Tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương và
3.2 Tính chất dịch chuyển địa phương
Địa phương hóa là một công cụ hữu hiệu trong việc nghiên cứu môđun hữu hạn sinh. Nhắc lại một tính chất quen thuộc chỉ ra mối liên hệ giữa tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun hữu hạn sinh M và địa phương hoá của nó tại một iđêan nguyên tố p
với mọi p ∈ Spec(R).
Đối với các môđun Artin ta cũng muốn tìm một công thức tương tự như vậy cho tập các iđêan nguyên tố gắn kết. Các kết quả ở mục này được lấy trong bài báo đăng năm 1975 của R.Y. Sharp [6] giải quyết một phần vấn đề trên.
3.2.1 Định lý (Tính chất dịch chuyển địa phương tổng quát). Giả sử
(R,m) là vành địa phương và là ảnh đồng cấu của vành địa phương Gorenstein,M làR-môđun hữu hạn sinh. Giả sửp∈ Spec(R),dimR/p =
t và i là một số nguyên. Lấy q∈ Spec(R) thỏa mãn q ⊆p. Khi đó qRp ∈ AttRp(HRi
p(Mp)) ⇔q ∈ AttR(Hmi+t(M)).
Chứng minh. Trước hết chú ý rằng các môđunHRip(Mp)vàHmi+t(M)là môđun Artin theo Định lý 1.2.13 nên tồn tại các tập AttRp(HRip(Mp))
và AttR(Hmi+t(M)).
Giả sử (R0,m0) là một vành địa phương Gorenstein chiều d0 và f :
R0 −→ R là một toàn cấu vành. Đặt E = E(R/m). Đặt p0 = f−1(p). Khi đó Rp0 là một vành địa phương Gorenstein và dimR0/p0 = t. Vì R0 là một vành Gorenstein nên ta có
dimR0p0 = dimR0 −dimR0/p0 = d0−t. Gọi f0 : R0p0 −→ Rp là toàn cấu vành xác định bởi
f0(r0/s0) =f(r0)/f(s0),∀r0 ∈ R0,∀s0 ∈ R0 \p0.
Theo Mệnh đề 1.2.5, với mỗi j ∈ Z, ta có đẳng cấu các Rp-môđun
ExtjR0
p0(Mp, R0p0) ∼= (Extj
Theo Định lý đối ngẫu địa phương (Định lý 1.2.16), ta có đẳng cấu HpRi p(Mp) ∼= HomR p(ExtnR00−t−i p0 (Mp, Rp00), ERp(Rp/pRp)). Theo Bổ đề 2.4.2, ta có qRp ∈ AttRp(HpRi p(Mp)) ⇔ qRp ∈ AssRp(ExtnR00−t−i p0 (Mp, Rp00)) ⇔ qRp ∈ AssRp((ExtRd00−t−i(M, R0))p) ⇔ q∈ AssR(ExtRd0−0 t−i(M, R0)). Lại theo Định lý Đối ngẫu địa phương ta có
Hmi+t(M) ∼= HomR(Extd0−t−i
R0 (M, R0), E).
Nên theo Bổ đề 2.4.2 ta có điều trên tương đương vớiq ∈ AttR(Hmi+t(M)). 3.2.2 Hệ quả. Giả sử (R,m) là một vành địa phương và là ảnh đồng cấu của một vành địa phương Gorenstein. Gọi M là R-môđun hữu hạn sinh khác không và lấy p ∈ Ass(M). Giả sử dimR/p = j. Khi đó Hmj(M) 6= 0 và p ∈ Att(Hmj(M)). Hơn nữa nếu j > 0 thì Hmj(M)
không hữu hạn sinh.
Chứng minh. VìpRp ∈ Ass(Mp)nênHpR0
p(Mp) làRp-môđun có độ dài hữu hạn. Theo Bổ đề 2.3.7, ta có
AttRp(HpR0 p(Mp) = {pRp}.
Theo Tính chất dịch chuyển địa phương tổng quát ta có điều phải chứng minh.
3.2.3 Hệ quả. Giả sử (R,m) là vành địa phương mà là ảnh đồng cấu của vành địa phương Gorenstein, M làR-môđun hữu hạn sinh chiều d. Khi đó Hmd(M) 6= 0 và
{p ∈ AssM : dimR/p = d} ⊆ Att(Hmd(M)).
Chứng minh. Theo Hệ quả 3.2.2.
3.2.4 Định lý (Tính chất dịch chuyển địa phương yếu). Giả sử (R,m)
là vành địa phương, M là R-môđun hữu hạn sinh. Lấy p ∈ Spec(R)
và đặt dimR/p = t. Lấy i ∈ Z, q ∈ Spec(R) thỏa mãn q ⊆ p và qRp ∈ AttRp(HpRi
p(Mp)). Khi đó q∈ AttR(Hmi+t(M)).
Chứng minh. GọiRblà đầy đủ hóa của Rtheo tôpôm-adic,f : R −→ Rb
là đồng cấu địa phương. Ta có f là đồng cấu phẳng, địa phương. Vì
b
R/pRb ∼= R/pd nên dimR/pb Rb = t. Lấy bp là iđêan nguyên tố tối thiểu của pRb thỏa mãn dimR/b bp = t. Khi đó bp∩R = p và f cảm sinh đồng cấu
f0 : Rp −→ Rb
bp,
thỏa mãn f0(a/s) = f(a)/f(s), a ∈ R, s ∈ R \p. Khi đó f0 là đồng cấu phẳng địa phương và f0(pRp) là bpRb
b
p-nguyên sơ. Do đó theo Định lý Chuyển sơ sở phẳng (Định lý 1.2.11) Hi bpRb b p (Mp ⊗Rp Rb b p) ∼= Hi pRp(Mp)⊗ b R b p b R b p 6= 0. Vì vậy theo Mệnh đề 2.4.4 tồn tại bq ⊆ bp, bqRb
b p ∈ Att b R b p(Hi b pRb b p (Mp ⊗Rp b R b p)), thỏa mãn f0−1(bqRb bp) =qRp.
Ta lại có Mp⊗RpRb bp ∼= (M⊗ RRb) bp như Rb bp-môđun. Do đóHi bpRb bp ((M⊗R b R) bp) 6= 0 và bqRb b p ∈ Att b R b p(Hi b pRb b p ((M ⊗R Rb)
bp)). Gọi mb là iđêan tối đại của Rb. Theo Định lý Cấu trúc của Cohen (xem [2, Theorem A.22]) ta có Rb là ảnh đồng cấu của một vành Gorenstein. Vì dimR/b bp = t nên theo Định lý 3.2.1, ta có Rb-môđun Hi+t
b
m (M ⊗R Rb) khác không và có iđêan nguyên tố gắn kết là bq.
Vì f là đồng cấu địa phương phẳng và mRb = mb nên theo Mệnh đề 2.4.4 ta có Hmi+t(M) là R-môđun khác không có iđêan nguyên tố gắn kết là bq∩R. Vì f0−1(bqRb
bp) =qRp nên ta có bq∩R = q.
3.2.5 Hệ quả. Giả sử (R,m) là một vành địa phương. Gọi M là R- môđun hữu hạn sinh khác không và lấyp ∈ Ass(M).Giả sửdimR/p=
j. Khi đó Hm(j M) 6= 0 và p ∈ Att(Hmj(M)). Hơn nữa nếu j > 0 thì Hm(j M) không hữu hạn sinh.
Chứng minh. Ta cópRp ∈ AssRp(Mp). Do đóMp 6= 0vàdepth(Mp) = 0. Vì vậy
HpR0 p(Mp) ∼= ΓpR
p(Mp) 6= 0.
Môđun ΓpRp(Mp) là môđun con của môđun Mp nên là Rp-môđun hữu hạn sinh. Do đó ΓpRp(Mp) linh hóa tử bởi lũy thừa củapRp. Theo Bổ đề 2.3.7 ta có AttRp(HpR0
p(Mp)) = {pRp}. Theo Định lý 3.2.4 ta có điều phải chứng minh.
Tính chất dịch chuyển địa phương hóa không đúng trên vành (R, m) bất kỳ.
3.2.6 Ví dụ. Xét(R,m)là miền nguyên, địa phương Noether chiều bằng
nguyên tố nhúng bp chiều bằng 1. Rõ ràng bp∩R = 0. Lại có theo Hệ quả 3.2.5, bp ∈ Att
b
RHm1(R). Vì vậy theo Bổ đề 2.4.4, ta có
0 =bp∩R ∈ AttRHm1(R).
Lấyplà iđêan nguyên tố có độ cao bằng1củaR, ta có0Rp ∈/ AttRp HpR0
p(Rp). Vì nếu trái lại ta có
1 = ht(p) = dimRp/0Rp ≤ dimRp/AnnRp HpR0 p(Rp) ≤ 0, vô lý. Vậy Hm1(R) không thỏa mãn tính chất dịch chuyển địa phương hóa.