Tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương và
3.1 Tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất
điều địa phương cấp cao nhất
Mục này mô tả tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất.
3.1.1 Định lý. Giả sử (R,m) là vành địa phương Noether và M là R-môđun khác không hữu hạn sinh, chiều d. Khi đó Hmd(M) 6= 0 và
Att(Hmd(M)) = {p∈ AssM : dimR/p= d}.
Chứng minh. Theo Định lý 1.2.13 Hmi(M) là môđun Artin và do đó theo Định lý 2.2.19 Hmi (M) là môđun biểu diễn được. Ta chứng minh quy nạp theo chiều d của M.
cho mnM = 0. Vì vậy
Hm0(M) ∼= Γm(M) = M 6= 0.
Do đó theo Hệ quả 2.3.7 ta có
Att(Hmd(M)) = Att(M) = {m} = Ass(M)
= {p ∈ Ass(M) : dimR/p = 0}. Giả sử d > 0 và khẳng định được chứng minh cho các môđun có chiều nhỏ thực sự hơn d.
Trường hợp 1: M là R-môđun hữu hạn sinh chiều d mà M không có môđun con khác không có chiều thực sự nhỏ hơn d. Ta chứng minh Hmd(M) 6= 0 và Att(Hmd(M) = Ass(M).
Vìd > 0nên m∈/ Ass(M). Do đó tồn tạir ∈ mlà phần tửM-chính quy. Vì vậy depthM ≥ 1. Giả sử Hmd(M) = 0.
Nếu d = 1, ta có
1 ≤depthM ≤ dimM = 1.
Điều này kéo theo depthM = 1 và là điều vô lý theo tính chất về độ sâu của môđun.
Giả sử d > 1. Vì r là M-chính quy nên dimM/rM = d−1. Ta có dãy khớp
0−→ M −→r M −→ M/rM −→ 0.
Vì Hmd(M) = 0 nên dãy khớp này cảm sinh dãy các môđun đối đồng điều
Từ đó suy ra
Hmd−1(M)/rHmd−1(M) ∼= Hd−1
m (M/rM).
Theo giả thiết quy nạpHmd−1(M/rM) 6= 0nênHmd−1(M) 6= 0.Ta chứng minh m ∈ Att(Hmd−1(M)). Thật vậy giả sử m ∈/ Att(Hmd−1(M)). Khi đó theo Định lý Tránh nguyên tố, ta có m * [ p∈Att(Hmd−1(M)) [ [ q∈Ass(M) q .
Vì vậy tồn tại r1 ∈ m là M-chính quy và theo Mệnh đề 2.2.9, ta có Hmd−1(M) =r1Hmd−1(M).Điều này là vô lý vìHmd−1(M)/rHmd−1(M) 6= 0. Kéo theo m∈ Att(Hmd−1(M)). Giả sử
Att(Hmd−1(M))\ {m} = {p1,ã ã ã ,pt}. Lại theo Định lý Tránh nguyên tố tồn tại
r2 ∈ m\ t [ i=1 pi ! [ [ q∈Ass(M) q .
Do đó r2 là M-chính quy, tương tự như chứng minh ở trên, ta có Hmd−1(M)/r2Hmd−1(M) ∼= Hd−1
m (M/r2M). Theo giả thiết quy nạp Hmd−1(M/r2M) 6= 0 và
Att(Hmd−1(M/r2M)) = {p ∈ Ass(M/r2M) : dimR/p = d−1}. Mặt khác theo 2.2.2
Vì d > 1 nên hai khẳng định trên mâu thuẫn với nhau. Điều này chứng tỏ Hmd(M) 6= 0.
Ta chứng minh Att(Hmd(M)) = Ass(M). Vì depthM ≥ 1 nên tồn tại r ∈ m là M-chính quy. Vì vậy dimM/rM = d−1. Từ dãy khớp các môđun đối đồng điều địa phương cảm sinh từ dãy khớp
0−→ M −→r M −→M/rM −→ 0
và theo Định lý Triệt tiêu của Grothendieck (Định lý 1.2.12), ta có Hmd(M) =rHmd(M). Do đó theo Mệnh đề 2.2.9, ta có m\ [ p∈Ass(M) p ⊆m\ [ q∈Att(Hd m(M)) q.
Lấy bất kỳ q ∈ Att(Hmd(M)). Từ bao hàm thức trên và theo Định lý Tránh nguyên tố, ta có q ⊆p với p ∈ Ass(M). Ta có
AnnM ⊆ AnnHmd(M) ⊆ q⊆ p. Vì d = dimR/AnnM = dimR/p nên q = p. Do đó
Att(Hmd(M)) ⊆ Ass(M).
Ngược lại giả sử p∈ Ass(M). Theo giả thiết, ta códimR/p= d.Theo lý thuyết phân tích nguyên sơ tồn tại môđun p-nguyên sơ Q của M. Ta có M/Q 6= 0 là R-môđun hữu hạn sinh và Ass(M/Q) = {p}. Ta có M/Q không có môđun con khác không chiều thực sự nhỏ hơn d vì trái lại thì Ass(M/Q) có iđêan nguyên tố khác p. Theo chứng minh ở trên áp dụng cho môđun M/Q thay cho môđun M, ta có Hmd(M) 6= 0 và
Do đó Att(Hmd(M/Q)) = {p}. Vì dimQ < d+ 1 nên theo Định lý Triệt tiêu của Grothendieck (Định lý 1.2.12), ta có Hmd+1(Q) = 0. Từ dãy khớp
0−→ Q −→M −→ M/Q−→ 0
và khẳnng định trên, ta có toàn cấu giữa các môđun đối đồng điều địa phương Hmd(M) −→Hmd(M/Q). Do đó ta có theo Mệnh đề 2.2.2
{p} = Att(Hmd(M/Q)) ⊆Att(Hmd(M)).
Vì vậy Ass(M) ⊆ Att(Hmd(M)).
Trường hợp 2: Giả sử M là R-môđun hữu hạn sinh, khác không, chiều d. Theo Bổ đề 1.2.9, ta có
Att(Hmd(M)) = Att(Hmd(G)) = Ass(G)
= {p ∈ Ass(M) : dimR/p= d}.
3.1.2 Hệ quả. Giả sử(R,m)là vành địa phương và M làR-môđun hữu hạn sinh có chiều d > 0. Khi đó Hmd(M) không hữu hạn sinh.