Idean nguyên tố liên kết, Modul compac tuyến tính

Idean nguyên tố liên kết, Modul compac tuyến tính

MỤC LỤC Bảng các kí hiệu toán học thường dùng trong luận văn .ii MỞ ĐẦU . iii Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN .1 1.1 Iđêan nguyên tố liên kết và đối ngẫu Matlis 1 1.2 Môđun compăc tuyến tính và đồng điều địa phương .4 Chương 2: IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 19 2.1 Iđêan nguyên tố đối liên kết .19 2.2 Iđêan nguyên tố đối liên kết và môđun đồng điều địa phương 39 KẾT LUẬN .48 TÀI LIỆU THAM KHẢO .49 MỤC LỤC ii Bảng các ký hiệu toán học thường dùng trong luận văn lim ←− t M t : giới hạn ngược của hệ ngược các môđun  M t  lim −→ t M t : giới hạn thuận của hệ thuận các môđun  M t  Λ I (M) : đầy đủ I − adic của môđun M  M : đầy đủ m −adic của môđun M  R : vành đầy đủ m −adic của vành địa phương (R, m ) Λ I : hàm tử làm đầy I − adic L I i : hàm tử dẫn xuất trái thứ i của Λ I H i I (M) : môđun đối đồng điều địa phương thứ i của môđun M theo iđêan I H I i (M) : môđun đồng điều địa phương thứ i của môđun M theo iđêan I E(R/ m ) : bao nội xạ của R/ m D(M) : đối ngẫu Matlis của môđun M L(M) : tổng tất cả các môđun con Artin của môđun M Spec(R) : tập tất cả các iđêan nguyên tố của vành R Coass R (M) : tập tất cả các iđêan nguyên tố đối liên kết với môđun M Ass R (M) : tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết với môđun M Max(R) : tập tất cả các iđêan tối đại của vành R V ( p ) : tập tất cả các iđêan nguyên tố chứa p MỞ ĐẦU Lý thuyết đối đồng điều địa phương của A. Grothendieck đóng một vai trò quan trọng trong hình học đại số và đại số giao hoán. Sau đó lý thuyết đồng điều địa phương, được xem như đối ngẫu với đối đồng điều địa phương, được nhiều nhà toán học nghiên cứu như: Matlis (1974), Greenlees - May (1992), Alonso Tarrío, López, Tang (1994), Lipman (1999), Tuy nhiên kết quả rất hạn chế và chủ yếu nghiên cứu trên lớp môđun artin vì giới hạn ngược lim ←− không khớp phải trên phạm trù các môđun. Năm 1999 - 2000, Nguyễn Tự Cường và Trần Tuấn Nam đã phát triển lý thuyết đồng điều địa phương trên các môđun compăc tuyến tính là lớp môđun rất rộng, chứa cả lớp môđun artin và chứa cả lớp môđun hữu hạn nếu vành R đầy đủ. Và bằng đối ngẫu Matlis, các tác giả đã thu được một số kết quả đối với môđun đối đồng điều địa phương. Khái niệm về iđêan nguyên tố đối liên kết đã được nhiều nhà toán học nghiên cứu đến như Chamless (1981), Z¨oschinger (1988), Yassemi (1995), ., đến năm 2000, Nguyễn Tự Cường và Trần Tuấn Nam đã nghiên cứu các iđêan nghiên tố đối liên kết với các môđun compăc tuyến tính. Trong [27], Yassemi đã định nghĩa iđêan nguyên tố đối liên kết như sau: iii MỞ ĐẦU iv Một R−môđun L được gọi là cocyclic nếu L là một môđun con của E(R/ m ) với m ∈ Max(R). Cho M là một R−môđun. Một iđêan nguyên tố p của R được gọi là nguyên tố đối liên kết với M nếu có một ảnh đồng cấu cocyclic L của M sao cho p = Ann R (L). Tập các iđêan nguyên tố đối liên kết với M được kí hiệu là Coass R (M) hoặc Coass(M). M được gọi là p −đối nguyên sơ nếu Coass R (M) = { p }. Luận văn này tiếp tục nghiên cứu các iđêan nguyên tố đối liên kết, tìm điều kiện hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố đối liên kết với môđun đồng điều địa phương H I i (M) của môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc M. Luận văn gồm hai chương Chương 1: Kiến thức cơ bản. Phần này ôn lại các kiến thức cơ bản về đối ngẫu Matlis, giới hạn thuận lim −→ , giới hạn ngược lim ←− , môđun com- păc tuyến tính, môđun đối đồng điều địa phương H i I (M), môđun đồng điều địa phương H I i (M), cùng một số tính chất quan trọng cần thiết cho chương 2. Chương 2: Iđêan nguyên tố đối liên kết với môđun đồng điều địa phương. Chương này nghiên cứu các tính chất của iđêan nguyên tố đối liên kết và sự hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố đối liên kết với môđun đồng điều địa phương H I i (M). Phần đầu tiên của chương này dành cho việc nghiên cứu các tính chất của iđêan nguyên tố đối liên kết trên phạm trù các môđun, cụ thể như xây dựng mối liên hệ giữa các iđêan nguyên tố đối liên kết với các iđêan nguyên tố liên kết MỞ ĐẦU v Bổ đề 2.1.5: Cho M là một R−môđun. Các khẳng định sau là tương đương (i) p ∈ Coass R (M). (ii) Tồn tại m ∈ Max(R) ∩ V ( p ) sao cho p ∈ Ass R (D(M)). Bổ đề 2.1.6: Cho M là một R−môđun. Nếu p ∈ Ass(M) thì p ∈ Coass(D(M)) với mọi m ∈ Max(R) ∩ V ( p ). Đối với các dãy khớp ngắn, tập các iđêan nguyên tố đối liên kết có một số tính chất sau Bổ đề 2.1.8: Cho một dãy khớp ngắn các R−môđun 0 −→ M  −→ M −→ M” −→ 0. Khi đó Coass R (M”) ⊆ Coass R (M) ⊆ Coass R (M  ) ∪ Coass R (M”). Mệnh đề 2.1.27: Cho một dãy khớp các R−môđun 0 −→ N −→ M −→ K −→ 0. Khi đó, nếu K là một R−môđun hữu hạn thì Coass R (M) = Coass R (N) ∪ Coass M (K) Phần thứ hai là nghiên cứu các iđêan nguyên tố đối liên kết với các môđun compăc tuyên tính, cho ta được một số kết quả quan trọng, cụ thể như sau: Mệnh đề 2.1.29: Cho M là một R−môđun compăc tuyến tính I−tách. Nếu có một phần tử x ∈ I sao cho Coass R (M/xM) là hữu hạn thì Coass R (M) hữu hạn. MỞ ĐẦU vi Hệ quả 2.1.32: Nếu M là R−môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc, thì tập hợp Coass R (M) hữu hạn. Phần thứ ba là nghiên cứu các điều kiện để tập các iđêan nguyên tố đối liên kết với môđun đồng điều địa phương của môđun compăc tuyến tính nữa rời rạc là hữu hạn. Định lý 2.2.3: Cho M là một R−môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc và i là một số nguyên không âm. Tập các nguyên tố đối liên kết với R−môđun đồng điều địa phương H I i (M) hữu hạn khi R−môđun H I j (M) hữu hạn với mọi j < i Định lý 2.2.4: Cho M là một R−môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc và i là một số nguyên không âm. Tập các nguyên tố đối liên kết với R−môđun đồng điều địa phương H I i (M) hữu hạn khi I ⊆ Rad(Ann R (H I j (M))), ∀j < i. Phần cuối, bằng đối ngẫu Matlis ta mở rộng được một số tính chất hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố liên kết với môđun đối đồng điều địa phương. Hệ quả 2.2.6: Cho (R, m) là một vành địa phương đầy đủ với tôpô m −adic và M là một R−môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc. Cho i là một số nguyên không âm. Tập các nguyên tố liên kết với môđun đối đồng điều địa phương H i I (M) là hữu hạn khi I ⊆ Rad(Ann R (H j I (M))), ∀j < i. Hệ quả 2.2.8: Cho M là một R−môđun hữu hạn trên một vành địa phương (R, m) và i là một số nguyên không âm. Tập các nguyên tố liên MỞ ĐẦU vii kết của môđun đối đồng điệu địa phương H i I (M) là hữu hạn khi môđun H j I (M) là hữu hạn với mọi j<i. Dù đã hết sức cố gắng nhưng vì còn nhiều hạn chế trong nhận thức nên luận văn này không tránh khỏi thiếu sót, rất mong nhận được ý kiến đóng góp, xây dựng của thầy cô và các bạn đồng nghiệp. Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh, lãnh đạo Phòng Khoa học - Công nghệ và sau đại học, lãnh đạo Khoa Toán - Tin học của Trường đã tạo mọi điều kiện tốt nhất cho Khóa Cao học 16 nói chung và Cao học Đại số và lí thuyết số nói riêng hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập của mình. Xin được gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô khoa Toán - Tin học đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ chúng tôi trong quá trình học tập của mình. Và đặc biệt xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Tiến sĩ Trần Tuấn Nam, người đã ra đề tài và tận tâm hướng dẫn tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn này. Chương 1 KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Iđêan nguyên tố liên kết và đối ngẫu Matlis Iđêan nguyên tố liên kết Cho M là một R−môđun. Một iđêan nguyên tố p của R được gọi là nguyên tố liên kết với M nếu thỏa mãn một trong hai điều kiện tương đương sau: (i) Tồn tại một phần tử x ∈ M sao cho Ann(x) = p ; (ii) M chứa một môđun con đẳng cấu với R/ p . Tập các nguyên tố liên kết với M được kí hiệu là Ass R (M) hoặc Ass(M). Bổ đề 1.1.1. (xem [14, 7.B]) Cho p là phần tử tối đại của tập các iđêan {Ann(x)|x ∈ M, x = 0}. Khi đó p ∈ Ass(M). Bổ đề 1.1.2. (xem [14, 7.B]) Ass(M) = ∅ ⇔ M = 0. 1 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 2 Cho M là một R−môđun. Support của M, kí hiệu Supp(M), là tập các iđêan nguyên tố p của R sao cho M p = 0 (M p là địa phương hóa của M tại p ). Bổ đề 1.1.3. (xem [2, §3]) Cho dãy khớp ngắn 0 −→ M  −→ M −→ M” −→ 0 Khi đó Supp(M) = Supp(M  ) ∪ Supp(M”). Bổ đề 1.1.4. (xem [14, 7.D]) Cho R là một vành Noether và M là một R−môđun. Khi đó Ass(M) ⊆ Supp(M), và bất kỳ phần tử nhỏ nhất của Supp(M) đều nằm trong Ass(M). Bổ đề 1.1.5. (xem [14, 7.F]) Cho một dãy khớp ngắn các R−môđun 0 −→ M  −→ M −→ M” −→ 0. Khi đó Ass(M) ⊆ Ass(M  ) ∪ Ass(M”). Bổ đề 1.1.6. (xem [14, 7.G]) Cho R là một vành Noether và M là một R−môđun hữu hạn thì Ass(M) cũng là một tập hữu hạn. Cho f : R −→ R  là một đồng cấu của các vành, với mỗi p ∈ Spec(R  ) ta có f −1 ( p ) ∈ Spec(R). Do đó, ta có thể xác định được một ánh xạ f ∗ : Spec(R  ) −→ Spec(R) liên tục. Điều này dẫn đến các bổ đề sau CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 3 Bổ đề 1.1.7. (xem [14, 9.A]) Cho φ : R −→ R  là một đồng cấu các vành Noether và M là một R  −môđun. Chúng ta có thể xem M như một R−môđun theo nghĩa của φ. Khi đó Ass R (M) = φ ∗ (Ass R  (M)). Bổ đề 1.1.8. (xem [14, 9.B]) Cho φ : R −→ R  là một đồng cấu các vành Noether, E là một R−môđun và F là một R  −môđun. Giả sử F là một R−môđun phẳng. Khi đó: (i) Với bất kỳ iđêan nguyên tố p của R, φ ∗ (Ass R  (F/ p F )) = Ass R (F/ p F ) =    { p } nếu F/ p F = 0 ∅ nếu F/ p F = 0. (ii) Ass R  (E ⊗ R F ) =  p ∈Ass(E) Ass R  (F/ p F ). Đối ngẫu Matlis Định nghĩa 1.1.9. Cho M là một R-môđun. Đối ngẫu Matlis của M là môđun D(M) = Hom R (M; E(R/ m )) trong đó E(R/ m ) là bao nội xạ của R/ m và m ∈ Max(R). Bổ đề 1.1.10. (xem [24, 3.4.2]) Với mọi môđun M ta có Ann(D(M)) = Ann(M) [...]... thì M là một cơ sở của một tôpô tuyến tính trên M Bổ đề 1.2.11 (xem [5, 2.3]) (i) Cho M là một R−môđun tôpô tuyến tính Hausdorff và N là R−môđun con đóng của M Khi đó M là compăc tuyến tính nếu và chỉ nếu N và M/N là compăc tuyến tính (ii) Cho f : M → N là đồng cấu liên tục của các R−môđun tôpô tuyến tính Hausdorff Nếu M là compăc tuyến tính, thì f (M ) là compăc tuyến tính và f là ánh xạ đóng (iii)... tuyến tính và f là ánh xạ đóng (iii) Nếu {Mi }i∈I là một họ các R−môđun compăc tuyến tính thì Mi i∈I cũng là compăc tuyến tính với tôpô tích (iv) Giới hạn ngược của một hệ ngược các R−môđun compăc tuyến tính và các đồng cấu liên tục cũng là compăc tuyến tính Bổ đề 1.2.12 (xem [6, 2.2]) Cho M là một R−môđun compăc tuyến tính Chúng ta có (i) M ∼ lim M/U trong đó M là cơ sở lân cận của phần tử 0 gồm các... bao nội xạ của trường đồng dư R/ m Sau đây là một số tính chất của môđun đồng điều địa phương đối với các môđun compăc tuyến tính Bổ đề 1.2.22 (xem [5, 3.3]) Nếu M là R−môđun compăc tuyến tính, thì HiI (M ) cũng là R−môđun compăc tuyến tính với mọi i 0 Bổ đề 1.2.23 (xem [5, 3.4]) Nếu {Ms } là hệ ngược các môđun compăc tuyến tính với các đồng cấu liên tục, thì HiI (limMs ) ∼ limHiI (Ms ) =← ← − − s... số nguyên dương Khi đó các khẳng định sau là tương đương (i) HiI (M ) là Artin với mọi i < s (ii) I ⊆ Rad(AnnR (HiI (M ))) với mọi i < s Chương 2 IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 2.1 Iđêan nguyên tố đối liên kết Định nghĩa 2.1.1 Một R−môđun L được gọi là cocyclic nếu L là một môđun con của E(R/ m) với m ∈ M ax(R) Cho M là một R−môđun Một iđêan nguyên tố p của R được gọi là nguyên. .. Môđun compăc tuyến tính Định nghĩa 1.2.9 Cho M là một R-môđun M được gọi là tôpô tuyến tính nếu M có một cơ sở M các lân cận của phần tử 0 bao gồm các môđun con M được gọi là Hausdorff nếu giao của tất cả các lân cận của phần tử 0 bằng 0 Một R-môđun tôpô tuyến tính Hausdorff M được gọi là compăc tuyến tính nếu F là một họ các phủ đóng (nghĩa là các phủ của các môđun con đóng) trong M mà có tính giao hữu... M ) là liên tục Bổ đề 1.2.16 (xem [5, 2.7]) Cho N là một R−môđun hữu hạn sinh và {Mt } là một hệ ngược của các R−môđun compăc tuyến tính với các đồng cấu liên tục Khi đó với mọi i R 0, {T ori (N ; Mt )} tạo thành một hệ ngược các môđun compăc tuyến tính với các đồng cấu liên tục Hơn nữa, ta có R R T ori (N ; ← Mt ) ∼ lim T ori (N ; Mt ) lim =← − − t t Định nghĩa 1.2.17 Một R−môđun tôpô tuyến tính Hausdorff... nửa rời rạc Lớp các R−môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc chứa tất cả các môđun Artin Hơn nữa, nó còn chứa tất cả các môđun hữu hạn trong trường hợp R là vành địa phương đầy đủ Kí hiệu L(M ) là tổng của tất cả các môđun con Artin của M , chúng ta có tính chất sau của các môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc Bổ đề 1.2.18 (xem [5, 2.8]) Cho M là R−môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc Khi đó L(M ) là một... compăc tuyến tính Khi đó các mệnh đề sau là tương đương: I tM = 0 (i) M là I−tách, nghĩa là t>0 (ii) M là đầy đủ theo tôpô I−adic, nghĩa là ΛI (M ) ∼ M =   M nếu i = 0 I ∼ (iii) Hi (M ) =  0 nếu i > 0 Bổ đề 1.2.27 (xem [5, 3.8]) Cho M là R−môđun compăc tuyến tính Khi đó với mọi j 0   H I (M ) , i = 0 j I I ∼ Hi (Hj (M )) = 0 ,i > 0 Bổ đề 1.2.28 (xem [5, 3.9]) Cho M là một R−môđun compăc tuyến tính. .. Khi đó M là R−môđun compăc tuyến tính khi và chỉ khi M là đầy đủ trong tôpô m −adic Bổ đề 1.2.30 (xem [5, 4.1]) Cho M là R−môđun compăc tuyến tính I nửa rời rạc Khi đó, H0 (M ) = 0 khi và chỉ khi có một phần tử x ∈ I sao cho xM = M Kí hiệu L(M ) là tổng của tất cả các môđun con Artin của M, khi đó ta có bổ đề sau Bổ đề 1.2.31 (xem [5, 4.5]) Cho M là R−môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc Khi đó HiI... môđum tự do hữu hạn sinh Như trên, chúng ta có thể định nghĩa đối với một môđun compăc tuyến tính R M một tôpô trên T ori (N, M ) được cảm sinh từ tôpô tích của Fi ⊗R M Bổ đề 1.2.15 (xem [5, 2.6]) Cho N là một R−môđun hữu hạn sinh R và M là một R−môđun compăc tuyến tính Khi đó T ori (N ; M ) là một R−môđun compăc tuyến tính với một tôpô được sinh bởi một phép giải tự do của N (bao gồm tất cả các môđun . 1.1 Iđêan nguyên tố liên kết và đối ngẫu Matlis Iđêan nguyên tố liên kết Cho M là một R−môđun. Một iđêan nguyên tố p của R được gọi là nguyên tố liên kết. iđêan nguyên tố đối liên kết, tìm điều kiện hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố đối liên kết với môđun đồng điều địa phương H I i (M) của môđun compăc tuyến