Tính chất dịch chuyển địa phương

Tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương và

3.2 Tính chất dịch chuyển địa phương

Địa phương hóa là một công cụ hữu hiệu trong việc nghiên cứu môđun hữu hạn sinh. Nhắc lại một tính chất quen thuộc chỉ ra mối liên hệ giữa tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun hữu hạn sinh M và địa phương hoá của nó tại một iđêan nguyên tố p

với mọi p ∈ Spec(R).

Đối với các môđun Artin ta cũng muốn tìm một công thức tương tự như vậy cho tập các iđêan nguyên tố gắn kết. Các kết quả ở mục này được lấy trong bài báo đăng năm 1975 của R.Y. Sharp [6] giải quyết một phần vấn đề trên.

3.2.1 Định lý (Tính chất dịch chuyển địa phương tổng quát). Giả sử

(R,m) là vành địa phương và là ảnh đồng cấu của vành địa phương Gorenstein,M làR-môđun hữu hạn sinh. Giả sửp∈ Spec(R),dimR/p =

t và i là một số nguyên. Lấy q∈ Spec(R) thỏa mãn q ⊆p. Khi đó qR_p ∈ Att_Rp(H_Rⁱ

p(M_p)) ⇔q ∈ Att_R(H_m^i+t(M)).

Chứng minh. Trước hết chú ý rằng các môđunH_Rⁱ_p(Mp)vàH_m^i+t(M)là môđun Artin theo Định lý 1.2.13 nên tồn tại các tập AttR_p(H_Rⁱ_p(Mp))

và AttR(H_m^i+t(M)).

Giả sử (R⁰,m⁰) là một vành địa phương Gorenstein chiều d⁰ và f :

R⁰ −→ R là một toàn cấu vành. Đặt E = E(R/m). Đặt p⁰ = f⁻¹(p). Khi đó R_p⁰ là một vành địa phương Gorenstein và dimR⁰/p⁰ = t. Vì R⁰ là một vành Gorenstein nên ta có

dimR⁰_p0 = dimR⁰ −dimR⁰/p⁰ = d⁰−t. Gọi f⁰ : R⁰_p0 −→ R_p là toàn cấu vành xác định bởi

f⁰(r⁰/s⁰) =f(r⁰)/f(s⁰),∀r⁰ ∈ R⁰,∀s⁰ ∈ R⁰ \p⁰.

Theo Mệnh đề 1.2.5, với mỗi j ∈ _Z, ta có đẳng cấu các R_p-môđun

Ext^j_R0

p0(M_p, R⁰_p0) ∼_{= (Ext}j

Theo Định lý đối ngẫu địa phương (Định lý 1.2.16), ta có đẳng cấu H_pRⁱ _p(M_p) ∼_{= HomR} p(Extⁿ_R⁰0^−t−i p0 (M_p, R_p⁰0), E_Rp(R_p/pR_p)). Theo Bổ đề 2.4.2, ta có qR_p ∈ Att_Rp(H_pRⁱ p(M_p)) ⇔ qR_p ∈ Ass_Rp(Extⁿ_R⁰0^−t−i p0 (M_p, R_p⁰0)) ⇔ qR_p ∈ Ass_Rp((Ext_R^d00^−t−i(M, R⁰))_p) ⇔ q∈ Ass_R(Ext_R^d0−0 ^t−i(M, R⁰)). Lại theo Định lý Đối ngẫu địa phương ta có

H_m^i+t(M) ∼_{= HomR(Ext}d⁰−t−i

R0 (M, R⁰), E).

Nên theo Bổ đề 2.4.2 ta có điều trên tương đương vớiq ∈ Att_R(H_m^i+t(M)). 3.2.2 Hệ quả. Giả sử (R,m) là một vành địa phương và là ảnh đồng cấu của một vành địa phương Gorenstein. Gọi M là R-môđun hữu hạn sinh khác không và lấy p ∈ Ass(M). Giả sử dimR/p = j. Khi đó H_m^j(M) 6= 0 và p ∈ Att(H_m^j(M)). Hơn nữa nếu j > 0 thì H_m^j(M)

không hữu hạn sinh.

Chứng minh. VìpR_p ∈ Ass(M_p)nênH_pR⁰

p(M_p) làR_p-môđun có độ dài hữu hạn. Theo Bổ đề 2.3.7, ta có

Att_Rp(H_pR⁰ _p(M_p) = {pR_p}.

Theo Tính chất dịch chuyển địa phương tổng quát ta có điều phải chứng minh.

3.2.3 Hệ quả. Giả sử (R,m) là vành địa phương mà là ảnh đồng cấu của vành địa phương Gorenstein, M làR-môđun hữu hạn sinh chiều d. Khi đó H_m^d(M) 6= 0 và

{p ∈ AssM : dimR/p = d} ⊆ Att(H_m^d(M)).

Chứng minh. Theo Hệ quả 3.2.2.

3.2.4 Định lý (Tính chất dịch chuyển địa phương yếu). Giả sử (R,m)

là vành địa phương, M là R-môđun hữu hạn sinh. Lấy p ∈ Spec(R)

và đặt dimR/p = t. Lấy i ∈ _Z, q ∈ Spec(R) thỏa mãn q ⊆ p và qR_p ∈ Att_Rp(H_pRⁱ

p(M_p)). Khi đó q∈ Att_R(H_m^i+t(M)).

Chứng minh. GọiRblà đầy đủ hóa của Rtheo tôpôm-adic,f : R −→ Rb

là đồng cấu địa phương. Ta có f là đồng cấu phẳng, địa phương. Vì

b

R/pRb ∼_{= R/pd} nên dimR/pb Rb = t. Lấy bp là iđêan nguyên tố tối thiểu của pRb thỏa mãn dimR/b _bp = t. Khi đó bp∩R = p và f cảm sinh đồng cấu

f⁰ : R_p −→ Rb

bp,

thỏa mãn f⁰(a/s) = f(a)/f(s), a ∈ R, s ∈ R \p. Khi đó f⁰ là đồng cấu phẳng địa phương và f⁰(pRp) là bpRb

b

p-nguyên sơ. Do đó theo Định lý Chuyển sơ sở phẳng (Định lý 1.2.11) Hⁱ bpRb b p (Mp ⊗_Rp Rb b p) ∼_{= H}i pR_p(Mp)⊗ b R b p b R b p 6= 0. Vì vậy theo Mệnh đề 2.4.4 tồn tại bq ⊆ _bp, _bqRb

b p ∈ Att b R b p(Hⁱ b pRb b p (M_p ⊗_Rp b R b p)), thỏa mãn f⁰⁻¹(_bqRb bp) =qR_p.

Ta lại có M_p⊗_RpRb bp ∼_{= (M⊗} RRb) bp như Rb bp-môđun. Do đóHⁱ bpRb bp ((M⊗_R b R) bp) 6= 0 và bqRb b p ∈ Att b R b p(Hⁱ b pRb b p ((M ⊗_R Rb)

bp)). Gọi mb là iđêan tối đại của Rb. Theo Định lý Cấu trúc của Cohen (xem [2, Theorem A.22]) ta có Rb là ảnh đồng cấu của một vành Gorenstein. Vì dimR/b _bp = t nên theo Định lý 3.2.1, ta có Rb-môđun H^i+t

b

m (M ⊗_R Rb) khác không và có iđêan nguyên tố gắn kết là bq.

Vì f là đồng cấu địa phương phẳng và mRb = m_b nên theo Mệnh đề 2.4.4 ta có H_m^i+t(M) là R-môđun khác không có iđêan nguyên tố gắn kết là bq∩R. Vì f⁰⁻¹(_bqRb

bp) =qR_p nên ta có bq∩R = q.

3.2.5 Hệ quả. Giả sử (R,m) là một vành địa phương. Gọi M là R- môđun hữu hạn sinh khác không và lấyp ∈ Ass(M).Giả sửdimR/p=

j. Khi đó Hm(^j M) 6= 0 và p ∈ Att(Hm^j(M)). Hơn nữa nếu j > 0 thì Hm(^j M) không hữu hạn sinh.

Chứng minh. Ta cópR_p ∈ Ass_Rp(M_p). Do đóM_p 6= 0vàdepth(M_p) = 0. Vì vậy

H_pR⁰ _p(M_p) ∼_{= ΓpR}

p(M_p) 6= 0.

Môđun Γ_pRp(M_p) là môđun con của môđun M_p nên là R_p-môđun hữu hạn sinh. Do đó Γ_pRp(M_p) linh hóa tử bởi lũy thừa củapR_p. Theo Bổ đề 2.3.7 ta có Att_Rp(H_pR⁰

p(M_p)) = {pR_p}. Theo Định lý 3.2.4 ta có điều phải chứng minh.

Tính chất dịch chuyển địa phương hóa không đúng trên vành (R, m) bất kỳ.

3.2.6 Ví dụ. Xét(R,m)là miền nguyên, địa phương Noether chiều bằng

nguyên tố nhúng bp chiều bằng 1. Rõ ràng bp∩R = 0. Lại có theo Hệ quả 3.2.5, bp ∈ Att

b

RH_m¹(R). Vì vậy theo Bổ đề 2.4.4, ta có

0 =_bp∩R ∈ Att_RH_m¹(R).

Lấyplà iđêan nguyên tố có độ cao bằng1củaR, ta có0R_p ∈/ Att_Rp H_pR⁰

p(R_p). Vì nếu trái lại ta có

1 = ht(p) = dimR_p/0R_p ≤ dimR_p/Ann_Rp H_pR⁰ _p(R_p) ≤ 0, vô lý. Vậy H_m¹(R) không thỏa mãn tính chất dịch chuyển địa phương hóa.