sự hội tụ của dãy các tập hợp iđêan nguyên tố liên kết

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Tống Văn Thành S Ự HỘI TỤ CỦA DÃY CÁC TẬP HỢP IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: T.S TRẦN TUẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2011 Lời Cảm Ơn Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ Trần Tuấn Nam. Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới Thầy, người đã từng bước hướng dẫn tôi phương pháp nghiên cứu đề tài cùng những kinh nghiệm thực hiện đề tài, cung cấp nhiều tài liệu và truyền đạt những kiến thức quí báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Chân thành cảm ơn quý Thầy - Cô trong tổ Đại Số, khoa Toán - Tin trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã giúp tôi nâng cao trình độ chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong suốt quá trình học. Chân thành cảm ơn quý Thầy - Cô phòng Khoa học Công nghệ và Sau đại học đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện luận văn này. Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu cùng các đồng nghiệp trường THPT CưMgar đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học. Sau cùng chân thành cảm ơn các bạn cùng lớp với những trao đổi góp ý và động viên tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Tp. Hồ Chí Minh, năm 2011 Tống Văn Thành i Mục lục Lời Cảm Ơn i Bảng kí hiệu iv Mở Đầu 1 1 Kiến thức cơ bản 3 1.1 Địa phương hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Iđêan nguyên tố liên kết và giá . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Iđêan nguyên sơ và sự phân tích nguyên sơ . . . . . . . . . 6 1.4 Môđun đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5 Biến đổi iđêan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.6 Số chiều, chiều cao và hạng số học . . . . . . . . . . . . . . 13 1.7 Vành và môđun phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.8 Vành Rees và gr I (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 Sự hội tụ của dãy các tập hợ p iđêan nguyên tố liên kết 22 2.1 Sự ổn định tiệm cận của tập các iđêan nguyên tố liên kết . 22 ii iiiiiiiii 2.2 Sự hội tụ của dãy các môđun phân bậc trên vành phân bậc tiêu chuẩn dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3 Áp dụng đối với dãy (Ass(N/I n N)) n và (Ass(I n N/I n+1 N)) n 46 Kết luận 52 Tài liệu tham khảo 54 Bảng kí hiệu N : Tập hợp các số nguyên dương N 0 : Tập hợp các số nguyên không âm Z : Tập hợp các số nguyên Spec(R) : Tập hợp các iđêan nguyên tố của vành R Ass(M) : Tập hợp các iđêan nguyên tố liên kết của M Supp(M) : Giá của môđun M E(M) : Bao nội xạ của môđun M H i I (M) : Môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M theo I D I (M) : Biến đổi iđêan của môđun M tương ứng với iđêan I ht(P ) : Chiều cao của iđêan nguyên tố P ara(I) : Hạng số học của iđêan I ∗ Spec(R) : Tập hợp các iđêan ng uyên tố phân bậc của R gr(R) : Vành phân bậc liên kết của R R(I) : Vành Rees của I P roj(R) : Tập hợp các iđêan nguyên tố phân bậc của R mà không chứa iđêan irrelevant reg(M) : Chỉ số chính quy Castelnuovo của M iv Mở Đầu Sự ổn định tiệm cận của tập các iđêan nguyên tố liên kết Ass là một kết quả khá nổi tiếng được nhà toá n học M.Brodmann đưa ra lần đầu tiên trong [4] vào năm 1979. Nếu I là một iđêan của một vành Noether giao hoán A, thì tập hợp các iđêan nguyên tố liên kết Ass(A/I n ) của lũy thừa thứ n của I là không đổi với mọi n đủ lớn. Giả sử dãy (Ass(A/I n )) n∈N có các giá trị cuối không đổi, kí hiệu là Ass ∗ (I), nhà toán học S.McAdam và P.Eakin đã đưa ra một số trường hợp mà bảo đảm rằng một iđêan nguyên tố P của A là nằm trong Ass ∗ (I). Một câu hỏi được đặt ra: "Cho một iđêan nguyên tố P của A, P ∈ Ass ∗ (I), có thể xác định được một số nguyên n P thỏa mãn tính chất rằng P ∈ Ass(A/I n ) với mọi n > n P hay không?". Trong khuôn khổ luận văn này, chúng tôi trình bày một số kết quả về sự hội tụ của dãy các tập hợp iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc của các môđun phân bậc hữu hạn sinh trên một vành Noether giao hoán phân bậc tiêu chuẩn dương, những kết quả này sau đó được áp dụng để trả lời cho câu hỏi ở trên. 1 222 Cụ thể luận văn chia làm 2 chương: Chương 1. Kiến thức cơ bản. Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm và tính chất về địa phương hóa, iđêan nguyên tố liên kết và giá, iđêan nguyên sơ và sự phân tích nguyên sơ, môđun đối đồng điều địa phương, biến đổi iđêan, số chiều, chiều cao và hạng số học, vành và môđun phân bậc, vành Rees và gr I (R) mà chúng tôi sẽ sử dụng trong chương 2. Chương 2. Sự hội tụ của dãy các tập hợp iđêan nguyên tố liên kết. Trong chương này, chúng tôi đi chỉ ra rằng với n lớn thì Ass(A/I n ) là không đổi, đưa ra một số trường hợp để một iđêan nguyên tố P của A là nằm trong Ass ∗ (I) và đưa ra một kết quả khá thú vị liên quan đến Ass ∗ (I) − Bss ∗ (I) đó là một iđêan nguyên tố trong Ass ∗ (I) − Bss ∗ (I) phải là ước nguyên tố của không. Cuối cùng, chúng tôi đưa ra một s ố kết quả về sự hội tụ của dãy các môđun phân bậc trên một vành Noether phân bậc tiêu chuẩn dương. Sau đó áp dụng các kết quả trên để đưa ra một số kết quả về sự hội tụ của các dãy (Ass(N/I n N)) n∈N và (Ass(I n N/I n+1 N)) n∈N 0 , trong đó N là môđun hữu hạn sinh trên vành Noether giao hoán A và I là một iđêan của A. Tuy đã có nhiều cố gắng, nhưng do năng lực có hạn nên luận văn này chắc chắn không tránh khỏi những thiếu xót, tôi rất mong được sự thông cảm và góp ý sâu sắc của quý Thầy Cô để luận văn này hoàn chỉnh hơn. Chương 1 Kiến thức cơ bản Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm và mệnh đề mà chúng tôi sẽ sử dụng trong chương 2. Các kết quả trong phần này hầu hết không chứng minh, độc giả có thể tham khảo ở một số tài liệu [1], [2], [5], [6], [7], [9], [10]. 1.1 Địa phương hóa Cho tập con nhân S của một vành R. Trên tập R × S ta định nghĩa một quan hệ hai ngôi ∼ như sau: Với mọi (a, s), (a  , s  ) ∈ R × S (a, s) ∼ (a  , s  ) ⇔ ∃t ∈ S : (as  − a  s)t = 0 Dễ thấy rằng ∼ là một quan hệ tương đương trên R ×S. Ta kí hiệu tập thương (R ×S)/ ∼ là S −1 R và lớp tương đương của phần tử (a, s) là a/s. 3 444 Định nghĩa 1.1.1. Tập S −1 R cùng với hai qui tắc sau: Với mọi a s , b t ∈ S −1 R a s + b t = at + bs st a s . b t = ab st là một vành. Vành S −1 R được gọi là vành các thương của vành R theo tập con nhân S Cho P là một iđêan nguyên tố của vành R. Tập S = R\P là tập con nhân của R. Trong trường hợp này vành các thương S −1 R kí hiệu là R P . Mệnh đề 1.1.2. Vành R P là vành địa phương với iđêan tối đại duy nhất là S −1 P . Vành địa phương R P được gọi là địa phương hóa của vành R theo iđêan nguyên tố P . 1.2 Iđêan nguyên tố liên kết và giá Định nghĩa 1.2.1. Cho R là một vành và M là một R - môđun, iđêan nguyên tố P của R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại x ∈ M, (x = 0) : P = ann(x). Tập hợp các iđêan nguyên tố liên kết của M kí hiệu là: Ass(M) hoặc Ass R (M). Cho I là một iđêan của R, iđêan nguyên tố liên kết của R−môđun R/I được gọi là ước nguyên tố của I. Ta nói a ∈ R là một ước của không đối với M nếu tồn tại x ∈ M, (x = 0) sao cho ax = 0. Tập hợp các iđêan nguyên tố P của R sao cho M P = 0 được gọi là giá của môđun M, kí hiệu là Supp(M) 555 Supp(M) = {P ∈ Spec(R)|M P = 0}. M P = S −1 M là môđun các thương của R - môđun M theo S = R \ P Mệnh đề 1.2.2. Cho R là một vành, M là một R - môđun, P là iđêan nguyên tố của R. Khi đó, P là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu và chỉ nếu tồn tại một đồng cấu R - môđun nội xạ từ R/P vào M. Do đó, nếu N là môđun con của M thì Ass(N) ⊆ Ass(M). Mệnh đề 1.2.3. Cho I là một iđêan bất kì của R. Đặt V (I) = {P ∈ Spec(R)|I ⊂ P } (i) Nếu M là R - môđun hữu hạn sinh thì Supp(M) = V (ann(M)). (ii) Nếu R là vành Noether và I là iđêan của R thì Supp(R/I) = V (I). Mệnh đề 1.2.4. Cho R là vành Noether, M là R - môđun khác 0. (i) Phần tử tối đại của F = {ann(x)|0 = x ∈ M} là một iđêan nguyên tố liên kết của M, đặc biệt Ass(M) = ∅ (ii) Tập các ước của không đối với M là hợp tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M. Mệnh đề 1.2.5. Cho R là vành và M, N, P là các R - môđun. Nếu dãy sau đây là khớp 0 → M → N → P → 0 thì ta có các kết quả sau: (i) Ass(N) ⊂ Ass(M) ∪Ass(P). (ii) Supp(N) = Supp(M) ∪Supp(P ). [...]... iđêan nguyên tố của R Chiều cao của một iđêan nguyên tố P là chiều dài lớn nhất n của dãy các iđêan nguyên tố P0 ⊂ P1 ⊂ ⊂ Pn = P , kí hiệu: htP Ta thấy, nếu htP = 0 thì P là iđêan nguyên tố tối tiểu của vành R Nếu I là iđêan của R, ta định nghĩa chiều cao của I là chiều cao nhỏ nhất 14 của các iđêan nguyên tố chứa I htI = inf{htP |P ∈ V (I)} Số chiều của vành R cũng có thể được định nghĩa là supremum của. .. Một dãy các môđun con của môđun M là dãy (Mi )0≤i≤n các môđun con của M thỏa M = M0 ⊃ M1 ⊃ ⊃ Mn = 0, chiều dài của dãy là n Định nghĩa 1.6.1 Số chiều của một vành R, là chiều dài lớn nhất n của dãy P0 ⊂ P1 ⊂ ⊂ Pn các iđêan nguyên tố của R, kí hiệu là dimR Nếu có một dãy các iđêan nguyên tố như trên có độ dài vô hạn thì ta kí hiệu dimR = ∞ Định nghĩa 1.6.2 Cho R là một vành khác không và P là một iđêan. .. I ⊂ Q Khi đó Q nguyên sơ khi và chỉ khi Q/I nguyên sơ trong vành thương R/I Mệnh đề 1.3.3 Nếu Q là một iđêan nguyên sơ của vành R thì P = √ Q là một iđêan nguyên tố, đó là iđêan nguyên tố nhỏ nhất trong số tất cả các iđêan nguyên tố của R mà chứa Q Mệnh đề 1.3.4 Cho R là vành Noether, M và Q là hai iđêan của R, trong đó M tối đại Khi đó các khẳng định sau là tương đương (i) Q là M - nguyên sơ √ (ii)... cận của tập các iđêan nguyên tố liên kết Cho I là một iđêan của vành N oether R Với n ∈ N, đặt A(n) = Ass(R/I n ), tập hợp các ước nguyên tố của I n [12] Trong phần này, ta đi chỉ ra rằng với n lớn thì A(n) là không đổi Để làm được điều này, ta đi xét một tập con của A(n), xác định bởi B(n) = {P |P là ước nguyên tố của I n−1 /I n }, ta chỉ ra rằng dãy B(n) là không đổi với n lớn và sau đó liên hệ với... Qn là các iđêan P - nguyên sơ thì iđêan Q = Q1 ∩ ∩ Qn cũng là P - nguyên sơ Mệnh đề 1.3.6 Giả sử Q là iđêan P - nguyên sơ của vành R, với x ∈ R Khi đó ta có: (i) Nếu x ∈ Q thì (Q : x ) cũng là iđêan P - nguyên sơ / (ii) Nếu x ∈ Q thì (Q : x ) = R Định nghĩa 1.3.7 Một iđêan I của vành R được gọi là có sự phân tích nguyên sơ nếu có hữu hạn iđêan Q1 , , Qn của R sao cho: (i) Q1 , , Qn là các iđêan nguyên. .. Rees của I kí hiệu R(I) là vành phân bậc con được định nghĩa như sau:      cn ∈ I n với n ≥ 0  R(I) = R+ (R, I)[u] = cn tn | ⊂ R[t, t−1 ]    cn ∈ R với n ≤ 0  21 Do đó uR(I) =      cn tn | cn ∈ I n+1   với n ≥ 0   cn ∈ R với n ≤ −1  Khi đó ta có grI (R) = R(I)/uR(I) và R(I)/(1 − u)R(I) = R Chương 2 Sự hội tụ của dãy các tập hợp iđêan nguyên tố liên kết 2.1 Sự ổn định tiệm cận của tập. .. 1.7.5 Cho R là vành phân bậc 1 Với mỗi iđêan nguyên tố P , thì iđêan P ∗ cũng là iđêan nguyên tố 2 Cho M là R - môđun phân bậc (i) Nếu P ∈ SuppM thì P ∗ ∈ SuppM (ii) Nếu P ∈ AssM thì P là phân bậc Hơn nữa, P là linh hóa tử của 17 một phần tử thuần nhất Cho P là một iđêan nguyên tố của R và cho S là tập hợp các phần tử thuần nhất của R không thuộc vào P , thì S là tập đóng nhân, ta đặt M(P ) = MS với... A(n) Giả sử dãy A(n) và B(n) có các giá trị cuối không đổi, kí hiệu các giá trị cuối không đổi tương ứng của hai dãy là Ass∗ (I) và Bss∗ (I), cũng trong phần này ta đưa ra một số trường hợp mà đảm bảo rằng một iđêan nguyên tố là nằm trong Ass∗ (I) trước khi chuyển sang kết quả khá thú vị liên quan đến Ass∗ (I) − Bss∗ (I) đó là một iđêan nguyên tố trong Ass∗ (I) − Bss∗ (I) phải là ước nguyên tố của không... 1, , r, là một sự phân tích nguyên sơ của không, với qi là Qi - nguyên sơ Lấy 0 = x ∈ q2 ∩ ∩ qr và chọn n đủ lớn để x ∈ P n Để chứng minh mệnh đề trên, ta sử dụng kết / quả sau: Nếu J là một iđêan, P là tối tiểu trên Q + J và J ⊆ P n , thì P là một ước nguyên tố của J Thật vậy, giả sử ngược lại P không phải là ước nguyên tố của J Cho p là một ước nguyên tố tùy ý của J Do p = P và P là tối tiểu trên... 1.3.1 Một iđêan thực sự Q của vành R được gọi là iđêan nguyên sơ nếu với mọi x, y ∈ R sao cho xy ∈ Q thì hoặc x ∈ Q hoặc y n ∈ Q với n ≥ 1 Một cách tương đương ta có thể nói iđêan Q của một vành R là nguyên sơ khi và chỉ khi R/Q = 0 và mọi ước của không trong vành thương R/Q đều là lũy linh Nếu Q là iđêan nguyên sơ và P = √ Q thì ta gọi Q là P - nguyên sơ 7 Mệnh đề 1.3.2 Cho Q và I là hai iđêan của vành . 20 2 Sự hội tụ của dãy các tập hợ p iđêan nguyên tố liên kết 22 2.1 Sự ổn định tiệm cận của tập các iđêan nguyên tố liên kết . 22 ii iiiiiiiii 2.2 Sự hội tụ. môđun, iđêan nguyên tố P của R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại x ∈ M, (x = 0) : P = ann(x). Tập hợp các iđêan nguyên tố liên kết của