Tập Iđêan nguyên tố gắn kết và tính chất dịch chuyển địa phương

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN QUANG BẠO TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ GẮN KẾT VÀ TÍNH CHẤT DỊCH CHUYỂN ĐỊA PHƯƠNG 2012 [...]... phần tử tối thiểu trong tập Att A thì p được iđêan nguyên tố gắn kết cô lập p là của iđêan nguyên tố gắn kết nhúng A Trường hợp ngược lại, ta của A Nếu pi là iđêan nguyên tố gắn kết cô lập của A thì thành phần thứ cấp Ai tương ứng được gọi là của thành phần cô lập 2.2.8 Mệnh đề A R/ Ann A và A có cùng các iđêan nguyên tố cô lập, tức là tập các iđêan nguyên tố gắn kết tối thiểu của nguyên tố tối thiểu... pi là iđêan nguyên tố Ai ứng với pi không A Giả sử pi là iđêan nguyên tố gắn kết cô lập của tối thiểu nên pj và = A Vì pi pi với mọi j = i Đặt S = R \ pi Khi đó S pi = S pj = với mọi j = i Theo Bổ đề 2.2.11, S(A) = Ai chỉ phụ thuộc vào của A và pi chứ không phụ thuộc vào biểu diễn thứ cấp tối thiểu A Từ Định lí 2.2.3 ta có ngay kết quả sau đây 2.2.14 Hệ quả đánh số lại Ar Cho pi sao cho là tập. .. của một vành địa phương Gorenstein f : R R sinh Khi đó là toàn cấu vành Giả sử M (R, m) (R , m ) là một là ảnh chiều R-môđun n và hữu hạn Extj (M, R ) là R-môđun hữu hạn sinh và ta có đẳng cấu: R i Hm (M ) DR (Extn i (M, R )) = R 12 Chương 2 biểu diễn thứ cấp và tập iđêan nguyên tố gắn kết 2.1 Môđun thứ cấp và biểu diễn thứ cấp 2.1.1 Định nghĩa phép nhân bởi Một R-môđun A được gọi là nếu A = 0 và x... nghĩa của L1 và L3 trong mệnh đề trên ta L1 và L3 chỉ phụ thuộc vào A và S chứ không phụ thuộc vào cách chọn biểu diễn thứ cấp tối thiểu của vào biểu diễn thứ cấp tối thiểu của A Vì thế L2 không phụ thuộc A Từ nay trở đi, với mỗi tập đóng nhân S của A ta đặt S(A) 2.2.13 Định lý (Định lý duy nhất thứ hai) Giả sử gắn kết cô lập của A Khi đó thành phần thứ cấp phụ thuộc vào biểu diễn thứ cấp tối thiểu của... kéo theo 2.4 Ta chỉ cần chứng minh (ii) A có độ dài hữu hạn Tập iđêan nguyên tố gắn kết qua đồng cấu phẳng và qua đối ngẫu Matlis 2.4.1 Định lý ([5], 23.2), ([2], A.5]) 33 Cho : (R, m) (S, n) phương và M là một sinh Khi đó nếu a N là đồng cấu giữa các vành Noether địa R-môđun hữu hạn sinh và N phẳng trên là S -môđun hữu hạn R, p Spec(R) và N/pN = 0 thì (AssS (N/pN )) = AssR (N/pN ) = p, AssS (M R... tối thiểu chứa Chứng minh Cho A là tập các iđêan Ann A p là iđêan nguyên tố tối thiểu chứa Ann A Vì A cũng là môđun thương của A nên theo Định lí 2.2.3 (iv) (i) ta có p {p1 , , pn } = Att A Nếu p không là phần tử tối thiểu của Att A 20 thì tồn tại q p sao cho q = p và q Att A Theo Định lí 2.2.3 (i) (iv), tồn tại môđun thương Q của A sao cho q là iđêan nguyên tố tối thiểu chứa Ann Q Chú ý rằng... dimR M là số nguyên nhỏ nhất n sao cho tồn tại giải nội xạ tại số E của M mà E m = 0 với mọi m > n Nếu không tồn n như vậy ta định nghĩa chiều nội xạ của M là vô cùng (ii) Một vành Noether, địa phương R được gọi là inj dim R < Một vành Noether được gọi là 11 Gorenstein Gorenstein nếu nếu địa phương hóa của nó tại mọi iđêan tối đại là vành Gorenstein 1.2.16 Định lý (Định lý đối ngẫu địa phương) Giả... có ngay tính chất (iii) (Q) = p (iv) Giả sử Q là môđun thương của A sao cho (Q) = p Ta có Rad(Ann Q) = {x R : n N để xn Ann Q} = {x R : n N để xn Q = 0} = (Q) = p 18 Mặt khác, Rad(Ann Q) là giao của tất cả các iđêan nguyên tố chứa Ann Q, nên p là iđêan tối thiểu trong tập V (Ann Q) (iv) (i) Cho Q là môđun thương của A sao cho p là phần tử tối thiểu trong tập V (Ann Q) Theo Bổ đề 2.2.2 và bằng... thứ cấp tối thiểu của Q Đánh số lại thứ tự các chỉ số, ta có thể giả thiết Q = A/P = (A1 + P )/P + + (Ar + P )/P là biểu diễn thứ cấp tối thiểu của Với mỗi môđun Q với (Ai + P )/P là pi -thứ cấp Q ta kí hiệu (A) = {x R : n N để xn A = 0} 17 và với mỗi iđêan của I của R, ta kí hiệu V (I) là tập các iđêan nguyên tố R chứa I 2.2.3 Định lý (Định lý duy nhất thứ nhất) Cho p là iđêan nguyên tố Khi đó... (M ) là môđun Artin và M DR (DR (M )) = (ii) Nếu A là môđun Artin thì DR (A) là môđun Noether và A = DR (DR (A)) Khi R là vành đầy đủ, Định lý đối ngẫu Matlis cho ta tương ứng giữa phạm trù các R-môđun Artin và phạm trù các R-môđun Noether Định lý Đối ngẫu địa phương [1, Định lý 11.2.6] cho ta mối liên hệ giữa đối đồng điều địa phương và hàm tử Ext Trước hết ta nhắc lại khái niệm vành Gorenstein theo . ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN QUANG BẠO TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ GẮN KẾT VÀ TÍNH CHẤT DỊCH CHUYỂN ĐỊA PHƯƠNG 2012