Một kết quả hữu hạn cho tập Idean nguyên tố gắn kết của modul Tor
ọ rờ ọ s ù ột ết q ữ t tố ết ủ r t sĩ t ọ S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ọ rờ ọ s ù ột ết q ữ t tố ết ủ r số ý tết số số t sĩ t ọ ờ ớ ọ ễ ị S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ụ ụ r ụ ụ ờ ở ế tứ ị rt ố ts ể ễ tứ ề tr ủ rt tử ở rộ tử í q ộ s ủ ố í q ớ ề > s ố í q ố í q ớ ề > s ột ết q ữ t tố ết ủ r ộ rộ ớ ề > s ết q ữ ết ệ t S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ờ ợ t s ọ t t rờ ọ s ọ ớ sự ớ t tì s s ủ ễ ị ị t t tỏ ò ết s s ế ì tỏ ò ết tớ rờ ọ s ệ t ọ ệt ễ ự ờ P ễ ố P ị t ủ trờ ọ t t ề ệ tốt t t tr q trì tự ệ ố ù t tỏ ò ết tớ ờ t tt ữ ờ ú ỡ ộ t tr sốt q trì ọ t t ọ ù S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ở (R, m) ị tr ớ ự t m, I ủ R M R ữ s A R rt ể ứ trú ủ tr rt ờ t tờ q t ế t tố ết tố ết t ứ ủ ú t t từ ột ết q tr số Z ế ớ ỗ I = mZ tr ó m = p 1 1 . . . p k k sự tí t ủ số m tì t Ass Z Z/I n Z = {p 1 Z, . . . , p k Z} ổ ị ớ ọ n ột tự ờ t t r ỏ r ệ tí t ò ú t Z ở ột tr tỳ ý ó ề t ọ ứ ề ề ể ì ết q ủ r tr ó ứ r t Ass R (M/I n M) Ass R (I n M/I n+1 M) ụ tộ n n 0. ế t r ứ ết q ố rt ó t Att R (0 : A I n ) Att R (0 : A I n+1 /0 : A I n ) ộ ớ n n 0 ú ý r t ó M/I n M = Tor R 0 (R/I n , M) (0 : A I n ) = Ext 0 R (R/I n , A). ì tế ột tự ỏ r ệ ết q tr ó tể ở rộ Ext i R (R/I n , A) Tor R i (R/I n , M) ớ i t ỳ tr ờ ị ỏ tr ợ r ở rss P ọ ứ ợ t Ass R Tor R i (R/I n , M) Att R Ext i R (R/I n , A) , n = 1, 2, . . . ổ ị n ủ ớ ồ tờ ọ ũ t r ỏ tì t Att R Tor R i (R/I n , A) Ass R Ext i R (R/I n , M) , n = 1, 2, . . . ụ tộ n n ủ ớ tr ờ ỏ tr ì ủ ị t í ò tồ t t S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn n Att R Tor R i (R/I n , A) n Ass R Ext i R (R/I n , M) í ụ ủ t ệ q ì ỏ tế t ợ t r tì ề ệ ể t n0 Att R Tor R i (R/I n , A) n0 Ass R Ext i R (R/I n , M) ữ ột tr ờ ỏ tr ợ r ở r ở ó ệ r ệ M í q ớ ề > s ộ s ớ ề > s ủ M tr I depth >s (I, M) ọ ứ r ế dim Supp H i I (M) s ớ ọ i r tì t {p n0 Ass R Ext t R (R/I n , M) | dim(R/p) s} ữ ớ ọ t r, tr ó r = depth >s (I, M). ế t ó ò ủ ỏ tr ợ tr ờ ở q ệ ố í q ớ ề > s ế ý ệ (Att R A) s = {p Att R A | dim(R/p) s} tì ọ ứ r t nN Att R (Tor R t (R/I n , A)) s , n 1 , .,n k N Att R (Tor R t (R/(x n 1 1 , . . . , x n k k )R, A s ữ ớ ọ t r ớ n ủ ớ ớ ọ ộ số tự n 1 , . . . , n k tr ó r = Width >s (I, A) ộ rộ ớ ề > s ủ A tr I (x 1 , . . . , x k ) ệ s ủ I ụ í ủ ứ ột tết ết q ề tí ữ ủ t tố ết ủ r tr ts rst r tt rs rt rs S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ồ 3 1 ế tứ ị tr ó trì ý tết ố ts ể ễ tứ ề tr ủ rt ù ớ ột số tí t ủ tử ở rộ tử í q ộ s ủ tờ ợ sử ụ tr tế t 2 trì tết ề ị ĩ tí t ủ M ố í q ớ ề > s tr ộ tố ủ ố í q ớ ề > s ủ ột rt t q ề r ủ ủ ó ệ ộ rộ ớ ề > s ết q ề tí t ữ ủ t tố ết ủ r ợ trì tr 3 S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ế tứ ị r t ộ t ý ệ R tr A R rrt M R tr ể ột số ế tứ ợ ù tr tế t trú ủ rt ố ts ể ễ tứ ề tr ở rộ í q ộ s. . . rt ố ts m ột ự ủ R r m m (A) ủ A ợ ị ĩ ở m (A) = n0 (0 : A m n ). ột số tí t ủ rt ợ r ở r tờ ợ ù tr ứ ề s ệ ề ệ ề ổ ề sử A ột R rt ó ỉ ó ữ ự m ủ R s m (A) = 0 ế ự ệt ó m 1 , . . . , m r tì A = m 1 (A) . . . m r (A) Supp A = {m 1 , . . . , m r }. S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ớ ỗ j {1, . . . , r} ế s R \ m j tì é ở s t ột tự ủ m j (A) ó m j (A) ó trú tự ủ ột R m j ớ trú ột t ủ m j (A) ột R ế ỉ ế ó R m j ệt A m j = m j (A), ớ ọ j = 1, . . . , r. (R, m) ị r ủ t t m ủ R, ý ệ ở R, t ớ t ủ t q ệ t ị ở sở ủ tử m t , t = 0, 1, 2, . . . R ợ tr ị é t é ộ é ù ớ é t R t ột ỗ tử r R ó tể ồ t ớ ớ t ủ tt tử tr ề r ệ ề ổ ề ệ q A R rt tr ị (R, m) ó A ó trú tự ủ R tr ó R ủ t t m ủ R ọ t ủ A R ủ A ế ỉ ế ó R ủ A ó A ó trú tự ủ R rt ó trú ệt ờ t ó tể ể ệ ứ rt tr ột t ì ề ệ ứ tr ị ữ ệ trú ủ rt tr ột số trờ ợ ó tể ể ề ứ tr tr ờ ý tết ố ts ớ ột số tí t ố ts ợ sử ụ tr (R, m) ị ủ t E = E(R/m) ộ ủ trờ t R/m í ệ D() = Hom R (, E) từ trù C R R Rồ í ó ớ ỗ R M t à M : M DD(M) = Hom R (Hom R (M, E), E) S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Rồ tự ở à M (x)(f) = f(x), ớ ọ x M, f Hom(M, E). ó t ó ết q s ị ý ệ ề R E rt ớ ỗ f Hom R (E, E) tồ t t a f R : f(x) = a f x, x E. ế N R tr tì D(N) rt ế A R rt tì D(A) tr Ann M = Ann D(M) ế M R s R (M) < tì R (D(M)) = R (M). ổ ề N R tr A R rt j N ó D(N/I j N) = (0 : D(N) I j ) D(I j1 N/I j N) = (0 : D(N) I j )/(0 : D(N) I j1 ); D(0 : A I j ) = D(A)/I j D(A) D((0 : A I j )/(0 : A I j1 )) = I j1 D(A)/I j D(A). ể ễ tứ ý tết ể ễ tứ ợ r ở ợ ố ớ ý tết tí s q ết tr ị ĩ ột R M ợ ọ tứ ế M = 0 ế ớ ọ x R é ở x tr M t ỹ r trờ ợ Rad(Ann R M) tố p t ọ M ptứ S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... 0 là dãy khớp ngắn thì tồn tại các đồng cấu nối TorR (M, N ) TorR (M, N ) với mỗi n 0 sao cho ta n n1 có dãy khớp dài TorR (M, N ) TorR (M, N ) TorR (M, N ) n n n TorR (M, N ) TorR (M, N ) TorR (M, N ) n1 n1 n1 TorR (M, N ) (M N ) (M N ) (M N ) 0 1 Hệ quả 1.4.4 Nếu M, N hữu hạn sinh thì Extn (M, N ) và TorR (M, N ) là R n hữu hạn sinh với mọi n Kết quả dưới đây cho ta tính chất... (A) Chiều Noether của môđun Artin Nhắc lại rằng một dãy các iđêan nguyên tố p0 p1 pn , trong được gọi là dãy nguyên tố có độ dài n Khi đó chiều Krull của đó pi = pi+1 vành R, ký hiệu là dim R là cận trên của độ dài của các dãy iđêan nguyên tố trong R Chiều Krull của môđun M , ký hiệu là dim M là cận trên của các số n sao cho có một dãy nguyên tố có độ dài n trong Supp M Vì M hữu hạn sinh nên ta... đó chính là số nguyên nhỏ nhất > s trong I i sao cho dimR (TorR (R/I, A)) > s i S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 31 Chương 3 Một kết quả hữu hạn cho tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Tor Vẫn ký hiệu như các chương trước, chương này dành để trả lời một phần vấn đề được đặt ra bởi L Melkerson và P Schenzel [11], đó là tìm điều kiện để các tập AttR TorR (R/I n ,... iđêan nguyên tố (i) p (ii) AttR A A có môđun thương là p-thứ cấp (iii) A có môđun thương Q sao cho Rad(Q) = p (iv) A có môđun thương Q sao cho p là phần tử tối thiểu trong tập các iđêan nguyên tố chứa (v) AnnR Q A có môđun thương Q sao cho AnnR Q = p Mệnh đề 1.2.3 i) Cho khi và chỉ khi AttR M thiểu của (ii) Cho M là một R-môđun biểu diễn được Khi đó M = 0 = Trong trường hợp này tập các iđêan nguyên tố. .. (R, m) là vành địa phương, iđêan của niệm I là R và A là R-môđun Artin với chiều Noether N-dimR A = d Khái A-dãy đối chính quy với chiều >s đã được đưa ra bởi L T Nhan và N V Hoang trong [14] như là một sự mở rộng của khái niệm dãy đối chính quy đưa ra bởi A Ooishi [15] và thông qua khái niệm này họ đã chứng minh một kết quả hữu hạn cho tập các iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Artin Trong chương này,... của (D(A))q với dim(R/q R) = dim(R/p) > s, điều này dẫn đến mâu thuẫn, vì vậy ta có điều phải chứng minh Kết quả tiếp theo là sự mở rộng của [15, Mệnh đề 3.6], [15, Định lý 3.9] với kỹ thuật chính để chứng minh là sử dụng kết quả của Bổ đề 2.2.4 và tính chất -hàm tử đồng điều của hàm tử xoắn Tor, tính chất chiều Krull của dãy khớp các môđun cộng với mối liên hệ giữa tập iđêan nguyên tố liên kết của. .. (ii) Cho M R-môđun Một biểu diễn thứ cấp là M = N1 + + Nn của M là một phân tích thành tổng hữu hạn các môđun con pi -thứ cấp Ni Nếu có một biểu diễn thứ cấp thì ta nói M là biểu diễn được Biểu M = 0 hoặc M diễn thứ cấp này được gọi là tối thiểu nếu các iđêan nguyên tố pi là đôi một khác nhau và không có hạng tử Ni nào là thừa, với mọi Dễ thấy rằng mọi biểu diễn thứ cấp của tối thiểu Khi đó tập. .. Cho A là R-môđun Artin và I Khi đó độ dài của mỗi A-dãy đối chính quy tối đại trong Định nghĩa 2.1.2 Width(I, A) biệt, nếu I là một iđêan của R sao cho đối chính quy trong I là hữu hạn và hai dãy (0 :A I) = 0 có chung độ dài Vì thế ta có định nghĩa sau Độ rộng của ), là độ dài của một A trong A-dãy I, ký hiệu là WidthI A đối chính quy tối đại trong (hoặc I Đặc I = m thì ta gọi Widthm A là độ rộng của. .. thiểu Khi đó tập hợp cấp tối thiểu của hiệu bởi M AttR M thứ cấp của M i = 1, , n đều có thể đưa được về dạng {p1 , , pn } là độc lập với việc chọn biểu diễn thứ và được gọi là tập các iđêan nguyên tố gắn kết của Các hạng tử M , kí Ni , i = 1, , n, được gọi là các thành phần M Tập Định lý 1.2.2 AttR A chỉ phụ thuộc vào A mà không phụ thuộc vào biểu diễn thứ cấp tối thiểu của A Hơn nữa ta có các... và tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun xoắn Tor trên vành địa phương đầy đủ Bổ đề 2.2.5 (i) Cho n 0 là một số nguyên Các mệnh đề sau là tương đương: dim(TorR (R/I, A)) i (ii) Tồn tại s với mọi i < n A-dãy đối chính quy với chiều > s trong I có độ dài n Chứng minh (i)(ii) Ta chứng minh bằng quy nạp theo S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn n http://www.lrc-tnu.edu.vn 25 Cho n = 1 Khi TorR . t ồ ố Tor R n (M, N ) Tor R n1 (M, N ) ớ ỗ n 0 s t ó ớ . . . Tor R n (M, N ) Tor R n (M, N) Tor R n (M, N ) Tor R n1 (M, N ) Tor R n1. tử tố tể tr t tố ứ Ann R Q. A ó t Q s Ann R Q = p. ệ ề M ột R ể ễ ợ ó M = 0 ỉ Att R M = r trờ ợ t tố tố tể ủ R ứ Ann(M) í t tử tố