Về môđun cohen macaulay suy rộng chính tắc và một số quỹ tích không cohen macaulay trên vành noether địa phương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN LƯU PHƯƠNG THẢO VỀ MƠĐUN COHEN-MACAULAY SUY RỘNG CHÍNH TẮC VÀ MỘT SỐ QUỸ TÍCH KHƠNG COHEN-MACAULAY TRÊN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƯƠNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN LƯU PHƯƠNG THẢO VỀ MÔĐUN COHEN-MACAULAY SUY RỘNG CHÍNH TẮC VÀ MỘT SỐ QUỸ TÍCH KHƠNG COHEN-MACAULAY TRÊN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƯƠNG Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 46 01 04 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TS Lê Thị Thanh Nhàn TS Trần Nguyên An THÁI NGUYÊN - NĂM 2019 Tóm tắt Cho (R, m) vành giao hốn Noether địa phương, M R-mơđun hữu hạn sinh có chiều Krull dim M = d Quỹ tích khơng Cohen-Macaulay M , ký hiệu nCM(M ), tập iđêan nguyên tố p R cho Mp không Cohen-Macaulay Khi R thương vành Gorenstein địa phương, M có mơđun tắc KM Ta nói M Cohen-Macaulay tắc (tương ứng Cohen-Macaulay suy rộng tắc) mơđun tắc KM M Cohen-Macaulay (tương ứng Cohen-Macaulay suy rộng) Luận án nghiên cứu môđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc số quỹ tích khơng Cohen-Macaulay: quỹ tích khơng CohenMacaulay nCM(M ), quỹ tích khơng Cohen-Macaulay nCM(KM ), quỹ tích khơng Cohen-Macaulay theo chiều > s M, ký hiệu nCM>s (M ) Trong luận án, đặc trưng cấu trúc môđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc Chúng tơi làm rõ mối quan hệ quỹ tích khơng Cohen-Macaulay mơđun tắc KM quỹ tích khơng CohenMacaulay M Chúng tơi nghiên cứu tập iđêan nguyên tố gắn kết, chiều số bội môđun đối đồng điều địa phương Artin qua chuyển phẳng, từ đưa cơng thức tính chiều quỹ tích khơng CohenMacaulay theo chiều > s Luận án chia thành chương Chương nhắc lại số kiến thức sở môđun Cohen-Macaulay, mơđun Cohen-Macaulay suy rộng, mơđun Artin, mơđun tắc môđun khuyết Trong Chương 2, giới thiệu khái niệm hệ tham số tắc, mối quan hệ hệ tham số tắc hệ tham số chuẩn tắc Chúng thiết lập đặc trưng mơđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc thơng qua hệ tham số tắc cải tiến kết trước cấu trúc môđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc Trong Chương 3, chúng tơi đưa mối liên hệ chiều quỹ tích khơng Cohen-Macaulay mơđun M chiều quỹ tích khơng Cohen-Macaulay mơđun tắc KM Đặc biệt hơn, chúng tơi rằng, ngồi mối quan hệ bao hàm nCM(KM ) ⊆ nCM(M ) hai quỹ tích độc lập với Trong Chương 4, làm rõ thay đổi tập iđêan nguyên tố gắn kết, chiều số bội môđun đối đồng điều địa phương Artin qua chuyển phẳng ϕ : Rp → RP , P ∈ Spec(R) p = P ∩ R Sử dụng kết này, chúng tơi đưa cơng thức tính chiều quỹ tích khơng Cohen-Macaulay theo chiều > s Lời cam đoan Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả trước đưa vào luận án Các kết nêu luận án trung thực chưa công bố công trình khác Tác giả Lưu Phương Thảo Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn vơ hạn tới giáo kính u tơi GS TS Lê Thị Thanh Nhàn Cơ tận tình bảo, hướng dẫn từ ngày tập làm nghiên cứu khoa học Với tất niềm đam mê nghiên cứu khoa học tâm huyết người thầy, cô truyền thụ cho không tri thức tốn học mà phương pháp nghiên cứu, cách phát giải vấn đề Cô gương sáng cho lớp học trò chúng tơi phấn đấu noi theo nỗ lực vượt qua khó khăn để đạt tới thành công Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn thứ hai - TS Trần Nguyên An Thầy ln quan tâm, động viên, khích lệ hỗ trợ tơi suốt q trình học tập, nghiên cứu Tôi xin trân trọng cảm ơn GS TSKH Nguyễn Tự Cường Thầy người giảng dạy cho kiến thức Đại số giao hoán từ ngày tơi học viên cao học Cho tới nay, học nghiên cứu sinh, thầy quan tâm, giúp đỡ động viên suốt q trình học tập Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng đào tạo Sau đại học, Khoa Toán Tin, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi cho học tập Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Đại học Thái Nguyên cho hội học tập nghiên cứu Đặc biệt, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban chủ nhiệm Khoa Toán, thầy giáo đồng nghiệp Tổ Hình học - Đại số, Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm quan tâm động viên giúp đỡ nhiều mặt thời gian làm nghiên cứu sinh Tôi xin cảm ơn chị Nguyễn Thị Kiều Nga, em Trần Đỗ Minh Châu anh chị em nhóm seminar Đại số Đại học Thái Nguyên đồng hành tơi, động viên, khích lệ, chia sẻ với tơi học tập sống Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới người thân gia đình mình, đặc biệt Bố mẹ, Chồng hai Con trai yêu quý, động viên, chia sẻ khó khăn ln mong mỏi tơi thành cơng Đó nguồn động viên lớn, giúp tơi vượt qua khó khăn để tơi hoàn thành luận án Tác giả Lưu Phương Thảo Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 18 1.1 Môđun Cohen-Macaulay Cohen-Macaulay suy rộng 18 1.2 Môđun Artin 21 1.3 Mơđun tắc mơđun khuyết 25 Chương Môđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc 28 2.1 Hệ tham số tắc 29 2.2 Môđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc 35 Chương Quỹ tích khơng Cohen-Macaulay mơđun tắc 46 3.1 Một số tính chất qua chuyển phẳng 47 3.2 Quỹ tích khơng Cohen-Macaulay mơđun tắc 51 Chương Đối đồng điều địa phương Artin qua chuyển phẳng quỹ tích khơng Cohen-Macaulay theo chiều > s 58 4.1 Iđêan nguyên tố gắn kết môđun đối đồng điều địa phương qua chuyển phẳng 59 4.2 Chiều bội qua chuyển phẳng 64 4.3 Quỹ tích khơng Cohen-Macaulay theo chiều > s qua chuyển phẳng 70 Kết luận 77 Tài liệu tham khảo 79 Mở đầu Cho (R, m) vành giao hoán Noether địa phương với m iđêan cực đại nhất, M R-mơđun hữu hạn sinh có chiều Krull dim M = d Ta ln có mối liên hệ hai bất biến độ sâu chiều M cho công thức depth M ≤ dim M Nếu depth M = dim M M gọi mơđun Cohen-Macaulay Khi R R-mơđun Cohen-Macaulay, ta nói R vành Cohen-Macaulay Lớp mơđun Cohen-Macaulay mở rộng chúng thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học giới Cấu trúc lớp môđun đặc trưng qua hầu hết lý thuyết quen biết Đại số giao hoán (số bội, đối đồng điều địa phương, địa phương hóa, đầy đủ hóa, ) Các mơđun xuất nhiều lĩnh vực khác Toán học Đại số đồng điều, Lý thuyết bất biến, Tổ hợp Hình học đại số Luận án liên quan đến hai hướng mở rộng lớp môđun Cohen-Macaulay sau Mở rộng thứ dựa theo hiệu số I(x; M ) độ dài (M/xM ) số bội e(x; M ) với x hệ tham số M Chú ý M Cohen-Macaulay I(x; M ) = với (hoặc với mọi) hệ tham số x Từ đó, giả thuyết đặt D A Buchsbaum [11] năm 1965 sau: I(x; M ) := (M/xM ) − e(x; M ) số không phụ thuộc vào hệ tham số x M Câu trả lời phủ định cho giả thuyết W Vogel v J Stu ăckrad [51] a nm 1973, v họ nghiên cứu lớp vành môđun thỏa mãn điều kiện giả thuyết, gọi vành môđun Buchsbaum [42] Năm 1978, N T Cường, P Schenzel N V Trung [48] giới thiệu mở rộng lớp mơđun Buchsbaum, lớp mơđun M thỏa mãn điều kiện sup I(x; M ) < ∞, cận lấy theo hệ tham số x M , họ gọi chúng môđun Cohen-Macaulay suy rộng Ngày nay, khái niệm môđun Buchsbaum môđun Cohen-Macaulay suy rộng trở nên quen biết Đại số giao hoán Tiếp tục mở rộng theo hướng này, ta lớp môđun Cohen-Macaulay theo chiều > s, với s ≥ −1 số nguyên (xem [45]) Chú ý M Cohen-Macaulay Cohen-Macaulay theo chiều > −1 Khi R thương vành Cohen-Macaulay, M Cohen-Macaulay suy rộng M Cohen-Macaulay theo chiều > Hướng mở rộng thứ hai lớp môđun Cohen-Macaulay dựa vào cấu trúc mơđun tắc, trường hợp R ảnh đồng cấu vành Gorenstein địa phương (R , m ) chiều n Với số nguyên n −i i i := ExtR R-môđun hữu hạn sinh i ≥ 0, đặt KM (M, R ) Khi KM gọi môđun khuyết thứ i M Đặc biệt, với i = d ta ký d gọi môđun tắc M Khi KM Cohenhiệu KM := KM Macaulay, ta nói M Cohen-Macaulay tắc Chú ý M mơđun Cohen-Macaulay KM mơđun Cohen-Macaulay Vì thế, lớp mơđun Cohen-Macaulay tắc mở rộng lớp môđun Cohen-Macaulay Khái niệm vành mơđun Cohen-Macaulay tắc xuất phát từ toán sau: Giả sử (R, m) miền nguyên, địa phương Ký hiệu Q(R) trường thương R Câu hỏi tự nhiên đặt tồn hay không vành trung gian R ⊆ B ⊆ Q(R) cho B R-môđun hữu hạn sinh B vành Cohen-Macaulay? Vành B (nếu tồn tại) gọi Macaulay hóa song hữu tỷ R Đây toán quan trọng Đại số giao hoán Năm 2004, P Schenzel [38] chứng minh miền nguyên Noether địa phương R có Macaulay hóa song hữu tỷ R vành Cohen-Macaulay tắc Năm 2006, L T Nhàn [33] đưa đặc trưng mơđun Cohen-Macaulay tắc thơng qua tính triệt tiêu độ dài thặng dư môđun đối đồng điều địa phương ứng với hệ tham số f -dãy chặt giới thiệu [15] Tiếp theo, 70 = a ∈ q Vì R miền nguyên chiều nên dim(R/aR) = Do q ∈ AssR (R/aR) Lại Q ∈ Ass(R/qR), nên theo Bổ đề 3.1.1(b) ta có Q ∈ Ass(R/aR) Suy QRQ ∈ Ass(RQ /aRQ ) Do depth(RQ /aRQ ) = Vì R miền nguyên, a RQ -chính quy suy depth(RQ ) = Do HQ1 R (RQ ) = Vì RQ miền nguyên nên Q thỏa mãn điều kiện Serre (S1 ) Suy dimRQ HQ1 R (RQ ) = theo Q [17, 4.1, 4.4] Từ Mệnh đề 1.2.2(iii), ta có AttRQ Chú ý Rq miền nguyên chiều Suy HQ1 R (RQ ) Q Hq0Rq (Rq ) = QRQ } = 0, tức AttRq Hq0Rq (Rq ) = ∅ Vì R miền nguyên nên R/q tựa không trộn lẫn, tức iđêan nguyên tố liên kết tối thiểu R/qR có chiều dim(R/q) Suy Q ∈ / Ass(R/qR) Do rQ = (b) Vì QRQ ∈ AttRQ HQ1 R (RQ ) dim(R/Q) = nên theo Bổ đề Q 4.1.2(a) ta có Q ∈ AttR Hm2 R (R) Từ theo Mệnh đề 1.2.2(ii), ta suy dimR (Hm2 R (R)) ≥ dim(R/Q) = Mặt khác, theo Mệnh đề 1.2.5 ta có q = Q ∩ R ∈ AttR Hm2 (R) Do dimR (Hm2 (R)) ≥ dim(R/q) = Vì R miền nguyên, nên thỏa mãn điều kiện Serre (S1 ) Từ suy dimR (Hm2 R (R)) ≤ Vậy dimR (Hm2 R (R)) = 4.3 Quỹ tích khơng Cohen-Macaulay theo chiều > s qua chuyển phẳng Cho số nguyên s ≥ −1 Khái niệm dãy quy theo chiều > s giới thiệu M Brodmann L T Nhàn [6] mở rộng khái niệm dãy quy quen thuộc khái niệm mơđun CohenMacaulay theo chiều > s định nghĩa [45] mở rộng khái niệm môđun Cohen-Macaulay Mục tiêu tiết nghiên cứu tính Cohen-Macaulay, tính Cohen-Macaulay theo chiều > s chiều quỹ tích khơng Cohen-Macaulay theo chiều > s chuyển qua đồng cấu phẳng ϕ : Rp → RP dựa kết tập iđêan nguyên tố gắn kết chiều 71 i+r môđun đối đồng điều địa phương HpiRp (Mp ) HPR P (MP ) P Mục 4.2 Trước hết, nhắc lại khái niệm dãy quy theo chiều > s khái niệm mơđun Cohen-Macaulay theo chiều > s (xem [6], [45]) Định nghĩa 4.3.1 Một phần tử x ∈ m gọi M -chính quy theo chiều > s x ∈ / p với p ∈ AssR M thỏa mãn dim(R/p) > s Một dãy x1 , , xt ∈ m gọi M -dãy quy theo chiều > s xi M/(x1 , , xi−1 )M -chính quy theo chiều > s với i = 1, , t Ta nói M mơđun Cohen-Macaulay theo chiều > s hệ tham số M M -dãy quy theo chiều > s Dễ thấy M -dãy quy theo chiều > −1 M -dãy quy, M -dãy quy theo chiều > dãy lọc quy M Do đó, mơđun Cohen-Macaulay theo chiều > −1 môđun Cohen-Macaulay Khi vành sở thương vành Cohen-Macaulay địa phương, mơđun Cohen-Macaulay theo chiều > mơđun Cohen-Macaulay suy rộng Hơn nữa, M môđun Cohen-Macaulay theo chiều > s M/xM mơđun Cohen-Macaulay theo chiều > s, với phần tử tham số x M Sau đặc trưng môđun Cohen-Macaulay theo chiều > s (xem [45, Mệnh đề 2.4]) Bổ đề 4.3.2 Giả sử dim M = d > s Khi đó, M Cohen-Macaulay theo chiều > s với p ∈ Supp(M ) thỏa mãn dim R/p > s, ta có dim Mp + dim R/p = d Mp Cohen-Macaulay Bổ đề sau (có thể suy từ [20, Định lý 3.7], [14, Bổ đề 3.1], [32, Mệnh đề 3.5]) cho ta đặc trưng đồng điều cho môđun Cohen-Macaulay theo chiều > s Bổ đề 4.3.3 Cho R thương vành Cohen-Macaulay địa phương Khi M Cohen-Macaulay theo chiều > s dimR Hmi (M ) ≤ s với số nguyên i < dimR M 72 Từ Mệnh đề 1.2.7, R thương vành Cohen-Macaulay địa phương dimR Hmi (M ) = dimR Hmi (M ) = dimR Hmi R (M ) với i ≥ Do đó, theo Bổ đề 4.3.3 ta có M Cohen-Macaulay theo chiều > s M Cohen-Macaulay theo chiều > s Định lý sau kết Chương 4, tính Cohen-Macaulay tính Cohen-Macaulay theo chiều > s tác động đồng cấu phẳng ϕ : Rp → RP Định lý 4.3.4 Cho R thương vành Cohen-Macaulay địa phương Giả sử P ∈ Spec(R) p = P ∩ R Đặt rP = dim(RP /pRP ), s ≥ số nguyên Khi (a) Mp Cohen-Macaulay MP Cohen-Macaulay (b) Mp Cohen-Macaulay theo chiều > s MP CohenMacaulay theo chiều > s + rP Chứng minh (a) Vì R thương vành Cohen-Macaulay địa phương nên RP /pRP vành Cohen-Macaulay chiều rP , tức ta có dim RP /pRP = depth RP /pRP = rP Mặt khác, ánh xạ tự nhiên Rp → RP đồng cấu phẳng ý Mp ⊗Rp RP ∼ = MP , nên áp dụng Bổ đề 3.1.1 ta suy đẳng thức dimRP MP = dimRp Mp + rP depthRP MP = depthRp Mp + rP Từ suy Mp Cohen-Macaulay MP Cohen-Macaulay (b) Theo Bổ đề 4.3.3 ta có Mp Cohen-Macaulay theo chiều > s dimRp HpiRp (Mp ) ≤ s với i < dimRp Mp Theo Định lý 4.2.1, điều xảy dimRP HPi R (MP ) ≤ s + rP với số P i < dimRP (MP ) Do đó, áp dụng Bổ đề 4.3.3 ta có điều phải chứng minh 73 Mệnh đề sau đưa mối liên hệ quỹ tích nCM(Mp ) nCM(MP ) Mệnh đề 4.3.5 Giả sử R thương vành Cohen-Macaulay địa phương Cho P ∈ Spec(R) p = P ∩ R Khi (a) nCM(Mp ) = QRP ∩ Rp | QRP ∈ nCM(MP ) ; (b) nCM(MP ) = qRp ∈nCM(Mp ) Var(qRP ) Chứng minh (a) Giả sử qRp ∈ nCM(Mp ) Khi Mq khơng CohenMacaulay Lấy Q ∈ Var(qR) cho Q ⊆ P Thế MQ khơng Cohen-Macaulay theo Định lý 4.3.4(a) Suy QRP ∈ nCM(MP ) qRp = QRP ∩Rp Ngược lại, lấy iđêan nguyên tố QRP ∈ nCM(MP ) đặt qRp = QRP ∩Rp Khi MQ khơng Cohen-Macaulay Theo Định lý 4.3.4(a) ta suy Mq không Cohen-Macaulay Vì qRp ∈ nCM(Mp ) ta có điều phải chứng minh (b) Giả sử QRP ∈ nCM(MP ) Đặt qRp = QRP ∩ Rp Theo chứng minh (a) trên, ta có qRp ∈ nCM(Mp ) QRP ∈ Var(qRP ) Ngược lại, giả sử qRp ∈ nCM(Mp ) QRP ∈ Var(qRP ) Lấy Q1 ∈ Var(qR) cho Q1 ⊆ Q Khi ta có Q1 ∩ R = q Q1 RP ∈ nCM(MP ) Do đó, QRP ∈ nCM(MP ) Mệnh đề chứng minh xong Mục tiêu chúng tơi nghiên cứu chiều quỹ tích không Cohen-Macaulay theo chiều > s qua chuyển phẳng Định nghĩa 4.3.6 Cho s ≥ −1 số nguyên Quỹ tích khơng CohenMacaulay theo chiều > s M , ký hiệu nCM>s (M ), xác định tập tất iđêan nguyên tố p R thỏa mãn Mp không Cohen-Macaulay theo chiều > s Chú ý s = −1 nCM>−1 (M ) = nCM(M ) quỹ tích khơng Cohen-Macaulay M Nếu R thương vành CohenMacaulay địa phương nCM(M ) tập đóng Spec(R) với tôpô 74 Zariski, xem [17, Hệ 4.2(iv)] Trong trường hợp s ≥ 0, quỹ tích nCM>s (M ) nhìn chung khơng đóng kể R đầy đủ, xem [34, Mệnh đề 4.3(iii)] Tuy nhiên, nCM>s (M ) ln ổn định với phép đặc biệt hóa Do ta định nghĩa chiều dim nCM>s (M ) = max{dim R/p | p ∈ nCM>s (M )} Định lý sau kết Chương kết cuối luận án, chúng tơi mối quan hệ dim nCM>s (Mp ) dim nCM>s (MP ) Định lý 4.3.7 Cho s ≥ −1 số nguyên, R thương vành Cohen-Macaulay địa phương Giả sử P ∈ Spec(R) p = P ∩ R Đặt rP = dim(RP /pRP ) Khi (a) nCM>s (Mp ) = ∅ dim nCM>s (MP ) ≥ rP , (b) Nếu nCM>s (Mp ) = ∅, dim nCM>s (MP ) = dim nCM>s (Mp ) + rP Chứng minh (a) Giả sử nCM>s (Mp ) = ∅ Khi ta chọn qRp ∈ nCM>s (Mp ) cho dim nCM>s (Mp ) = dim(Rp /qRp ) Suy Mq không Cohen-Macaulay theo chiều > s Lấy Q ∈ Var(qR) cho Q ⊆ P Khi rQ = dim RQ /qRQ = dim RQ /QRQ = Theo Định lý 4.3.4(b) ta có MQ khơng Cohen-Macaulay theo chiều > s Suy QRP ∈ nCM>s (MP ) Do dim nCM>s (MP ) ≥ dim(RP /QRP ) = dim(R/Q) − dim(R/P) = dim(R/q) − dim(R/p) + rP = dim(Rp /qRp ) + rP = dim nCM>s (Mp ) + rP ≥ rP Ngược lại, giả sử dim nCM>s (MP ) ≥ rP Vì rP ≥ nên nCM>s (MP ) = ∅ Suy tồn QRP ∈ nCM>s (MP ) cho dim(RP /QRP ) ≥ rP Chú ý MQ không Cohen-Macaulay theo chiều > s Do theo Bổ đề 4.3.2, ta thấy xảy hai trường hợp sau: 75 Trường hợp 1: Tồn iđêan nguyên tố Q1 RQ ∈ AssRQ (MQ ) cho s < dim RQ /Q1 RQ < dim MQ ; Trường hợp 2: Tồn iđêan nguyên tố Q1 RQ ∈ SuppRQ (MQ ) cho dim RQ /Q1 RQ > s MQ1 không Cohen-Macaulay Giả sử trường hợp xảy Khi Q1 RP ∈ AssRP (MP ) Vì dim(RP /QRP ) ≥ rP , nên ta có s + rP ≤ s + dim(RP /QRP ) < dim RP /Q1 RP < dim MQ + dim(RP /QRP ) ≤ dim MP Suy MP không Cohen-Macaulay theo chiều > s + rP (theo Bổ đề 4.3.2) Theo Định lý 4.3.4(b), ta có Mp khơng Cohen-Macaulay theo chiều > s Do đó, nCM>s (Mp ) = ∅ Giả sử trường hợp xảy Khi Q1 RP ∈ SuppRP (MP ) cho dim RP /Q1 RP > s + dim(RP /QRP ) ≥ s + rP MQ1 không Cohen-Macaulay Suy theo Bổ đề 4.3.2, MP không Cohen-Macaulay theo chiều > s + rP Theo chứng minh trên, ta có nCM>s (Mp ) = ∅ (b) Từ giả thiết nCM>s (Mp ) = ∅, chứng minh tương tự ý (a) ta suy dim nCM>s (MP ) ≥ dim nCM>s (Mp ) + rP Ngược lại, nCM>s (Mp ) = ∅ nên theo (a), tồn iđêan nguyên tố QRP ∈ nCM>s (MP ) cho dim nCM>s (MP ) = dim(RP /QRP ) ≥ rP Vì MQ khơng Cohen-Macaulay theo chiều > s, nên MQ không CohenMacaulay Đặt q = Q ∩ R Theo Định lý 4.3.4(a) ta suy Mq không Cohen-Macaulay Đặt k := maxi k Mq không CohenMacaulay theo chiều > k − Từ Định lý 4.3.4(b) suy MQ 76 Cohen-Macaulay theo chiều > k + rQ Do s ≤ k + rQ − Dễ dàng kiểm tra dim(Rp /qRp ) = dim(R/q) − dim(R/p) = dim(R/Q) + rQ − dim(R/P) + rP = dim(RP /QRP ) − rP + rQ = dim nCM>s (MP ) − rP + rQ Vì dim nCM>s (MP ) − rP ≥ nên tồn iđêan nguyên tố p1 R nằm q p cho dim(Rp /p1 Rp ) = dim nCM>s (MP ) − rP ht(p1 /q) = rQ Do Mq không Cohen-Macaulay theo chiều > k − nên theo Bổ đề 4.3.2 ta suy Mp1 không Cohen-Macaulay theo chiều > k −1+rQ Vì s ≤ k − + rQ nên Mp1 không Cohen-Macaulay theo chiều > s Suy p1 Rp ∈ nCM>s (Mp ) Do đó, dim nCM>s (Mp ) ≥ dim Rp /p1 Rp = dim nCM>s (MP ) − rP Kết luận Chương Trong chương này, thu kết sau • Chỉ mối liên hệ tập iđêan nguyên tố gắn kết i+r môđun đối đồng điều địa phương Artin HPR P (MP ) HpiRp (Mp ) P i+r • Đưa cơng thức tính chiều số bội HPR P (MP ) tương ứng P thông qua chiều số bội HpiRp (Mp ) • Nghiên cứu tính Cohen-Macaulay tính Cohen-Macaulay theo chiều > s qua đồng cấu phẳng ϕ : Rp → RP • Đưa cơng thức liên hệ chiều quỹ tích khơng CohenMacaulay theo chiều > s qua đồng cấu phẳng ϕ : Rp → RP 77 KẾT LUẬN CỦA LUẬN ÁN Trong luận án thu kết sau Giới thiệu hệ tham số tắc mối quan hệ hệ tham số chuẩn tắc với hệ tham số tắc mơđun M Thiết lập đặc trưng mơđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc qua hệ tham số f -dãy chặt đặc biệt đặc trưng qua tồn hệ tham số tắc hốn vị (Định lý 2.2.4) Đưa mối liên hệ chiều quỹ tích khơng Cohen-Macaulay mơđun M chiều quỹ tích khơng Cohen-Macaulay mơđun tắc KM Đặc biệt hơn, chúng tơi rằng, ngồi mối quan hệ bao hàm nCM(KM ) ⊆ nCM(M ) hai quỹ tích độc lập với (Định lý 3.2.1) Làm rõ mối liên hệ tập iđêan nguyên tố gắn kết, chiều số bội i+r môđun đối đồng điều địa phương Artin HpiRp (Mp ) HPR P (MP ) P (Định lý 4.1.3, Định lý 4.2.1, Định lý 4.2.3) Nghiên cứu tính Cohen-Macaulay tính Cohen-Macaulay theo chiều > s, đồng thời đưa công thức liên hệ chiều quỹ tích khơng Cohen-Macaulay theo chiều > s qua chuyển phẳng (Định lý 4.3.4, Định lý 4.3.7) 78 Danh sách cơng trình liên quan đến luận án T N An, L T Nhan and L P Thao, "Non Cohen-Macaulay locus of canonical modules" J Algebra, 525 (2019), 435-453 L T Nhan, L P Thao and T N An, "Local cohomology modules via certain flat extension rings", J Algebra, 503 (2018), 340-355 L P Thao, "Non Cohen-Macaulay in dimension > s locus", Journal of Science and Technology - TNU, 192(16) (2018), 23-28 Các kết luận án báo cáo thảo luận - Seminar Đại số Lý thuyết số hàng tuần Đại học Thái Nguyên - Hội thảo liên kết Việt - Nhật, Thái Nguyên, 01/2017 - Hội nghị Quốc tế Đại số giao hoán, Thành phố Hồ Chí Minh, 9/2017 - Hội thảo "Một số vấn đề chọn lọc Đại số địa phương", Hạ Long Quảng Ninh, 12/2017 - Đại hội Tốn học tồn quốc lần thứ IX, Nha Trang - Khánh Hòa, 8/2018 - Hội nghị NCS chuyên ngành Đại số Lý thuyết số, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, 01/2019 - Hội thảo "Môđun vành giao hoán áp dụng", Tuần Châu - Quảng Ninh, 5/2019 Tài liệu tham khảo Tiếng Anh [1] T N An, L T Nhan and L P Thao, "Non Cohen-Macaulay locus of canonical modules", J Algebra, 525 (2019), 435-453 [2] D D Anderson and M Winders, "Idealization of a module", J Commutative Algebra, (2009), 1-55 [3] Y Aoyama, "On the depth and the projective dimension of the canonical module", Japan J Math., (1980), 61-66 [4] Y Aoyama and S Goto, "On the endomorphism ring of the canonical module", J Math Kyoto Univ., 25 (1985), 21-30 [5] M Brodmann and L T Nhan, "On canonical Cohen-Macaulay modules", J Algebra, 371 (2012), 480-491 [6] M Brodmann and L T Nhan, "A finiteness result for associated primes of certain Ext-modules", Comm Algebra, 36 (2008), 15271536 [7] M Brodmann and C Rotthaus, "A peculiar unmixed domain", Proc Amer Math Soc., (4)87 (1983), 596-600 [8] M Brodmann and R Y Sharp, Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge University Press, 1998 [9] M Brodmann and R Y Sharp, "On the dimension and multiplicity of local cohomology modules", Nagoya Math J., 167 (2002), 217-233 [10] W Bruns and J Herzog, Cohen-Macaulay rings, Cambridge University Press, 1993 81 [11] D A Buchsbaum, Complexes in local ring theory, In: Some aspects of ring theory, C I M.E., Rome, 1965 [12] N T Cuong, "On the least degree of polynomials bounding above the differences between lengths and multiplicities of certain systems of parameters in local rings", Nagoya Math J., 125 (1992), 105-114 [13] N T Cuong, D T Cuong and H L Truong, "On a new invariant of finitely generated modules over local rings", Journal of Algebra and Its Applications, (2010), 959-976 [14] N T Cuong, M Morales and L T Nhan, "On the length of generalized fractions", J Algebra, 265 (2003), 100-113 [15] N T Cuong, M Morales and L T Nhan, "The finiteness of certain sets of attached prime ideals and the length of generalized fractions", J Pure Appl Algebra, 189 (2004), 109-121 [16] N T Cuong and L T Nhan, "On the Noetherian dimension of Artinian modules", Vietnam J Math., 30 (2002), 121-130 [17] N T Cuong, L T Nhan and N T K Nga, "On pseudo supports and non Cohen-Macaulay locus of a finitely generated module", J Algebra, 323 (2010), 3029-3038 [18] T D Dung and L T Nhan, "A uniform bound of reducibility index of good parameter ideals for certain class of modules", J Pure Appl Algebra, To appear [19] S Goto, "On Buchsbaum ring", J Algebra, 67 (1980), 272-279 [20] S Goto and L T Nhan, "On the sequentially polynomial type of modules", J Math Soc Japan, 70 (2018), 363-383 [21] R Hartshorne, Residues and duality, Lect Notes in Math., 20, Berlin Heidelberg New York, Springer-Verllo, 1966 [22] T Kawasaki, "On arithmetic Macaulayfication of Noetherian rings", Trans AMS., 354 (2002), 123-149 [23] D Kirby, "Artinian modules and Hilbert polynomials", Quart J Math Oxford, (2)24 (1973), 47-57 82 [24] D Kirby, "Dimension and length of Artinian modules", Quart J Math Oxford, (2)41 (1990), 419-429 [25] N T H Loan, "On canonical modules of idealizations", Journal of Commutative Algebra, (2017), 107-117 [26] N T H Loan and L T Nhan, "On generalized Cohen-Macaulay canonical modules", Comm Algebra, 41 (2013), 4453-4462 [27] I G Macdonald, "Secondary representation of modules over a commutative ring", Symposia Mathematica, 11 (1973), 23-43 [28] I G Macdonald and R Y Sharp, "An elementary proof of the nonvanishing of certain local cohomology modules", Quart J Math Oxford, (2)23 (1972), 197-204 [29] H Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge University Press, 1986 [30] M Nagata, Local rings, Interscience, New York, 1962 [31] L T Nhan, L P Thao and T N An, "Local cohomology modules via certain flat extension rings", J Algebra, 503 (2018), 340-355 [32] L T Nhan and T D M Chau, "Noetherian dimension and colocalization of Artinian modules over local rings", Algebra Colloquium, (4)21 (2014), 663-670 [33] L T Nhan, "A remark on the monomial conjecture and CohenMacaulay canonical modules", Proc Amer Math Soc., 134 (2006), 2785-2794 [34] L T Nhan, N T K Nga and P H Khanh, "Non Cohen-Macaulay locus and non generalized Cohen-Macaulay locus", Comm Algebra, 42 (2014), 4414-4425 [35] L T Nhan and P H Quy, "Attached primes of local cohomology modules under localization and completion", J Algebra, 420 (2014), 475-485 [36] R N Roberts, "Krull dimension for Artinian modules over quasi local commutative rings", Quart J Math Oxford, (2)26 (1975), 269-273 83 [37] P Schenzel, "Standard systems of parameters and their blowing-up rings", Journal fur die reine und angewandte Mathematik, 344 (1983) 201-220 [38] P Schenzel, "On Birational Macaulayfications and Cohen-Macaulay canonical modules", J Algebra, 275 (2004), 751-770 [39] R Y Sharp, "Some results on the vanishing of local cohomology modules", Proc London Math Soc., 30 (1975), 177-195 [40] R Y Sharp, "On the attached prime ideals of certain Artinian local cohomology modules", Proc Eidinburgh Math Soc., 24 (1981), 9-14 [41] R Y Sharp and M A Hamieh, "Lengths of certain generalized fractions", J Pure Appl Algebra, 38 (1985), 323-336 [42] J Stu ăckrad and W Vogel, Buchsbaum rings and applications, SpingerVerlag, 1986 [43] L P Thao, "Non Cohen-Macaulay in dimension > s locus", Journal of Science and Technology - TNU, 192(16) (2018), 23-28 [44] N V Trung, "Toward a theory of generalized Cohen-Macaulay modules", Nagoya Math J., 102 (1986), 1-49 [45] N Zamani, "Cohen-Macaulay modules in dimension > s and results on local cohomology", Comm Algebra, 37 (2009), 1297-1307 Tiếng Pháp [46] A Grothendieck, Ele´ments de ge´ome´trie alge´brique, Publ Math IHES, 1965 [47] J P Serre, "Faisceaux alge´briques cohe´rents", Ann Math., 61 (1955), 197-278 Tiếng Đức [48] N T Cuong, P Schenzel, N V Trung, "Verallgemeinerte CohenMacaulay moduln", Math Nachr., 85 (1978), 57-73 84 [49] P Schenzel, Dualisierende Komplexe in der lokalen Algebra und Buchsbaum-Ringe, Lecture notes in Mathematics, 907, SpringerVerlag, 1982 [50] P Schenzel, "Einige Anwendungen der lokalen dualitat und verallgemeinerte Cohen-Macaulay moduln", Math Nachr., 69 (1975), 227242 [51] J Stu ăckrad and W Vogel, "Eine Verallgemeinerung der Multiplicitats theorie", J Math Kyoto Univ., 13 (1973), 513-528 ... VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN LƯU PHƯƠNG THẢO VỀ MƠĐUN COHEN- MACAULAY SUY RỘNG CHÍNH TẮC VÀ MỘT SỐ QUỸ TÍCH KHƠNG COHEN- MACAULAY TRÊN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƯƠNG Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số. .. ứng Cohen- Macaulay suy rộng tắc) mơđun tắc KM M Cohen- Macaulay (tương ứng Cohen- Macaulay suy rộng) Luận án nghiên cứu mơđun Cohen- Macaulay suy rộng tắc số quỹ tích khơng Cohen- Macaulay: quỹ tích. .. mơđun Cohen- Macaulay suy rộng tắc số quỹ tích khơng Cohen- Macaulay vành Noether địa phương Mục đích thứ luận án đặc trưng cấu trúc lớp mơđun Cohen- Macaulay suy rộng tắc R thương vành Gorenstein địa