và qua đối ngẫu Matlis
Cho ϕ : (R,m) −→ (S,n) là đồng cấu giữa các vành Noether địa phương và M là mộtR-môđun hữu hạn sinh vàN làS-môđun hữu hạn sinh. Khi đó nếu N phẳng trên R, p ∈ Spec(R) và N/pN 6= 0 thì
aϕ(AssS(N/pN)) = AssR(N/pN) =p,
AssS(M ⊗R N) = [ p∈AssRM
AssS(N/pN), với aϕ: Spec(S) −→ Spec(R).
2.4.2 Bổ đề. Giả sử (R,m) là một vành địa phương và N là một R- môđun Noether. Khi đó D(N) là một R-môđun Artin và AttD(N) = Ass(N).
Chứng minh. Giả sử p ∈ Ass(N). Khi đó N có môđun con B mà p = Ann(B). Từ dãy khớp 0−→ B −→ N,ta có dãy khớp D(N) −→f
D(B) −→ 0. Suy ra D(B) ∼= D(N)/kerf. Ta có
p = Ann(B) = Ann(D(B)) = Ann(D(N)/kerf). Theo Hệ quả 2.2.6, ta có p ∈ Att(D(N)).
Ngược lại giả sử p ∈ Att(D(N)). Theo Hệ quả 2.2.6, ta có p = Ann(D(N)/L)vớiLlà môđun con củaD(N). Từ dãy khớpD(N) −→
D(N)/L −→0 ta có dãy khớp 0−→ D(D(N)/L) −→D(D(N)). Do vậy D(D(N)) có môđun con mà linh hóa tử làp. Theo Định lý đối ngẫu Matlis, ta có đẳng cấu D(D(N)) ∼= N ⊗
R Rb. Do đó tồn tại R-môđun con C của N ⊗R Rb mà AnnR(C) = p. Gọi CRb là Rb-môđun con của N ⊗R Rb sinh bởi C. Khi đó CRb là Rb-môđun hữu hạn sinh và
Ann
b
Từ đó suy ra tồn tại bp ∈ Ass
b
R(CRb) sao cho pb ∩ R = p. Vì bp ∈ Ass
b
R(N ⊗R Rb) nên theo Định lý 2.4.1, ta có p ∈ AssRN.
Sau đây ta sẽ xem xét tập iđêan nguyên tố gắn kết của các môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại liên hệ với đồng cấu phẳng. Trước hết ta có bổ đề sau.
2.4.3 Bổ đề. Giả sử R, S là các vành và f : R −→ S là một đồng cấu vành. Lấyq ∈ Spec(S) và đặt qc = f−1(q). Giả sử N là S-môđun khác không có biểu diễn thứ cấp tối thiểu
N = K1 +K2 +ã ã ã+Kn,(∗)
trong đó Ki là S-môđun qi-thứ cấp i = 1, ..., n. Xem N và Ki là R- môđun theo f. Khi đó Ki là qci-thứ cấp, N có biểu diễn thứ cấp và
AttR(N) = {qc|q ∈ AttS(N)}.
Chứng minh. Gọi i ∈ {1, ..., n}. Xét tự đồng cấu Ki −→r Ki. Ta có r.x = f(r).x và f(r) ∈ qi nếu và chỉ nếu r ∈ qci. Vì vậy phép nhân là toàn cấu hay lũy linh tùy theo r thuộc hay không thuộc qci. Do đó R-môđunKi làqci-thứ cấp và (∗) là biểu diễn thứ cấp củaR-môđunN. Theo Nhận xét 2.1.6 ta có điều phải chứng minh. Chú ý không môđun nào thừa trong phân tích ở (∗).
2.4.4 Mệnh đề. Giả sử f : (R,m) −→ (S,n) là đồng cấu phẳng địa phương thỏa mãn mS là n-nguyên sơ. Giả sử M là R-môđun hữu hạn sinh khác không, i là số nguyên không âm sao cho Hmi (M) 6= 0. Đặt qc = f−1(q) với q∈ Spec(S). Khi đó Hni(M ⊗R S) 6= 0 và
Chứng minh. Theo Định lý chuyển cơ sở phẳng (Định lý 1.2.11) và theo giả thiết ta có Hni(M ⊗R S) ∼= Hi
m(M)⊗R S. Giả sử Hmi (M) =S1 +S2 +ã ã ã+Sn
là biểu diễn thứ cấp thu gọn của R-môđun Hmi (M) với Si là pi-thứ cấp, i = 1, ..., n. Với mỗi j ∈ {1, ..., n}, gọi uj : Sj −→ Hmi (M) là phép nhúng. Vì S là R-phẳng nên đồng cấu uj ⊗ IdS : Sj ⊗R S −→ Hmi (M)⊗R S là đơn cấu. Do đó Tj = (uj ⊗IdS)[Sj ⊗R S] ∼= S j ⊗R S và Hmi (M)⊗R S = T1 +T2 +ã ã ã+Tn(∗)
Mỗi Tj làS-môđun Artin khác không và vì vậy nó có một biểu diễn thứ cấp. Vì Tj ∼= S
j ⊗R S nên Tj là R-môđun thứ cấp. Theo Bổ đề 2.4.3 ta có
{f−1(q)|q ∈ AttS(Tj)} = {pj}.
Do vậy với 1≤ j < ` ≤ n thì AttS(Tj)∩AttS(T`) = ∅. Thu gọn phân tích thứ cấp của cácTj xét nhưS môđun. Lưu ý vìS là hoàn toàn phẳng trên R nên không thể bỏ bất kỳ Tj nào trong đẳng thức ở (∗). Nên mỗi Tj sẽ giữ lại ít nhất một hạng tử sau khi thu gọn. Thay vào (∗) ta sẽ có phân tích thu gọn của Hmi(M)⊗RS xét như S môđun. Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Chương 3