SỐ QUỸ TÍCH KHƠNG COHEN-MACAULAY TRÊN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƯƠNG TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN LƯU PHƯƠNG THẢO VỀ MÔĐUN COHEN-MACAULAY SUY RỘNG CHÍNH TẮC VÀ MỘT SỐ QUỸ TÍCH KHƠNG COHEN-MACAULAY TRÊN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƯƠNG Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 46 01 04 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: GS TS Lê Thị Thanh Nhàn TS Trần Nguyên An THÁI NGUYÊN - 2019 Mở đầu Cho (R, m) vành giao hoán Noether địa phương với m iđêan cực đại nhất, M R-mơđun hữu hạn sinh có chiều Krull dim M = d Ta ln có mối liên hệ hai bất biến độ sâu chiều M cho công thức depth M ≤ dim M Nếu depth M = dim M M gọi mơđun Cohen-Macaulay Khi R R-mơđun Cohen-Macaulay, ta nói R vành Cohen-Macaulay Lớp mơđun Cohen-Macaulay mở rộng chúng thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học giới Cấu trúc lớp môđun đặc trưng qua hầu hết lý thuyết quen biết Đại số giao hoán (số bội, đối đồng điều địa phương, địa phương hóa, đầy đủ hóa, ) Các mơđun xuất nhiều lĩnh vực khác Toán học Đại số đồng điều, Lý thuyết bất biến, Tổ hợp Hình học đại số Luận án liên quan đến hai hướng mở rộng lớp môđun Cohen-Macaulay sau Mở rộng thứ dựa theo hiệu số I(x; M ) độ dài (M/xM ) số bội e(x; M ) với x hệ tham số M Chú ý M Cohen-Macaulay I(x; M ) = với (hoặc với mọi) hệ tham số x Từ đó, giả thuyết đặt D A Buchsbaum năm 1965 sau: I(x; M ) := (M/xM ) − e(x; M ) số không phụ thuộc vào hệ tham số x M Câu trả lời phủ định cho giả thuyết W Vogel J Stă uckrad a nm 1973, v h ó nghiờn cứu lớp vành môđun thỏa mãn điều kiện giả thuyết, gọi vành môđun Buchsbaum Năm 1978, N T Cường, P Schenzel N V Trung giới thiệu mở rộng lớp môđun Buchsbaum, lớp mơđun M thỏa mãn điều kiện sup I(x; M ) < ∞, cận lấy theo hệ tham số x M , họ gọi chúng môđun Cohen-Macaulay suy rộng Ngày nay, khái niệm môđun Buchsbaum môđun Cohen-Macaulay suy rộng trở nên quen biết Đại số giao hoán Tiếp tục mở rộng theo hướng này, ta lớp môđun Cohen-Macaulay theo chiều > s, với s ≥ −1 số ngun Ta nói M mơđun Cohen-Macaulay theo chiều > s hệ tham số M M -dãy quy theo chiều > s Chú ý M Cohen-Macaulay Cohen-Macaulay theo chiều > −1 Khi R thương vành Cohen-Macaulay, M Cohen-Macaulay suy rộng M Cohen-Macaulay theo chiều > Hướng mở rộng thứ hai lớp môđun Cohen-Macaulay dựa vào cấu trúc mơđun tắc, trường hợp R ảnh đồng cấu vành i := Gorenstein địa phương (R , m ) chiều n Với số nguyên i ≥ 0, đặt KM i R-môđun hữu hạn sinh gọi mơđun ExtnR −i (M, R ) Khi KM d gọi môđun khuyết thứ i M Đặc biệt, với i = d ta ký hiệu KM := KM tắc M Khi KM Cohen-Macaulay, ta nói M Cohen-Macaulay tắc Chú ý M mơđun Cohen-Macaulay KM mơđun Cohen-Macaulay Vì thế, lớp mơđun Cohen-Macaulay tắc mở rộng lớp môđun Cohen-Macaulay Khái niệm vành mơđun Cohen-Macaulay tắc xuất phát từ tốn sau: Giả sử (R, m) miền nguyên, địa phương Ký hiệu Q(R) trường thương R Câu hỏi tự nhiên đặt tồn hay không vành trung gian R ⊆ B ⊆ Q(R) cho B R-môđun hữu hạn sinh B vành Cohen-Macaulay? Vành B (nếu tồn tại) gọi Macaulay hóa song hữu tỷ R Đây toán quan trọng Đại số giao hoán Năm 2004, P Schenzel chứng minh miền nguyên Noether địa phương R có Macaulay hóa song hữu tỷ R vành Cohen-Macaulay tắc Năm 2006, L T Nhàn đưa đặc trưng mơđun Cohen-Macaulay tắc thơng qua tính triệt tiêu độ dài thặng dư mơđun đối đồng điều địa phương ứng với hệ tham số f-dãy chặt giới thiệu N T Cường, M Morales, L T Nhàn Tiếp theo, năm 2012, M Brodmann L T Nhàn với điều kiện d ≥ x phần tử tham số f-chặt, M Cohen-Macaulay tắc M/xM Cohen-Macaulay tắc Một cách tự nhiên, N T H Loan L T Nhàn giới thiệu lớp mơđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc, lớp môđun M cho KM Cohen-Macaulay suy rộng Họ đặc trưng lớp môđun thông qua tồn chặn cho độ dài thặng dư môđun đối đồng điều địa phương ứng với hệ tham số f-dãy chặt Chú ý M Cohen-Macaulay suy rộng, M Cohen-Macaulay suy rộng tắc Luận án nghiên cứu lớp mơđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc số quỹ tích khơng Cohen-Macaulay vành Noether địa phương Mục đích thứ luận án đặc trưng cấu trúc lớp mơđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc R thương vành Gorenstein địa phương Mục đích thứ hai làm rõ mối quan hệ quỹ tích khơng Cohen-Macaulay mơđun tắc KM quỹ tích khơng Cohen-Macaulay M Mục đích thứ ba nghiên cứu tập iđêan nguyên tố gắn kết, chiều số bội môđun đối đồng điều địa phương Artin tác động chuyển phẳng Rp → RP , P ∈ Spec(R), p = P ∩ R R tùy ý không thiết thương vành Gorenstein, từ đưa cơng thức tính chiều quỹ tích khơng CohenMacaulay theo chiều > s Về phương pháp nghiên cứu, để đặc trưng lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc, chúng tơi khai thác tính chất đặc thù mơđun đối đồng điều địa phương Artin sử dụng linh hoạt hệ tham số f-dãy chặt Về mối quan hệ hai quỹ tích khơng Cohen-Macaulay nCM(KM ) nCM(M ), cần đến Định lý cấu trúc vành Buchsbaum S Goto, Định lý cấu trúc mơđun tắc qua chuyển phẳng chứng minh Y Aoyama, S Goto công thức chiều môđun khuyết tác động mở rộng chuỗi lũy thừa hình thức Để nghiên cứu môđun đối đồng điều địa phương tác động chuyển phẳng Rp → RP , áp dụng hữu hiệu tính chất chuyển dịch qua địa phương hóa đầy đủ hóa L T Nhàn, P H Quý năm 2014 công thức số bội liên kết cho môđun đối đồng điều địa phương đưa M Brodmann R Y Sharp năm 2002 Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận án chia làm chương Chương nhắc lại số kiến thức sở phục vụ cho chương sau, bao gồm đặc trưng môđun Cohen-Macaulay môđun Cohen-Macaulay suy rộng; tập iđêan nguyên tố gắn kết, chiều bội môđun Artin; môđun tắc mơđun khuyết Trong Chương 2, chúng tơi giới thiệu khái niệm hệ tham số tắc, thiết lập mối quan hệ hệ tham số tắc hệ tham số chuẩn tắc Chúng đưa đặc trưng mơđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc thơng qua hệ tham số tắc cải tiến kết trước cấu trúc môđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc 4 Trong Chương 3, chúng tơi đưa mối liên hệ chiều quỹ tích khơng Cohen-Macaulay mơđun M chiều quỹ tích khơng CohenMacaulay mơđun tắc KM Đặc biệt hơn, chúng tơi rằng, ngồi mối quan hệ bao hàm nCM(KM ) ⊆ nCM(M ) hai quỹ tích độc lập với Trong Chương 4, làm rõ thay đổi tập iđêan nguyên tố gắn kết, chiều số bội môđun đối đồng điều địa phương Artin qua chuyển phẳng Rp → RP , P ∈ Spec(R) p = P ∩ R Sử dụng kết này, chúng tơi đưa cơng thức tính chiều quỹ tích khơng Cohen-Macaulay theo chiều > s 5 Chương Kiến thức chuẩn bị Chương dành để chuẩn bị kiến thức sở cần thiết nhằm phục vụ cho việc chứng minh kết chương sau Chương bao gồm mục: 1.1 Môđun Cohen-Macaulay Cohen-Macaulay suy rộng Trong mục nhắc lại số tính chất đặc trưng quen thuộc môđun Cohen-Macaulay môđun Cohen-Macaulay suy rộng 1.2 Mơđun Artin Chúng tơi trình bày tập iđêan ngun tố gắn kết, chiều số bội môđun Artin 1.3 Mơđun tắc mơđun khuyết Chúng tơi nhắc lại khái niệm số tính chất mơđun tắc mơđun khuyết sử dụng phần sau 6 Chương Mơđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc Trong tồn chương này, ta ln xét (R, m) vành giao hoán Noether địa phương thương vành Gorenstein địa phương Cho M R-môđun hữu hạn sinh chiều d Theo P Schenzel, M gọi mơđun Cohen-Macaulay tắc mơđun tắc KM M Cohen-Macaulay Một cách tự nhiên, N T H Loan L T Nhàn giới thiệu lớp mơđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc, lớp môđun M cho KM Cohen-Macaulay suy rộng Một đặc trưng quen thuộc tính Cohen-Macaulay M đặc trưng qua tính triệt tiêu hiệu số I(x; M ) độ dài số bội với (mọi) hệ tham số x M Năm 2012, M Brodmann L T Nhàn đưa phiên tương tự cho mơđun CohenMacaulay tắc sau: M Cohen-Macaulay tắc Rl Hm2 (M/(x1 , , xd−3 )M ) = với (mọi) hệ tham số (x1 , , xd ) M đồng thời f-dãy chặt Ở Rl(A) độ dài thặng dư R-môđun Artin A định nghĩa R Y Sharp M Hamieh năm 1985 khái niệm f-dãy chặt giới thiệu N T Cường, M Morales L T Nhàn năm 2004 Mục đích Chương thiết lập phiên cho môđun CohenMacaulay suy rộng tắc tương tự đặc trưng tham số quen thuộc môđun Cohen-Macaulay suy rộng đưa N T Cường, P Schenzel, N V Trung (1978) N V Trung (1986), hiệu số I(x; M ) thay độ dài thặng dư Rl Hm2 (M/(x1 , , xd−3 )M ) hệ tham số chuẩn tắc thay hệ tham số tắc giới thiệu sau 7 2.1 Hệ tham số tắc Trước hết, chúng tơi nhắc lại khái niệm số tính chất f-dãy chặt sử dụng chứng minh phần sau Định nghĩa 2.1.2 Một dãy phần tử (x1 , , xt ) m gọi f-dãy chặt M xj+1 ∈ / p với iđêan nguyên tố d−j Att(Hmi (M/(x1 , , xj )M )) \ {m}, p∈ i=1 với j = 0, , t − Một f-dãy chặt (x1 , , xt ) M gọi hốn vị hốn vị f-dãy chặt M Bổ đề 2.1.3 (a) Một dãy (x1 , , xt ) phần tử m f-dãy chặt i M dãy lọc quy KM với số nguyên i ≥ (b) Nếu (x1 , , xt ) f-dãy chặt M (xn1 , , xnt t ) f-dãy chặt M, với số nguyên dương n1 , , nt (c) Với số nguyên t > 0, tồn f-dãy chặt hoán vị M độ dài t Đặc biệt, f-dãy chặt M độ dài d hệ tham số M Cho A R-môđun Artin Theo R Y Sharp M A Hamieh, số dừng A, ký hiệu s(A), số nguyên dương s nhỏ cho mn A = ms A với n ≥ s Đặt Rl(A) := s(A) A) R (A/m Rl(A) hữu hạn gọi độ dài thặng dư A Nhận xét 2.1.4 (i) Rl(A) = m ∈ / AttR A (ii) Nếu x ∈ / p với p ∈ AttR A \ {m}, hợp n R (A/x A) (iii) Nếu R (A) R (A/xA) ≤ Rl(A) trường = Rl(A) với n ≥ s(A) < ∞, Rl(A) = R (A) Bổ đề sau cho ta tính chất f-dãy chặt liên quan đến độ dài thặng dư môđun khuyết Bổ đề 2.1.6 Cho x ∈ m phần tử f-chặt M Các phát biểu sau (a) Với số nguyên i ≥ 0, tồn số nguyên n0 cho với n ≥ n0 ta có Rl(Hmi (M )) = i R (Hm (KM )) = i R (0 :KM xn ) (b) Với số nguyên i ≥ 1, tồn dãy khớp i+1 i+1 i → KM /xKM → KM/xM → (0 :KMi x) → Đặc biệt, Hmi KM /xKM ∼ = Hmi KM/xM với i ≥ Tiếp theo, giới thiệu khái niệm hệ tham số tắc sau Định nghĩa 2.1.9 Một f-dãy chặt x = (x1 , , xd ) gọi hệ tham số tắc M Rl Hm2 (M/(x1 , , xd−3 )M ) = Rl Hm2 (M/(x21 , , x2d−3 )M ) Nếu x đồng thời vừa f-dãy chặt hoán vị vừa hệ tham số tắc M , x gọi hệ tham số tắc hốn vị M Chúng tơi mối quan hệ hệ tham số chuẩn tắc hệ tham số tắc M Mệnh đề 2.1.10 Nếu (x1 , , xd ) hệ tham số chuẩn tắc M hệ tham số tắc M Chú ý chiều ngược lại Mệnh đề 2.1.10 không 2.2 Mơđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc Năm 2013, N T H Loan L T Nhàn giới thiệu khái niệm mơđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc, đồng thời đặc trưng lớp môđun thông qua tồn chặn cho độ dài thặng dư môđun đối đồng điều địa phương ứng với hệ tham số f-dãy chặt sau Định nghĩa 2.2.1 M gọi môđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc mơđun tắc KM M Cohen-Macaulay suy rộng Bổ đề 2.2.3 Các phát biểu sau tương đương: (a) M môđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc; (b) Tồn số c(M ) cho Rl Hmd−k−1 (M/(x1 , , xk )M ) ≤ c(M ) với f-dãy chặt x = (x1 , , xd ) M k = 1, , d − 3; (c) Tồn hệ tham số f-dãy chặt x = (x1 , , xd ) M số c(x, M ) cho Rl Hmd−k−1 (M/(xn1 , , xnk k )M ) ≤ c(x, M ) với k = 1, , d− số nguyên dương n1 , , nd−3 Hơn nữa, điều kiện (a), (b), (c) thỏa mãn, k Rl Hmd−k−1 (M/(x1 , , xk )M ) k i ≤ i=0 (Hmi+2 (KM )) với k = 1, , d − Dấu xảy x1 , , xk ∈ m2 k−1 q , q = min{t ∈ N | mt Hmi (KM ) = với i < d} Định lý sau kết Chương kết luận án, chúng tơi đưa số đặc trưng mơđun CohenMacaulay suy rộng tắc qua hệ tham số f-dãy chặt, đặc biệt đặc trưng qua hệ tham số tắc Đây xem cải tiến thực cho kết trước N T H Loan L T Nhàn (Bổ đề 2.2.3), đồng thời phiên cho mơđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc tương tự đặc trưng biết môđun Cohen-Macaulay suy rộng Định lý 2.2.4 Các phát biểu sau tương đương: (a) M mơđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc; (b) Tồn số nguyên cM cho Rl Hm2 (M/(x1 , , xd−3 )M ) ≤ cM với f-dãy chặt (x1 , , xd ) M ; (c) Tồn f-dãy chặt (x1 , , xd ) M cho sup n1 , ,nd−3 ∈N n d−3 Rl Hm2 (M/(xn1 , , xd−3 )M ) < ∞; 10 (d) Tồn hệ tham số tắc hốn vị M Hơn nữa, (x1 , , xd ) hệ tham số tắc hốn vị M d−3 Hm2 (M/(x1 , , xd−3 )M ) Rl = i=0 d−3 i (Hmi+2 (KM )) Để chứng minh Định lý 2.2.4, ta cần số bổ đề sau Bổ đề 2.2.5 Giả sử d ≥ x ∈ m phần tử f-chặt M Khi (K ) R (0 :Hm M x) < ∞ Rl(Hmd−2 (M/xM )) = 2 R (Hm (KM )/xHm (KM )) + (K ) R (0 :Hm M x) Kết sau tính chất tăng hàm độ dài thặng dư đóng vai trò quan trọng chứng minh Định lý 2.2.4 Bổ đề 2.2.6 Cho d ≥ giả sử (x1 , , xd ) f-dãy chặt hoán vị M Khi mk Rl(Hmd−k−1 (M/(xn1 , , xnk k )M )) ≤ Rl Hmd−k−1 (M/(xm , , xk )M ) với số nguyên ≤ k ≤ d − số nguyên dương ni ≤ mi với i = 1, , k Cho A R-môđun Artin Đặt dimR A = t Một hệ (x1 , , xt ) phần tử m gọi hệ tham số A độ dài R (0 :A (x1 , , xt )) < ∞ Tính chất sau mơđun Artin sử dụng chứng minh số kết tiết Bổ đề 2.2.7 Cho A R-môđun Artin Nếu dimR A > x phần tử tham số A, với số nguyên dương n ta có (0 :A xn ) = (0 :A xn+1 ) Hệ sau dùng bước quy nạp chứng minh Định lý 2.2.4 Hệ 2.2.8 Cho d ≥ giả sử x ∈ m phần tử f-chặt M 11 cho Rl Hmd−2 (M/xM ) = Rl Hmd−2 (M/x2 M ) Khi R (Hm (KM )) < ∞, xHmi (KM ) = với i ≤ 3, Rl(Hmd−2 (M/xM )) = Rl(Hmd−2 (M/xn M )) = R (Hm (KM )) + R (Hm (KM )) với n > Đặc biệt, d = 4, M Cohen-Macaulay suy rộng tắc Đặc biệt, bổ đề bước quan trọng chứng minh Định lý 2.2.4 Bổ đề 2.2.9 Cho d ≥ Giả sử x = (x1 , , xk ) f-dãy chặt M , ≤ k ≤ d − số nguyên Khi đó, tồn số nguyên m(x) cho m(x) Rl Hmd−k (M/(x1 , , xk−1 )M ) ≤ Rl Hmd−k−1 (M/(x1 , , xk−1 , xk )M ) 12 Chương Quỹ tích khơng Cohen-Macaulay mơđun tắc Quỹ tích khơng Cohen-Macaulay M , ký hiệu nCM(M ), tập hợp tất iđêan nguyên tố p R cho Mp không Cohen-Macaulay Nhìn chung, nCM(M ) khơng tập đóng Spec(R) với tôpô Zariski Tuy nhiên, nCM(M ) đóng R thương vành Gorenstein địa phương Khi nCM(M ) tập đóng, ta định nghĩa chiều dim nCM(M ) Nếu M Cohen-Macaulay, nCM(M ) = ∅, trường hợp quy ước dim nCM(M ) = −1 Trong tồn Chương 3, ln giả thiết (R, m) vành Noether địa phương thương vành Gorenstein địa phương, M R-môđun hữu hạn sinh có chiều dim M = d Mục tiêu chương nghiên cứu chiều quỹ tích khơng Cohen-Macaulay mơđun M , chiều quỹ tích khơng Cohen-Macaulay mơđun tắc KM mối liên hệ chúng 3.1 Một số tính chất qua chuyển phẳng Mệnh đề sau sử dụng chứng minh kết Chương 3, chúng tơi tính chất chiều mơđun đối đồng điều địa phương chiều quỹ tích khơng Cohen-Macaulay môđun tác động mở rộng phẳng Mệnh đề 3.1.4 Cho f : (R, m) → (S, n) đồng cấu phẳng địa phương vành Noether địa phương thỏa mãn S/mS vành Cohen-Macaulay 13 chiều t Nếu M khơng Cohen-Macaulay max dimS Hni (M ⊗R S) = dim(S/mS) + max dimR Hmi (M ) i h0 , , hn−1 ≥ số nguyên Khi đó, tồn vành Buchsbaum địa phương (R, m) thỏa mãn dim R = n, dimR/m Hmi (R) = hi với ≤ i ≤ n − Hơn nữa, h0 = R miền ngun Một cơng cụ quan trọng cần dùng đến khái niệm vành iđêan hóa giới thiệu M Nagata Tích Đềcác R × M với hai phép tốn cộng nhân xác định bởi: (r1 , m1 ) + (r2 , m2 ) = (r1 + r2 , m1 + m2 ); (r1 , m1 )(r2 , m2 ) = (r1 r2 , r1 m2 + r2 m1 ) vành Vành gọi iđêan hóa M R, ký hiệu R M Chú ý R M vành giao hoán địa phương Noether với đơn vị (1, 0) Iđêan cực đại R M m × M Do KR , KM , KR đẳng chiều nên ta có bổ đề sau Bổ đề 3.2.3 Các phát biểu sau (a) Nếu dim M < dim R dim nCM(KR M) = dim nCM(KR ) (b) Nếu dim M = dim R dim nCM(KR M) = max{dim nCM(KR ), dim nCM(KM )} M 15 Chương Đối đồng điều địa phương qua chuyển phẳng quỹ tích khơng Cohen-Macaulay theo chiều > s Cho ϕ : (S, n) → (S , n ) đồng cấu phẳng địa phương vành Noether địa phương Với S-môđun hữu hạn sinh L, ta có mối quan hệ tập iđêan nguyên tố liên kết S -môđun L ⊗S S S-môđun L sau AssS (L ⊗S S ) = Ass(S /sS ); (4.1) s∈AssS L −1 AssS L = {ϕ (S) | S ∈ AssS (L ⊗S S )} (4.2) Ngoài ra, biết tập iđêan nguyên tố liên kết môđun hữu hạn sinh, ta xác định chiều tính số bội thơng qua cơng thức bội liên kết Mặt khác, với i ≥ số nguyên r = dim(S /nS ), môđun đối đồng điều địa phương Hni+r (L ⊗S S ) S -môđun Artin Hni (L) S-môđun Artin Hơn nữa, tập iđêan nguyên tố gắn kết định nghĩa I G Macdonald cho mơđun Artin đóng vai trò quan trọng tương tự tập iđêan nguyên tố liên kết mơđun hữu hạn sinh Vì thế, câu hỏi tự nhiên tập iđêan nguyên tố gắn kết Hni (L) Hni+r (L ⊗S S ) có quan hệ với nào? Chiều số bội Hni+r (L ⊗S S ) xác định thơng qua chiều số bội Hni (L) hay không? Mục tiêu thứ Chương trả lời câu hỏi trường hợp ϕ : Rp → RP đồng cấu cảm sinh từ đồng cấu tự nhiên R → R, P ∈ Spec(R), p = P ∩ R rP = dim(RP /pRP ) Cụ thể xây dựng hai công thức liên hệ i+r i tập iđêan nguyên tố gắn kết HpR (Mp ) HPR P (MP ), với ý p P 16 Mp ⊗Rp RP ∼ = MP Từ đó, chúng tơi đưa mối liên hệ chiều, số bội môđun đối đồng điều địa phương Artin Mục tiêu thứ hai chương áp i+r i dụng kết tập iđêan nguyên tố gắn kết HpR (Mp ) HPR P (MP ) p P để nghiên cứu tính Cohen-Macaulay, tính Cohen-Macaulay theo chiều > s chuyển qua đồng cấu phẳng ϕ Dựa kết này, đưa công thức liên hệ chiều quỹ tích khơng Cohen-Macaulay theo chiều > s Mp MP 4.1 Iđêan nguyên tố gắn kết môđun đối đồng điều địa phương qua chuyển phẳng Mục tiêu tiết xây dựng công thức chuyển tập iđêan nguyên i tố gắn kết môđun đối đồng điều địa phương HpR (Mp ) qua đồng cấu phẳng p địa phương ϕ : Rp → RP , tương tự công thức (4.1), (4.2) môđun hữu hạn sinh Chú ý rP = theo Định lý chuyển sở phẳng ta i+r có đẳng cấu H i (Mp ) ⊗R RP ∼ = H P (MP ) Giả sử rP > H i (Mp ) = pRp p pRp PRP i Khi HpR (Mp ) ⊗Rp RP khơng RP -mơđun Artin p i dim SuppRP HpR (Mp ) ⊗Rp RP = rP > p i+r i Như vậy, trường hợp này, HpR (Mp ) ⊗Rp RP ∼ = HPR P (MP ) Tuy nhiên ta p P có đẳng cấu sau Bổ đề 4.1.1 Cho P ∈ Spec(R) p = P ∩ R Nếu R thương vành Cohen-Macaulay địa phương r HPi R (MP ) P ∼ = i−r HPPR HpRpP (Mp ) ⊗Rp RP i ≥ rP i < rP P i−r Hơn nữa, HPi R (MP ) = HpRpP (Mp ) = với i ≥ rP P Để thực mục tiêu nêu trên, cần cần sử dụng kết sau L T Nhàn P H Quý nguyên lý chuyển dịch qua địa phương nguyên lý chuyển dịch qua đầy đủ cho iđêan nguyên tố gắn kết môđun đối đồng điều địa phương 17 Bổ đề 4.1.2 Cho p ∈ Spec(R) i ≥ số nguyên Giả sử R thương vành Cohen-Macaulay địa phương Khi i−dim(R/p) (a) AttRp HpRp (Mp ) = qRp | q ∈ AttR (Hmi (M )), q ⊆ p ; (b) AttR (Hmi (M )) = AssR (R/pR) i (M )) p∈AttR (Hm Định lý sau đây, kết Chương 4, cho ta mối quan hệ tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun đối đồng điều địa phương Artin qua chuyển phẳng ϕ Định lý 4.1.3 Cho R thương vành Cohen-Macaulay địa phương Giả sử P ∈ Spec(R) p = P ∩ R Đặt rP = dim RP /pRP Khi với số nguyên i ≥ 0, ta có i+r i (a) AttRp HpR (Mp ) = QRP ∩ Rp | QRP ∈ AttRP HPR P (MP ) p P (b) AttRP i+r HPR P (MP ) P Ass RP /qRP = i qRp ∈AttRp HpR (Mp ) p (c) Với Q ∈ Spec(R) thỏa mãn Q ⊆ P q = Q ∩ R, ta có QRP ∈ i+r i AttRP HPR P (MP ) qRp ∈ AttRp HpR (Mp ) Q ∈ Var(qR) p P 4.2 Chiều bội qua chuyển phẳng Theo I G Macdonald, với R-môđun Artin A, ta có AttR A = Var(AnnR A) Do ta tính chiều mơđun Artin thơng qua chiều iđêan nguyên tố gắn kết Vì thế, chúng tơi áp dụng Định lý 4.1.3 để so sánh i+r i chiều môđun đối đồng điều địa phương Artin HpR (Mp ) HPR P (MP ) p P Định lý sau kết thứ hai Chương Định lý 4.2.1 Cho R thương vành Cohen-Macaulay địa phương Giả sử P ∈ Spec(R) p = P ∩ R Đặt rP = dim RP /pRP Khi với số nguyên i ≥ ta có i+r i dimRP HPR P (MP ) = dimRp HpR (Mp ) + rP p P 18 Tiếp theo sử dụng Định lý 4.1.3 công thức bội liên kết cho môđun Artin M Brodmann R Y Sharp để đưa mối liên hệ số i+r i bội HpR (Mp ) HPR P (MP ) p P Định lý 4.2.3 Giả sử R thương vành Cohen-Macaulay địa phương Cho aRp iđêan pRp -nguyên sơ Rp Cho ARP iđêan RP cho RP /(ARP + pRP ) có độ dài hữu hạn Đặt JRP = aRP + ARP Khi JRP iđêan PRP -nguyên sơ RP i+r i e (JRP , HPR P (MP )) = e (aRp , HpR (Mp )).e(ARP , RP /pRP ) p P Chú ý Định lý 4.1.3, 4.2.1 4.2.3 khơng bỏ giả thiết R vành thương vành Cohen-Macaulay địa phương 4.3 Quỹ tích không Cohen-Macaulay theo chiều > s qua chuyển phẳng Cho số nguyên s ≥ −1 Khái niệm dãy quy theo chiều > s giới thiệu M Brodmann L T Nhàn mở rộng khái niệm dãy quy quen thuộc khái niệm mơđun Cohen-Macaulay theo chiều > s định nghĩa N Zamani mở rộng khái niệm môđun Cohen-Macaulay Mục tiêu tiết nghiên cứu tính Cohen-Macaulay, tính Cohen-Macaulay theo chiều > s quỹ tích khơng Cohen-Macaulay, quỹ tích khơng CohenMacaulay theo chiều > s chuyển qua đồng cấu phẳng ϕ : Rp → RP dựa kết tập iđêan nguyên tố gắn kết chiều môđun đối đồng i+r i điều địa phương HpR (Mp ) HPR P (MP ) Mục 4.2 Trước hết, p P nhắc lại khái niệm dãy quy theo chiều > s môđun Cohen-Macaulay theo chiều > s Định nghĩa 4.3.1 Một phần tử x ∈ m gọi M -chính quy theo chiều > s x ∈ / p với p ∈ AssR M thỏa mãn dim(R/p) > s Một dãy x1 , , xt ∈ m gọi M -dãy quy theo chiều > s xi M/(x1 , , xi−1 )M quy theo chiều > s với i = 1, , t Ta nói M môđun Cohen-Macaulay theo chiều > s hệ tham số M M -dãy quy theo chiều > s 19 Dễ thấy M -dãy quy theo chiều > −1 M -dãy quy, M -dãy quy theo chiều > dãy lọc quy M Do đó, mơđun Cohen-Macaulay theo chiều > −1 môđun Cohen-Macaulay Khi R thương vành Cohen-Macaulay địa phương, mơđun Cohen-Macaulay theo chiều > mơđun Cohen-Macaulay suy rộng Hơn nữa, M môđun Cohen-Macaulay theo chiều > s M/xM mơđun Cohen-Macaulay theo chiều > s, với phần tử tham số x M Bổ đề sau cho ta đặc trưng đồng điều cho môđun CohenMacaulay theo chiều > s Bổ đề 4.3.3 Cho R thương vành Cohen-Macaulay địa phương Khi M Cohen-Macaulay theo chiều > s dimR Hmi (M ) ≤ s với số nguyên i < dimR M Định lý sau kết Chương 4, tính Cohen-Macaulay tính Cohen-Macaulay theo chiều > s tác động đồng cấu phẳng ϕ : Rp → RP Định lý 4.3.4 Cho R thương vành Cohen-Macaulay địa phương Giả sử P ∈ Spec(R) p = P ∩ R Đặt rP = dim(RP /pRP ) Cho s ≥ số nguyên Khi (a) Mp Cohen-Macaulay MP Cohen-Macaulay (b) Mp Cohen-Macaulay theo chiều > s MP CohenMacaulay theo chiều > s + rP Mục tiêu nghiên cứu chiều quỹ tích khơng Cohen-Macaulay theo chiều > s qua chuyển phẳng Định nghĩa 4.3.6 Cho s ≥ −1 số ngun Quỹ tích khơng CohenMacaulay theo chiều > s M , ký hiệu nCM>s (M ), xác định tập tất iđêan nguyên tố p R thỏa mãn Mp không Cohen-Macaulay theo chiều > s Chú ý s = −1 nCM>−1 (M ) = nCM(M ) quỹ tích khơng Cohen-Macaulay M Nếu R thương vành Cohen-Macaulay địa phương nCM(M ) tập đóng Spec(R) với tôpô Zariski Trong 20 trường hợp s ≥ 0, quỹ tích nCM>s (M ) nhìn chung khơng đóng kể R đầy đủ Tuy nhiên, nCM>s (M ) ổn định với phép đặc biệt hóa Do ta định nghĩa chiều dim nCM>s (M ) = max{dim R/p | p ∈ nCM>s (M )} Định lý sau kết Chương kết cuối luận án, mối quan hệ dim nCM>s (Mp ) dim nCM>s (MP ) Định lý 4.3.7 Cho s ≥ −1 số nguyên, R thương vành CohenMacaulay địa phương Giả sử P ∈ Spec(R) p = P∩R Đặt rP = dim(RP /pRP ) Khi (a) nCM>s (Mp ) = ∅ dim nCM>s (MP ) ≥ rP (b) Nếu nCM>s (Mp ) = ∅, dim nCM>s (MP ) = dim nCM>s (Mp ) + rP 21 KẾT LUẬN CỦA LUẬN ÁN Trong luận án thu kết sau Giới thiệu hệ tham số tắc mối quan hệ hệ tham số chuẩn tắc với hệ tham số tắc mơđun M Đưa đặc trưng mơđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc qua hệ tham số f-dãy chặt đặc biệt đặc trưng qua tồn hệ tham số tắc hoán vị Đưa mối liên hệ chiều quỹ tích khơng Cohen-Macaulay mơđun M chiều quỹ tích khơng Cohen-Macaulay mơđun tắc KM Đặc biệt hơn, rằng, ngồi mối quan hệ nCM(KM ) ⊆ nCM(M ) hai quỹ tích độc lập với Làm rõ mối liên hệ tập iđêan nguyên tố gắn kết, chiều số bội i+r i môđun đối đồng điều địa phương Artin HpR (Mp ) HPR P (MP ) p P Nghiên cứu tính Cohen-Macaulay tính Cohen-Macaulay theo chiều > s, đồng thời đưa công thức liên hệ chiều quỹ tích khơng CohenMacaulay theo chiều > s qua chuyển phẳng 22 Các kết luận án báo cáo Seminar Nhóm Đại số Lý thuyết số, Đại học Thái Nguyên nhiều hội nghị, hội thảo như: Hội thảo liên kết Việt - Nhật, Thái Nguyên (01/2017); Hội nghị Quốc tế Đại số giao hoán, Thành phố Hồ Chí Minh (9/2017); Hội thảo "Một số vấn đề chọn lọc Đại số địa phương", Hạ Long - Quảng Ninh (12/2017); Đại hội Tốn học tồn quốc lần thứ IX, Nha Trang - Khánh Hòa (8/2018); Hội nghị NCS chuyên ngành Đại số Lý thuyết số, Trường Đại học Khoa học - ĐHTN (01/2019); Hội thảo "Môđun vành giao hoán áp dụng", Tuần Châu Quảng Ninh (5/2019) Các cơng trình cơng bố liên quan tới luận án T N An, L T Nhan and L P Thao, "Non Cohen-Macaulay locus of canonical modules" J Algebra, 525 (2019), 435-453 L T Nhan, L P Thao and T N An, "Local cohomology modules via certain flat extension rings", J Algebra, 503 (2018), 340-355 L P Thao, "Non Cohen-Macaulay in dimension more than s locus", Journal of Science and Technololy - TNU, 192(16) (2018), 23-28  ... VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN LƯU PHƯƠNG THẢO VỀ MƠĐUN COHEN- MACAULAY SUY RỘNG CHÍNH TẮC VÀ MỘT SỐ QUỸ TÍCH KHƠNG COHEN- MACAULAY TRÊN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƯƠNG Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số. .. dư môđun đối đồng điều địa phương ứng với hệ tham số f-dãy chặt Chú ý M Cohen- Macaulay suy rộng, M Cohen- Macaulay suy rộng tắc Luận án nghiên cứu lớp mơđun Cohen- Macaulay suy rộng tắc số quỹ tích. .. mơđun Cohen- Macaulay theo chiều > −1 môđun Cohen- Macaulay Khi R thương vành Cohen- Macaulay địa phương, mơđun Cohen- Macaulay theo chiều > môđun Cohen- Macaulay suy rộng Hơn nữa, M mơđun Cohen- Macaulay