Luận văn: KIỂU ĐA THỨC CỦA MÔĐUN TRÊN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƯƠNG pdf

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM HỒNG NAM KIỂU ĐA THỨC CỦA MÔĐUN TRÊN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƯƠNG L L U U Ậ Ậ N N V V Ă Ă N N T T H H Ạ Ạ C C S S Ĩ Ĩ T T O O Á Á N N H H Ọ Ọ C C Thái Nguyên - năm 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN DANH TUYÊN KIỂU ĐA THỨC CỦA MÔĐUN TRÊN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƯƠNG Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60.46.05 L L U U Ậ Ậ N N V V Ă Ă N N T T H H Ạ Ạ C C S S Ĩ Ĩ T T O O Á Á N N H H Ọ Ọ C C Người hướng dẫn khoa học: GS-TSKH. NGUYỄN TỰ CƯỜNG Thái Nguyên - năm 2009 A Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (A, m) A = d q ∈ A q m− d A q l A (A/q) = e(q; A) l A (∗) A e(q; A) A q q l A (A/q) ≥ e(q; A) I(q; A) = l A (A/q) − e(q; A) I(q; A) q A I(q; A) = 0 q q I(q; A) < ∞, q A (A, m) M A− M = d. x = (x 1 , . . . , x d ) A M l A (M/xM) < ∞. n = (n 1 , . . . , n d ) d I M (n, x) = l A (M/(x n 1 1 , . . . , x n d d )M) − n 1 . . . n d e(x, M) n e(x; M) M x. M = A I M (n; x) n n n  0 I M (n; x) n  0. I M (n; x) n n  0 I M (n; x) x Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn I M (n; x) I M (n; x) n 1 . . . n d l(M/(x 1 , . . . , x d )M) n I M (n; x) M, M. n I M (n; x) x. M. p(M) M. −∞. M p(M) = −∞. M p(M) ≤ 0. I M (n; x) (A, m). I M (n; x) n n  0 x = (x 1 , . . . , x d ) p(M) M A A M p(M) = (M). M (M) = {p ∈ Supp(M)|M p }. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (A, m) m M A M = d. q A l(M/qM) < ∞ l(M/q n M) n  0 d = dim M = deg(l(M/q n M) = inf{t|∃ x 1 , . . . , x t ∈ m l(M/(x 1 , . . . , x t )M) < ∞}. l(M/q n M) n  0 q. {x 1 , . . . , x d } ⊆ m l(M/(x 1 , . . . , x d )M) < ∞. {x 1 , . . . , x d } M. x = (x 1 , . . . , x d ) M (x n 1 1 . . . , x n d d ) M (n 1 , . . . , n d ) ∈ N d . x = (x 1 , . . . , x d ) M. q = (x 1 , . . . , x d )A q l(M/q n M) n  0, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn l(M/q n+1 M) = e 0 (q; M)  n + d d  +e 1 (q; M)  n + d − 1 d − 1  +. . .+e d (q; M), e i ∈ Z, e 0 > 0 i = 0 . . . , d. e 0 M q e(q; M). x = (x 1 , . . . , x t ) A M l(M/(x 1 , . . . , x t )M) < ∞. t = 0 l(M) < ∞. e(x; M) x t t = 0, l(M) < ∞. e(∅; M) = l(M). t > 0, l(M/(x 1 , . . . , x t )M) < ∞. l((0 M : x 1 )/(x 1 , . . . , x t )(0 M : x 1 )) < ∞, (x 2 , . . . , x t ) 0 M : x 1 . e((x 2 , . . . , x t ); M/x 1 M) e((x 2 , . . . , x t ); 0 M : x 1 ) e(x; M) = e((x 2 , . . . , x t ); M/x 1 M) − e((x 2 , . . . , x t ); 0 M : x 1 ). e(x; M) M x. x = (x 1 , . . . , x t ) M. e(x; M) 0 ≤ e(x ; M) ≤ l(M/(x 1 , . . . , x t )M). i x n i M = 0, n e(x; M) = 0. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 0 −→ M n −→ . . . −→ M 1 −→ M 0 −→ 0 A− x M i , i = 0, . . . , n. n  i=0 (−1) i e(x; M i ) = 0. x = (x 1 , . . . , x t ) M. e(x; M) = 0 t > dim M. (n 1 , . . . , n t ) ∈ N t . e((x n 1 1 , . . . , x n t t ); M) = n 1 . . . n t e(x; M) x M t = d, e 0 (q; M) = e(x; M), q = (x 1 , . . . .x d )A. l(M/(x 1 , . . . , x d )M) − e(x; M) =  d−1 i=0 e((x i+1 , . . . , x d ); (x 1 , . . . , x i−1 )M : x i /(x 1 , . . . , x i−1 )M. M A x = (x 1 , . . . , x d ) l(M/(x 1 , . . . , x d )M) = e(x; M). A M I(M) = {l(M/(x 1 , . . . , x d )M − e(x; M))} < ∞ x = (x 1 , . . . , x d ) M. x = (x 1 , . . . , x d ) M M l A (M/(x 1 , . . . , x d )M)−e(x; M) = l A (M/(x 2 1 , . . . , x 2 d )−e((x 2 1 , . . . , x 2 d ); M) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn M M I(M) = l A (M/(x 1 , . . . , x d )M) − e(x; M) x M M p M p + A/p = d p ∈ M \{m}. A  M m M. M  M M (R/p) = M p ∈ M, p = m. x = (x 1 , , x d ) M n = (n 1 , , n d ) x(n) = (x n 1 1 , , x n d d ) I M (n; x) = (M/x(n)M) − n 1 n d e(x; M) n 1 , , n d e(x; M) M x. I M (n; x) n 1 , , n d A = k[[X, Y, Z]]/I, k[[X, Y, Z]] X, Y, Z k I = (X 2 , XY Z). A = 2 x = (x 1 , x 2 ) A, x 1 Y + Z A x 2 Y A. x n 1 A : x m 2 =  (x, x n 1 )A m ≥ n + 1 (x, x n 1 )A ∩ (x 2 , z, x n−m 2 )A m ≤ n x X A z Z A. n = (n, m) x = (x 1 , x 2 ). I M (n; x) = (M/x(n)M) − nme(x; M) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... với mọi hệ x Định lý trên đưa ta đến khái niệm cơ bản sau và nó cũng là xuất phát điểm quan trọng dẫn đến các kết quả chính của chương này Định nghĩa 2.2.4 Bậc bé nhất của tất cả các đa thức chặn trên IM (n, x) là một bất biến của M Bất biến này gọi là kiểu đa thức của M và ký hiệu là p(M ) Chú ý 2.2.5 (i) Quy ước bậc của đa thức 0 là là môđun Cohen-Macaulay khi và chỉ khi tham số của M sao cho IM (n,... Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 2 Kiểu đa thức Trong suốt chương này ta ký hiệu hoán M 2.1 Rmôđun hữu hạn sinh khác không với dim M = d Kiến thức chuẩn bị Cho aM i Ha (M ) thứ là (A, m) là vành Noether, địa phương, giao i thứ i là một iđêan của của của hàm tử M A Khi đó môđun đối đồng điều địa phương ứng với giá a được xác định bởi hàm tử dẫn xuất phải i a-xoắn a... Hệ quả trên nói lên rằng nếu hàm số cũng bị chặn trên bởi đa thức IM (n, x) không là đa thức thì nó n1 nd IM (x) Do đó bậc nhỏ nhất của tất cả các đa thức theo n chặn là tồn tại nhưng liệu rằng nó có phụ thuộc vào cách chọn hệ tham số x? Định lý sau đây sẽ trả lời trọn vẹn câu hỏi đó Định lý này cũng dẫn đến những khái niệm cơ bản của luận văn Định lý 2.2.3 Bậc bé nhất của tất cả các đa thức theo... là một iđêan của vành Noether A và A -môđun hữu hạn sinh Khi đó i Ha (M ) = 0 với mọi i > dim M Định lý 2.1.2 (xem trong [3]) Cho M = 0 là môđun hữu hạn sinh với dim M = d trên vành Noether địa phương (A, m.) Khi đó d Hm (M ) = 0 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn 18 http://www.lrc-tnu.edu.vn 19 Môđun Cohen-Macaulay và Cohen-Macaulay suy rộng cũngđược Chú ý 2.1.3 đặc trưng qua môđun đối đồng... thì đa IM (n; x) là là môđun Cohen-Macaulay suy rộng Từ định lý trên ta suy ra ngay một hệ quả sau Hệ quả 1.4.4 Cho M là một f -môđun Khi đó mọi hệ tham số của là u.p-dãy khi và chỉ khi M M không không là môđun Cohen-Macaulay Chứng minh Giả sử mọi hệ tham số của M IM (n; x) không là đa thức hằng Do đó M không là môđun Cohen-Macaclay suy rộng Ngược lại, giả sử M đều không là u.p dãy Khi đó không là môđun. .. định nghĩa trên ta có bổ đề sau (xem trong [8]) Mọi vành Gorenstien đều là vành Cohen- Hệ quả 2.1.6 Macaulay Tiếp theo ta nhắc lại một định lý quan trọng sau đây Định lý 2.1.7 (xem trong [8]) Vành thương của vành Cohen-Macaulay là vành catenary phổ dụng Từ định lý và bổ đề trên ta suy ra ngay một hệ quả sau Hệ quả 2.1.8 Vành thương của vành Gorenstein là vành catenary phổ dụng Tiếp theo ta nhắc lại khái... lại chứng minh ở đây nữa S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 Trường hợp A là vành thương của vành Cohen-Macaulay 2.4 Kết quả tiếp theo đây là một tiêu chuẩn rất hữu hiệu để tìm cận trên của kiểu đa thức p(M ) Giả sử Định lý 2.4.1 A là vành thương của vành Cohen-Macaulay, k là một số tự nhiên Khi đó các mệnh đề sau là tương đương: (i) p(M ) k; (ii) Mọi phần hệ tham... đa thức vậy, với theo n1 IM (n; x) 0 Khi là tuyến tính theo từng biến = d Vì nên ta chỉ cần n1 , , nd Thật d = 1 khi đó ta có IM (n; x) = l(M/xn1 M ) n1 e(x1 ; M ) là đa thức 1 với n1 0 Theo công thức Lech ta có lM/(xn1 M ) 1 lim = e(x1 ; M ) n1 n1 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 12 IM (n; x) là bằng 0 Do đó đa thức IM (n; x) là đa nên suy ra bậc của đa thức. .. Theo giả thiết các số hạng bên phải của đẳng thức là các đa thức với Vậy n 0 l(xn M : xm /xn M ) cũng là đa thức Cố định n, khi đó tồn tại số m0 sao 1 2 1 cho xn M : xm = xn M : xm0 , 1 2 1 2 điều này là mâu thuẫn Vậy không là đa thức với n IM (n; x) = (M/x(n)M ) n1 nd e(x; M ) 0 Do đó một câu hỏi được đặt ra là: Khi nào thì IM (n; x)) n1 nd e(x; M ) là một đa thức với n vẹn trọng mục 1.3 = (M/x(n)M... luận văn Định lý 2.2.3 Bậc bé nhất của tất cả các đa thức theo n chặn trên hàm số IM (n, x) không phụ thuộc vào cách chọn x Chứng minh Cho t = (t, , t) N Khi đó theo Garcia Roig, J .L thì bậc bé nhất của tất cả các đa thức theo thuộc vào cách chọn x t chặn trên hàm số Ký hiệu bất biến này là bé nhất của tất cả các đa thức chặn trên hàm S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn IM (t, x) p (M ) . THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM HỒNG NAM KIỂU ĐA THỨC CỦA MÔĐUN TRÊN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƯƠNG L L U U Ậ Ậ N N V V Ă Ă N N T T H H Ạ Ạ C C S S Ĩ Ĩ . THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN DANH TUYÊN KIỂU ĐA THỨC CỦA MÔĐUN TRÊN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƯƠNG Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60.46.05 L L U U Ậ Ậ N N