Luận văn: Một kết quả hữu hạn cho tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Tor doc

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn > s > s > s Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (R, m) m, I R M R A R Z I = mZ m = p α 1 1 . . . p α k k m Ass Z Z/I n Z = {p 1 Z, . . . , p k Z} n Z Ass R (M/I n M) Ass R (I n M/I n+1 M) n n  0. Att R (0 : A I n ) Att R (0 : A I n+1 /0 : A I n ) n n  0 M/I n M ∼ = Tor R 0 (R/I n , M) (0 : A I n ) ∼ = Ext 0 R (R/I n , A). Ext i R (R/I n , A) Tor R i (R/I n , M) i Ass R  Tor R i (R/I n , M)  Att R  Ext i R (R/I n , A)  , n = 1, 2, . . . n Att R  Tor R i (R/I n , A)  Ass R  Ext i R (R/I n , M)  , n = 1, 2, . . . n n Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn  n Att R  Tor R i (R/I n , A)   n Ass R  Ext i R (R/I n , M)   n0 Att R  Tor R i (R/I n , A)   n0 Ass R  Ext i R (R/I n , M)  M > s > s M I depth >s (I, M) dim Supp H i I (M)  s i  r {p ∈  n0 Ass R  Ext t R (R/I n , M)  | dim(R/p) ≥ s} t  r, r = depth >s (I, M). > s (Att R A) ≥s = {p ∈ Att R A | dim(R/p) ≥ s}   n∈N Att R (Tor R t (R/I n , A))  s ,   n 1 , ,n k ∈N Att R (Tor R t (R/(x n 1 1 , . . . , x n k k )R, A  ≥s t  r n n 1 , . . . , n k r = Width >s (I, A) > s A I (x 1 , . . . , x k ) I Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 1 2 M > s > s > s 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn R A R M R . . . m R m Γ m (A) A Γ m (A) =  n≥0 (0 : A m n ). A R m R Γ m (A) = 0 m 1 , . . . , m r A = Γ m 1 (A) ⊕ . . . ⊕ Γ m r (A) Supp A = {m 1 , . . . , m r }. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn j ∈ {1, . . . , r} s ∈ R \ m j s Γ m j (A) Γ m j (A) R m j Γ m j (A) R R m j A m j ∼ = Γ m j (A), j = 1, . . . , r. (R, m) m R,  R, m t , t = 0, 1, 2, . . .  R  R r ∈ R r A R (R, m) A  R  R m R A R A  R A A  R (R, m) E = E(R/m) R/m D() = Hom R (, E) C R R R R M µ M : M −→ DD(M) = Hom R (Hom R (M, E), E) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn R µ M (x)(f) = f(x), x ∈ M, f ∈ Hom(M, E). R E f ∈ Hom R (E, E) a f ∈ R : f(x) = a f x, ∀x ∈ E. N R D(N) A R D(A) Ann M = Ann D(M) M R  R (M) < ∞  R (D(M)) =  R (M). N R A R j ∈ N D(N/I j N) ∼ = (0 : D(N) I j ) D(I j−1 N/I j N) ∼ = (0 : D(N) I j )/(0 : D(N) I j−1 ); D(0 : A I j ) ∼ = D(A)/I j D(A) D((0 : A I j )/(0 : A I j−1 )) ∼ = I j−1 D(A)/I j D(A). R M M = 0 x ∈ R x M Rad(Ann R M) p M p Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... là iđêan nguyên tố (i) p (ii) AttR A A có môđun thương là p-thứ cấp (iii) A có môđun thương Q sao cho Rad(Q) = p (iv) A có môđun thương Q sao cho p là phần tử tối thiểu trong tập các iđêan nguyên tố chứa (v) AnnR Q A có môđun thương Q sao cho AnnR Q = p Mệnh đề 1.2.3 i) Cho khi và chỉ khi AttR M thiểu của (ii) Cho M là một R -môđun biểu diễn được Khi đó M = 0 = Trong trường hợp này tập các iđêan nguyên. .. A là R -môđun Artin, thì AssR (D(A)) = AttR (A) Chiều Noether của môđun Artin Nhắc lại rằng một dãy các iđêan nguyên tố p0 p1 pn , trong được gọi là dãy nguyên tố có độ dài n Khi đó chiều Krull của đó pi = pi+1 vành R, ký hiệu là dim R là cận trên của độ dài của các dãy iđêan nguyên tố trong R Chiều Krull của môđun M , ký hiệu là dim M là cận trên của các số n sao cho có một dãy nguyên tố có độ... tính tối đại của dãy (x1 , , xm ) Vì thế, tất cả các A-dãy đối chính quy với chiều đều có chung độ dài, đó chính là số nguyên nhỏ nhất > s trong I i sao cho dimR (TorR (R/I, A)) > s i S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 31 Chương 3 Một kết quả hữu hạn cho tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Tor Vẫn ký hiệu như các chương trước, chương này dành để trả lời một phần... 0 là dãy khớp ngắn thì tồn tại các đồng cấu nối TorR (M, N ) TorR (M, N ) với mỗi n 0 sao cho ta n n1 có dãy khớp dài TorR (M, N ) TorR (M, N ) TorR (M, N ) n n n TorR (M, N ) TorR (M, N ) TorR (M, N ) n1 n1 n1 TorR (M, N ) (M N ) (M N ) (M N ) 0 1 Hệ quả 1.4.4 Nếu M, N hữu hạn sinh thì Extn (M, N ) và TorR (M, N ) là R n hữu hạn sinh với mọi n Kết quả dưới đây cho ta tính chất... (R, m) là vành địa phương, iđêan của niệm I là R và A là R -môđun Artin với chiều Noether N-dimR A = d Khái A-dãy đối chính quy với chiều >s đã được đưa ra bởi L T Nhan và N V Hoang trong [14] như là một sự mở rộng của khái niệm dãy đối chính quy đưa ra bởi A Ooishi [15] và thông qua khái niệm này họ đã chứng minh một kết quả hữu hạn cho tập các iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Artin Trong chương này,... (ii) Cho M R -môđun Một biểu diễn thứ cấp là M = N1 + + Nn của M là một phân tích thành tổng hữu hạn các môđun con pi -thứ cấp Ni Nếu có một biểu diễn thứ cấp thì ta nói M là biểu diễn được Biểu M = 0 hoặc M diễn thứ cấp này được gọi là tối thiểu nếu các iđêan nguyên tố pi là đôi một khác nhau và không có hạng tử Ni nào là thừa, với mọi Dễ thấy rằng mọi biểu diễn thứ cấp của tối thiểu Khi đó tập. .. của (D(A))q với dim(R/q R) = dim(R/p) > s, điều này dẫn đến mâu thuẫn, vì vậy ta có điều phải chứng minh Kết quả tiếp theo là sự mở rộng của [15, Mệnh đề 3.6], [15, Định lý 3.9] với kỹ thuật chính để chứng minh là sử dụng kết quả của Bổ đề 2.2.4 và tính chất -hàm tử đồng điều của hàm tử xoắn Tor, tính chất chiều Krull của dãy khớp các môđun cộng với mối liên hệ giữa tập iđêan nguyên tố liên kết của. .. là tập các iđêan nguyên tố của R chứa AnnR A thì liệu rằng có đẳng thức AnnR (0 :A p) = p, p V (AnnR A) hay không câu hỏi này nhìn chung không đúng với mọi Câu trả lời cho p Var(AnnR A), (xem [4, Ví dụ 4.3]), và lớp môđun thoả mãn tính chất trên được gọi là tính chất () hay tính chất linh hoá tử Bổ đề sau cho ta tính chất linh hoá tử của các iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Artin Bổ đề 2.2.6 Cho. .. dụng để đặc trưng cho chiều Krull của các môđun của 2.1 TorR (R/I, A) i A Dãy đối chính quy Khái niệm dãy đối chính quy cho một môđun tuỳ ý được nghiên cứu bởi A Ooishi [15], ở đó ông đã đưa ra một số tính chất cơ bản của dãy đối chính quy khi môđun là Artin Các khái niệm và tính chất này theo một nghĩa nào đó đối ngẫu với các khái niệm và tính chất của dãy chính quy cho môđun hữu hạn sinh trên vành... sử R -môđun s với mọi i < n hữu hạn sinh M ta xét một tính p là iđêan nguyên tố của R chứa AnnR M Khi đó p SuppR M và do đó Mp = 0 Theo Bổ đề Nakyama ta suy ra (M/pM )p = Mp /pMp = 0 Do đó p Supp(M/pM ), nghĩa là p AnnR (M/pM ) Vì vậy ta luôn có tính chất AnnR (M/pM ) = p, với mọi iđêan nguyên tố chứa AnnR M Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là liệu có một tính chất tương tự như vậy cho mọi môđun . học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 0 −→ N  −→ N −→ N  −→ 0 Tor R n (M, N  ) −→ Tor R n−1 (M, N  ) n ≥ 0 . . . −→ Tor R n (M, N  ) −→ Tor R n (M, N) −→ Tor R n (M, N  ) −→ Tor R n−1 (M,. Tor R n−1 (M, N  ) −→ Tor R n−1 (M, N) −→ Tor R n−1 (M, N  ) . . . −→ Tor R 1 (M, N  ) −→ (M ⊗ N  ) −→ (M ⊗ N) −→ (M ⊗ N  ) −→ 0. M, N Ext n R (M, N) Tor R n (M, N) n Ext Tor Ext Tor S R S −1 (Ext n R (M,. S −1 N), S −1 (Tor R n (M, N)) ∼ = Tor S −1 R n (S −1 M, S −1 N), S −1 (Ext n R (M, N)) p ∼ = Ext n R p (M p , N p ), (Tor R n (M, N)) p ∼ = Tor R p n (M p , N p ) p R I R Ext i  R (  R/I  R, D(A)) ∼ = Tor  R i (  R/I  R,